广东广州市铁一中学2026届高三5月模拟考试数学试题

**基本信息** 作为高三三轮冲刺模拟卷，以激光灯能量耦合值、AI围棋对抗等真实情境为载体，考查数学抽象、逻辑推理与模型构建能力，适配高考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数、集合、双曲线、二项式定理|基础概念与运算，如纯虚数判定、双曲线焦点坐标| |多选题|3/18|函数性质、立体几何|多维度辨析，如函数周期性与对称性判断| |填空题|3/15|等比数列、统计方差、圆与圆相切|数据处理与几何直观，如设备调试方差计算| |解答题|5/77|解三角形、抛物线、立体几何折叠、导数、概率统计|分层递进，如导数题综合单调区间、对称点探究；概率题结合比赛规则建模|

广州市铁一中学2026届高三第三次高考模拟考试数学试题（2026.5） 一、单选题；本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若复数是纯虚数，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 2．已知集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．双曲线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 4．的展开式中，的系数为（   ） A．10 B．20 C．30 D．60 5．某广场地面上有一条直线轨道与两个固定反光点和（为灯光照射的角度参数），一移动激光灯P沿轨道l移动，激光灯P发出的光线会同时照射到A和B，形成两个光斑.为了让光斑的亮度达到最佳效果，需要计算激光灯与两个反光点之间的能量耦合值W，W定义为与的数量积.则激光灯在轨道上滑行时能量耦合值W的最小值为（   ） A．12 B． C． D． 6．已知且，若的值域为，则的范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知正方体的棱长为，是侧面上的动点（含端点），且满足，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 8．已知，则的最小值为（    ） A． B．8 C．6 D．5 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知函数，关于函数下列说法正确的是（    ） A．为的一个周期 B．关于点对称 C．的值域为 D．在上单调递减 10．在平行六面体中，，，，分别为棱，的中点，则（   ） A． B．平面 C． D．直线与所成角的余弦值为 11．已知函数，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于正整数n，则下列说法中正确的有（    ） A． B． C．为递增数列 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知是等比数列的前项和，若，则______. 13．某工厂对新设备进行调试，已知第一次调试后生产的前10件产品的某项指标值的平均值（单位：mm）为98，方差为1．为测试其稳定性，将设备断电重启后再生产5件产品，已知这5件产品的该项指标值分别为100，101，103，102，99，至此第一次调试结束．则第一次调试后生产的所有产品的该项指标值的平均值为______，方差为______． 14．已知，动点满足：以为直径的圆与圆相切，若的外接圆的面积是其内切圆面积的倍，则的面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．在中，角所对的边分别为，若， (1)若为内的一点，且，求； (2)求角的最大值. 16．抛物线与的焦点分别为，为的一个交点，且． (1)求的值； (2)是上的两点，若四边形（按逆时针排列）为平行四边形，求此四边形的面积． 17．在梯形中，，，、分别是、的中点，，，如图1所示．沿将梯形折起，得到一个多面体，如图2所示． (1)求证：平面； (2)若二面角的大小为， ①求多面体的体积； ②求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知函数的定义域为R，． (1)求函数的单调区间； (2)判断曲线上是否存在两点P，Q，使得P，Q关于对称，并说明理由； (3)直线是曲线在处的切线，过点A作垂直于的直线，直线，与y轴交点的纵坐标分别为，，求的取值范围． 