专题04 四边形综合、圆综合（内蒙古专用）-【好题汇编】三年（2023-2025）中考数学真题分类汇编

专题01 四边形综合 考点01 平行四边形综合 1.（2023·通辽·中考真题）如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式时，若平移到，，，则的平移距离为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．12 2.（2023·赤峰·中考真题）如图，在中，，，．点F是中点，连接，把线段沿射线方向平移到，点D在上．则线段在平移过程中扫过区域形成的四边形的周长和面积分别是(    )    A．16，6 B．18，18 C．16.12 D．12，16 3.（2024·包头·中考真题）如图，在中，为锐角，点在边上，连接，且．    (1)如图1，若是边的中点，连接，对角线分别与相交于点． ①求证：是的中点； ②求； (2)如图2，的延长线与的延长线相交于点，连接的延长线与相交于点．试探究线段与线段之间的数量关系，并证明你的结论． 4.（2025·内蒙古·中考真题）如图，是一个平行四边形纸片，是一条对角线，，．    (1)如图1，将平行四边形纸片沿折叠，点的对应点落在点处，交于点． ①试猜想与的数量关系，并说明理由； ②求的面积； (2)如图2，点，分别在平行四边形纸片的，边上，连接，且，将平行四边形纸片沿折叠，使点的对应点落在边上，求的长． 考点02 矩形综合 1.（2025·内蒙古·中考真题）如图，是一个矩形草坪，对角线，相交于点，是边的中点，连接，且，，则该草坪的面积为（   ） A． B． C． D． 2.（2023·呼市·中考真题）如图，矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点，．若，，则的长为（    ）    A． B．3 C． D． 3.（2024·包头·中考真题）如图，在矩形中，是边上两点，且，连接与相交于点，连接．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 4.（2023·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）将矩形纸板剪掉一个小矩形后剩余部分如图1所示，动点P从点A出发，沿路径匀速运动，速度为，点P到达终点F后停止运动，的面积与点P运动的时间的关系如图2所示，根据图象获取了以下的信息： ①； ②； ③点从点运动到点需要； ④矩形纸板裁剪前后周长均为． 其中正确信息的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 考点03 菱形综合 1.（2024·通辽·中考真题）如图，的对角线，交于点，以下条件不能证明是菱形的是（    ） A． B． C． D． 2.（2023·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）如图，在菱形中，，，顺次连接菱形各边中点、、、，则四边形的周长为（    ）    A． B． C． D． 3.（2024·包头·中考真题）如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接．若，则的长为 ． 4.（2025·内蒙古·中考真题）如图，在菱形中，，对角线的长为，是的中点，是上一点，连接．若，则的长为 ． 5.（2023·赤峰·中考真题）如图，把一个边长为5的菱形沿着直线折叠，使点C与延长线上的点Q重合．交于点F，交延长线于点E．交于点P，于点M，，则下列结论，①，②，③，④．正确的是（    ）    A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④ 6.（2024·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）如图，在平行四边形中，点在边上，，连接，点为的中点，的延长线交边于点，连接 (1)求证：四边形是菱形： (2)若平行四边形的周长为，求的长． 7.（2023·包头·中考真题）如图，在菱形中，对角线相交于点，点分别是边，线段上的点，连接与相交于点．    (1)如图1，连接．当时，试判断点是否在线段的垂直平分线上，并说明理由； (2)如图2，若，且， ①求证：； ②当时，设，求的长（用含的代数式表示）． 8.（2023·呼市·中考真题）如图，四边形是平行四边形，连接，交于点，平分交于点，平分交于点，连接，． (1)求证：； (2)若四边形是菱形且，，求四边形的面积． 考点04 正方形综合 1.（2023·包头·中考真题）如图是源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，则的值为（    ）    A． B． C． D． 2.（2024·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）如图，边长为2的正方形的对角线与相交于点．是边上一点，是上一点，连接．若与关于直线对称，则的周长是（    ）    A． B． C． D． 3.（2024·呼市·中考真题）如图，正方形的面积为50，以为腰作等腰，平分交于点G，交的延长线于点E，连接．若，则 ． 4.（2024·呼市·中考真题）如图，，平分，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)过点B作于点G，若，请直接写出四边形的形状． 5.（2023·通辽·中考真题）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下： 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接、，延长交于点Q，连接．    (1)如图1，当点M在上时，___________度； (2)改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合）如图2，判断与的数量关系，并说明理由． 6.（2023·呼市·中考真题）如图，正方形的边长为，点是的中点，与交于点，是上一点，连接分别交，于点，，且，连接，则 ， ． 7.（2023·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）已知正方形，是对角线上一点．    (1)如图1，连接，．求证：； (2)如图2，是延长线上一点，交于点，．判断的形状并说明理由； (3)在第（2）题的条件下，．求的值． 8.（2023·赤峰·中考真题）数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有角的三角尺放在正方形中，使角的顶点始终与正方形的顶点重合，绕点旋转三角尺时，角的两边，始终与正方形的边，所在直线分别相交于点，，连接，可得．    【探究一】如图②，把绕点C逆时针旋转得到，同时得到点在直线上．求证：； 【探究二】在图②中，连接，分别交，于点，．求证：； 【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线与三角尺角两边，分别交于点，．连接交于点，求的值． 9.（2024·通辽·中考真题）数学活动课上，某小组将一个含的三角尺利一个正方形纸板如图1摆放，若，．将三角尺绕点逆时针方向旋转角，观察图形的变化，完成探究活动． 【初步探究】 如图2，连接，并延长，延长线相交于点交于点． 问题1　　和的数量关系是________，位置关系是_________． 【深入探究】 应用问题1的结论解决下面的问题． 问题2　　如图3，连接，点是的中点，连接，．求证． 【尝试应用】 问题3　　如图4，请直接写出当旋转角从变化到时，点经过路线的长度． 考点05 多边形综合 1.（2024·赤峰·中考真题）如图，是正边形纸片的一部分，其中是正边形两条边的一部分，若所在的直线相交形成的锐角为，则的值是（　　） A． B． C． D． 专题02 圆综合 考点01 角度和线段的计算 1.（2023·赤峰·中考真题）如图，圆内接四边形中，，连接，，，，．则的度数是（    ）    A． B． C． D． 2.（2023·包头·中考真题）如图，是锐角三角形的外接圆，，垂足分别为，连接．若的周长为21，则的长为（    ）    A．8 B．4 C．3.5 D．3 3.（2024·包头·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，点在四边形内部，过点作的切线交的延长线于点，连接．若，，则的度数为 ． 4.（2024·赤峰·中考真题）如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点E，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 5.（2024·呼市·中考真题）如图，正四边形和正五边形内接于，和相交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6.（2023·赤峰·中考真题）某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为，母线长为30，为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（    ）    A． B． C． D． 7.（2023·呼市·中考真题）圆锥的高为，母线长为3，沿一条母线将其侧面展开，展开图（扇形）的圆心角是 度，该圆锥的侧面积是 （结果用含的式子表示）． 8.（2023·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）如图，正六边形的边长为2，以点A为圆心，为半径画弧，得到扇形（阴影部分）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是 ．    9.（2024·呼市·中考真题）如图是平行四边形纸片，，点M为的中点，若以M为圆心，为半径画弧交对角线于点N，则 度；将扇形纸片剪下来围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），则这个圆锥的底面圆半径为 ． 10.（2024·通辽·中考真题）如图，为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面半径为，母线长为的圆雉的侧面，那么这个扇形纸片的面积是 （结果用含的式子表示）． 11.（2023·呼市·中考真题）如图，△ABC内接于且，弦平分，连接，．若，，则 ， ．      12.（2024·通辽·中考真题）如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径为（    ） A． B． C． D． 考点02 弧长和扇形面积的计算 1.（2024·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）为了促进城乡协调发展，实现共同富裕，某乡镇计划修建公路．如图、与是公路弯道的外、内边线，它们有共同的圆心O，所对的圆心角都是，点A，C，O在同一条直线上，公路弯道外侧边线比内侧边线多36米，则公路宽的长是 米．（取3.14，计算结果精确到0.1） 2.（2024·包头·中考真题）如图，在扇形中，，半径，是上一点，连接，是上一点，且，连接．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 3.（2023·包头·中考真题）如图，正方形的边长为2，对角线相交于点，以点为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积为 ．    4.（2023·通辽·中考真题）如图，在扇形中，，平分交于点D，点C是半径上一动点，若，则阴影部分周长的最小值为（    ）    A． B． C． D． 5.（2023·通辽·中考真题）某款“不倒翁”（如图）的主视图是图，分别与所在圆相切于点A，B，若该圆半径是，则主视图的面积为 ．      考点03 圆综合 1.（2023·通辽·中考真题）下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程： 已知：如图1，在中，． 求作：的外接圆． 作法：如图2． （1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； （2）作直线，交于点O； （3）以O为圆心，为半径作，即为所求作的圆．    下列不属于该尺规作图依据的是（    ） A．两点确定一条直线 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 2.（2023·包头·中考真题）如图，是的直径，是弦，是上一点，是延长线上一点，连接．    (1)求证：；（请用两种证法解答） (2)若，的半径为3，，求的长．   3.（2023·赤峰·中考真题）如图，是的直径，是上一点过点作于点，交于点，点是延长线上一点，连接，，．    (1)求证：是切线； (2)若，，求的长． 4.（2023·呼市·中考真题）已知在中，，，，以边为直径作，与边交于点，点为边的中点，连接．    (1)求证：是的切线； (2)点为直线上任意一动点，连接交于点，连接． ①当时，求的长； ②求的最大值． 5.（2023·通辽·中考真题）如图，为的直径，D，E是上的两点，延长至点C，连接，．    (1)求证：； (2)求证：是的切线； (3)若，求的半径． 6.（2023·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）如图，是⊙的直径，为⊙上的一点，点是的中点，连接，过点的直线垂直于的延长线于点，交的延长线于点． (1)求证：为⊙的切线； (2)若，，求的长． 7.（2024·包头·中考真题）如图，是的直径，是的两条弦，点与点在的两侧，是上一点（），连接，且． (1)如图1，若，，求的半径； (2)如图2，若，求证：．（请用两种证法解答） 8.（2024·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）如图，在△ABC中，以为直径的交于点，垂足为． 的两条弦相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求扇形的面积． 9.（2024·赤峰·中考真题）如图，△ABC中，，，经过B，C两点，与斜边交于点E，连接并延长交于点M，交于点D，过点E作，交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 10.（2024·呼市·中考真题）如图，内接于，直径交于点，过点作射线，使得，延长交过点的切线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若． ①求的长； ②求的半径． 11.（2024·通辽·中考真题）如图，△ABC中，，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 12.（2025·内蒙古·中考真题）如图，是的直径，半径，垂足为，，是延长线上一点，连接，交于点，连接，．过点作的切线，切点为，交的延长线于点． (1)求的长； (2)求的度数； (3)求的值． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 四边形综合 考点01 平行四边形综合 1.（2023·通辽·中考真题）如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式时，若平移到，，，则的平移距离为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．12 【答案】B 【详解】解：用平移方法说明平行四边形的面积公式时，将平移到， 故平移后点与点重合，则的平移距离为， 故选：B． 2.（2023·赤峰·中考真题）如图，在中，，，．点F是中点，连接，把线段沿射线方向平移到，点D在上．则线段在平移过程中扫过区域形成的四边形的周长和面积分别是(    )    A．16，6 B．18，18 C．16.12 D．12，16 【答案】C 【详解】由平移的性质可知：， ∴四边形是平行四边形， 在中，，，， ∴ 在中，，，点F是中点 ∴ ∵，点F是中点 ∴，， ∴点D是的中点， ∴ ∵D是的中点，点F是中点， ∴是的中位线， ∴ ∴四边形的周长为：， 四边形的面积为：． 故选：C． 3.（2024·包头·中考真题）如图，在中，为锐角，点在边上，连接，且．    (1)如图1，若是边的中点，连接，对角线分别与相交于点． ①求证：是的中点； ②求； (2)如图2，的延长线与的延长线相交于点，连接的延长线与相交于点．试探究线段与线段之间的数量关系，并证明你的结论． 【详解】（1）解：①， 为的中点， ， 是边的中点， ， ， 在中， ∴， 又∵， ， ， 是的中点； ②， 四边形为平行四边形， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ； （2）解：线段与线段之间的数量关系为：，理由如下： 连接交于点，如下图：    由题意，的延长线与的延长线相交于点，连接的延长线与相交于点， ， 又， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， 为的中点， ， ， 为的中点， 为的中位线， ， ， ， ， ， ， ， ． 4.（2025·内蒙古·中考真题）如图，是一个平行四边形纸片，是一条对角线，，．    (1)如图1，将平行四边形纸片沿折叠，点的对应点落在点处，交于点． ①试猜想与的数量关系，并说明理由； ②求的面积； (2)如图2，点，分别在平行四边形纸片的，边上，连接，且，将平行四边形纸片沿折叠，使点的对应点落在边上，求的长． 【详解】（1）解：①由翻折得，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴； ②由， ∴， 如图，过点作于点，过点作于点，    ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点作于点，连接交于点，过点作于点，    由翻折的性质得， 同（2）可得， ∴， ∴， 即， 得， ∴， ∵平行四边形中，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：． 考点02 矩形综合 1.（2025·内蒙古·中考真题）如图，是一个矩形草坪，对角线，相交于点，是边的中点，连接，且，，则该草坪的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵是一个矩形草坪，对角线，相交于点， ∴， ∵是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴矩形的面积为， 故选：C 2.（2023·呼市·中考真题）如图，矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点，．若，，则的长为（    ）    A． B．3 C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意，连接，记与交于点．   线段垂直平分， ，． 四边形是矩形， ． ． 又， ． ． 在中， ． 在中可得，． 故选：A． 3.（2024·包头·中考真题）如图，在矩形中，是边上两点，且，连接与相交于点，连接．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵矩形，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴ 过点作，则：， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故选A． 4.（2023·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）将矩形纸板剪掉一个小矩形后剩余部分如图1所示，动点P从点A出发，沿路径匀速运动，速度为，点P到达终点F后停止运动，的面积与点P运动的时间的关系如图2所示，根据图象获取了以下的信息： ①； ②； ③点从点运动到点需要； ④矩形纸板裁剪前后周长均为． 其中正确信息的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【详解】由矩形及点P运动过程可知： 时，点P位于点B处，， 则，， ，①正确； 时，点P位于点D处，， ，， ，故运动时间为10s，所以③正确； ， ， 时，点P位于点C处， ，所以②错误； 周长，所以④错误； 故①③正确，正确得有2个， 故选C． 考点03 菱形综合 1.（2024·通辽·中考真题）如图，的对角线，交于点，以下条件不能证明是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴是菱形，故本选项不符合题意； B、∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴是菱形，故本选项不符合题意； C、∵， ∴，即， ∵四边形是平行四边形， ∴是菱形，故本选项不符合题意； D、∵， ∴，无法得到是菱形，故本选项符合题意； 故选：D 2.（2023·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）如图，在菱形中，，，顺次连接菱形各边中点、、、，则四边形的周长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解：如图，连接、，相交于点，   点分别是边的中点， ，， ，同理， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ，， 对角线互相垂直， ， ， ，， 是等边三角形， ， 在中，，， ， ， ，， 四边形的周长为． 故选：C． 3.（2024·包头·中考真题）如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接．若，则的长为 ． 【答案】 【详解】解∶过D作于H， ∵菱形中，，， ∴，， ∴，都是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 4.（2025·内蒙古·中考真题）如图，在菱形中，，对角线的长为，是的中点，是上一点，连接．若，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：连接，交于点，过点作于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 5.（2023·赤峰·中考真题）如图，把一个边长为5的菱形沿着直线折叠，使点C与延长线上的点Q重合．交于点F，交延长线于点E．交于点P，于点M，，则下列结论，①，②，③，④．正确的是（    ）    A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【详解】由折叠性质可知：， ∵， ∴． ∴． ∴． 故正确； ∵，， ∴． ∵， ∴． 故正确； ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 故正确； ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴与不相似． ∴． ∴与不平行． 故错误； 故选A． 6.（2024·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）如图，在平行四边形中，点在边上，，连接，点为的中点，的延长线交边于点，连接 (1)求证：四边形是菱形： (2)若平行四边形的周长为，求的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴即 ∴ ∵为的中点， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， 又 ∴四边形是菱形； （2）解：∵ ∴ ∵平行四边形的周长为22， ∴菱形的周长为： ∴ ∵四边形是菱形， ∴ 又 ∴是等边三角形， ∵． 7.（2023·包头·中考真题）如图，在菱形中，对角线相交于点，点分别是边，线段上的点，连接与相交于点．    (1)如图1，连接．当时，试判断点是否在线段的垂直平分线上，并说明理由； (2)如图2，若，且， ①求证：； ②当时，设，求的长（用含的代数式表示）． 【详解】（1）解：如图，点在线段的垂直平分线上． 理由如下：连接． ∵四边形是菱形，对角线相交于点， ． ， ， ∴点在线段的垂直平分线上．                （2）①证明：如图，∵四边形是菱形， ， ，， ， ， ． ， ． ， ， ， ． 在中，， ． ． ， ；    ②如图，连接． ， ∴是等边三角形． ∵， ∴， 在中，， ， ． ，， ， ． ， ， ． 在中，， 由勾股定理得， ．                    8.（2023·呼市·中考真题）如图，四边形是平行四边形，连接，交于点，平分交于点，平分交于点，连接，． (1)求证：； (2)若四边形是菱形且，，求四边形的面积． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 平分，平分， ，， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ． （2）解：由（1）知， ， 四边形是菱形， ，，， 四边形的菱形， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 四边形的面积． 考点04 正方形综合 1.（2023·包头·中考真题）如图是源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵小正方形的面积为，大正方形的面积为25， ∴小正方形的边长为1，大正方形的边长为5， 设直角三角形短的直角边为，则较长的直角边为，其中， ∴，其中， 解得：，， ∴， 故选：D. 2.（2024·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）如图，边长为2的正方形的对角线与相交于点．是边上一点，是上一点，连接．若与关于直线对称，则的周长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：正方形的边长为2， ∴， ∴， ∵与关于直线对称， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长是， 故选：A． 3.（2024·呼市·中考真题）如图，正方形的面积为50，以为腰作等腰，平分交于点G，交的延长线于点E，连接．若，则 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于点，连接，交于点， ∵正方形的面积为50， ∴，， ∵，， ∴，平分，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 又∵，平分， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 设，则， 在和中，， 即， 解得， 即， 则， 故答案为：． 4.（2024·呼市·中考真题）如图，，平分，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)过点B作于点G，若，请直接写出四边形的形状． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由∵， ∴四边形是平行四边形． （2）四边形是正方形． 过点B作于点G， ∴， ∵四边形是平行四边形． ∴，， ∴，， ∴，， 由（1）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 5.（2023·通辽·中考真题）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下： 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接、，延长交于点Q，连接．    (1)如图1，当点M在上时，___________度； (2)改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合）如图2，判断与的数量关系，并说明理由． 【详解】（1）解：∵对折正方形纸片，使与重合，得到折痕， ∴，． ∵在上选一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部点M处， ∴． 在中，， ∴． 故答案为：． （2）解：结论：，理由如下： ∵四边形是正方形， ，． 由折叠可得：，， ，． 又， ， ∴． 6.（2023·呼市·中考真题）如图，正方形的边长为，点是的中点，与交于点，是上一点，连接分别交，于点，，且，连接，则 ， ． 【答案】 2 【详解】解：∵正方形的边长为，点是的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故点作，则：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2，． 7.（2023·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）已知正方形，是对角线上一点．    (1)如图1，连接，．求证：； (2)如图2，是延长线上一点，交于点，．判断的形状并说明理由； (3)在第（2）题的条件下，．求的值． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， 在和中 ∴． （2）解：是等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形．    （3）解：∵，， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形． ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 8.（2023·赤峰·中考真题）数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有角的三角尺放在正方形中，使角的顶点始终与正方形的顶点重合，绕点旋转三角尺时，角的两边，始终与正方形的边，所在直线分别相交于点，，连接，可得．    【探究一】如图②，把绕点C逆时针旋转得到，同时得到点在直线上．求证：； 【探究二】在图②中，连接，分别交，于点，．求证：； 【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线与三角尺角两边，分别交于点，．连接交于点，求的值． 【详解】[探究一] ∵把绕点C逆时针旋转得到，同时得到点在直线上， ∴， ∴， ∴， 在与中 ∴ ∴ [探究二]证明：如图所示，    ∵四边形是正方形， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵公共角， ∴； [探究三] 证明：∵是正方形的对角线， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴，， 如图所示，将绕点顺时针旋转得到，则点在直线上．    ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 即． 9.（2024·通辽·中考真题）数学活动课上，某小组将一个含的三角尺利一个正方形纸板如图1摆放，若，．将三角尺绕点逆时针方向旋转角，观察图形的变化，完成探究活动． 【初步探究】 如图2，连接，并延长，延长线相交于点交于点． 问题1　　和的数量关系是________，位置关系是_________． 【深入探究】 应用问题1的结论解决下面的问题． 问题2　　如图3，连接，点是的中点，连接，．求证． 【尝试应用】 问题3　　如图4，请直接写出当旋转角从变化到时，点经过路线的长度． 【详解】解：；；理由如下： 如图，∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）如图，∵四边形是正方形， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴； （3）如图，∵，， ∴在以为圆心，为半径的上， 过作于， 当时， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 而，， ∴四边形是正方形， ∴当旋转角从变化到时，在上运动， ∵，，， ∴， ∴点经过路线的长度为. 考点05 多边形综合 1.（2024·赤峰·中考真题）如图，是正边形纸片的一部分，其中是正边形两条边的一部分，若所在的直线相交形成的锐角为，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，直线相交于点，则， ∵正多边形的每个内角相等， ∴正多边形的每个外角也相等， ∴， ∴， 故选：． 专题02 圆综合 考点01 角度和线段的计算 1.（2023·赤峰·中考真题）如图，圆内接四边形中，，连接，，，，．则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵圆内接四边形中，， ∴ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴, 故选：A． 2.（2023·包头·中考真题）如图，是锐角三角形的外接圆，，垂足分别为，连接．若的周长为21，则的长为（    ）    A．8 B．4 C．3.5 D．3 【答案】B 【详解】解：∵是锐角三角形的外接圆，， ∴点D、E、F分别是的中点， ∴， ∵的周长为21， ∴即， ∴， 故选：B． 3.（2024·包头·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，点在四边形内部，过点作的切线交的延长线于点，连接．若，，则的度数为 ． 【答案】/105度 【详解】解∶连接， ∵，， ∴，， ∵是切线， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 故答案为：． 4.（2024·赤峰·中考真题）如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点E，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵半径， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 5.（2024·呼市·中考真题）如图，正四边形和正五边形内接于，和相交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接，设与相交于点， ∵正四边形和正五边形内接于， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 6.（2023·赤峰·中考真题）某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为，母线长为30，为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵这个圆锥的底面圆周长为， ∴ 解得： ∵ 解得： ∴侧面展开图的圆心角为 如图所示，即为所求，过点作， ∵，，则 ∵，则 ∴，，    故选：B． 7.（2023·呼市·中考真题）圆锥的高为，母线长为3，沿一条母线将其侧面展开，展开图（扇形）的圆心角是 度，该圆锥的侧面积是 （结果用含的式子表示）． 【答案】 120 【详解】解：根据勾股定理可得：圆锥底面半径， ∴该圆锥底面周长， ∵圆锥母线长为3， ∴该圆锥的侧面展开图的半径为3， ∴，解得：， 即展开图（扇形）的圆心角是120度， 圆锥的侧面积， 故答案为：120，． 8.（2023·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）如图，正六边形的边长为2，以点A为圆心，为半径画弧，得到扇形（阴影部分）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是 ．    【答案】 【详解】解：∵正六边形的外角和为， ∴每一个外角的度数为， ∴正六边形的每个内角的度数为， 设这个圆锥底面圆的半径是r， 根据题意得，， 解得， 故答案为：． 9.（2024·呼市·中考真题）如图是平行四边形纸片，，点M为的中点，若以M为圆心，为半径画弧交对角线于点N，则 度；将扇形纸片剪下来围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），则这个圆锥的底面圆半径为 ． 【答案】 40 2 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， 由圆的性质可知，， ∴， ∴， ∴扇形的弧长为， ∴圆锥的底面圆半径为， 故答案为：40；2． 10.（2024·通辽·中考真题）如图，为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面半径为，母线长为的圆雉的侧面，那么这个扇形纸片的面积是 （结果用含的式子表示）． 【答案】 【详解】解：∵底面半径为， ∴圆锥底面圆的周长为， 即扇形纸片的弧长为， ∵母线长为， ∴圆锥的侧面积． 故答案为： 11.（2023·呼市·中考真题）如图，△ABC内接于且，弦平分，连接，．若，，则 ， ．    【答案】 【详解】解：内接于且， 为的直径， ，∠DAC=∠DBC=， 弦平分， ， ， ，， ，， 如图把绕逆时针旋转得到， ，， ， 、、三点共线， 为等腰直角三角形， ， ． 故答案为：，．    12.（2024·通辽·中考真题）如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接， ∵为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，， ∴，， 设拱门所在圆的半径为， ∴，而， ∴， ∴， 解得：， ∴拱门所在圆的半径为； 故选B 考点02 弧长和扇形面积的计算 1.（2024·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）为了促进城乡协调发展，实现共同富裕，某乡镇计划修建公路．如图、与是公路弯道的外、内边线，它们有共同的圆心O，所对的圆心角都是，点A，C，O在同一条直线上，公路弯道外侧边线比内侧边线多36米，则公路宽的长是 米．（取3.14，计算结果精确到0.1） 【答案】 【详解】解：根据题意，得，， ∵公路弯道外侧边线比内侧边线多36米， ∴， ∴，即 解得， 故答案为：． 2.（2024·包头·中考真题）如图，在扇形中，，半径，是上一点，连接，是上一点，且，连接．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接， ，， ， 是等腰三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 故选：B． 3.（2023·包头·中考真题）如图，正方形的边长为2，对角线相交于点，以点为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积为 ．    【答案】 【详解】解：正方形， ∴，， ∴， ∵正方形的边长为2， ∴ ∴阴影部分的面积为扇形的面积，即， 故答案为：． 4.（2023·通辽·中考真题）如图，在扇形中，，平分交于点D，点C是半径上一动点，若，则阴影部分周长的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，作点D关于对称点，连接、、，    则，，， ∴，当A、C、共线时取等号，此时，最小，即阴影部分周长的最小，最小值为． ∵平分，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 又， ∴阴影部分周长的最小值为， 故选：A． 5.（2023·通辽·中考真题）某款“不倒翁”（如图）的主视图是图，分别与所在圆相切于点A，B，若该圆半径是，则主视图的面积为 ．      【答案】 【详解】解：设圆心为O，过O作，，和相交于点，连接，如图，    ∵，分别与所在圆相切于点A，B． ∴， ∵， ∴，， ∴优弧对应的圆心角为，， ∵该圆半径是， ∴， ∴主视图的面积为 ， 故答案为：． 考点03 圆综合 1.（2023·通辽·中考真题）下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程： 已知：如图1，在中，． 求作：的外接圆． 作法：如图2． （1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； （2）作直线，交于点O； （3）以O为圆心，为半径作，即为所求作的圆．    下列不属于该尺规作图依据的是（    ） A．两点确定一条直线 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 【答案】D 【详解】解：作直线（两点确定一条直线）， 连接，    ∵由作图，， ∴且（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）． ∵， ∴（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）， ∴， ∴A，B，C三点在以O为圆心，为直径的圆上． ∴为△ABC的外接圆． 故选：D． 2.（2023·包头·中考真题）如图，是的直径，是弦，是上一点，是延长线上一点，连接．    (1)求证：；（请用两种证法解答） (2)若，的半径为3，，求的长． 【详解】（1）证法一：如图，连接， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴，    证法二：如图，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴，    （2）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵的半径为3， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴，    3.（2023·赤峰·中考真题）如图，是的直径，是上一点过点作于点，交于点，点是延长线上一点，连接，，．    (1)求证：是切线； (2)若，，求的长． 【详解】（1）解：连接，，如图所示，   ，为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是切线． （2）解：连接，如图所示，    由（1）得，， ， ， ． ， ． 设则， 在中，， ． 在中，． ， ， ． ． ， ． ． 故答案为： ． 4.（2023·呼市·中考真题）已知在中，，，，以边为直径作，与边交于点，点为边的中点，连接．    (1)求证：是的切线； (2)点为直线上任意一动点，连接交于点，连接． ①当时，求的长； ②求的最大值． 【详解】（1）证明：如图，连接，，   是的直径， ， ， 点为边的中点， ， ， ， ， ，即， ， 即， ， 是的半径， 是的切线； （2）①当点在线段上时，如图，过点作于点，    在中，， 设， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ，即， ； 当点在的延长线上时，如图，过点作于点，   ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得：，（舍去）， ，， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得：，（舍去）， ； 综上所述，的长为或； ②设，则， 如图，是的直径， ，   ， ， ， ， ， ， ， 的最大值为． 5.（2023·通辽·中考真题）如图，为的直径，D，E是上的两点，延长至点C，连接，．    (1)求证：； (2)求证：是的切线； (3)若，求的半径． 【详解】（1）证明：∵，， ∴； （2）证明：连接，    ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （3）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴． ∴的半径为． 6.（2023·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）如图，是⊙的直径，为⊙上的一点，点是的中点，连接，过点的直线垂直于的延长线于点，交的延长线于点． (1)求证：为⊙的切线； (2)若，，求的长． 【详解】（1）证明：连接， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 是半径， 是的切线； （2）解法一：连接交于， ，， ， ， ， 在中， ， 或（不符合题意，舍去）， 点是的中点，是半径， 垂直平分， ， 是的中位线， ， 是直径， ， ， ， ， ； 解法二：过点作于点， ，， ，， ， ， ， 在中，， ， 或（不符合题意，舍去）， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ． 7.（2024·包头·中考真题）如图，是的直径，是的两条弦，点与点在的两侧，是上一点（），连接，且． (1)如图1，若，，求的半径； (2)如图2，若，求证：．（请用两种证法解答） 【详解】（1）解∶∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 解得， 即的半径为3； （2）证明：法一：过O作于F， ∴， ∵ ∴， 又，， ∴， ∴， ∴； 法二：连接， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 8.（2024·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）如图，在△ABC中，以为直径的交于点，垂足为． 的两条弦相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求扇形的面积． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， 又，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又是的半径； ∴是的切线； （2）解：∵，，， ∴，， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 在中，， ∴扇形的面积为． 9.（2024·赤峰·中考真题）如图，△ABC中，，，经过B，C两点，与斜边交于点E，连接并延长交于点M，交于点D，过点E作，交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【详解】（1）证明：连接，延长，交于点，连接如图， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵是的直径， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴即 ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在等腰直角三角形中，, ∴， 解得，， ∴， ∴ 在中， ∴， 又， ∴ ∴ ∴ ∴ 10.（2024·呼市·中考真题）如图，内接于，直径交于点，过点作射线，使得，延长交过点的切线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若． ①求的长； ②求的半径． 【详解】（1）证明：连接，则， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 又∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：①∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴的半径为． 11.（2024·通辽·中考真题）如图，△ABC中，，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵为切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴． （2）解：在中，， ∵， 在和中，，， ∴， ∴， ∴， 设的半径为r，则，， 在中，， 解得， ∴半径的长为3 12.（2025·内蒙古·中考真题）如图，是的直径，半径，垂足为，，是延长线上一点，连接，交于点，连接，．过点作的切线，切点为，交的延长线于点． (1)求的长； (2)求的度数； (3)求的值． 【详解】（1）解：如图，连接， 在中，， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴的长； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴； （3）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． / 学科网（北京）股份有限公司 $$