18.3正方形同步练习 2025-2026学年华东师大版数学八年级下册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，聚焦正方形的性质与判定，通过基础-提升-综合三层设计，构建从概念记忆到逻辑推理再到综合应用的巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|概念记忆与基础应用|填空题+选择填空题，强化边、角、对角线性质及判定条件的直接应用| |提升层|性质与判定的灵活应用|典例解析+变式训练，通过线段关系证明、四边形判定培养逻辑推理能力| |综合层|多知识点综合与易错点突破|综合解答题+易错分析，结合矩形、菱形知识及动态问题，提升空间观念与创新意识|

18.3　正方形 1．有一个角是 且有一组 相等的平行四边形是正方形． 2．正方形具有平行四边形 ： 边：四条边 ； 角：四个角 ； 对角线：对角线 、每条对角线分每个内角为 度的角． 3．有一个角是直角的 是正方形． 4．有一组邻边相等的 是正方形． 考点1　正方形的性质 【典例1】 如图，正方形ABCD中，点E是CD边上的一点(不与点C、D重合)，连结BE，BF平分∠ABE，交AD边于点F，试判断线段AF、CE和BE之间的数量关系，并说明理由． 正方形具有特殊四边形的一切性质，在猜想线段关系的时候，要注意全等转换和45°角性质的应用，此外要先阐明结论，再叙述理由． 【变式训练】 1．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B、A、C两顶点在直线l两侧，过点A、C分别作AE⊥直线l，CF⊥直线l，垂足分别为E、F.求证：EF＝AE－CF. 考点2　正方形的判定 【典例2】如图，在Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE的外角平分线交于点A，过点A作AB⊥CE的延长线于B，过点A作AD⊥CF的延长线于D.求证：四边形ABCD是正方形． 在证明一个四边形是正方形时，一般有三条思路：一是按定义，在已知平行四边形的情况下，再找一组邻边相等、一个角是直角；二是先证明是矩形，再找一组邻边相等或对角线垂直；三是先证明是菱形，再找有一个角是直角或对角线相等． 【变式训练】 2．如图，在矩形ABCD中，AD＝2CD，E是AD的中点，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形． 知识点1　正方形的性质 1．正方形具有而菱形不具有的性质是( ) A.对角线平分一组对角 B．对角线相等 C．对角线互相垂直平分 D．四条边相等 2．如图，在正方形ABCD中，在BA延长线上取一点E，使BE＝BD，连结DE，则∠EDA的度数为( ) A．10° B．15° C．30° D．22.5° 3．正方形面积为36，则对角线的长为( ) A．6 B．6 C．9 D．9 4．如图，若两个正方形边长分别为2、a(a＞2)，则图中阴影部分的面积为 ． 5．将对角线分别为5 cm和8 cm的菱形改为一个面积不变的正方形，则正方形的边长为 cm. 知识点2　正方形的判定 6．下列四个菱形中分别标注了部分数据，根据所标数据，可以判断菱形ABCD是正方形的是( ) A B C D 7．数学课上，老师在投影屏上出示下面的抢答题，需要同学们回答符号可以代表的内容． 如图，四边形ABCD是平行四边形， ①当※时，平行四边形ABCD是矩形； ②当◎时，平行四边形ABCD是矩形； ③当▲时，平行四边形ABCD是菱形； ④当时，平行四边形ABCD是正方形． 则回答不正确的是( ) A．※可以代表∠ABC＝90° B．◎可以代表AC＝BD C．▲可以代表AB＝BC D．可以代表AC⊥BD 8．已知四边形ABCD是平行四边形，从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是( ) A．①② B．①③ C．②④ D．②③ 9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，请你添加一个条件 ，使四边形BECF是正方形． 10．如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交对角线AC于点E，作EF⊥AB，EH⊥BC，垂足分别为F、H.求证：四边形BHEF是正方形． 易错易混点　逻辑推理能力不足导致多结论判断错误 11．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作射线OM、ON分别交边BC、CD于点E、F，且∠EOF＝90°，连结EF.给出下面四个结论： ①△BOE≌△COF；②CF＝BE； ③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的； ④BE2＋CE2＝OE2.上述结论中，所有正确的序号是 ． 12．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，连结BF、DE，则BF＋DE的最小值为( ) A．8 B．4 C．4 D．4 13．如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在DC、BC上，BF＝CE＝4，连结AE、DF，AE与DF相交于点G，连结AF，取AF的中点H，连结GH, 则GH的长为 . 14．在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的序号是 . 15． 如图，在正方形ABCD中，E是DC边的中点，FG⊥AE分别交AD、BC边于点F、G.若AB＝4，则FG的长为 ． 16．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC. (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)如果BE＝BC，且∠CBE∶∠BCE＝2∶3，求证：四边形ABCD是正方形． 【母题P139T4】如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，求CH的长．(保留根号) 【变式】(山东聊城期中)如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点E在AB边上，点F在OD上，过点E作EG⊥BD，垂足为点G，若EF⊥CF，OF＝，则BE的长为( ) A．　　　　　　　　　B．2 C．2 D．3 17.(推理能力)(1)将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A′处，得到折痕DE，如图1.求证：四边形AEA′D是正方形； (2)将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的点C′处，点B落在点B′处，得到折痕EF，B′C′交AB于点M，如图2.线段MC′与ME是否相等？若相等，请给出证明；若不相等，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 18．3　正方形 1．有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形． 2．正方形具有平行四边形所有的性质： 边：四条边都相等； 角：四个角都是直角； 对角线：对角线相等且互相垂直平分、每条对角线分每个内角为45度的角． 3．有一个角是直角的菱形是正方形． 4．有一组邻边相等的矩形是正方形． 考点1　正方形的性质 【典例1】 如图，正方形ABCD中，点E是CD边上的一点(不与点C、D重合)，连结BE，BF平分∠ABE，交AD边于点F，试判断线段AF、CE和BE之间的数量关系，并说明理由． 解：AF＋CE＝BE.理由：如图所示，过点B作BG⊥BE，与DA的延长线交于点G. ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝∠C＝∠BAD＝90°，AB＝BC，AD∥BC，∴∠ABE＋∠CBE＝90°. ∵BG⊥BE， ∴∠GBE＝∠ABG＋∠ABE＝90°， ∴∠ABG＝∠CBE. 在△CBE和△ABG中， ∴△CBE≌△ABG(ASA)， ∴CE＝AG，BE＝BG. ∵BF平分∠ABE，∴∠ABF＝∠EBF. ∵∠ABG＝∠CBE， ∴∠ABG＋∠ABF＝∠CBE＋∠EBF， 即∠GBF＝∠CBF. ∵AD∥BC，∴∠CBF＝∠AFB， ∴∠AFB＝∠GBF，∴BG＝GF＝BE， ∴AF＋CE＝AF＋AG＝GF＝BE. 正方形具有特殊四边形的一切性质，在猜想线段关系的时候，要注意全等转换和45°角性质的应用，此外要先阐明结论，再叙述理由． 【变式训练】 1．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B、A、C两顶点在直线l两侧，过点A、C分别作AE⊥直线l，CF⊥直线l，垂足分别为E、F.求证：EF＝AE－CF. ∵四边形ABCD是正方形，∴∠CBF＋∠FBA＝90°，AB＝BC.∵CF⊥BE，∴∠CBF＋∠BCF＝90°，∴∠BCF＝∠ABE.∵AE⊥BE， ∴∠AEB＝∠BFC＝90°， ∴△ABE≌△BCF(AAS)，∴AE＝BF，BE＝CF，∴AE－CF＝BF－BE＝EF，即EF＝AE－CF. 考点2　正方形的判定 【典例2】如图，在Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE的外角平分线交于点A，过点A作AB⊥CE的延长线于B，过点A作AD⊥CF的延长线于D.求证：四边形ABCD是正方形． 证明：作AG⊥EF于G，如图所示， ∴∠AGE＝∠AGF＝90°. ∵AB⊥CE，AD⊥CF， ∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，∴四边形ABCD是矩形． ∵AE平分∠BEF，AF平分∠DFE， ∠B＝∠AGE＝90°，∠AGF＝∠D＝90°， ∴AB＝AG，AD＝AG，∴AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形． 在证明一个四边形是正方形时，一般有三条思路：一是按定义，在已知平行四边形的情况下，再找一组邻边相等、一个角是直角；二是先证明是矩形，再找一组邻边相等或对角线垂直；三是先证明是菱形，再找有一个角是直角或对角线相等． 【变式训练】 2．如图，在矩形ABCD中，AD＝2CD，E是AD的中点，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形． ∵BF∥CE，CF∥BE， ∴四边形BECF是平行四边形． ∵在矩形ABCD中，AD＝2CD，E是AD的中点， ∴AE＝AB＝DE＝DC. 在△ABE和△DCE中， ∴△ABE≌△DCE(SAS)，∴BE＝CE，∠AEB＝∠DEC＝45°， ∴∠BEC＝180°－∠AEB－∠DEC＝90°， ∴平行四边形BECF是正方形． 知识点1　正方形的性质 1．正方形具有而菱形不具有的性质是(B) A.对角线平分一组对角 B．对角线相等 C．对角线互相垂直平分 D．四条边相等 2．如图，在正方形ABCD中，在BA延长线上取一点E，使BE＝BD，连结DE，则∠EDA的度数为(D) A．10° B．15° C．30° D．22.5° 3．正方形面积为36，则对角线的长为(B) A．6 B．6 C．9 D．9 4．如图，若两个正方形边长分别为2、a(a＞2)，则图中阴影部分的面积为a2－a＋2． 5．将对角线分别为5 cm和8 cm的菱形改为一个面积不变的正方形，则正方形的边长为2cm. 知识点2　正方形的判定 6．下列四个菱形中分别标注了部分数据，根据所标数据，可以判断菱形ABCD是正方形的是(B) A B C D 7．数学课上，老师在投影屏上出示下面的抢答题，需要同学们回答符号可以代表的内容． 如图，四边形ABCD是平行四边形， ①当※时，平行四边形ABCD是矩形； ②当◎时，平行四边形ABCD是矩形； ③当▲时，平行四边形ABCD是菱形； ④当时，平行四边形ABCD是正方形． 则回答不正确的是(D) A．※可以代表∠ABC＝90° B．◎可以代表AC＝BD C．▲可以代表AB＝BC D．可以代表AC⊥BD 8．已知四边形ABCD是平行四边形，从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是(D) A．①② B．①③ C．②④ D．②③ 9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，请你添加一个条件AC＝BC，使四边形BECF是正方形． 添加条件：AC＝BC.理由如下： ∵EF垂直平分BC，∴BE＝EC，BF＝CF. ∵BF＝BE，∴BE＝EC＝CF＝BF， ∴四边形BECF是菱形； 当BC＝AC时，∵∠ACB＝90°， ∴∠A＝∠EBC＝45°， ∴∠EBF＝2∠EBC＝2×45°＝90°，∴菱形BECF是正方形， 故答案为AC＝BC. 10．如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交对角线AC于点E，作EF⊥AB，EH⊥BC，垂足分别为F、H.求证：四边形BHEF是正方形． ∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°.又EF⊥AB，EH⊥BC，∴四边形BHEF是矩形． ∵BE是∠ABC的平分线，EF⊥AB，EH⊥BC， ∴EF＝EH，∴矩形BHEF是正方形． 易错易混点　逻辑推理能力不足导致多结论判断错误 11．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作射线OM、ON分别交边BC、CD于点E、F，且∠EOF＝90°，连结EF.给出下面四个结论： ①△BOE≌△COF；②CF＝BE； ③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的； ④BE2＋CE2＝OE2.上述结论中，所有正确的序号是①②③． ①∵四边形ABCD为正方形，对角线AC，BD相交于点O，∴OB＝OC＝OD，∠OBE＝∠OCF＝45°，∠BCD＝90°，∠BOC＝90°， ∴∠BOE＋∠COE＝90°.∵∠EOF＝90°， ∴∠COE＋∠COF＝90°，∴∠BOE＝∠COF. 在△BOE和△COF中， ∴△BOE≌△COF(ASA)，故结论①正确； ②由①的结论正确，得△BOE≌△COF， ∴CF＝BE，故结论②正确； ③由①的结论正确，得△BOE≌△COF， ∴S△BOE＝S△COF， ∴S四边形CEOF＝S△COF＋S△OCE＝S△BOE＋S△OCE＝S△OBC. ∵四边形ABCD为正方形， ∴S△BCD＝S正方形ABCD. ∵OB＝OD，∴S△OBC＝S△BCD＝S正方形ABCD， ∴S四边形CEOF＝S正方形ABCD，故结论③正确； ④由结论②正确，得CF＝BE， 在Rt△CEF中，由勾股定理， 得CF2＋CE2＝EF2， ∴BE2＋CE2＝EF2， 在Rt△OEF中，∵∠EOF＝90°，∴EF为斜边， ∴EF＞OE， ∴EF2＞OE2，∴BE2＋CE2＞OE2，故结论④不正确， 综上所述，正确的结论是①②③. 12．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，连结BF、DE，则BF＋DE的最小值为(D) A．8 B．4 C．4 D．4 连结AE，如图1， 　　 ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°， 又BE＝CF，∴△ABE≌△BCF，∴AE＝BF. ∴BF＋DE最小值等于AE＋DE最小值， 作点A关于BC的对称点H点，如图2， 连结BH，则A，B，H三点共线， 连结DH，DH与BC的交点即为所求的点E， 根据对称性可知AE＝HE， ∴AE＋DE＝DH. 在Rt△ADH中，AH＝AB＋BH＝4＋4＝8， ∴DH＝＝＝4. ∴BF＋DE最小值为4. 13．如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在DC、BC上，BF＝CE＝4，连结AE、DF，AE与DF相交于点G，连结AF，取AF的中点H，连结GH, 则GH的长为. ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠ADE＝∠C＝90°，AD＝DC＝BC， ∵BF＝CE，∴CF＝DE， 在△ADE和△DCF中， ∴△ADE≌△DCF. ∴∠DAE＝∠CDF， ∵∠DAE＋∠DEA＝90°， ∴∠CDF＋∠DEA＝90°， ∴∠AGF＝∠DGE＝90° ∵点H为AF的中点， ∴GH＝AF， ∵AB＝6，BF＝4， ∴AF＝＝＝2， ∴GH＝. 14．在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的序号是①③④. ∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形，又∵AB⊥AD，∴四边形ABCD是正方形，①正确；∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BD，AB⊥BD，∴平行四边形ABCD不可能是正方形，②错误；∵四边形ABCD是平行四边形，OB＝OC，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，又OB⊥OC，即对角线互相垂直，∴平行四边形ABCD是正方形，③正确；∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形，又∵AC＝BD，∴平行四边形ABCD是正方形，④正确． 15． 如图，在正方形ABCD中，E是DC边的中点，FG⊥AE分别交AD、BC边于点F、G.若AB＝4，则FG的长为2． 过点B作BN∥GF交AD于点N，如图所示． ∵四边形ABCD是正方形，AB＝4， ∴AD∥BC，AD＝AB＝CD＝4，∠BAN＝∠D＝90°， ∴四边形BGFN是平行四边形， ∴BN＝GF. ∵AE⊥FG，BN∥GF，∴BN⊥AE， ∴∠BNA＋∠EAD＝90°. ∵∠AED＋∠EAD＝90°， ∴∠BNA＝∠AED. 在△AED和△BNA中， ∴△AED≌△BNA(AAS)，∴AE＝BN＝FG. ∵E是DC边的中点，∴DE＝CE＝DC＝2， ∴AE＝＝＝2， ∴FG＝2. 16．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC. (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)如果BE＝BC，且∠CBE∶∠BCE＝2∶3，求证：四边形ABCD是正方形． (1)在△ADE和△CDE中， ∴△ADE≌△CDE，∴∠ADE＝∠CDE， ∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBD， ∴∠CDE＝∠CBD， ∴BC＝CD， ∵AD＝CD，∴BC＝AD, ∵AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形， ∵AD＝CD，∴四边形ABCD是菱形． (2)∵BE＝BC，∴∠BCE＝∠BEC， ∵∠CBE∶∠BCE＝2∶3，∴∠CBE＝180°×＝45°， ∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABE＝45°， ∴∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是正方形． 【母题P139T4】如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，求CH的长．(保留根号) ∵在正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3， ∴AB＝BC＝1，CE＝EF＝3，∠E＝90°. 延长AD交EF于点M，连结AC、CF，如图， 则AM＝BC＋CE＝1＋3＝4，FM＝EF－ME＝EF－AB＝3－1＝2，∠AMF＝90°. ∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形， ∴∠ACD＝∠GCF＝45°，∴∠ACF＝90°. ∵H为AF的中点，∴CH＝AF. 在Rt△AMF中，由勾股定理， 得AF＝＝＝2， ∴CH＝AF＝. 【变式】(山东聊城期中)如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点E在AB边上，点F在OD上，过点E作EG⊥BD，垂足为点G，若EF⊥CF，OF＝，则BE的长为(B) A．　　　　　　　　　B．2 C．2 D．3 ∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∠ABD＝∠CDB＝45°，AD＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB∥CD.如图， 作FM⊥AB于点M，延长MF交CD于点N，作FH⊥AD于点H，则∠AMF＝∠AHF＝∠FND＝∠FHD＝∠MAH＝∠NDH＝∠FME＝∠FNC＝90°，∴MF＝AH.∵∠CDB＝45°，∴△DFN为等腰直角三角形，∴FN＝DN，∴DN＝HD， ∴AD－DH＝CD－DN，即AH＝CN， ∴MF＝CN.∵EF⊥CF， ∴∠CFE＝90°， ∴∠MFE＋∠CFN＝90°，∠CFN＋∠FCN＝90°， ∴∠MFE＝∠FCN.∵∠FME＝∠CNF＝90°， ∴△FME≌△CNF(ASA)，∴EF＝FC.∵EF⊥CF，∴∠EFC＝∠COF＝90°，∴∠EFG＋∠CFO＝90°，∠CFO＋∠FCO＝90°，∴∠EFG＝∠FCO.∵EG⊥BD，∴∠EGF＝∠FOC＝90°.∵EF＝FC， ∴△EFG≌△FCO(AAS)， ∴EG＝FO＝.∵∠ABD＝45°，EG⊥BG， ∴△EBG为等腰直角三角形， ∴EG＝BG＝， ∴BE＝＝2. 17.(推理能力)(1)将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A′处，得到折痕DE，如图1.求证：四边形AEA′D是正方形； (2)将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的点C′处，点B落在点B′处，得到折痕EF，B′C′交AB于点M，如图2.线段MC′与ME是否相等？若相等，请给出证明；若不相等，请说明理由． (1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝90°， ∵将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A′处，得到折痕DE， ∴AD＝A′D, AE＝A′E， ∠ADE＝∠A′DE＝45°， ∵AB∥CD，∴∠AED＝∠A′DE＝∠ADE， ∴AD＝AE， ∴AD＝AE＝A′E＝A′D， ∴四边形AEA′D是菱形， ∵∠A＝90°，∴四边形AEA′D是正方形； (2)MC′＝ME . 如图1，连结C′E，由(1)，知 AD＝AE， 图1 ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，∠EAC′＝∠B＝90°， 由折叠，知B′C′＝BC，∠B＝∠B′， ∴AE＝B′C′，∠EAC′＝∠B′， 又EC′＝C′E， 在Rt△EC′A和Rt△C′EB′中， ∴Rt△EC′A≌Rt△C′EB′(HL)， ∴∠C′EA＝∠EC′B′， ∴MC′＝ME. 学科网（北京）股份有限公司 $