19．某科研团队研发的两款AI围棋机器人（Alpha星，Beta翼）进行对抗赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部完成后，获胜局数多的机器人胜出．假设每局比赛中，Alpha星获胜的概率都是，各局比赛的结果相互独立，且无平局． (1)当时，两款机器人共进行5局比赛，设两款机器人所赢局数之差的绝对值为，求的分布列和数学期望； (2)当时，若两款机器人共进行且局比赛，记事件表示“在前局比赛中Alpha星赢了局”．事件表示“Alpha星最终获胜”.求值； (3)若两款机器人共进行了局比赛，Alpha星获胜的概率记为；若两款机器人共进行了局比赛，Alpha星获胜的概率记为；若两款机器人共进行了局比赛，Alpha星获胜的概率记为．证明：当时，． 试题第4页，共4页 试题第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $广州市铁一中学2026届高三第三次高考模拟考试数学试题(2026.5) 一、单选题；本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的， 1.若复数z=(m2-5m+6)+(m2-3m)i是纯虚数，则实数m的值为() A.2 B.3 C.2或3 D.0或3 2.已知集合P={xx(x-3)<0},={xlog2(x-1)<1},则“x∈P”是“x∈Q的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.双曲线已 =1的焦点坐标为() +31m+6 A.(±3,0) B.(±3,0) C.(0,±3) D.(0,±3) 4.（x2+x+y的展开式中，xy2的系数为() A.10 B.20 C.30 D.60 5.某广场地面上有一条直线轨道1：x+2y-8=0与两个固定反光点A(sin&,cos)和 B(-sina,-cos)(a为灯光照射的角度参数)，一移动激光灯P沿轨道I移动，激光灯P 发出的光线会同时照射到A和B,形成两个光斑.为了让光斑的亮度达到最佳效果，需要计 算激光灯与两个反光点之间的能量耦合值W,W定义为PA与B的数量积.则激光灯在轨道 上滑行时能量耦合值W的最小值为() B智 59 53 A.12 C. D. 5 a-a,x≤a 6.已知a>0且a≠1，若f(x)= 的值域为R,则a的范围是() log,(x+a)+1,x>a c.(12] D.[2,+∞) 7.已知正方体ABCD-AB,CD的棱长为3，P是侧面CDDC上的动点（含端点），且满足 SAPDA=2 SAPBC,则P点的轨迹长度为() A.3玩 B.2n C.5n D.v6 3 3 3 3 8已知605》 则 0、2 'sin20 cos20 2√2tan6的最小值为(） A.12-22 B.8 C.6 D.5 试题第1页，共4页 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知函数f(x)=cosx(sinx+sinx,关于函数f(x)下列说法正确的是() A.π为f(x)的一个周期 B.f(x)关于点(，0)对称 C.f(x)的值域为[-1,1] D.f(x)在 π3π 4’4 上单调递减 10.在平行六面体ABCD-4BCD,中，AB=AD=AA=2,∠AAB=∠AAD=∠BAD=T M,N分别为棱BC,CC的中点，则() A.MN//AD B. BD⊥平面AACC C.AC=2/6 D.直线N与AC所成角的余弦值为 6 11.已知函数f(x)=sinx+血x,将f(x)的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数 列{：}，对于正整数，则下列说法中正确的有() A.（n-1)π<xa<π B.x+1-Xn<π (2n-1)元 C 为递增数列 2 D.f(s)<-1+n4n-0m 2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知8是等比数列a}的前u项和，若=3，则 o 13.某工厂对新设备进行调试，已知第一次调试后生产的前10件产品的某项指标值的平均 值（单位：m)为98，方差为l.为测试其稳定性，将设备断电重启后再生产5件产品， 己知这5件产品的该项指标值分别为100,101,103,102,99，至此第一次调试结束.则 第一次调试后生产的所有产品的该项指标值的平均值为，方差为· 14.已知A(2,0)、B(-2,0),动点P满足：以PA为直径的圆与圆x2+y2=9相切，若△PAB 的外接圆的面积是其内切圆面积的16倍，则△PAB的面积为一· 试题第2页，共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.在8C中，角4，B,C所对的边分别为a,bc,若b-2a+4sin2A+B=0, 2 诺a=b=V5,P为BC内的一点，且PH⊥PCPC-5,求m∠PiB: 2 (2)求角B的最大值. 16.抛物线C:x2=2Py(P1>0)与C2:y°=2px(p>0)的焦点分别为耳，E, A(4,m)(m>0)为C1,C的一个交点，且AF=5. (1)求乃，P2,m的值： (2)P,Q是C1上的两点，若四边形耳PF2(按逆时针排列)为平行四边形，求此四边形的面 积 17.在梯形ABCD中，ABI∥CD,AB⊥AD,E、F分别是AD、BC的中点，AB=2, AD=CD=4,如图1所示.沿EF将梯形ABFE折起，得到一个多面体AED-BFC,如 图2所示. E (1)求证：A'B⊥平面ADE; 8. (2)若二面角E-AD-F的大小为60， ①求多面体AED-B'FC的体积； D .....-- ②求直线AC与平面B'CF所成角的正弦值. 图1 图2 试题第3页，共4页 18已知函数f()的定义域为R,f()=言 (1)求函数f'(x)的单调区间； (2)判断曲线y=∫'(x)上是否存在两点P,Q,使得P,Q关于(1，O)对称，并说明理由： (3)直线4是曲线y=f(x)在A(a,f(a)(a>0)处的切线，过点A作垂直于4的直线马，直线4， 人与y轴交点的纵坐标分别为y,巧，求方+⅓-2f(@ 的取值范围. 为-h l9.某科研团队研发的两款AI围棋机器人(Alpha星，Beta翼)进行对抗赛，比赛规则为： 共进行奇数局比赛，全部完成后，获胜局数多的机器人胜出.假设每局比赛中，Alpha星获 胜的概率都是p(0<p<),各局比赛的结果相互独立，且无平局 (①)当P=时，两款机器人共进行5局比赛，设两款机器人所赢局数之差的绝对值为X,求 3 X的分布列和数学期望： (②)当P=时，若两款机器人共进行2+10aeN且n≥2)局比赛，记事件A表示在前2m-1 局比赛中Alpha星赢了k(k=0,1,2,,21-1)局”.事件B表示“Alpha星最终获胜”.求 (3)若两款机器人共进行了2n-1(n∈N)局比赛，Alpha星获胜的概率记为Pn;若两款机器 人共进行了2n+1局比赛，Alpha星获胜的概率记为P,+1;若两款机器人共进行了2n+3局比 赛，Apha星获胜的概率记为P,证明：当)<p<1时，R+P:<2Ra, 试题第4页，共4页广州市铁一中学2026届高三第三次高考模拟考试数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 答案 A D C A BCD ABD AD 1.A【详解】因为z=(2-5m+6)+(m2-3m)i是纯虚数， m-3m0，所以=2或=3 m2-5m+6=0 所以 以m=2.故选：A m≠0且m≠3 2.B【详解】P={xx(x-3)<0}={x|0<x<3},0={xlog2(x-1)<1}={x1<x<3}, 所以x∈Q→x∈P,x∈P推不出x∈Q.所以“x∈P”是“x∈Q”的必要不充分条件. 3.D【详解】根据双曲线的定义可得，+3<0，m+6>0,且焦点在y轴上， 方程可化为，卫、x2 +6-(m+3) =1.此时a2=m+6,b2=-(m+3), 则c2=a2+b2=m+6-(m+3)=3,所以该双曲线的焦点为(0，±V3): 4.C【详解】在(x2+x+y)妒的5个因式中，2个取因式中x2剩余的3个因式中1个取x,其余因式取y, 故xy2的系数为CCC=30,故选C. 5.C【详解】设P(xy),坐标原点为O，则PA=(sina-x,cosa-),PB=(←sia-x,-cosa-y), W=PA.PB=(-sina-(sina-)+(-cosa-)(cosa-x2+y-(sin2a+cos2a)=x2+y2-1 即严OPP-l1,当1oP最小时m最小，原点到直线1：x+2y-8=0的距离为d=0+0-8-8 +25,所以 ,所以p=4 lOPlin=d2=64 59 5 a-a,x≤a 6.A【详解】：f(x)= og,(c+)+1,x>a的值域为R, 当a>l时，则x≤a,f(x)=a-a为增函数，f(x)≤f(=1,而x>a时，f(x)=log.(x+a+1为增函数， 此时，f(x)>f(a@)=loga2a+1=log。2+2>2,不符题意； 当0<a<1时，则x≤a,f(x)=a-a为减函数，f(x)≥f(a)=1,而x>a时，f(x)=log.(x+a)+1为减函数，此时， f(x)<f(=log。2a+1=log.2+2,因为f(x)的值域为R,当且仅当loga2+2≥1时，满足题意， 此时，1e,22-1,则2之-1，整理得，山2≤-ha,解得a分综上，0<a≤号时满足题意故选：A Ina 7.B【详解】正方体ABCD-ABCD的棱长为3，P是侧面CDDC上的动点（含端点)， 因为满足S=2S,,所以ADxDP-*BcxCp,所以DP-2PC 如图建系，设P(0,y,),D(0,00),C(0,3,0),所以√2+z=2√y-3)}2+z2, 答案第1页，共8页 所以(y-4)2+2=4,则圆心为M(0,4,0),半径为2， 因为=3时，：=V3,所以sin∠PMB=5,所以∠RMg= 2 3, 则点的轨迹弧长无为行？子改选：B 8.B【详解】gcog22tam0=(m0+eos0(mg+eo是分-2W2am0 sin20'cos2e 444 tan 0+2tan0+2-2W5tam0=2tan20-2W2tan8+6+4 tan20 00,设1=m0,则1>0，设0=2-22+6+， 4 得f0-=-2万-，令g0=寸@，得g0）-=4 .24 4>0, 则8()在t>0时，8()是单调递增函数，且g(W2)=0,则 t∈(0，V2),g0=f")<0,f0单调递减：tE(V2,+0）,g)=f④>0，f间单调递增： 故ft)≥f(W2)=8,当t>0时，f)的最小值为8故选：B 9.BCD【详解】由f(x)= sn2xx∈[2km,2+可（keZ,作出f()的图象如下图： =x) 10,x∈(2c+兀，2c+2π) -2 对于AB,由图象知，A错误，B正确；对于C,由图象得∫(x)的值域为[-1，]，故C正确： 对于D,佳图象e)在[任 上单调递减，故D正确故选：BCD. 10.ABDI详解】对A:连接BC,由M,N分别为棱BC,CC的中点，则MN//BC1,由平行六面体性质可得ABI/CD, 且AB=CD,故四边形ABC,D为平行四边形，故BC/IAD,又MIN//BC,故NI/AD,故A正确： 对B:连接AC、BD、AB、AD,设AC∩BD=O,由AB=AD,则四边形ABCD为菱形，故AC⊥BD,O为BD 中点，由∠AAB=∠AAD,AB=AD,AA=AA,故△ADA与△ABA全等，故AB=AD,又O为BD中点，故 AO⊥BD,又AO⌒AC=O,AO、ACc平面AACC,故BDL平面A4CC,故B正确： 对C:由∠4AB=∠44D=∠BAD=牙AB=4D=AM=2,则△ABD、△1D4、△AB4都为等边三角形，故 D 4B=4D-0=2则40=2-=540-2-=5， 放s4Hc.阿+2-同8 2×W3×2 3 故4C=22+W-2×2x3W55-8,即4C=2V5,放c错误： 3 对D:连接AC,由MN/IBC,AC/1AC,故直线MN与AC所成角即为直线BC与AC1所成角，即为∠ACB, 答案第2页，共8页 BC-四-aD+4=a0+2西网o号+网=25,4G=4C=25,4B=2. 则s∠ACa-BN5±3-足20三，故D正疏 2×2W3×2W3246 11.AD【详解】f(x)的极值点为f'(x)=cosx+在(0，+o)上的变号零点 即为函数y=c0sx与函数y=-】图像在(0，+0)交点的横坐标， 1“ 又注意到x∈(0，+)时，1<0，k∈N时，cos(π+2m)=-1<- 1 π+2kπ 牙+2x号12时，0x>0两函数图像如下图所示 A选项，注意到keN时， +2 f e20f+2a1* <0, π+2kπ ->0 3死+2k y=cosx x1π x22π π 3π 5π 7π 结合图像可知当n=2k-l,k∈N, 2 2 当n=2k,质eN,ea-x=u-元四)载A正确： 5 π，则~七>元，故B错误： 3 B选项，由图像可知x?> 2n-1)π C选项， 2 示两点与0 间距离，由图像可知， 随着n的增大，两点间距离越来越近， 2 为递减数列故C错误； (4n-1) 又结合图像可知，当x∈ 2元时，c0sx>- 即光时f)0, 4n-1 得f(x)在xm, 2 上单调速始，则f化)水加)1+h,加，酸D正雅放选：如 2 答案第3页，共8页 12.5【详解】因为Sn是等比数列{a}的前n项和，所以S,S-S,Ss-S,S-S5成等比数列， 因为-3，所以。-5，=2S,所以S6-S0=S-38,=4S,即S6=7S, S5 所以5-S6=S-7S,=85,所以S-158,所以-15S=5,赦答案为：5 S103S 13.99 详解投15件产品的编号为-L2315,其中=10，=101，=103，-102，名=9 且25=980， 天-10101-103+102*9503故均道=古80-5051=9： =1 因为品2x-9-1,所以2ix-0+-10.即2k-9+2x-9-10=0, 10 则24-9+28-9010=10，所以2s90=20, 方差r-2(x9总9古(20+1416-9-0背数答案为：% 10 14.55/5【详解】设B为线段PA的中点，又因为0（坐标原点）为AB的中点，所以O=P叫， 23 易知点A在圆x+y2=9内，所以以线段PA为直径的圆E内切于圆x2+y=9, 所以o8=3-A,所以EO+E4=3,即PB+P4）=3,可得P4+PB=6>AB到=4， 所以点P的轨迹是以点A、B为焦点，且长轴长为2a=6,焦距为2c=4的椭圆（除去长轴端点）， 设该椭圆的短半轴长为b,则a=3,c=2,所以b=√a-c2=√9-4=√5， 数点2的锁迹方程为号+号==0设4P阴=，设P=加，P网=，测m+n2a6 由余弦定理可得AB=16=2+n2-2ncos0=(m+m)-2m1+cos6)=6-2n(1+c0s8)=36-2wn(1+c0s日)， +cosg所以54s号msm0=分x10sn。-5sm9 10 1 所以1= Γ21+cos61+c0s6 06,则点=1 设△4P8的内切圆、外接圆半径分别为1、5，由题意可知巴=， 34 因为3m宁024P8+0-台（a2刘-*6+4到-5新g所r=7 sine 由正弦定理可得2A=故5因为左 sine sine 的54，即5=4斯，即2=4sn8 sine 1+cose' 整理可得1+cos0=2sin20=20-cos20）,又因为m1=,10 s+n） 1+cos (2 =a=9,可得c0s0号 又因为0∈(0，元)，则-1<c0s0<1,故号≤0s0<1,所以1+c0s0=21-c020)=2(1+cos0)1-cos0), 9 答案第4页，共8页 5sin 5× 所以20-cos0)=1,解得c0s9=分则9=行此时5s= 3 5√3 -cos号 1+ 3 2 15.【详解】(1)b-2a+4sim24+B=0可化为b-2a+2a1-cos(4+B)=0, 2 在△ABC中，cos(A+B)=coS(π-C)=-C0SC,得b+2 acosC=0, 又a=b-5,所以coc:3因为CeQ利，所以c-4B=君 6 因为PAL PC,.PC=5, 4-5.me-会-乐cZ不. 6 则mas-m店c月999， -12 (2)化为边的关系b+2ax+b-c -=0→2+2b2-c2=0, 2ab 又cosB= +c2-&r+c2_c2-a 2 2ac -3a+C≥2v3ac-3,因为Be0,,所以0<B -> 6 2ac 4ac Aac 2 当且仅当c=5a时等号成立，所以2若 16.【详解】1)抛物线C,少=2px,准线方程为=-受，A=4+受-5，所以乃=2，所以y-4, 2 因为点A(4,m)在抛物线C3上，所以2=4×4=16， 又m>0,所以m=4,将A(4,4)代入抛物线C:x2=2Py,可得乃=2，故乃=2，P2=2,m=4; (2由1可阳0，见o,设现中点为MG 因为四边形耳PF2为平行四边形，所以M为PQ中点， 设P(,),2(x2乃)，所以+x2=1,片+为=1， 因为P,Q在抛物线C上，所以 =4州，则写-号=45一)小 5=4为 即（代-5+5）=4y-),所以4-五=。 -才所以。且直线过点 1 22 以6y:》2r43-0,原之50-x-如-0.-l 3 lx2=4y 2 所以PO=+k-x=+keV+广-4，=+16 ++619, 月到e距离d=8+3引、5 4 V4+642W17’ 所以S=|Pgd=i19x557 42W178 17.【详解】(1)翻折前，在梯形ABCD中，ABIICD,且E、F分别是AD、BC的中点， 答案第5页，共8页 所以EF为梯形ABCD的中位线，所以EFI∥AB,因为AB⊥AD,所以EF⊥A'E,EF⊥DE, 翻折后，则AB'I∥EF,所以AB'⊥A'E,AB⊥DE, 因为A'EODE=E,AE、DEC平面ADE,所以A'B⊥平面ADE, (2)①连接BE、B'D,取DE中点N,连接A'N,取线段AD的中点M,连接EM、FM, 因为EFA'B,AB'⊥平面ADE,所以EF⊥平面ADE, 因为ADC平面ADE,所以EF⊥AD, 又因为AE=DE,M为AD的中点，所以EM⊥AD, 因为EFEM=E,EF、EMc平面EFM,所以ADL平面EFM, 因为MC平面EFM,所以FM⊥AD,故二面角E-A'D-F的平面角为∠EMF=60°， 因为EF⊥平面ADE,A'N、EMC平面ADE,所以EF⊥EM,EF⊥A'N, 因为EF=_AB+CD-2+43,所以MEa6o:=3=VB, 2 2 又因为AE=DE=2,所以A'M=DM=√DE2-EM=√4-3=1，故A'D=2,所以△ADE为等边三角形， 因为N为DE的中点，所以A'N⊥DE,因为DE∩EF=E,DE、EFc平面CDEF,所以ANL⊥平面CDEF. 因为AB'IIEF,AB't平面CDEF,EFc平面CDEF,所以AB'∥平面CDEF, 故点B严到平面CDBr的距离等于AN=A8sin60=2x5=5, 2 所以7ar3mp4w=}×3+2×N5=5, 1 3 2 3 3 34 2x22x22 3, 此多面体4ED-B'RC的体积7nr0=V-cnr+V按，D=。十 3 ②因为EF⊥平面ADE,以E为坐标原点，EF所在直线为x轴， ED所在直线为y轴，过E与AN平行的直线为二轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则F(3,0,0)、A'(0,1,V3)、B'(21,5)、C(4,2,0),所以AC=(41,-3),F8=（-1,13),C=(1,2,0).设平 m FC=x+2y=0 面B'CF的一个法向量为i=(x,y,),则 m:丽=-t+y+5:=0取x=2,可得m=(2,-1,V3, cosm,4'C=m4'C 4 √10 网4元22x2W10,所以4C与平面BCP所成角的正弦值为 10 18【详解】1)令g四)=f四言，定义城为Rg)-1ee- (e)2-e 因为e*>0恒成立，所以当x<1时，g'(x)>0,g(x)单调递增；当x>1时，g(x)单调递减， 所以∫'(x)的单调递增区间为(-o,1),单调递减区间为1，+∞) （2)若存在P,Q关于1,0)对称，则等价于方程g(2-x)=-g(x)存在两个不等于1的不同实根， 答案第6页，共8页 髓两数（约=g2-可+的=2二是包-+心 ex e 令p(x)=(2-x)e+xe2-，p(x)=1-x)(e+e2-), e+e2-x>0恒成立，.x<1时，p'(x)>0,p(x)单调递增，x>1时，p'(x)<0,p(x)单调递减， (x)的最大值为p(1)=2e>0,且x→士o时，p(x)→-0， 因此(x)有两个不同零点，即方程g(2-x)=-g(x)有两个不同解，对应两个不同点P,Q (3)切线斜率=了@)-品，切线方程为y-f@)-已(c-a),令x=0得：=f回-三 ", 4与1垂直，斜率5-4方程为-回=-后（a,令x=0得：为=f@+心， a 5+s-2回@-Va+e7a)）e.g y2- u@+era周】 ea 设1=(a>0),则原式=-11-2 t2+1 2十’'(c)=e（a-,因此t(@四在(0，)单调递减，Q,+o)单调递增，最小值 tn=t(1)=e,即t≥e,t≥e2, 1名是关丁心的墙简数，号1<1，》@的取值范国为康值范同关 e2+1 t2+1 片-片 19.【详解】(1)(1)两款机器人共进行5局比赛，两款机器人所赢局数之差的绝对值X可能的取值有1,3,5， 则r--e+e知器 x-c旧+c周器” X 1 3 5 111 40 10 11 81 27 81 X的分布列为 数学期望E(x)=1x40+3x10+5×是_185 81 27 8181 (2)在前2n-1局比赛中Alpha星赢的局数k≤n-2时，第2,2n+1局全胜，最终也无法获胜，所L 4-o 当kn-1时，仅当第2211局全胜，最终才能赢得比赛，即P(B4)×；=5 21 k时，第22m+1局至少胜一场，就能最终赢得比赛，即PB4)1-c3三 答案第7页，共8页 k三n+1时，无论第2m2n+1局什么结果，都能最终赢得比赛，即卫B∑A=1 综上所述， 4-0叫4)540是月三41 (3)由全概率公式可知卫=Cp1-p)”p+Cnp(1-p)1-1-p)]+-Cp1-p) =R+C3p-1(1-pyp2-C3-p(1-p)(1-p)}=P+Ca-1DH1-p)-C3n1p1-p)H =P+Cm-1p”(1-p)(2p-1) 所以D1-D=C2n1D”(（1-p)”(2p-1), 当分p1时，2R0, (2n+1)！ 又因为--cp"L-pm(2p-_CA1-月u+)P0-p） P#1-.Cwp”(1-p)"(2p-) C"2m1 (2n-1)1 (n-1)1l 知0p4alp 2+-p =1, 2 因为+->0，所以B+2-BH<-,即+<2P 答案第8页，共8页▣ 2026年广州市铁一中学高三 第三次模拟考试数学答卷 学校： 姓名： 班级： 考场座位号： 填涂 C0]C0][0][0]r0]C0] [1][1][1]C1]c1]C1] [2][2][2][2][2][2] [3][3][3][3][3][3] [4][4][4][4][4][4] [5][5][5][5]r5]C5] [6][6][6][6][6][6] l C7][7][7][7][7][7] [8][8][8][8][8]C8] [9][9][9][9][9][9] 客观题 I[A][B][C][D]S[AJ[B][C][D]9[A][B][C][D] 2[A][B][C][D]6[A][B][C][D]I0[A][B][C][D] 3[A][B][C][D]7[A][B][C][D]II[A][B][C][D] 4[A][B][C][D]8[A][B][C][D] 12 131) 13(2) i 14 第1页（共6页） ■ 15(13分) 第2页（共6页） 16(15分) I I 第3页（共6页） 0 17.(15分) y E B B D 图1 图2 1 I I i 第4页（共6页） I ■ 18(17分) 第5页（共6页） 19(17分) I I 第6页（共6页） 0 广州市铁一中学2026届高三第三次高考模拟考试数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A B D C C A B B BCD ABD AD 1．A【详解】因为是纯虚数， 所以，所以所以.故选：A. 2．B【详解】，， 所以推不出.所以“”是“”的必要不充分条件. 3．D【详解】根据双曲线的定义可得，，，且焦点在轴上， 方程可化为.此时，， 则，所以该双曲线的焦点为. 4．C【详解】在的5个因式中，2个取因式中剩余的3个因式中1个取，其余因式取, 故的系数为=30，故选 C. 5．C【详解】设，坐标原点为 ，则，， 即 即，当最小时W最小，原点到直线的距离为，所以，所以. 6．A【详解】的值域为， 当时，则，为增函数，，而时，为增函数， 此时，，不符题意； 当时，则，为减函数，，而时，为减函数，此时，，因为的值域为，当且仅当时，满足题意， 此时，，则，整理得，，解得；综上，时满足题意.故选：A 7．B【详解】正方体的棱长为是侧面上的动点（含端点）， 因为满足，所以，所以， 如图建系，设，所以， 所以，则圆心为，半径为， 因为时，，所以，所以， 则点的轨迹弧长为. 故选：B. 8．B【详解】 ， ，设，则，设， 得，令，得， 则在时，是单调递增函数，且，则 ，，单调递减；，，单调递增； 故，当时，的最小值为8故选：B 9．BCD 【详解】由，作出的图象如下图： 对于AB，由图象知，A错误，B正确；对于C，由图象得的值域为，故C正确； 对于D，由图象在上单调递减，故D正确.故选：BCD. 10. ABD【详解】对A：连接，由，分别为棱，的中点，则，由平行六面体性质可得，且，故四边形为平行四边形，故，又，故，故A正确； 对B：连接、、、，设，由，则四边形为菱形，故，为中点，由，，，故与全等，故，又为中点，故，又，、平面，故平面，故B正确； 对C：由，，则、、都为等边三角形，故，则，， 故， 故，即，故C错误； 对D：连接，由，，故直线与所成角即为直线与所成角，即为， ，，， 则，故D正确. 11．AD【详解】的极值点为在上的变号零点. 即为函数与函数图像在交点的横坐标. 又注意到时，，时，， ，时，.两函数图像如下图所示. A选项，注意到时，，， 结合图像可知当，. 当，.故A正确； B选项，由图像可知，则，故B错误； C选项，表示两点与间距离，由图像可知， 随着n的增大，两点间距离越来越近，即为递减数列.故C错误； D选项，由A选项分析可知，， 又结合图像可知，当时，，即此时， 得在上单调递增，则，故D正确.故选：AD 12．5【详解】因为是等比数列的前项和，所以，，，成等比数列， 因为，所以，所以，即， 所以，所以，所以.故答案为：5. 13． 99 【详解】设15件产品的编号为，其中，，，，， 且，，故平均值； 因为，所以，即， 则，所以， 方差．故答案为：99；. 14．/【详解】设为线段的中点，又因为（坐标原点）为的中点，所以， 易知点在圆内，所以以线段为直径的圆内切于圆， 所以，所以，即，可得， 所以点的轨迹是以点、为焦点，且长轴长为，焦距为的椭圆（除去长轴端点）， 设该椭圆的短半轴长为，则，，所以， 故点的轨迹方程为.设，设，，则， 由余弦定理可得， 所以，所以， 设的内切圆、外接圆半径分别为、，由题意可知，则， 因为，所以， 由正弦定理可得，故，因为，即，即， 整理可得，又因为，可得， 又因为，则，故，所以， 所以，解得，则，此时. 15．【详解】（1）可化为， 在中，，得， 又，所以，因为，所以， 因为，所以， 则； （2）化为边的关系， 又，因为，所以， 当且仅当时等号成立，所以. 16．【详解】（1）抛物线，准线方程为，，所以，所以， 因为点在抛物线上，所以， 又，所以，将代入抛物线，可得，故，，； （2）由（1）可知，设中点为， 因为四边形为平行四边形，所以为中点， 设，所以， 因为在抛物线上，所以，则， 即，所以，所以，且直线过点， 所以，即，联立，所以， 所以，到距离， 所以． 17．【详解】（1）翻折前，在梯形中，，且、分别是、的中点， 所以为梯形的中位线，所以，因为，所以，． 翻折后，则，所以，， 因为，、平面，所以平面. （2）①连接、，取中点，连接，取线段的中点，连接、， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，为的中点，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以，故二面角的平面角为， 因为平面，、平面，所以，， 因为，所以， 又因为，所以，故，所以为等边三角形， 因为为的中点，所以，因为，、平面，所以平面． 因为，平面，平面，所以平面， 故点到平面的距离等于， 所以， ， 因此多面体的体积 ②因为平面，以为坐标原点，所在直线为轴， 所在直线为轴，过与平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、、，所以，，．设平面的一个法向量为，则，取，可得， ，所以与平面所成角的正弦值为． 18. 【详解】（1）令，定义域为R，， 因为恒成立，所以当时，，单调递增；当时，单调递减， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）若存在关于对称，则等价于方程存在两个不等于1的不同实根， 构造函数， 令， ， 恒成立，时，，单调递增，时，，单调递减， 的最大值为，且时，， 因此有两个不同零点，即方程有两个不同解，对应两个不同点. （3）切线斜率，切线方程为，令得： ， 与垂直，斜率，方程为，令得： ， ， 设，则原式，，因此在单调递减，单调递增，最小值，即，， 是关于的增函数， ，的取值范围为取值范围为. 19．【详解】（1）（1）两款机器人共进行5局比赛，两款机器人所赢局数之差的绝对值可能的取值有， 则， 1 3 5 ， ， 的分布列为 数学期望. （2）在前局比赛中Alpha星赢的局数时，第局全胜，最终也无法获胜，所以； 当时，仅当第局全胜，最终才能赢得比赛，即； 当时，第局至少胜一场，就能最终赢得比赛，即； 当时，无论第局什么结果，都能最终赢得比赛，即； 综上所述，. （3）由全概率公式可知 所以， 当时，， 又因为 ， 因为，所以，即. 答案第8页，共8页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $