湖北省新高考协作体2025-2026年学年高三下学期五月质检数学试题

高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1. 设集合A={x2-3x-450},B={以y=k-I}，则集合AUB= A.1,4 B.[0,4 c.(0,4 D.[-1,+o0) 2. 在复平面内，复数对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.若-40x是二项式(2x-1)的展开式中的一项，则n为 A.1 B.2 C.3 D.4 4.卫星接收天线的曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，信号处理中心位于抛物线的焦点处 已知该卫星接收天线的口径（直径）为12m,深度为3m,则信号处理 中心与抛物线顶点的距离为 A.Im B.2m C.3m D.4m 第4题图 5. 设公差不为零的等差数列{a,},前n项和为S,若S,=S,且24+an=0,则m= A.15 B.16 C.17 D.18 6. 已知单位向量a,,c满足2a+36+4c=0,则a+b= A. B.0 c.32 D.2 2 2 7. 已知函数f(因=i(e+e,若a=寸0o8,2,b=fG),c=f月，则 A.c>b>a B.c>a>b C.b>a>c D.b>c>a 8.正方体ABCD-A,B,CD,中，E是棱CD的中点，F是棱DD上的动点，过点B,E,F的平 面截该正方体所得的截面记为a,若三棱锥D,-AD5的外接球球心落在平面a内，则DF DD 的值为 B 2-5 c D 第1页共4页 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.在一组样本数据3,5,5,6,7,7,9中增加一个数据x后，下列说法正确的是 A.若众数为5，则x=5 B.若平均数不变，则x=6 C.若中位数不变，则x=5 D.若极差为9，则x=-6或x=12 10.已知A(-2,-2),B(-2),C(4,-2),点P在圆0：x2+y2=4上运动，则 A.点A在圆O内 B.直线BC的方程为4x+3y-10=0 C.圆O为△ABC的内切圆 D.IPA2+|PB+|PC的最大值为88 11.对于正整数n,欧拉函数p(n)的函数值是所有不超过正整数n,且与n互质的正整数的个数， 例如p()=1,p(4)=2，(⑤)=4，则 A.p(9)=6 B.对任意正整数n,恒有gp(n2)≤2p() C.记an=p(3),则(a,}的前n项和Sn=3”-1 D.从集合1,2,3,4,5,6中随机取两个不同的数名y,记事件A:“(y)=(x)0y”，则 W=号 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.双曲线x2-y2=2(2>0)的离心率为 13.平面直角坐标系中，若角α的终边经过点(3,4)，角B的终边经过点(4，-3)，则 cos(a-B)= 14.平面直角坐标系中，若将函数∫()=axe2+e的图象绕坐标原点逆时针旋转工后，所得曲线 仍然是某个函数的图象，则实数α的取值范围是 第2页共4页 四、解答题：.本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证阴过程或演算步骤. 15.(本题满分13分) 如图，已知四梭锥P-ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60°，AB=PC=2,PA=PB=√2】 (1)证明：平面PAB⊥平面ABCD: (2)求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值. D 第15题图 16.(本题满分15分) △MBC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足1+2=3 tanA tanB tanc (1)求证：a2+2b2=3c2: (2)当角C取得最大值时，△ABC的面积为V14,求a, 17.(本题满分15分) 已知函数f(x)=e+(2-2k)x-1(k∈R). (1)讨论函数f(x)的单调性： (2)当x20时，f(x)≥si山x,求实数k的取值范围. 第3页共4页 314 第3页共4页 18.(本题满分17分) 近年来，女子10米气步枪作为奥运会首金项目备受关注，国家队在选拔运动员时，通常需 要测试她们在不同场景下的命中率.射击爱好者小明到当地射击俱乐部选择场景A与场景B进 行相关训练，制定如下规则：若在某场景下命中，则下一轮继续在此场景下进行射击：若没有命 中，则更换到另一场景下进行射击 已知小明在场最A下命中率为4，在场景B下命中率为二，命中记1分，未命中记0分， 且第1次在场景A下射击. (1)若小明在前3次射击中得到2分，求这2分均在场景B下获得的概率： (2)求小明第n次在场景A下射击的概率P; (3)求小明在n次射击后总得分的期望. 19.(本题满分17分) 已知菌周：号片-e6>0小的左，右展点分别为风另：高心率：-宁过乃做直线 1交椭圆E于A,B两点(A在x轴上方)，△MBR的周长为8,0为坐标原点. (1)求椭圆E的方程： (2)若线段AB的中点为R,求点A到直线OR的距离d的最小值： (3)若线段OA的中点为P,△BRF的重心为G,△BRP和△ABG面积分别为S,S2,求 三的取值范围。 第4页共4页 高三数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选项 D A B A B D A AB BCD ACD 12.√2 13.0 14.[-e2,0] 1.【答案】D 【解析】A=[-1,4],B=[L,+∞)，则AUB=[-1,+o) 2.【答案】A 【解析】上。1+i一三+5，故其对应的点位于第一象限 1-i0-i01+i)22 3.【答案】B 【解析】(2x-)的展开式的通项为 T41=C5(2x(-)=C(-)2-r(r=0,12,3,4,9, 令C(-1)25-=-40,得r=3,所以该项含x的次数为5-r=2 4.【答案】C 【解析】以抛物线的顶点为原点，对称轴为x轴建立平面直角坐标系， 设抛物线方程为y2=2px(p>0) 接收天线的口径为12m,深度为3m,则抛物线上有一点的坐标 为(3,6)，代入抛物线方程中，解得p=6·y2=12x, 所以信号处理中心与抛物线顶点的距离为卫=3m 2 5.【答案】A 【解析】由S4=S,可得a,=0,则2a3+am=0=3a,故anm=3a,-2a3=a,+14d=as, 故m=15 6.【答案】B 数学试卷参考答策第1页，共10页 【解析】由2a+36+4c=0可得2a+36=-4c,两边平方可得a-6= 4 故a+-@+=V++2a:6-@ 7.【答案】D 【解析】观察函数可知，f(x)为定义在R上的偶函数，在(O,+0)上递增， a-吗小-g-g2,由>1,0s,2<1故6c>a 8.【答案】A 【解析】设正方体棱长为1，以D为原点，以DA,DC,DD所在直线分别为x,y,2轴， 建立空间直角坐标系，可得D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,1), 因为点E为CD中点，可得E020,又设DF=AF而，F0,0),可得 DF=(0,0,z),FD1=(0,0,1-2) B 所以(0,0，z)=(0,0,1-),可得z=1-z), 解得：=子2：所以F0,0千分 由三棱锥D,-ADE的外接球即为DA,DE,DD,为棱的长 方体的外接球，由DA=DE=分D0=1, 得长方体的对角线长为1=2+(+P-,所以D-ADE的外接球的半径为R=3 即球心0为长方体的对角线的中点，所以0(， 242 设平面B6F的法向量为万=（低%以死=(-L0F=(--产分 万：BE=-x- 2少s0 由 。，令x=1,则y=-2,z=-1+2 2 n·BF=-x-y+ 。2=0 '1+ 所以n=0,-2,1+3， 数学试卷参考答案第2页，共10页 因为0怎a,所以向量而=（分子为与平面8EF的法向量为藻直。 则80万=0，即-分×1+(-》×(-2+分×（之=0，解得元=1，所以-月 DD 2 9.【答案】AB 【解析】对于A,若众数为5，则x=5,A正确； 对于B,原平均数为6，若平均数不变，则x=6,B正确； 对于C,原中位数为6，若中位数不变，则x=6,C错误； 对于D,若极差为9，则x=0或12，D错误， 10.【答案】BCD 【解析】对于A,(-2)2+(-2)2=8>4,点A在圆0外，A错误： 对于B,kc=62=-号，则直线BC的方程为y-6=- (-2)-43 x+2), 即4x+3y-10=0'B正确， 对于C,圆心O到△ABC的三边的距离均为半径2，则与三边均相切，C正确； 对于D,设P(2cos0,2sin0)(0∈[0,2π) |PA2+|PB12+|PC2=(2cos0+2)2+(2sin0+2)2+(2cos0+2)2 +(2sin0-6)2+(2cos0-4)2+(2sin0+2)2=80-8sin0 ≤8（当g=即P0,-2)取等） 故|PA2+|PB2+|PC2的最大值为88，D正确. 11.【答案】ACD 【解析】对于A,小于等于9的正整数中与9不互质的数为3的倍数，即3,6,9，即 p(9)=9-3=6,A正确： 对于B,取n=5,p(5)=4,p(5)=p(25)=20,则p(52)>2p(5),B错误； 对于C,若P为质数(p≥2)，则小于等于p”的正整数中与p”不互质的数只有 p的倍数，所以互质的数的数目为p”-=p”-p, 数学试卷参考答案第3页，共10页 故(3)=2-31，则3.=20-3”）=3”-1，C正确： 1-3 对于D,由p(xy)=p(x)p(y),可知：y互质，则满足条件的(x,y)有 12,13,14,15,1623,25,34,3545,56共1种，故P(A=- C15 D正确 12.【答案】5 【解析】依题意a2=b2=,可得c2=22,故e=￡=√2 13.【答案】0 4 【解析】依题意sina= osa-gsnB=-2o cos(a)=cosacos+sinasin 555 14.【答案】[-e2,0] 【解析】由题意得g(x)=axe+e与y=x+b的图象最多有一个交点， 故关于x的方程axe*+e=x+b最多有一个根， 所以H(x)=axe*+e-x与y=b的图像最多有一个交点， 所以H'(x)=a(x+1)e-1恒大于等于0或恒小于等于0， 当x=-1时，H'(x)=-1<0,所以H'(x)≤0恒成立， 令n)=H(=(x+1)e-1,则n)=a(x+2)e，令n(x)=0,解得x=-2, 当a=0时，n(x)=-1满足题意； 当a>0时，n(x)在(-∞，-2)上单调递减，在(-2，∞)上单调递增， 当6>21，且>0时a+>1,则)=x+e-1>0, 而m-2)=-ae2-1<0,故H'()=a(x+)e-l恒大于等于0或恒小于等于0不成立， 不满足题意： 当a<0时，n(x)在(-∞，-2)上单调递增，在(-2，∞)上单调递减， 所以n(x)mx=n(-2)=-ae2-1≤0，解得a≥-e2,综上，a的取值范围为[-e2,0]. 数学试卷参考答案第4页，共10页 15.解（1)如图，取AB中点O,连接PO,CO.…1分 因为PA=PB=√2，AB=2,所以PA2+PB2=AB2, 即PO⊥AB, ..2分 且P0=1,B0=1. 又因为四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°， 所以C0⊥AB,C0=√5. 0 因为PC=2,所以PC2=P02+C02, C 即PO⊥CO,… …4分 因为ABC平面ABCD,COC平面ABCD,AB∩CO=O, 所以PO⊥平面ABCD, 又POC平面PAB,所以平面PAB⊥平面ABCD.…6分 (2)以O为原点，OC,OB,OP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则 P(0,0,1),A0,-1,0), B(0,1,0),D(W3,-2,0). 所以PA=(0,-1,-1), PB=(0,1,-1), PC=(3,0,-1),PD=(3,-2,-1). …7分 设平面PAD的法向量为m=(x,,Z), 由 m:P所=0得X-=0 ,不妨取m=(,√5，-√⑤).…8分 m·AD=0V3x-y=0 设平面PBC的法向量为i=(x2,2,22), 数学试卷参考答案第5页，共10页 n.PB=02-22=0 由 得 …10分 i.PC=03x2-22=0 不妨取元=，5，). m-1+3-31 所以cos(m,= …12分 啊√7万7 故平面PAD与平面PBC夹角的余弦值为二 …13分 16.解(1)由2=3可得os4+2c0sB3c0sC …1分 tan A tan B tanC sin A sin B sin C 由正弦定理可得c0s4+2cosB3cosC 。…2分 b 故bcC0SA+2aCC0SB=3abC0SC.…4分 由余弦定理可得0+62-a)+(c+e-6的)=c+8-e. …6分 化简得a2+2b2=3c2. …7分 (2)由题意可知，C为锐角， 则cosC=4 C.+8a+25) 2a2+ -b2 3 .10分 2ab 2ab 2ab 3 且仅当子2B即b三2a时取等号.… 3 此时C最大，且sinC=V …12分 3 所以Sa=a6sinc=2a. -=14 …13分 2 3 解得a=V6. …15分 17.解(1)f'(x)=e+2-2k.… …1分 当k≤1时，f'(x)>0恒成立，故函数f(x)在在R单调递增；…2分 数学试卷参考答案第6页，共10页 当k>1时，令f"(x)=e*+2-2k>0得x>ln(2k-2).…3分 故当x∈(-o,ln(2k-2)时，f'(x)<0,函数f(x)单调递减， 当x∈(ln(2k-2),+oo)时，f'(x)>0,函数f(x)单调递增，…5分 综上，当k≤1时，f"(x)>0恒成立，函数f(x)在R单调递增： 当k>1时，函数f(x)在(-oo,In(2k-2)上单调递减， 在(n(2k-2),+oo)上单调递增. …6分 (2)令F(x)=ex+2x-2o-Sinx-1,x≥0，F(0)=0,…7分 F(x)=e*+2-2k-c0sx,x≥0，F'(0)=2-2k.…8分 (x)=F'(x)=e*+2-2k-cosx,x20, 而p'(x)=ex+sinx≥0在[0，+oo)恒成立，即F(x)在[0，+∞)单调递增，…10分 故当F(0)=2-2k≥0，即k≤1时，F(x)≥F'(0)=0,F(x)在[0，+o)单调递增， F(x)≥F(0)=0在[0，+o)恒成立；…l2分 当F'(0)=2-2k<0,即k>1时，当x→+o0时，F'(x)→+0， 所以，存在x。>0,使得x∈(0，x)时，F'(x)<0,F(x)单调递减，x∈(x,+o)时， F(x)>0,F(x)单调递增， …13分 故由F(0)=0可知，x∈(0，x)时，F(x)<0与F(x)≥0在[0，+o)恒成立矛盾； …………………………………14介 综上，实数k的取值范围是(-o0,1].… …15分 18.解（1)设事件M=“小明在前3次射击中得到2分”， 事件W=“这2分均在场景B下获得”. …1分 数学试卷参考答案第7页，共10页 则P00-×号计考52*3品0.Pm-号分 4、41,41、1,11、1129 一X一X 11x1=.…3分 52220 1 所以P(N|M)= P(MN) 20 25 5分 P(M129 129 500 (2)设第n次在场景A下射击为事件Mm, R=P(M)=1,P(MM)=P(MmIM)= …6分 由全概率公式可得P(Mm+1)=P(Mn)P(Mn+1|Mn)+P(Mn)P(Mm+1|Mn),…7分 …8分 5 …9分 且A-马号+0，可发数列 -引 以首项为，公比为的等比数列，…0 10 …1分 所以前n轮期望总得分为3。-立B,=积 k=1 3 7分 10 19.（1)设椭圆 42 a -1的半焦距为c, 2a=4 a=2 由已知可得 c I ，且b>0,解方程得{b=√5， …2分 a 2 a2=b2+c2 c=1 数学试卷参考答案第8页，共10页 所以椭圆5的标准方程为女+广 =1;…3分 43 (2)由已知直线I的斜率不为0，故设直线1的方程为x=my+1, x2,y2 联立{ 4+了=1，消x可得(3m2+4y+6y-9=0, x=my+1 方程(3m2+4)y2+6my-9=0的判别式△=36m2+36(3m2+4)=144(m2+1)>0, 设A(,y),B(x2,2)，其中乃>0,2<0， 6m -9 由已知%+为=3nm+4'4=3m+4 …4分 故x,+x2=my+1+my2+1= 8 3m 3m2+4'则R …5分 3m2+4’3m2+4 所以直线OR:3x+4y=0,其中m=-1l …6分 y 点A到直线OR的距离 d=Bmx+4四_3xG-)+4y_ 3x1+12 …7分 V9m2+16V9(x,-1)2+16y2V-3x-18x,+57 令u=x-4∈(-6，-2)， …8分 34 3 3 所以d= 6342-3 …9分 V-3u2-42u-63 u2 u 当u=-3(=）时d取最小值 …10分 2 (3)设AF=FB,则(1-x,-)=2(2-1,2), 所以-y=2,即1=-当， y2 数学试卷参考答策第9页，共10页 所以 +2=-1610 yy2 3m+433m7+4)3…11分 -16、4 因为m2≥0，所以3m2+4≥4,0> 3(3m2+4)3’ 110 所以2≤2+ 23 . ,所以22≤22+1< 所以<<3. 12分 因为点P为线段OA的中点，所以P 因为点G为△Br5的亚心，所G(停，号)】 所以 S,=S△BrP=S△rOB+Syor+S△or B =SA5oB+S△or+i 2 1 1 1.11 2 因为点G为△BFB的重心，所以BG-宁1BO, 所以S,=SA0= ，21 2SA40B=3X2 ×2×1x0-h)=30-h),14分 云这导油唱除 所以g=26-9 13 因购-2中[传列上华说陈器景治 即S的取值范围为 2733 …17分 S, 1616 数学试卷参考答案第10页，共10页