精品解析：广东佛山市顺德区2026届高三5月高考适应性训练数学试题

高三数学 2026.05 共4页，19小题，满分150分，用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，请务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上，并在答题卡相应位置上填涂考生号． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知直线与圆相交于点，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，过圆锥的一条母线的中点且与圆锥底面平行的平面截圆锥，则截面与底面之间的部分构成的几何体的体积是（ ） A. B. C. D. 6. 在一组数据1，2，4，5，8中插入一个数后，该组数据的方差为，则的下列取值中，使得最小的是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. 已知向量，，满足，，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于点，，与轴相交于点，则（ ） A. B. C. D. 11. 正四棱柱中，，，点为侧面内一点，则（ ） A. 若直线与直线所成角为，则点的轨迹为双曲线的一部分 B. 若直线与直线所成角为，则点的轨迹为椭圆的一部分 C. 若点到直线的距离等于到直线的距离，则点的轨迹为抛物线的一部分 D. 若，则点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．其中第14题第一空2分，第二空3分． 12. 在的展开式中，的系数为___________； 13. 已知函数，若，则_________． 14. 记的内角，，的对边分别为，，，点满足，记，，则_________，对任意给定的实数，的最小值是_________（结果用表示）． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 生产某种产品需要两道工序，已知各道工序加工相互独立，第一道工序加工合格的概率为，第二道工序加工合格的概率为，只有两道工序加工均合格，产品才合格． （1）求一件产品不合格的概率； （2）每件产品的每一道工序均需要验收，若一道工序加工不合格，则需要返工至工序合格．已知每件产品的第一、第二道工序加工的成本分别为30元、40元，每一道工序返工至合格的成本为20元，求一件合格品的平均生产成本． 16. 已知四棱锥中，平面，，，． （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知数列满足：，，设． （1）求，，的值； （2）判断数列的单调性并说明理由； （3）求数列的前项和． 18. 已知点是双曲线上除顶点外的任意一点，直线是双曲线在点处的切线． （1）求直线的方程； （2）过点作直线的垂线分别交轴、轴于点和，当点运动时，试求出点的轨迹方程，并指出是什么曲线； （3）根据（2）的结果，如果推广到一般的双曲线，你能得出怎样的相应结论？请证明你的结论． 19. 已知． （1）若曲线在点处的切线方程为，求，的值； （2）若恒成立，且在处取等号，试证明； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 2026.05 共4页，19小题，满分150分，用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，请务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上，并在答题卡相应位置上填涂考生号． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，得； 由，得； . 2. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，结合共轭复数的概念计算即可. 【详解】因为复数， 所以，复数的共轭复数是. 故选：A 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的概念及特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】因为时，， 但时，或，， 所以“是的充分不必要条件， 故选：A 4. 已知直线与圆相交于点，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，得圆心，半径. 过点作，垂足为，如图所示： 由题意可得. ，，，，得； 即圆心到直线的距离. ，解得. 5. 已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，过圆锥的一条母线的中点且与圆锥底面平行的平面截圆锥，则截面与底面之间的部分构成的几何体的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据圆锥轴截面的参数求出原圆锥的底面半径、高及体积，再利用相似性求出截得的小圆锥体积，作差得到所求几何体的体积. 【详解】已知圆锥轴截面为边长为2的等边三角形，因此圆锥底面直径等于等边三角形的边长，即底面半径； 圆锥的高为等边三角形的高，由勾股定理得， 原圆锥体积， 过母线中点且平行于底面的平面截圆锥，所得小圆锥与原圆锥为相似几何体， 相似比为，因此小圆锥的底面半径，高， 可得小圆锥体积， 所求体积. 6. 在一组数据1，2，4，5，8中插入一个数后，该组数据的方差为，则的下列取值中，使得最小的是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】将新数据的方差表示为关于的函数，通过配方法求最小值. 【详解】插入一个数后，平均数为， 化简，得 ， 当时，取最小值. 7. 已知向量，，满足，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将用表示，通过平方运算求得，再代入所求数量积表达式计算结果. 【详解】由已知，移项得，两边同时取模平方， 得， 代入 ，得 ，解得， 将代入所求表达式：    ，    . 8. 若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在进行两边取对数和换元法化简后，再通过求导求出函数极值来判断的范围. 【详解】因为，当时，能够得出. 设，，那么得到，. 设，. 因为，， ， 所以在上单调递增，上单调递减，最大值为. 因此. 若，对于任意恒成立. 若，，所以对于任意恒成立. 综上所述，. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】本题考查三角恒等变换,结合已知,利用半角公式、二倍角公式、齐次式化简方法逐一验证选项即可. 【详解】选项A：设,则,代入得,整理得,解得,有两个可能取值,故A错误. 选项B：,故B正确. 选项C：,代入得,故C正确. 选项D：,代入得,故D错误. 10. 已知抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于点，，与轴相交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】将抛物线焦点代入直线，确定直线恒不过焦点,再根据三角形两边之和大于第三边，判断AB选项；抛物线的定义，结合直线与抛物线相交的性质，通过设点坐标建立相关等式，判断CD选项. 【详解】抛物线的焦点，将代入直线的方程，左边为，右边为，等式不成立，故直线恒不过焦点, 根据三角形两边之和大于第三边，在中，，因此A错误，B正确; 由抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离，故对、，有：, 即 , 直线与轴交于C，令得,由于A、B、C三点共线，且A、B在抛物线上，线段长度比等于横坐标差的绝对值之比：, 代入 ，得：, 因此C错误，D正确. 11. 正四棱柱中，，，点为侧面内一点，则（ ） A. 若直线与直线所成角为，则点的轨迹为双曲线的一部分 B. 若直线与直线所成角为，则点的轨迹为椭圆的一部分 C. 若点到直线的距离等于到直线的距离，则点的轨迹为抛物线的一部分 D. 若，则点的轨迹长度为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，直线与直线所成角等于直线与直线所成角，从而得到，进而有，所以点的轨迹为圆的一部分；B选项，直线与直线所成角等于直线与直线所成角，所以形成的轨迹是绕旋转形成的圆锥面，于是点的轨迹就是圆锥面与侧面的交线，通过比较半顶角和轴线与侧面的夹角可知点的轨迹是椭圆的一部分；C选项，点到直线的距离等于点到的距离，所以点到点的距离等于到直线的距离，所以点的轨迹为抛物线的一部分；D选项，根据勾股定理，由解得，所以点的轨迹为圆的一部分，求出该圆与侧面的边的交点，即可得到对应的圆心角从而得到长度. 【详解】A选项，由正四棱柱性质可知，所以直线与直线所成角等于直线与直线所成角也即， 由平面可得，所以 ， 即点到定点的距离为定值，故点的轨迹为圆的一部分，A错误； B选项，类似地，因为，所以直线与直线所成角等于直线与直线所成角， 已知该角为定值，因为是定直线，所以形成的轨迹是一个以为轴，为顶点，半顶角为的圆锥面， 点的轨迹就是圆锥面与侧面的交线，因为平面， 所以圆锥面轴线与侧面的夹角即为， 故点的轨迹是椭圆的一部分，B正确； C选项，因为，所以点到直线的距离就是点到点的距离， 所以在侧面内，点到定点的距离等于到定直线的距离 （点不在直线上），故点的轨迹为抛物线的一部分，C正确； D选项，在中，根据勾股定理有，若， 则，解得，故点的轨迹是在侧面内， 以为圆心，半径为的圆弧， 因为 ，所以圆与和有交点，分别设为，过作，在中， ， ，可得，故， 于是点的轨迹长度为，D正确. [Failed to download image : https://qbm-images.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/QBM/editorImg/2026/5/19/c1d6d64b-5ba6-4d2f-ad40-09fbcbe66988.svg] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．其中第14题第一空2分，第二空3分． 12. 在的展开式中，的系数为___________； 【答案】 【解析】 【分析】先求出二项展开式的通项公式，令的幂指数等于，求出的值，即可求出展开式中项的系数. 【详解】由二项展开式的通项公式得 ，其中令，即， 故展开式中的系数为. 故答案为：. 13. 已知函数，若，则_________． 【答案】0或2 【解析】 【分析】根据题意结合指、对数函数性质可得，分类讨论解方程即可. 【详解】因为 恒成立，若， 则，且 ，可得， 若，则，解得； 若，则，解得； 综上所述：或. 14. 记的内角，，的对边分别为，，，点满足，记，，则_________，对任意给定的实数，的最小值是_________（结果用表示）． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用正弦定理，结合三角形的内角和公式与两角和与差的三角函数公式，可求的值；先根据的值，结合三角形的内角和公式与两角和的正切公式，用表示出，再利用基本不等式求的最小值. 【详解】如图： 因为 ， 由正弦定理，可得 ， 又，所以 ， 所以 ， 整理得：， 因为为三角形内角，所以，所以， 即 ，又，为的两个内角， 所以. 因为，所以，且为锐角. 设，则，， 因为，所以，所以. 由，所以， 整理得. 所以. 因为为锐角，所以， 所以（当且仅当即时取等号）. 所以（当且仅当时取等号）. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 生产某种产品需要两道工序，已知各道工序加工相互独立，第一道工序加工合格的概率为，第二道工序加工合格的概率为，只有两道工序加工均合格，产品才合格． （1）求一件产品不合格的概率； （2）每件产品的每一道工序均需要验收，若一道工序加工不合格，则需要返工至工序合格．已知每件产品的第一、第二道工序加工的成本分别为30元、40元，每一道工序返工至合格的成本为20元，求一件合格品的平均生产成本． 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】（1）一件产品不合格则两道工序加工有至少一道不合格，利用事件互斥与独立性来求解； （2）设变量：第一道工序加工至合格生产成本，变量：第二道工序加工至合格生产成本，变量：一件合格品的生产成本；分析变量的可能取值及概率，再分析变量的可能取值及概率，得到变量的可能取值及概率，计算出. 【小问1详解】 设事件： 第一道工序加工合格,事件：第二道工序加工合格，事件：一件产品不合格， 那么； 【小问2详解】 设变量：第一道工序加工至合格生产成本，变量：第二道工序加工至合格生产成本，变量：一件合格品的生产成本， 那么可能取值为 ，可能取值为 ， ，， 的可能取值为， ， ， ， . 16. 已知四棱锥中，平面，，，． （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据线段长度结合余弦定理确定形状，借助线面垂直的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用面面夹角的向量公式计算即可. 【小问1详解】 由题意可知为等边三角形，， 由余弦定理可知， 即为等腰三角形，取中点E，连接， 易知三点共线， 即， 又平面，平面，所以， 因为平面，所以平面； 【小问2详解】 如图所示建立空间直角坐标系，则， 所以， 设平面的一个法向量为，即， 令， 解得， 易知平面的一个法向量为，所以， 则平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知数列满足：，，设． （1）求，，的值； （2）判断数列的单调性并说明理由； （3）求数列的前项和． 【答案】（1），， （2）数列为单调递增数列，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用递推公式先求数列的前几项，再求的前3项即可. （2）根据所给递推公式，判断数列的结构特征，再判断其单调性. （3）分别求出数列偶数项的和与奇数项的和，再相加即可. 【小问1详解】 因为，， 所以，， ，， . 又， 所以，，. 【小问2详解】 因为， 且. 所以是以32为首项，4为公比的等比数列. 因为，公比， 所以数列为单调递增数列. 【小问3详解】 由（2）可知，，所以， 所以 . 由 ， 所以 . 所以 . 18. 已知点是双曲线上除顶点外的任意一点，直线是双曲线在点处的切线． （1）求直线的方程； （2）过点作直线的垂线分别交轴、轴于点和，当点运动时，试求出点的轨迹方程，并指出是什么曲线； （3）根据（2）的结果，如果推广到一般的双曲线，你能得出怎样的相应结论？请证明你的结论． 【答案】（1） （2），是去掉顶点的双曲线 （3）对于任意双曲线，点的轨迹为去掉顶点的双曲线 【解析】 【分析】（1）设直线，联立直线与双曲线的方程，根据得到的关系式，并求出切点坐标，与对应可得的表达式，进而写出的方程； （2）写出过点与直线垂直的直线方程并求出其横纵截距，根据在双曲线上得到的约束关系，进而有的约束关系，整理得到双曲线方程； （3）对任意双曲线采用（1）（2）中的思路步骤，即可得到一般的结论. 【小问1详解】 因为排除了顶点，所以直线不可能垂直于轴，设直线， 与双曲线方程联立，整理得 ， 因为直线是双曲线在点处的切线即与双曲线只有一个公共点， 所以 ，则 ， 同时由韦达定理可得，即，代入方程 可得，所以， 故直线的方程为，也可写成 ； 【小问2详解】 过点与直线垂直的直线方程为即， 当时，得，当时，得，因为 ， 所以，故点的轨迹方程为， 可知其为去掉顶点的双曲线； 【小问3详解】 结论：对于任意双曲线，点的轨迹为去掉顶点的双曲线 . 证明如下：设直线，与双曲线方程联立， 整理得 ，与双曲线相切于， 所以 ， 则，且有，即， 则，所以， 故直线的方程为，于是可得过点与直线垂直的直线方程 为即， 当时，得，当时，得， 因为，所以， 故点的轨迹为去掉顶点的双曲线. 19. 已知． （1）若曲线在点处的切线方程为，求，的值； （2）若恒成立，且在处取等号，试证明； （3）证明：． 【答案】（1） （2）证明过程见解析 （3）证明过程见解析 【解析】 【分析】（1）曲线在点处的切线方程为可知，切线斜率为0，切点为,再通过求导，计算出，的值； （2）先对使恒成立中的值进行讨论得到，再通过分离变量转化为证明，再构造函数，由题意可知，通过函数单调性证明为的最大值点，再通过函数单调性证明. （3）先证明当时， 进而得到 ， 再由得，即，最后利用不等式累加证得不等式. 【小问1详解】 若曲线在点处的切线方程为，则 由可得 . 【小问2详解】 恒成立即恒成立，那么， 由， 可得，由可得 即证,设，则 由题意可知, 设 ，由于 ，故的符号与一致， 则， 所以，单调递减， 又因为, 所以 存在 ，使 , 在上，；在 上， 即 ,在上成立，在上成立， 处取最大值， 即，所以，. 【小问3详解】 设 ， 那么 ，故函数在上单调递增， 所以，即，， 由 令得 ，即， 那么 累加，得 ， 即 , 故，证毕. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $