专题01 数与式、方程与不等式（内蒙古专用）-【好题汇编】三年（2023-2025）中考数学真题分类汇编

专题01 数与式 考点01 有理数及其运算 1.（2024·通辽·中考真题）某地区某日最高气温是零上，记作，最低气温是零下，应该记作（    ） A． B． C． D． 2.（2025·内蒙古·中考真题）我国是历史上最早认识和使用负数的国家．若盈利元记作元，则亏损元应记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 3.（2024·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）的绝对值是(    ) A． B．10 C． D． 4.（2024·呼市·中考真题）的相反数是（　　） A． B．2024 C． D． 5.（2023·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）的倒数是（   ） A． B． C．5 D． 6.（2024·包头·中考真题）若互为倒数，且满足，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 7.（2023·通辽·中考真题）的相反数是（    ） A． B． C． D． 8.（2023·呼市·中考真题）-2的绝对值是（   ） A．2 B． C． D． 9.（2023·赤峰·中考真题）化简的结果是（    ） A． B．20 C． D． 10.（2023·包头·中考真题）定义新运算“”，规定：，则的运算结果为（    ） A． B． C．5 D．3 【答案】D 考点02 科学计数法 1.（2023·赤峰·中考真题）年5月19日是第个“中国旅游日”．文化和旅游部公布的数据显示，今年“五一”假期国内游出游合计人次，同比增长．将数字用科学记数法表示为(    ) A． B． C． D． 2.（2024·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）新时代十年来，我国建成世界上规模最大的社会保障体系，其中基本医疗保险的参保人数由亿增加到亿，参保率稳定在．将数据亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3.（2024·赤峰·中考真题）央视新闻年月日报道，世界最大清洁能源走廊今年一季度累计发电超度，为我国经济社会绿色发展提供了强劲动能．将数据用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 4.（2024·呼市·中考真题）2023年呼和浩特市政府工作报告中指出，我市主要经济指标增速达到十年来最好水平．地区生产总值完成3802亿元．数据“3802亿”用科学记数法表示为 ． 考点03 实数及其运算 1.（2024·包头·中考真题）计算： ． 2.（2024·赤峰·中考真题）写出一个比小的整数： ． 3.（2023·赤峰·中考真题）如图，数轴上表示实数的点可能是(    )    A．点P B．点Q C．点R D．点S 4.（2023·包头·中考真题）若为两个连续整数，且，则 ． 5.（2023·通辽·中考真题）二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（    ） A．    B．   C．   D．   6.（2024·包头·中考真题）计算所得结果是（    ） A．3 B． C． D． 7.（2024·通辽·中考真题）下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 8.（2023·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简： ． 9.（2024·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）实数在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（    ） A．2 B． C． D．-2 10.（2023·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）观察下列各式： ，，，… 请利用你所发现的规律，计算： ． 11.（2025·内蒙古·中考真题）计算：； 考点04 整式计算 1.（2023·包头·中考真题）下列各式计算结果为的是（    ） A． B． C． D． 2.（2023·赤峰·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3.（2024·赤峰·中考真题）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 4.（2024·呼市·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5.（2023·赤峰·中考真题）已知，则的值是（    ） A．6 B． C． D．4 6.（2023·呼市·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 7.（2024·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 8.（2025·内蒙古·中考真题）冰糖葫芦是我国传统小吃，若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串和根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为 ． 9.（2023·包头·中考真题）先化简，再求值：，其中．      10.（2023·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）先化简，再求值：，其中，． 11.（2024·包头·中考真题）先化简，再求值：，其中． 12.（2024·赤峰·中考真题）已知，求代数式的值． 13.（2024·通辽·中考真题）先化简，再求值：，其中． 考点05 因式分解 1.（2023·赤峰·中考真题）分解因式：= . 2.（2023·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）分解因式：= ． 3.（2024·赤峰·中考真题）因式分解： ． 4.（2023·呼市·中考真题）分解因式 ． 5.（2024·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）分解因式：a＋2ab＋ab2＝ ． 6.（2024·通辽·中考真题）因式分解 ． 考点06 分式 1.（2023·呼市·中考真题）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.（2023·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3.（2023·赤峰·中考真题）化简的结果是（    ） A．1 B． C． D． 4.（2023·通辽·中考真题）以下是某同学化简分式的部分运算过程： 解：原式…………第一步 …………第二步 …………第三步 …… (1)上面的运算过程中第___________步开始出现了错误； (2)请你写出完整的解答过程． 5.（2024·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）先化简，再求值：，其中． 6.（2025·内蒙古·中考真题）计算：． 7.（2024·呼市·中考真题）某研究人员对分别种植在两块试验田中的“丰收1号”和“丰收2号”两种小麦进行研究，两块试验田共产粮，种植“丰收1号”小麦的试验田产粮量比种植“丰收2号”小麦的试验田产粮量的1.2倍少，其中“丰收1号”小麦种植在边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的试验田中，“丰收2号”小麦种植在边长为的正方形试验田中． (1)请分别求出种植“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦两块试验田的产粮量； (2)哪种小麦的单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 专题02 方程与不等式 考点01 二元一次方程组 1.（2023·通辽·中考真题）点Q的横坐标为一元一次方程的解，纵坐标为的值，其中a，b满足二元一次方程组，则点Q关于y轴对称点的坐标为 ． 2.（2023·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）某校举行篮球赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．某队在12场比赛中得20分．设该队胜场，负场，则根据题意，列出关于、的二元一 次方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 3.（202：4·赤峰·中考真题）用1块A型钢板可制成3块C型钢板和4块D型钢板；用1块B型钢板可制成5块C型钢板和2块D型钢板．现在需要58块C型钢板、40块D型钢板，问恰好用A型钢板、B型钢板各多少块？如果设用A型钢板x块，用B型钢板y块，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 4.（2023·赤峰·中考真题）某集团有限公司生产甲乙两种电子产品共8万件，准备销往东南亚国家和地区．已知2件甲种电子产品与3件乙种电子产品的销售额相同：3件甲种电子产品比2件乙种电子产品的销售多元． (1)求甲种电子产品与乙种电子产品销售单价各多少元？ (2)若使甲乙两种电子产品的销售总收入不低于万元，则至少销售甲种电子产品多少件？ 考点02 一元一次不等式（组） 1.（2024·通辽·中考真题）如图，根据机器零件的设计图纸，用不等式表示零件长度的合格尺寸（的取值范围) ． 2.（2023·包头·中考真题）关于的一元一次不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则的值为（    ）    A．3 B．2 C．1 D．0 3.（2023·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）不等式的正整数解的个数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4.（2024·包头·中考真题）若，，这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5.（2024·赤峰·中考真题）如图，数轴上点A，M，B分别表示数a，，b，那么下列运算结果一定是正数的是（    ）    A． B． C． D． 6.（2024·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）对于实数，定义运算“※”为，例如，则关于的不等式有且只有一个正整数解时，的取值范围是 ． 7.（2024·赤峰·中考真题）解不等式组时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 8.（2025·内蒙古·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 9.（2024·呼市·中考真题）关于x的不等式的解集是 ，这个不等式的任意一个解都比关于x的不等式的解大，则m的取值范围是 ． 10.（2023·赤峰·中考真题）解不等式组： 11.（2023·呼和浩特·中考真题）解不等式组： 12.（2023·呼市·中考真题）学校通过劳动教育促进学生树德、增智、强体、育美全面发展，计划组织八年级学生到“开心”农场开展劳动实践活动．到达农场后分组进行劳动，若每位老师带38名学生，则还剩6名学生没老师带；若每位老师带40名学生，则有一位老师少带6名学生．劳动实践结束后，学校在租车总费用2300元的限额内，租用汽车送师生返校，每辆车上至少要有1名老师．现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如下表所示 甲型客车 乙型客车 载客量/（人/辆） 45 30 租金/（元/辆） 400 280 (1)参加本次实践活动的老师和学生各有多少名？ (2)租车返校时，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少有1名老师，则共需租车________辆； (3)学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？ 13.（2024·通辽·中考真题）某中学为加强新时代中学生劳动教育，开辟了劳动教育实践基地．在基地建设过程中，需要采购煎蛋器和三明治机．经过调查，购买2台煎蛋器和1台三明治机需240元，购买1台煎蛋器和3台三明治机需395元． (1)求煎蛋器和三明治机每台价格各是多少元； (2)学校准备采购这两种机器共50台，其中要求三明治机的台数不少于煎蛋器台数的一半，请你给出最节省费用的购买方案． 14.（2025·内蒙古·中考真题）智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作．在正常工作状态下，该机器人的每一个机械手平均秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25个． (1)求的值； (2)现需要一定数量的苹果发往外地，采摘工作由多个机器人共同完成．每个机器人搭载4个相同的机械手，那么至少需要多少个这样的机器人同时工作1小时，才能使采摘的苹果个数不少于10000个? 考点03 分式方程 1.（2024·通辽·中考真题）分式方程的解为 ． 2.（2023·赤峰·中考真题）方程的解为 ． 3.（2023·包头·中考真题）解方程：． 4.（2024·包头·中考真题）解方程：． 5.（2024·呼市·中考真题）解方程： 6.（2024·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等．A，B两种机器人每小时分别搬运多少干克化工原料？（    ） A．60，30 B．90，120 C．60，90 D．90，60 7.（2023·呼市·中考真题）甲、乙两船从相距150km的，两地同时匀速沿江出发相向而行，甲船从地顺流航行90km时与从地逆流航行的乙船相遇．甲、乙两船在静水中的航速均为30km/h，则江水的流速为 km/h． 8.（2023·通辽·中考真题）某搬运公司计划购买A，B两种型号的机器搬运货物，每台A型机器比每台B型机器每天少搬运10吨货物，且每台A型机器搬运450吨货物与每台B型机器搬运500吨货物所需天数相同． (1)求每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物多少吨？ (2)每台A型机器售价1.5万元，每台B型机器售价2万元，该公司计划采购两种型号机器共30台，满足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最省钱的采购方案． 考点04 一元二次方程 1.（2023·包头·中考真题）若是一元二次方程的两个实数根，则 ． 2.（2023·赤峰·中考真题）用配方法解方程时，配方后正确的是（    ） A． B． C． D． 3.（2023·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）若实数，是一元二次方程的两个根，且，则点所在象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4.（2024·赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．或 B．或 C． D． 5.（2024·呼市·中考真题）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 6.（2024·通辽·中考真题）如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（    ） A．或 B．或 C． D． 7.（2023·通辽·中考真题）阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)应用：一元二次方程的两个实数根为，则___________，___________； (2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； (3)提升：已知实数s，t满足且，求的值． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 数与式 考点01 有理数及其运算 1.（2024·通辽·中考真题）某地区某日最高气温是零上，记作，最低气温是零下，应该记作（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：某日最高气温是零上，记作，最低气温是零下，则记为． 故选：A． 2.（2025·内蒙古·中考真题）我国是历史上最早认识和使用负数的国家．若盈利元记作元，则亏损元应记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【详解】解：若盈利元记作元，则亏损应用负数表示， 亏损元应记作元， 故选：B． 3.（2024·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）的绝对值是(    ) A． B．10 C． D． 【答案】A 【详解】解：因为为负数， 所以的绝对值为， 故选A． 4.（2024·呼市·中考真题）的相反数是（　　） A． B．2024 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵的相反数是2024， 故选：B． 5.（2023·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）的倒数是（   ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【详解】解：∵，5的倒数为， ∴的倒数为． 故选：A． 6.（2024·包头·中考真题）若互为倒数，且满足，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【详解】解：∵互为倒数， ∴， ∵， ∴， 则， 故选：B． 7.（2023·通辽·中考真题）的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：的相反数是， 故选：B． 8.（2023·呼市·中考真题）-2的绝对值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在数轴上，点-2到原点的距离是2，所以-2的绝对值是2， 故选：A． 9.（2023·赤峰·中考真题）化简的结果是（    ） A． B．20 C． D． 【答案】B 【详解】解：， 故选：B 10.（2023·包头·中考真题）定义新运算“”，规定：，则的运算结果为（    ） A． B． C．5 D．3 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 考点02 科学计数法 1.（2023·赤峰·中考真题）年5月19日是第个“中国旅游日”．文化和旅游部公布的数据显示，今年“五一”假期国内游出游合计人次，同比增长．将数字用科学记数法表示为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 故选B． 2.（2024·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）新时代十年来，我国建成世界上规模最大的社会保障体系，其中基本医疗保险的参保人数由亿增加到亿，参保率稳定在．将数据亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 故选C． 3.（2024·赤峰·中考真题）央视新闻年月日报道，世界最大清洁能源走廊今年一季度累计发电超度，为我国经济社会绿色发展提供了强劲动能．将数据用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 故选：． 4.（2024·呼市·中考真题）2023年呼和浩特市政府工作报告中指出，我市主要经济指标增速达到十年来最好水平．地区生产总值完成3802亿元．数据“3802亿”用科学记数法表示为 ． 【答案】 【详解】解：3802亿， 故答案为：． 考点03 实数及其运算 1.（2024·包头·中考真题）计算： ． 【答案】3 【详解】解：原式； 故答案为：3． 2.（2024·赤峰·中考真题）写出一个比小的整数： ． 【答案】2 【详解】解：∵23， ∴比小的整数可以是2，答案不唯一． 故答案为：2． 3.（2023·赤峰·中考真题）如图，数轴上表示实数的点可能是(    )    A．点P B．点Q C．点R D．点S 【答案】B 【详解】解：∵ ∴，即， ∴数轴上表示实数的点可能是Q， 故选：B． 4.（2023·包头·中考真题）若为两个连续整数，且，则 ． 【答案】3 【详解】解：∵，即， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 5.（2023·通辽·中考真题）二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（    ） A．    B．   C．   D．   【答案】C 【详解】解：根据题意得，， 解得， 在数轴上表示如下：    故选：C． 6.（2024·包头·中考真题）计算所得结果是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：； 故选C． 7.（2024·通辽·中考真题）下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，故A不符合题意； ，故B符合题意； ，故C不符合题意； ，故D不符合题意； 故选B 8.（2023·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简： ． 【答案】/ 【详解】由数轴位置可知， ． 9.（2024·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）实数在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（    ） A．2 B． C． D．-2 【答案】A 【详解】解∶由数轴知∶，， ∴， ∴ ， 故选：A． 10.（2023·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）观察下列各式： ，，，… 请利用你所发现的规律，计算： ． 【答案】/ 【详解】 ， 故答案为：． 11.（2025·内蒙古·中考真题）计算：； 【详解】（1）解： ； 考点04 整式计算 1.（2023·包头·中考真题）下列各式计算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，符合题意； D、，不符合题意； 故选：C． 2.（2023·赤峰·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A. ，正确，符合题意； B. ，原计算错误，本选项不合题意； C. ，原计算错误，本选项不合题意； D. ，原计算错误，本选项不合题意； 3.（2024·赤峰·中考真题）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意． 故选：D． 4.（2024·呼市·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、，则此项正确，符合题意； D、与不是同类项，不可合并，则此项错误，不符合题意； 故选：C． 5.（2023·赤峰·中考真题）已知，则的值是（    ） A．6 B． C． D．4 【答案】D 【详解】解：由得：， ∴ ， 故选：D． 6.（2023·呼市·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：3和不是同类二次根式，不能合并，故A计算错误，不符合题意； ，故B计算错误，不符合题意； ，故C计算错误，不符合题意； ，故D计算正确，符合题意． 故选D． 7.（2024·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．，原计算错误，不符合题意； B．，原计算错误，不符合题意； C．，原计算错误，不符合题意； D．，原计算正确，符合题意； 故选：D． 8.（2025·内蒙古·中考真题）冰糖葫芦是我国传统小吃，若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串和根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为 ． 【答案】/ 【详解】解：由题意得，山楂总个数用代数式表示为：， 故答案为：． 9.（2023·包头·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【详解】解：（1）原式 ． 当时， 原式．         10.（2023·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，45 【详解】原式 ． 当，时 原式． 11.（2024·包头·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【详解】解：（1） ， 当时，原式； 12.（2024·赤峰·中考真题）已知，求代数式的值． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴ ， ， ， ， ． 13.（2024·通辽·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【详解】解： ， 当时， 原式； 考点05 因式分解 1.（2023·赤峰·中考真题）分解因式：= . 【答案】 【详解】． 故答案为： 2.（2023·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）分解因式：= ． 【答案】x（x+2）（x﹣2） 【详解】解： = =x（x+2）（x﹣2）． 故答案为：x（x+2）（x﹣2）． 3.（2024·赤峰·中考真题）因式分解： ． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 4.（2023·呼市·中考真题）分解因式 ． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 5.（2024·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）分解因式：a＋2ab＋ab2＝ ． 【答案】a（1＋b）2 【详解】原式＝， 故填：． 6.（2024·通辽·中考真题）因式分解 ． 【答案】 【详解】解：原式； 故答案为：． 考点06 分式 1.（2023·呼市·中考真题）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可得， 解得：， 故选：B． 2.（2023·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A、，运算错误，该选项不符合题意； B、，运算错误，该选项不符合题意； C、，运算错误，该选项不符合题意； D、运算正确，该选项符合题意． 故选：D． 3.（2023·赤峰·中考真题）化简的结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】解： ． 故选D． 4.（2023·通辽·中考真题）以下是某同学化简分式的部分运算过程： 解：原式…………第一步 …………第二步 …………第三步 …… (1)上面的运算过程中第___________步开始出现了错误； (2)请你写出完整的解答过程． 【详解】（1）解： 故第一步错误． 故答案为：一． （2）解： ． 5.（2024·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【详解】解： ， 当时，原式． 6.（2025·内蒙古·中考真题）计算：． 【详解】解： ． 7.（2024·呼市·中考真题）某研究人员对分别种植在两块试验田中的“丰收1号”和“丰收2号”两种小麦进行研究，两块试验田共产粮，种植“丰收1号”小麦的试验田产粮量比种植“丰收2号”小麦的试验田产粮量的1.2倍少，其中“丰收1号”小麦种植在边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的试验田中，“丰收2号”小麦种植在边长为的正方形试验田中． (1)请分别求出种植“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦两块试验田的产粮量； (2)哪种小麦的单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 【详解】（1）解：设种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，则种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为， 由题意得：， 解得， 则， 答：种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为． （2）解：由题意得：“丰收1号”小麦试验田的面积为，“丰收2号”小麦试验田的面积为， 则“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量为，“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量为， ∵， ∴， ∴， ∴， 所以“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高． ， 所以高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍． 专题02 方程与不等式 考点01 二元一次方程组 1.（2023·通辽·中考真题）点Q的横坐标为一元一次方程的解，纵坐标为的值，其中a，b满足二元一次方程组，则点Q关于y轴对称点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：， 移项合并同类项得，， 系数化为1得，， ∴点Q的横坐标为5， ∵， 由得，，解得：， 把代入①得，，解得：， ∴， ∴点Q的纵坐标为， ∴点Q的坐标为， ∴点Q关于y轴对称点的坐标为， 故答案为：． 2.（2023·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）某校举行篮球赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．某队在12场比赛中得20分．设该队胜场，负场，则根据题意，列出关于、的二元一 次方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设该队胜场，负场，根据题意得： ，故D正确． 故选：D． 3.（2024·赤峰·中考真题）用1块A型钢板可制成3块C型钢板和4块D型钢板；用1块B型钢板可制成5块C型钢板和2块D型钢板．现在需要58块C型钢板、40块D型钢板，问恰好用A型钢板、B型钢板各多少块？如果设用A型钢板x块，用B型钢板y块，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设用A型钢板x块，用B型钢板y块， 由题意得：， 故选：C． 4.（2023·赤峰·中考真题）某集团有限公司生产甲乙两种电子产品共8万件，准备销往东南亚国家和地区．已知2件甲种电子产品与3件乙种电子产品的销售额相同：3件甲种电子产品比2件乙种电子产品的销售多元． (1)求甲种电子产品与乙种电子产品销售单价各多少元？ (2)若使甲乙两种电子产品的销售总收入不低于万元，则至少销售甲种电子产品多少件？ 【详解】（1）解：设甲种电子产品的销售单价是元，乙种电子产品的单价为元． 根据题意得：， 解得：； 答：甲种电子产品的销售单价是元，乙种电子产品的单价为元． （2）解：设销售甲种电子产品万件，则销售乙种电子产品万件． 根据题意得：． 解得：． 答：至少销售甲种电子产品万件． 考点02 一元一次不等式（组） 1.（2024·通辽·中考真题）如图，根据机器零件的设计图纸，用不等式表示零件长度的合格尺寸（的取值范围) ． 【答案】 【详解】解：由题意得， ． 故答案为： 2.（2023·包头·中考真题）关于的一元一次不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则的值为（    ）    A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【详解】解：解得， 由数轴得：， 解得：， 故选：B． 3.（2023·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）不等式的正整数解的个数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【详解】解：， ∴正整数解为：，有个， 故选A． 4.（2024·包头·中考真题）若，，这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选B． 5.（2024·赤峰·中考真题）如图，数轴上点A，M，B分别表示数a，，b，那么下列运算结果一定是正数的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由数轴知：，， ∴，， ∴原点在A、M之间，， ∴，，， ∴运算结果一定是正数的是， 故选：A． 6.（2024·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）对于实数，定义运算“※”为，例如，则关于的不等式有且只有一个正整数解时，的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：根据题意可知， 解得： 有且只有一个正整数解 解不等式①，得： 解不等式②，得： 故答案为：． 7.（2024·赤峰·中考真题）解不等式组时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， 所以，不等式组的解集为：， 在数轴上表示为： 故选：C． 8.（2025·内蒙古·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的解集在数轴上表示是： 故选：C． 9.（2024·呼市·中考真题）关于x的不等式的解集是 ，这个不等式的任意一个解都比关于x的不等式的解大，则m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：， ， ， ． 解不等式得：， ∵不等式任意一个解都比关于的不等式的解大， ∴， 解得， 故答案为：；． 10.（2023·赤峰·中考真题）解不等式组： 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为： 11.（2023·呼和浩特·中考真题）解不等式组： 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得： ∴原不等式组的解集为． 12.（2023·呼市·中考真题）学校通过劳动教育促进学生树德、增智、强体、育美全面发展，计划组织八年级学生到“开心”农场开展劳动实践活动．到达农场后分组进行劳动，若每位老师带38名学生，则还剩6名学生没老师带；若每位老师带40名学生，则有一位老师少带6名学生．劳动实践结束后，学校在租车总费用2300元的限额内，租用汽车送师生返校，每辆车上至少要有1名老师．现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如下表所示 甲型客车 乙型客车 载客量/（人/辆） 45 30 租金/（元/辆） 400 280 (1)参加本次实践活动的老师和学生各有多少名？ (2)租车返校时，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少有1名老师，则共需租车________辆； (3)学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？ 【详解】（1）解：设参加本次实践活动的老师有x名， ， 解得：， ∴， 答：参加本次实践活动的老师有6名，学生有234名； （2）解：∵每辆车上至少有1名老师，参加本次实践活动的老师有6名， ∴汽车总数不超过6辆， ∵要保证所有师生都有车坐， ∴汽车总数不少于（辆），则汽车总数最少为6辆， ∴共需租车6辆， 故答案为：6． （3）解：设租用甲客车a辆，则租用乙客车辆， ， 解得：， ∵a为整数， ∴或， 方案一：租用甲客车4辆，则租用乙客车2辆； 方案二：租用甲客车5辆，则租用乙客车1辆； 设租车费用为y元， ， ∵， ∴y随a的增大而增大， ∴当时，y最小，， 综上：学校共有两套租车方案，最少租车费用是2160元． 13.（2024·通辽·中考真题）某中学为加强新时代中学生劳动教育，开辟了劳动教育实践基地．在基地建设过程中，需要采购煎蛋器和三明治机．经过调查，购买2台煎蛋器和1台三明治机需240元，购买1台煎蛋器和3台三明治机需395元． (1)求煎蛋器和三明治机每台价格各是多少元； (2)学校准备采购这两种机器共50台，其中要求三明治机的台数不少于煎蛋器台数的一半，请你给出最节省费用的购买方案． 【详解】（1）解：设煎蛋器每台x元，三明治机每台y元． 由题意得：， 解得：， 答：煎蛋器单价为65元/台，三明治机单价为110元/台； （2）解：设煎蛋器采购a台，则三明治机采购台， 由题意得：， 解得：， ∵a只能取正整数， ∴a的最大值为33， 设总的购买费用为元， ∴ ， ∵， ∴当时，费用最低， 此时的购买方案为：购买煎蛋器33台，三明治机17台； 答：购买方案为：购买煎蛋器33台，三明治机17台． 14.（2025·内蒙古·中考真题）智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一．某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作．在正常工作状态下，该机器人的每一个机械手平均秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25个． (1)求的值； (2)现需要一定数量的苹果发往外地，采摘工作由多个机器人共同完成．每个机器人搭载4个相同的机械手，那么至少需要多少个这样的机器人同时工作1小时，才能使采摘的苹果个数不少于10000个? 【详解】（1）解：由题意得，， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴的值为8； （2）解：1小时， 设需要个这样的机器人， 由题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴最小值为6， 答：至少需要6个这样的机器人． 考点03 分式方程 1.（2024·通辽·中考真题）分式方程的解为 ． 【答案】 【详解】解： 解得： 经检验是原方程的解， 故答案为：． 2.（2023·赤峰·中考真题）方程的解为 ． 【答案】 【详解】解：， 方程两边同时乘以得，， ， ， ， 或． 经检验时，，故舍去． 原方程的解为：． 故答案为：． 3.（2023·包头·中考真题）解方程：． 【详解】 解：  方程两边乘，得． 解得． 检验：将代入， ∴是原方程的根． 4.（2024·包头·中考真题）解方程：． 【详解】解： 去分母，得， 解得， 把代入， ∴是原方程的解． 5.（2024·呼市·中考真题）解方程： 【详解】解： ， ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解， 所以方程的解是． 6.（2024·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等．A，B两种机器人每小时分别搬运多少干克化工原料？（    ） A．60，30 B．90，120 C．60，90 D．90，60 【答案】D 【详解】解：设B型机器人每小时搬运x千克，则A型机器人每小时搬运千克， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：A型机器人每小时搬运90千克， B型机器人每小时搬运60千克． 故选：D． 7.（2023·呼市·中考真题）甲、乙两船从相距150km的，两地同时匀速沿江出发相向而行，甲船从地顺流航行90km时与从地逆流航行的乙船相遇．甲、乙两船在静水中的航速均为30km/h，则江水的流速为 km/h． 【答案】6 【详解】解：设江水的流速为千米每小时，根据题意得： ， 解得， 经检验符合题意， 答：江水的流速． 故答案为：6． 8.（2023·通辽·中考真题）某搬运公司计划购买A，B两种型号的机器搬运货物，每台A型机器比每台B型机器每天少搬运10吨货物，且每台A型机器搬运450吨货物与每台B型机器搬运500吨货物所需天数相同． (1)求每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物多少吨？ (2)每台A型机器售价1.5万元，每台B型机器售价2万元，该公司计划采购两种型号机器共30台，满足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最省钱的采购方案． 【详解】（1）解：设每台B型机器每天搬运x吨，则每台A型机器每天搬运吨， 由题意可得：， 解得： 经检验，是分式方程的解 每台A型机器每天搬运吨 答：每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物90吨和100吨 （2）解：设公司计划采购A型机器m台，则采购B型机器台 由题意可得：， 解得：， 公司采购金额： ∵ ∴w随m的增大而减小 ∴当时，公司采购金额w有最小值，即， ∴当购买A型机器人12台，B型机器人18台时，购买总金额最低是54万元． 考点04 一元二次方程 1.（2023·包头·中考真题）若是一元二次方程的两个实数根，则 ． 【答案】/ 【详解】解：由一元二次方程的根与系数的关系得，，， ∴， 故答案为：． 2.（2023·赤峰·中考真题）用配方法解方程时，配方后正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 移项得， 两边同时加上，即 ∴， 故选：C． 3.（2023·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）若实数，是一元二次方程的两个根，且，则点所在象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】∵实数，是一元二次方程的两个根，且， ∴, ∴为， ∴在第二象限， 故选：B． 4.（2024·赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【详解】解：由方程得，，， ∵， ∴等腰三角形的底边长为，腰长为， ∴这个三角形的周长为， 故选：． 5.（2024·呼市·中考真题）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意可知，宽为步， 则可列方程为， 故选：C． 6.（2024·通辽·中考真题）如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【详解】解：设矩形场地垂直于墙一边长为， 则平行于墙的一边的长为， 由题意得， 解得：，， 当时，平行于墙的一边的长为； 当时，平行于墙的一边的长为，不符合题意； ∴该矩形场地长为米， 故选C． 7.（2023·通辽·中考真题）阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)应用：一元二次方程的两个实数根为，则___________，___________； (2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； (3)提升：已知实数s，t满足且，求的值． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴，． 故答案为：，； （2）解：∵一元二次方程的两根分别为m、n， ∴，， ∴ ； （3）解：∵实数s、t满足， ∴s、t可以看作方程的两个根， ∴，， ∵ ， ∴或， 当时， ， 当时， ， 综上分析可知，的值为或． / 学科网（北京）股份有限公司 $$