2026年内蒙古九年级中考数学阶段测试（一）

**基本信息** 立足内蒙古地域特色与科技前沿，原创题占比高，通过折叠实践、概率计算等情境考查抽象能力、几何直观与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/30|科学记数法、概率、三角函数、函数表达式|第1题以科技参数量考科学记数法，第2题结合化学物质抽取考概率，体现应用意识| |填空题|3/15|反比例函数、圆、矩形性质|第7题反比例函数结合点坐标关系，考查模型意识| |解答题|2/25|圆的性质、折叠实践|第10题正方形折叠探究，融合几何直观与推理意识，呼应中考实践探究趋势|

Sheet1 2026年内蒙古初三年级中考数学阶段测试（一）双向细目表 题号 考查知识点 题型 分值 难度系数 1 科学记数法（大数表示） 选择题 5 0.95 2 古典概型（随机事件概率计算） 选择题 5 0.95 3 勾股定理、锐角三角函数定义（正方形与直角三角形综合） 选择题 5 0.95 4 相似三角形的应用（中心投影）、一次函数表达式 选择题 5 0.85 5 平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质（线段比例） 选择题 5 0.85 6 矩形的性质、勾股定理、三角形面积法（点到直线的距离） 填空题 5 0.75 7 反比例函数的图象与性质（增减性、坐标特征） 填空题 5 0.75 8 垂径定理、勾股定理、弧长公式（圆的相关计算） 填空题 5 0.75 9 垂径定理、勾股定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质 解答题 12 0.75 10 正方形的性质、折叠的性质、等腰三角形判定、勾股定理综合应用 解答题 13 0.65 Sheet2 Sheet3 $ 2026年内蒙古初三年级中考数学阶段测试（一） （考试时长：40分钟　满分：70分 ） 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.是一款基于混合专家架构的大语言模型，它的参数量巨大，截止年月，的参数量已经高达亿，将亿用科学记数法表示为(     ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为正整数，确定与的值是解题的关键． 【详解】解：依题意，亿， 故选： 2.（原创）呼和浩特某中学初三年级化学兴趣小组的同学整理了四种常见的物质：氢气，氧气，铜片，高锰酸钾溶液从中随机抽取两种物质，则抽到的两种物质均为有色的概率是(     ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：将氢气，氧气，铜片，高锰酸钾溶液分别记作、、、， 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中抽到的两种物质均为有色的结果有种，即、， 抽到的两种物质均为无色的概率是， 故选：． 画树状图，共有种等可能的结果，其中抽到的两种物质均为无色的结果有种，再由概率公式求解即可． 本题主要考查了列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键． 3.（原创）如图，正方形由四个全等的直角三角形、、，和中间一个小正方形组成．若，则的值为(     ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】根据正方形的性质得出，根据全等三角形的性质得出，结合图形得出，从而求出的长，最后在中利用正切定义求解． 【详解】解：四边形是正方形，， ． ， ， 由图可知点在线段上， ．  在中，， ． 4.（原创）如图，呼和浩特某小学五年级学生小聪从点沿直线走向路灯的正下方点处，他的影长随他与点之间的距离变化而变化．若小聪的身高为，则关于的函数表达式为(     ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】根据题目是点光源，将图像画出来，然后将各个线段的代数式表示出来，根据相似三角形列出相似比，将数值代入，解出答案． 【详解】解：如图所示，是小聪的身高，是小聪的影子长度， ， ，小聪与点之间的距离， ， ， ， ，即， 化简，得． 5.如图，四边形和四边形都是平行四边形，点为的中点，连接分别交，于点、，则：：的值为(     ) A. ：： B. ：： C. ：： D. ：： 【答案】A  【解析】解：四边形和四边形都是平行四边形， ， ， ：：， ， 是的中位线， ：：， 又， ∽， 又点是中点， ，， ， 又， ：：：：． 故选：． 根据平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质，对应边成比例即可得出所求线段的比例关系． 本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，三角形中位线定理，掌握以上知识点是解题的关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共3小题，共15分。 7.（原创）已知点，在反比例函数的图象上．若，则点的坐标可以是           ． 【答案】答案不唯一，点横坐标满足即可  【解析】根据反比例函数图象上点的坐标特征表示出，结合列不等式求解，得到的取值范围，进而确定点横坐标的范围，写出符合条件的坐标即可． 【详解】解：点，在反比例函数的图象上， ，， ， ， 移项通分得，即， ， ， 解得， 点的横坐标为， ， 取，代入得，， 则点的坐标可以为． 8.如图是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，为上一点，于点，若，，则的长为          结果保留 【答案】  【解析】本题考查了垂径定理、解直角三角形、弧长公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．利用垂径定理得到，设，在中利用勾股定理求出的值，得到，利用三角函数的知识得出，再利用弧长公式即可求解． 【详解】解：，， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， ， ， ，， ， ． 故答案为：． 6.如图，在矩形中，，，、分别为上的点，且， 点到的距离是          ； 连接，交于点，则的最小值是          ． 【答案】(1)  (2)  【解析】  先利用勾股定理求出的长，再利用面积法求解即可； 【详解】解：在矩形中， ， ，， ． 设点到的距离是， ， ， ；  由点，，，共圆得，设的外心为点，连接，作于点，设，则，当最小时，取得最小值．由可知当最小时，取得最小值，根据垂线段最短求出的最小值即可求解． ， ， ， 点，，，共圆， ． 设的外心为点，连接，作于点，设， ，， 当最小时，取得最小值．． ， ， ，， 当最小时，取得最小值．． 点到的距离是， ， ， 的最小值为． 当时，，， 的最小值是． 三、解答题：本题共2小题，共25分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 10.本小题分如图，是的直径，弦于点，为上一点，延长交于点，连接和． 若，，求的半径； 求证：． (1)解：∵是的直径，弦于点E，， ∴........................................................................................................2分 如图：连接，设圆的半径为r，则， ∴， 即， 解得：， ∴的半径为5..................................................................................6分 (2)证明：如图：连接， ​​​​ ，是的直径， ， ...........................................................10分 四边形为圆的内接四边形， ， ...........................................................12分 【解析】  由垂径定理可得，如图：连接，设圆的半径为，则，再利用勾股定理构造方程求解即可；  如图：连接，易得，即，再利用圆的内接四边形的性质即可证明结论． 10.本小题分（原创） 在一次综合与实践课上，呼和浩特某中学初三年级数学兴趣小组从一张正方形纸片出发，通过不同的折叠方式，感受数学的奥秘． 【实践操作】折法：如图． 步骤：将正方形对折，得到折痕，连接； 步骤：将正方形沿折叠，使点翻折至点处，交于点． 【实践操作】折法：如图． 步骤：将正方形对折，得到折痕，连接． 步骤：将正方形折叠，使点落在上，得点，得到折痕． 【问题解决】 在实践操作中，猜想的形状，并说明理由． 在实践操作中，若，求的长． 【答案】(1)解：猜想：是等腰三角形.............................................1分 理由如下： ∵正方形对折得到折痕， ∴，且垂直平分,，.............................................4分 ∴， 由折叠得：， ∴.............................................5分 ∴， ∴是等腰三角形.............................................6分 (2)解：∵四边形是正方形，， ∴， ，.............................................7分 由折叠得垂直平分， ∴为的中点， ∴.............................................8分 如图，过点作交于点，交于点，   ∴，， ∴.............................................9分 ∴， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴.............................................10分 由折叠得, ∴， ∴， ， ∴四边形是平行四边形.............................................11分 又, ∴四边形是矩形， ∴.............................................12分 解得， ∴， ∴.............................................13分   【解析】  由得，由折叠得，可得，由等角对等边可得结论；  由折叠得，过点作交于点，交于点，得，得出，设，则，由勾股定理得出，证明，四边形是矩形，得，求出的值即可解决问题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年内蒙古初三年级中考数学阶段测试（一） （考试时长：40分钟　满分：70分 ） 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.是一款基于混合专家架构的大语言模型，它的参数量巨大，截止年月，的参数量已经高达亿，将亿用科学记数法表示为(     ) A. B. C. D. 2.（原创）呼和浩特某中学初三年级化学兴趣小组的同学整理了四种常见的物质：氢气，氧气，铜片，高锰酸钾溶液从中随机抽取两种物质，则抽到的两种物质均为有色的概率是(     ) A. B. C. D. 3.（原创）如图，正方形由四个全等的直角三角形、、，和中间一个小正方形组成．若，则的值为(     ) A. B. C. D. 4.（原创）如图，呼和浩特某小学五年级学生小聪从点沿直线走向路灯的正下方点处，他的影长随他与点之间的距离变化而变化．若小聪的身高为，则关于的函数表达式为(      ) A. B. C. D. 5.如图，四边形和四边形都是平行四边形，点为的中点，连接分别交，于点、，则：：的值为(     ) A. ：： B. ：： C. ：： D. ：： 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共3小题，共15分。 7.（原创）已知点，在反比例函数的图象上．若，则点的坐标可以是           ． 8.如图是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，为上一点，于点，若，，则的长为          结果保留 6.如图，在矩形中，，，、分别为上的点，且， 点到的距离是          ； 连接，交于点，则的最小值是          ． 三、解答题：本题共2小题，共25分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分如图，是的直径，弦于点，为上一点，延长交于点，连接和． 若，，求的半径； 求证：． 10.本小题分（原创） 在一次综合与实践课上，呼和浩特某中学初三年级数学兴趣小组从一张正方形纸片出发，通过不同的折叠方式，感受数学的奥秘． 【实践操作】折法：如图． 步骤：将正方形对折，得到折痕，连接； 步骤：将正方形沿折叠，使点翻折至点处，交于点． 【实践操作】折法：如图． 步骤：将正方形对折，得到折痕，连接． 步骤：将正方形折叠，使点落在上，得点，得到折痕． 【问题解决】 在实践操作中，猜想的形状，并说明理由． 在实践操作中，若，求的长． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $