精品解析：广东广州市铁一中学2026届高三考下学期5月适应性考试数学试题

2025学年下学期高三年级5月适应性考试 高三数学 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的乘积运算结合复数对应点的特征求解即可. 【详解】因为， 所以对应的点的位于在第四象限，故D正确. 故选：D 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解对数不等式化简集合A，进而可得并集. 【详解】由题意可得：， 且，所以. 故选：C. 3. 2024年6月，国家卫健委等16部门联合发布《“体重管理年”活动实施方案》，旨在通过三年行动提升全民体重管理意识，推广健康生活方式.体重指数（体重公斤数除以身高米数平方）是常用的衡量人体胖瘦程度的一个标准，中国成人参考标准如下表.某中学在高三年级学生中随机抽取10人并计算出他们的体重指数分别为：16，18，18，19，19.7，20.3，21，22，26，30，则下列结论不正确的是（ ） 偏瘦 <18.5 正常 18.5~23.9 偏胖 24~27.9 肥胖 ≥28 A. 这组数据的中位数为20 B. 该组数据的极差为14 C. 这十个人的平均体重正常 D. 从该校学生中随机抽取一人，体重偏胖概率为20% 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的数据组，依次求出中位数、极差、平均数、概率判断ABCD. 【详解】对于A，这组数据的中位数为，A正确； 对于B，这组数据的极差为，B正确； 对于C，10人体重指数的平均数为，C正确； 对于D，10人中体重指数在的1人，从该校学生中随机抽取一人，体重偏胖概率为10%，D错误. 故选：D 4. 若非零向量满足，且向量与向量的夹角，则的值为（ ） A. B. 0 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由求出，进而得的值. 【详解】由有，所以 ， 所以， 故选：B. 5. 已知函数有两个零点，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化为直线与函数的图象有两个交点问题，再利用数形结合求解. 【详解】由函数有两个零点， 得直线与函数的图象有两个交点， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图， 观察图象，当，即时，直线与函数的图象有两个交点， 所以m的取值范围是. 故选：A 6. 在正四棱台中，，侧棱和底面所成角为，则该正四棱台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过作于，则可求，过作于，连接，则可求斜高，故可求侧面积. 【详解】如图，连接，则，过作于， 则，由正四棱台的性质可得平面， 故即侧棱和底面所成角， 所以，在中，可得， 过作于，连接，因为平面， 所以，而平面， 故平面，而平面，故， 而，则， 所以该正四棱台的侧面积为， 故选：B． 7. 古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线（即的角平分线）.已知椭圆上点处的法线交轴于点，且，入射角，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由角平分线性质得到，再结合余弦定理及椭圆定义即可求解. 【详解】 由可得：， 由角平分线的性质可得：， 所以，设， 由题意，因为，所以， 由余弦定理可得：， 解得：， 又， 所以， 得：， 故选：D 8. 已知函数是定义在上的偶函数，函数的图象关于点中心对称，若，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的图象关于点中心对称可知具有对称轴，再由得，再根据为上的偶函数且具有对称轴可得答案. 【详解】由函数的图象关于点中心对称可知， ，即， 可得，因此函数具有对称轴， 由，可得， 由为上的偶函数且具有对称轴，可得． 故选：B． 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位 B. 函数的图象关于对称 C. 函数在区间上单调递减 D. 若，且，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据三角函数的图象变换、对称轴、单调性以及周期的相关知识，对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】对于A选项，函数图象平移遵循“左加右减”原则.右移个单位，变为，得到，与选项描述不符，所以A错误. 对于B选项，若函数图象关于对称，则取最值.，，是函数最大值，所以函数图象关于对称，B正确. 对于C选项，已知，则.正弦函数在包含的区间不单调，此区间含，所以函数在该区间不单调，C错误. 对于D选项，正弦函数周期，中，. ，即取最小值，相邻最小值间距离是一个周期，所以，D正确. 故选：BD. 10. 设抛物线的焦点为，准线为，经过点的直线交于两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则直线的倾斜角为 B. 以线段为直径的圆与相切 C. 存在直线，使得 D. 若直线交于点，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A选项：先设直线方程与抛物线联立，得出和的值，再结合求出，进而得到直线斜率和倾斜角.对于B选项：利用抛物线定义，找到AB中点到准线距离与的关系，判断圆与准线是否相切.对于C选项：通过向量垂直性质，计算，看是否能满足.对于D选项：先求出直线AO与准线交点的纵坐标，再结合，判断与纵坐标是否相同，确定BD与准线的位置关系. 【详解】对于A选项，抛物线的焦点，准线.设直线AB的方程为，，. 联立，消去得，则，. 由抛物线的定义知，. 因为，所以，即. 又，联立可解得，则直线AB的斜率，倾斜角为或，所以A选项错误. 对于B选项，设AB的中点为，过，，分别作准线的垂线，垂足分别为. 根据抛物线的定义，，，则. 所以以线段AB为直径的圆与相切，B选项正确. 对于C选项，，，若，则. 由，，可得，则，所以不存在直线AB使得，C选项错误. 对于D选项，直线AO的方程为，令，得. 因为，所以. 又，则，所以点的纵坐标与点的纵坐标相同，即，D选项正确. 故选：BD. 11. 已知曲线，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线关于轴对称 B. 曲线上的点到轴的距离的最大值为1 C. 若，且点在上，则 D. 若曲线与圆只有2个公共点，则的取值范围为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据点代入判断对称性判断A，根据判断B，根据点在上计算1判断C，联立方程得出公共点计算判断D. 【详解】把点关于轴对称的点代入轨迹方程成立，A正确． 因为，所以，所以曲线上的点到轴的距离的最大值为1，正确． 因为，所以． 当时，因为点在上， 所以． 因为，所以，即． 当时，因为点在上，所以． 因为，所以．故1，C正确． 联立得． 当时，，当时，，即是曲线与圆的2个公共点． 因为曲线与圆只有2个公共点，所以方程除外没有其他解． 因为，所以4，所以，D错误． 故选：ABC. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知数列的前项和为，且满足，则__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列的定义有，即，利用关系求通项公式. 【详解】由题设，数列是首项、公差均为1的等差数列， 则，所以， 当，则，显然满足上式， 所以. 故答案为： 13. 已知，若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据同角三角函数关系，再利用两角差的余弦公式即可得解. 【详解】由，， 则， 故，， ， 由，所以 故答案为： 14. 如图，一点从正方形的顶点处出发在各顶点间移动，每次移动要么以的概率沿平行于方向（正、反方向均可）移动一步；要么以的概率沿平行于方向（正、反方向均可）移动一步．设移动（）步后回到点的概率为，到达点的概率为，=__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据相互独立事件及互斥事件的概率公式求出，，再由、，即可得到是以为首项、公比的等比数列，从而求出的通项公式. 【详解】依题意，， 又， ， 所以， 又， 所以是以为首项，为公比的等比数列，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在中，，点是边上的两点，点在之间，． （1）求的值； （2）若，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用三角形的面积公式，得到，求得，进而求得的值； （2）由余弦定理，求得，得到，再由，求得，利用余弦定理求得，得到，结合，即可求解． 【小问1详解】 解：因为，且， 所以，可得， 即，所以． 【小问2详解】 解：因为，，， 所以， 又因为，所以， 因为，所以，所以， 又因为，所以， 所以． 16. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）分和两种情况分类讨论得出函数单调性； （2）先化简，再构造，令，根据函数单调性得出最值即可求参. 【小问1详解】 ， 当时，恒成立，在上单调递增， 当时，令，得， 所以在上，单调递增， 在上，单调递减， 综上所述，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 因为，所以， 所以，所以，所以， 令， ， 所以在上单调递增，即， 令，， 令，得，所以在上，单调递减， 在上，单调递增，所以， 所以. 17. 斜三棱柱各棱长为4，，D为棱上的一点． （1）求证：； （2）若平面平面ABC，且二面角的余弦值为，求BD的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，易得，结合题设关系得，进而得到平面，进而求证即可； （2）建立空间直角坐标系，设，求平面法向量及平面的法向量，再利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 取AB中点O，在中，，O为AB中点，所以，在中，，，，由余弦定理可得， 所以有，即，所以， 又因为，平面，平面， 平面，又因为平面，所以； 【小问2详解】 由（1）知且平面平面，平面平面，平面，所以平面， 则，如图以OA，OC，两两垂直，以O为坐标原点，以OA，OC，方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系． ，，，， 设，， ，， 设平面法向量为， ，， 可取， 平面的法向量为， 所以有，化简得， 所以有（舍）或者，所以． 18. 体育是培养学生高尚人格的重要途径之一．足球作为一项团队运动项目，深受学生喜爱，为了解学生喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了100名学生作为样本，统计得到如下的列联表： 喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计 男生 40 女生 25 合计 100 已知从这100名学生样本中随机抽取1个，抽到喜爱足球运动的学生的概率为． （1）求； （2）根据小概率值的独立性检验，判断学生喜爱足球运动是否与性别有关？ （3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，现在从喜爱足球运动的学生中随机抽取30名，记其中男生的人数为，求使事件“”概率最大的的值． 附：， 【答案】（1） （2）没有的把握认为喜爱足球运动与性别有关 （3）20 【解析】 【分析】（1）根据题干条件直接计算即可； （2）写出零假设，列联表，计算卡方对比即可得出结论； （3）先得出，进一步列出不等式组即可求解. 【小问1详解】 因为从这100名学生样本中随机抽取1个，抽到喜爱足球运动的学生的概率为， 所以； 【小问2详解】 零假设：喜爱足球运动与性别无关． 作出列联表如下： 喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计 男生 40 15 55 女生 20 25 45 合计 60 40 100 由题， 根据小概率值的独立性检验，我们推断成立， 也就是说没有的把握认为喜爱足球运动与性别有关． 【小问3详解】 现在从喜爱足球运动的学生中随机抽取1名学生，该学生是男生的概率是， 从而从喜爱足球运动的学生中随机抽取30名时，记其中男生的人数为，则， 所以， 令，解得， 故使事件“”概率最大的的值为20． 19. 已知双曲线的右焦点为，且点到双曲线的渐近线的距离为．过点作两条互相垂直的直线和，交双曲线于、两点，交双曲线于、两点，、分别是、的中点，直线过定点；再过点作两条互相垂直的直线和，交双曲线于、两点，交双曲线于、两点，、分别是、的中点，直线过定点，以这样的方式构造下去，可以得到一列定点、、、、． （1）求双曲线的方程； （2）求点的坐标； （3）若、，记的面积为，证明：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用点到直线的距离公式求出的值，结合的值可得出的值，由此可得出双曲线的方程； （2）分析额可直线经过的定点也在轴上，设点设点，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与双曲线得出联立，列出韦达定理，求出点、的坐标，由此可得出点的坐标； （3）分析可知，点均在轴上，考虑一般情况，假设点，设点，设直线的方程为，将该直线方程与双曲线方程联立，结合韦达定理求出点的坐标，同理得出点的坐标，利用、、三点共线，结合斜率公式可得出，由此可归纳得出的坐标，由此可得出的表达式，利用放缩法结合等比数列的求和公式可证得所证不等式成立. 【小问1详解】 双曲线的渐近线方程为，即， 则点到渐近线的距离为， 又因为，所以， 因此，双曲线的方程为. 【小问2详解】 当轴，必然与轴重合，由曲线的对称性知的中点在轴上， 的中点也在轴，故经过的定点也在轴上， 设点，设直线的方程为，设点、， 联立得， 所以，，， 由韦达定理可得，， 故线段的中点， 同理可知，直线的方程为，的中点为，即点， 当时， 由、、三点共线可得，得， 解得，因此，. 当时，，此时过， 故. 【小问3详解】 由（2）可知，当时，定点，同理可知，也一定在轴上， 考虑一般情况，假设点，设点， 设直线的方程为，设点、， 联立得， 所以，，， 由韦达定理可得，， 故线段的中点为， 同理，直线的方程为， 线段的中点为，即点， 当时， 由、、三点共线可知，，即， 整理可得，即当点时，， 当时，，此时过， 综上，. 故当点时，、、、， 由题意可知，的面积为， 所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年下学期高三年级5月适应性考试 高三数学 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 2024年6月，国家卫健委等16部门联合发布《“体重管理年”活动实施方案》，旨在通过三年行动提升全民体重管理意识，推广健康生活方式.体重指数（体重公斤数除以身高米数平方）是常用的衡量人体胖瘦程度的一个标准，中国成人参考标准如下表.某中学在高三年级学生中随机抽取10人并计算出他们的体重指数分别为：16，18，18，19，19.7，20.3，21，22，26，30，则下列结论不正确的是（ ） 偏瘦 <18.5 正常 18.5~23.9 偏胖 24~27.9 肥胖 ≥28 A. 这组数据的中位数为20 B. 该组数据的极差为14 C. 这十个人的平均体重正常 D. 从该校学生中随机抽取一人，体重偏胖概率为20% 4. 若非零向量满足，且向量与向量的夹角，则的值为（ ） A. B. 0 C. D. 6 5. 已知函数有两个零点，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 在正四棱台中，，侧棱和底面所成角为，则该正四棱台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 7. 古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在点处的切线垂直于法线（即的角平分线）.已知椭圆上点处的法线交轴于点，且，入射角，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义在上的偶函数，函数的图象关于点中心对称，若，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位 B. 函数的图象关于对称 C. 函数在区间上单调递减 D. 若，且，则 10. 设抛物线的焦点为，准线为，经过点的直线交于两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则直线的倾斜角为 B. 以线段为直径的圆与相切 C. 存在直线，使得 D. 若直线交于点，则 11. 已知曲线，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线关于轴对称 B. 曲线上的点到轴的距离的最大值为1 C. 若，且点在上，则 D. 若曲线与圆只有2个公共点，则的取值范围为 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知数列的前项和为，且满足，则__________ 13. 已知，若，，则________． 14. 如图，一点从正方形的顶点处出发在各顶点间移动，每次移动要么以的概率沿平行于方向（正、反方向均可）移动一步；要么以的概率沿平行于方向（正、反方向均可）移动一步．设移动（）步后回到点的概率为，到达点的概率为，=__________． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在中，，点是边上的两点，点在之间，． （1）求的值； （2）若，，求的值． 16. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若，求的取值范围. 17. 斜三棱柱各棱长为4，，D为棱上的一点． （1）求证：； （2）若平面平面ABC，且二面角的余弦值为，求BD的长． 18. 体育是培养学生高尚人格的重要途径之一．足球作为一项团队运动项目，深受学生喜爱，为了解学生喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了100名学生作为样本，统计得到如下的列联表： 喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计 男生 40 女生 25 合计 100 已知从这100名学生样本中随机抽取1个，抽到喜爱足球运动的学生的概率为． （1）求； （2）根据小概率值的独立性检验，判断学生喜爱足球运动是否与性别有关？ （3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，现在从喜爱足球运动的学生中随机抽取30名，记其中男生的人数为，求使事件“”概率最大的的值． 附：， 19. 已知双曲线的右焦点为，且点到双曲线的渐近线的距离为．过点作两条互相垂直的直线和，交双曲线于、两点，交双曲线于、两点，、分别是、的中点，直线过定点；再过点作两条互相垂直的直线和，交双曲线于、两点，交双曲线于、两点，、分别是、的中点，直线过定点，以这样的方式构造下去，可以得到一列定点、、、、． （1）求双曲线的方程； （2）求点的坐标； （3）若、，记的面积为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $