精品解析：黑龙江哈尔滨市第九中学校2025-2026学年高三下学期考前预测数学试卷

哈九中2025-2026学年度高三下学期 第三次模拟考试数学试卷 （考试时间：120分钟满分：150分共2页） 第Ⅰ卷（共58分） 一、单选题（共8小题，每小题5分，每小题只有一个选项符合题盘） 1. 若集合，则 （ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定形式是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若复数满足，则在复平面内，复数所对应的点组成的图形的周长为（ ） A. 2π B. 4π C. 6π D. 8π 4. 已知参观某次航展的中小学生人数和购买航展模型的比率分别如图1、图2所示.为了解各学段学生对航展的爱好程度，用分层随机抽样的方法抽取1%的学生进行调查，则样本量和抽取的初中生里购买航展模型的人数（估计值）分别为（ ） A. 200，24 B. 200，28 C. 100，24 D. 100，28 5. 下列各式大小比较中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点 是椭圆上的一个动点，，则的最大值为（ ） A. 4 B. C. D. 8 7. 如图，正方形ABCD的边长为a，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 正方体的棱长为，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体表面及其内部所有点构成的集合为 ，已知集合，记为 中所有点构成的几何体，则的体积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，每小题有多个选项符合题意，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知向量，，则（ ） A. 存在，使得 B. 的最小值为2 C. 若 ，则 D. 与的夹角为锐角 10. 在中，角 ，，的对边分别为， ， .已知， 是锐角，其外接圆半径为，内切圆半径为 ，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则的面积为 C. 当是直角三角形时， D. 的取值范围是 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在上单调递增 C. D. 当 时，有2个极值点 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题（共3小题，每小题5分） 12. 展开式中项的系数为______. 13. 已知，，则 ______. 14. 现有一种构造新数列的方法：在数列的每相邻两项之间插入此两项的等差中项，按照原来的顺序得到一个新的数列；再将新得到的数列按照上述方法构造，又得到一个新的数列；重复以上操作．现将数列 按照上述方法进行构造，第一次得到的新数列为 ；第二次得到的新数列为；第三次得到的新数列为； ；记第n次得到的新数列为，且．当 时，______；使的最小正整数n的值为______． 四、解答题（共5小题，总计77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列，满足 ，且，是关于x的方程的两个根. （1）求； （2）设，求数列的前项和. 16. 为提升工作效率， 公司对员工进行了培训.公司规定：只有培训合格才能上岗，否则将补训. （1）若员工甲、乙、丙培训合格的概率分别为，求甲、乙、丙三人中至少有一人不需要补训的概率； （2）为了激发员工的培训积极性，M公司在培训过后举办了一次知识竞赛.已知参加这次知识竞赛员工的竞赛成绩近似服从正态分布，若该集团共有2000名员工，试估计这些员工中成绩超过93分的人数；(结果精确到个位) （3）参加了知识竞赛的员工还可继续参与第二轮答题赢重奖活动，活动规则如下：共有3道题，每答对1道题奖励现金800元.已知参与知识竞赛的员工甲答对每道题的概率均为 且每题答对与否都相互独立，记甲获得总奖金为元，求的分布列与数学期望. 参考数据：若，则 ， ， . 17. 设函数. （1）求在 处的切线方程； （2）若恒成立，求的最小值； （3）求证：. 18. 如图1，在直角梯形ABCD中，已知 ，，将沿BD翻折，使平面平面BCD.如图2， 的中点为O. （1）求证： 平面BCD； （2）若AD的中点为G，线段AC上靠近A点的三等分点为H. （i）求平面与平面夹角的余弦值. （ii）设平面内一动点为P，当线段PD与线段PC的长度之和最小时，求直线PC与平面成角的正弦值. 19. 已知双曲线 ：的左、右焦点分别为，，且双曲线 上任意一点到两条渐近线的距离之积为. （1）求双曲线 的方程； （2）设直线：与双曲线 的右支交于M，N两点，且M在第一象限，将直线绕点N顺时针旋转30°得，过M作直线的垂线，交于点P； （i）当 时，求三角形MNP的面积； （ii）求证：点P在定直线上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈九中2025-2026学年度高三下学期 第三次模拟考试数学试卷 （考试时间：120分钟满分：150分共2页） 第Ⅰ卷（共58分） 一、单选题（共8小题，每小题5分，每小题只有一个选项符合题盘） 1. 若集合，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】为奇数集合，中的奇数有，所以. 2. 命题“，”的否定形式是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】，”的否定形式是“，”. 3. 若复数满足，则在复平面内，复数所对应的点组成的图形的周长为（ ） A. 2π B. 4π C. 6π D. 8π 【答案】B 【解析】 【分析】设复数，利用复数模的公式把等式变形即可得圆的方程，根据圆的周长公式即可求解 . 【详解】设复数，则对应复平面内的点 ， 由可得，即 ，两边平方得， 这表示圆心为、半径 ， 圆的周长. 4. 已知参观某次航展的中小学生人数和购买航展模型的比率分别如图1、图2所示.为了解各学段学生对航展的爱好程度，用分层随机抽样的方法抽取1%的学生进行调查，则样本量和抽取的初中生里购买航展模型的人数（估计值）分别为（ ） A. 200，24 B. 200，28 C. 100，24 D. 100，28 【答案】D 【解析】 【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论． 【详解】样本量为， 抽取的初中生人数为， 所以抽取的初中生里购买航展模型的人数约为. 故选：D 5. 下列各式大小比较中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由不等式的性质判断A；由三角函数的性质判断B；由对数的公式判断C；由对数函数和指数的单调性判断D. 【详解】对于A，因为， ， 由于，则， 即，故A错误； 对于B，由，则，而，则，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，由，， 则，故D正确. 6. 已知点 是椭圆上的一个动点，，则的最大值为（ ） A. 4 B. C. D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】利用椭圆的定义得到，将所求的最大值转化为求的最大值，利用三角形的两边之差小于第三边，三点共线时取等号，从而得到所求. 【详解】，，， ， 设右焦点为，左焦点， ，， 当点共线时取等号， ，，， ，的最大值为. 故选：D. 7. 如图，正方形ABCD的边长为a，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形的特点建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标，求出和的直线方程，从而求出点的坐标，进而利用向量夹角的余弦公式进行求解即可． 【详解】由ABCD是正方形，则以为原点，分别以，为轴， 轴建立平面直角坐标系， 如下图， 又正方形ABCD的边长为a， 则，，，，，， 所以直线的方程为 ，直线的方程为， 联立，解得，即， 则，， 所以． 8. 正方体的棱长为，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体表面及其内部所有点构成的集合为 ，已知集合，记为 中所有点构成的几何体，则的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题可采用补集法求解，先确定平面与正方体的交点，将所求几何体转化为正方体减去三棱台，再利用三棱台体积公式计算其体积，最后用正方体体积减去该三棱台体积，得到的体积为． 【详解】 如图，与正方体的交点有，，，， 可看作正方体减去三棱台， ，， 所以， 所以的体积为． 二、多选题（共3小题，每小题有多个选项符合题意，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知向量，，则（ ） A. 存在，使得 B. 的最小值为2 C. 若 ，则 D. 与的夹角为锐角 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A：借助向量平行的坐标运算可得不存在，使得；对B：借助模长公式与基本不等式计算即可得；对C：借助数量积公式计算即可得；对D：计算可得且与不共线，即可得两向量夹角为锐角. 【详解】对A：令，即，该方程无解，故不存在，使得，故A错误； 对B：，则， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为2，故B正确； 对C：若 ，则，，则，， 故，故，故C正确； 对D：，则， 由A知，不存在，使得， 故、不共线，则与不共线，故与的夹角为锐角，故D正确. 10. 在中，角， ， 的对边分别为， ， .已知，是锐角，其外接圆半径为，内切圆半径为 ，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则的面积为 C. 当是直角三角形时， D. 的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】选项，用正弦定理将条件角化边，再用余弦定理求出角 ；选项，用正弦定理结合已知边求出角，再用内角和求角 ，最后用面积公式计算验证；选项，先确定直角位置，用正弦定理求出三边，再用直角三角形内切圆半径公式计算 ；选项，用正弦定理边化角，结合内角和统一变量，用辅助角公式化简后根据角的范围求值域. 【详解】选项：根据正弦定理角化边，原式可化为. 由余弦定理，代入得. ∵，∴，故选项正确. 选项：若，∵， ∴，又A是锐角，∴. 则，即为直角三角形，斜边 . 由勾股定理得，故的面积，选项错误. 选项C：∵，∴若为直角三角形，因为是锐角，则直角只能为 ，则， ∵，，. 半周长，面积， ∴，选项C正确. 选项D：∵，，∴， 又是锐角，即，∴. 由正弦定理得，，则： 展开 ，代入得： ， 故. ∵，∴，因此 ， 即的取值范围是，选项D错误. 【点睛】方法归纳：解三角形综合问题常通过正弦定理、余弦定理实现边角互化，结合三角形内角和定理、三角函数的值域求解范围问题；三角形内切圆半径公式为（其中为三角形面积， 为半周长），是求解内切圆半径的常用方法. 易错归纳：1. 易忽略题目中“A是锐角”的条件，导致角A的范围求解错误；2. 讨论直角三角形时，遗漏直角的可能位置，仅考虑一种情况；3. 在求取值范围时，未正确确定三角函数的定义域，导致范围计算错误. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在上单调递增 C. D. 当 时，有2个极值点 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据对数的运算性质判断即可；对于B，设，利用导数判断其单调性，再根据复合函数的单调性判断即可；对于C，结合的单调性求解判断即可；对于D，对函数求导，令，得，令，则，利用导数分析单调性，可得，即，令， ，利用导数分析其单调性，进而结合图象求解判断即可. 【详解】对于A，由，则，故A正确； 对于B，设，则， 令 ，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 由于函数在上单调递增，根据复合函数的单调性可知， 函数在上单调递减，在上单调递增，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，由， ， ， 则， 令，得， 即， 令，则，则在上单调递增， 且，则，即， 令， ，则， 令，得 ，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 因为，，且，， 作出函数的图象，如图， 由图可知，当 时，函数与有2个交点， 则方程在上有2个不相等的实数根， 即有2个变号零点，则函数有2个极值点，故D正确. 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题（共3小题，每小题5分） 12. 展开式中项的系数为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式求出通项，再令通项中的次数等于，求出对应的 值，最后代入通项求出该项的系数. 【详解】由题意，二项式的展开式中，第项的通项为， 化简整理得， 令，解得 ， 代入通项，得， 所以展开式中项的系数为. 13. 已知，，则 ______. 【答案】## 【解析】 【分析】本题中的角可以看成，而所求角可以看成．令，，则已知条件变为，，所求为．利用两角和与差的余弦公式，并把化为，即可求出结果． 【详解】令，，则，． 因为，所以与均有意义，从而，． 由两角和的余弦公式，得． 又因为，，所以． 因此． 把代入，得． 又因为，所以，解得． 由两角差的余弦公式，得． 同理，，所以． 于是． 14. 现有一种构造新数列的方法：在数列的每相邻两项之间插入此两项的等差中项，按照原来的顺序得到一个新的数列；再将新得到的数列按照上述方法构造，又得到一个新的数列；重复以上操作．现将数列 按照上述方法进行构造，第一次得到的新数列为 ；第二次得到的新数列为；第三次得到的新数列为； ；记第n次得到的新数列为，且．当 时，______；使的最小正整数n的值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题先通过归纳得出第次构造后数列的项数规律，直接求出 时的 ；再利用等差数列性质，求出的通项，最后解不等式得到满足条件的最小值． 【详解】设第n次构造后，数列所有项和为， 初始， ，项数为，， 第 次， ，项数为，， 第次， ，项数为，， 第次， ，项数为，， 归纳得，第n次构造后，项数为，， 新数列为，故中间项数， 当 时，，根据题意得， 由，得 ，解得， 因为， 所以最小正整数n的值为． 四、解答题（共5小题，总计77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列，满足 ，且，是关于x的方程的两个根. （1）求； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据韦达定理得出数列的递推关系，进而判断数列类型，求出通项公式. （2）先求出，进而得到的表达式，然后利用分组和裂项相消法求出. 【小问1详解】 因为，是关于x的方程的两个根. 所以由韦达定理得，即， 所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，所以. 【小问2详解】 由（1）得，所以. 所以根据韦达定理得，所以. 所以. 所以. 16. 为提升工作效率，公司对员工进行了培训.公司规定：只有培训合格才能上岗，否则将补训. （1）若员工甲、乙、丙培训合格的概率分别为，求甲、乙、丙三人中至少有一人不需要补训的概率； （2）为了激发员工的培训积极性，M公司在培训过后举办了一次知识竞赛.已知参加这次知识竞赛员工的竞赛成绩近似服从正态分布，若该集团共有2000名员工，试估计这些员工中成绩超过93分的人数；(结果精确到个位) （3）参加了知识竞赛的员工还可继续参与第二轮答题赢重奖活动，活动规则如下：共有3道题，每答对1道题奖励现金800元.已知参与知识竞赛的员工甲答对每道题的概率均为 且每题答对与否都相互独立，记甲获得总奖金为元，求的分布列与数学期望. 参考数据：若，则 ， ， . 【答案】（1） （2）317 （3）的分布列为: 0 800 1 600 2 400 【解析】 【分析】（1）由题及对立事件概率性质可得答案； （2）由正态分布性质结合题意可得答案； （3）由题可得X的所有可能取值为0，800，1600，2400，然后可得分布列及对应期望. 【小问1详解】 分别记甲、乙、丙培训合格为事件A，B，C， 则甲、乙、丙三人中至少有一人不需要补训的概率： . 【小问2详解】 由已知得的近似值为90， 的近似值为3， 所以 而 ， 所以估计这些员工中成绩超过93分的人数为317. 【小问3详解】 X的所有可能取值为0，800，1600，2400. 且，， ，. 所以的分布列为 0 800 1 600 2 400 17. 设函数. （1）求在 处的切线方程； （2）若恒成立，求的最小值； （3）求证：. 【答案】（1） （2） （3）证明：由（2）可知时，， 又，所以 ， 则 时，， 设， ，则 ， 设 ，则 ， 所以当 时， 恒成立， 所以 在上单调递增， 所以 ， 所以在上单调递增， 即 ， 所以， ， 即， 综上所述. 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可得切线方程； （2）分离参数，构造函数，求导根据导数判断函数的单调性与最值，进而确定参数范围； （3）由（2）可得 ，所证不等式即可转化为，构造函数，求导根据导数判断函数单调性与最值，进而得证. 【小问1详解】 由已知， 则， 则 ， 又， 所以函数在 处的切线方程为， 即 ； 【小问2详解】 由已知， 恒成立， 则对恒成立， 设，， 则， 当时，，在上单调递增； 当时， ，在上单调递减， 所以， 所以， 即的最小值为； 【小问3详解】 略 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 18. 如图1，在直角梯形ABCD中，已知 ，，将沿BD翻折，使平面平面BCD.如图2， 的中点为O. （1）求证： 平面BCD； （2）若AD的中点为G，线段AC上靠近A点的三等分点为H. （i）求平面与平面夹角的余弦值. （ii）设平面内一动点为P，当线段PD与线段PC的长度之和最小时，求直线PC与平面成角的正弦值. 【答案】（1） 因为 ， 的中点为，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 根据面面垂直的性质可得 平面 （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直性质定理即可证明； （2）（i）分别以， ，为， ，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，利用面面角的空间向量公式列出方程求解即可；（ii）当线段PD与线段PC的长度之和最小时，要使 最小，利用对称法，作D关于平面的对称点，连接，与平面的交点即为 ，再应用线面角正弦公式计算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）取 的中点为，连接，则且， 由直角梯形可知，为正方形， ，，，，. 由（1） 平面，可知， ，两两互相垂直， 分别以， ，为， ，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 依题意，， 则，， 设平面的法向量为， ，，则可取， 由 平面，取平面的法向量， 设平面与平面的夹角为 ，则 . （ii）设平面内一动点为P，要使 最小，可利用对称法， 不妨设D关于平面的对称点，设与平面的交点即为 ， 因为平面的法向量为，则平面可以表示为， 设，则中点为在平面上， 即得， 因与平面法向量平行， 则，设比值为 ,则得， 将其代入中，得，解得，故， 又因为， 设直线与平面的交点为 ， 直线的方程为，代入平面的方程， 得出，即得，则得， 故，， 设直线 与平面 所成角为， 则. 19. 已知双曲线 ：的左、右焦点分别为，，且双曲线 上任意一点到两条渐近线的距离之积为. （1）求双曲线 的方程； （2）设直线：与双曲线 的右支交于M，N两点，且M在第一象限，将直线绕点N顺时针旋转30°得，过M作直线的垂线，交于点P； （i）当 时，求三角形MNP的面积； （ii）求证：点P在定直线上. 【答案】（1） （2）（i） （ii）联立与双曲线方程，得，韦达定理得， ，斜率为​，方程为：结合整理得， 过，斜率为，方程整理得：，结合整理得， 两式相减得， 两式相加得​​，将代入， 消去 后得： ，即，与参数 无关. 因此点在定直线上. 【解析】 【分析】（1）利用点到直线的距离公式结合双曲线之间的关系即可求解； （2）（i）把三角形的面积用表示，直线与双曲线联立，利用韦达定理以及弦长公式求出即可； （ii）写出 与的方程，联立方程组解得点 的坐标，消去参数 即可证明. 【小问1详解】 由焦点坐标，故，双曲线渐近线为， 设双曲线上任意一点，满足，即， 点到两条渐近线的距离之积： 得， 结合，解得. 因此双曲线方程为：. 【小问2详解】 （i）直线斜率为，倾斜角为，旋转后倾斜角为，且，故为直角三角形，，，面积， 联立与，整理得. ，由韦达定理：， 弦长， 故. （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $