湖北省宜城市第一中学2024-2025学年高三下学期第一次周考数学试题

宜城一中高三数学学科 第一次周考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，虚数是关于的方程的根，则（ ） A B. 0 C. 1 D. 2 3. 已知随机变量，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（ ） A. 24 B. 18 C.-18 D. 5. 已知定义域为的函数满足，当时，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点到点的距离与到直线的距离相等，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知实数满足，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 8. 已知正四棱锥的棱长均为2，下列说法不正确的是（  ） A．平面与平面夹角的正弦值为 B．若点满足，则的最小值为 C．在四棱锥内部有一个可任意转动的正方体，则该正方体表面积最大值为 D．点在平面内，且，则点轨迹的长度为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.设椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，则（   ） A．的离心率为 B．的周长为5 C．的最大值为3 D．的最小值为8 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若最小正周期为，则的图象关于点对称 B. 若的图象关于直线对称，则的值可能为 C. 若将的图象向左平移个单位长度后得到的函数是偶函数，则的最小值为 D. 若在区间上恰有一个零点，则取值范围为 11.已知函数，若函数为偶函数，则下列说法一定正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数在R上单调递增，则的取值范围是_______． 13. 已知在梯形中，，若为边上靠近的三等分点，且，则__________. 14. 学校要举办足球比赛，现在要从高一年级各班体育委员中挑选4名不同的裁判员（一名主裁判，两名不同的助理裁判，一名第四裁判），其中高一共13个班，每个班各一名体育委员，共4个女生，9个男生，要求四名裁判中既要有男生，也要有女生，那么在女裁判员担任主裁判的条件下，第四裁判员是男生的概率为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列首项为，前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）已知，记数列的前项和为，求证：. 16. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，上一点与、的距离的差的绝对值等于4． （1）求双曲线的方程； （2）过点作斜率为的直线与交于、两点．当为锐角时，求的取值范围． 17.在四边形中，与相似， （1）求； （2）求的面积． 18. 已知函数的导函数为，若在区间上单调递增，则称为区间上的凹函数；若在区间上单调递减，则称为区间上的凸函数.已知函数. （1）若在上为凹函数，求实数的取值范围； （2）已知，且在上存在零点，求实数的取值范围. 19. 已知四棱锥的底面为平行四边形，，，，，. （1）证明：平面⊥平面 （2）设为线段上的点. （i）若，求直线与平面所成角的正弦值. （ii）平面过点，，且平面，探究：是否存在点，使得平面与平面之间所成角的正切值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 宜城一中高三数学学科 第一次周考参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A B A D D B B A ACD BC BCD 12. 13. 14. 15.(1)由已知，则， 即，则，，...，， 等式左右分别相加可得， 则；（6分） (2)依题意得，， 则， 又，所以， 所以，即.（13分） 16.(1)依题意，解得，所以双曲线的方程为；（5分） (2)由（1）知、， 依题意直线的斜率，则直线的方程为， 由，消去整理得， 设，， 当，即，由， 则，， 所以 ， 因为为锐角，所以， 即 ，解得或， 则或或， 又，所以的取值范围为（15分） 17.(1)因为与相似，且， 当，时，，即，解得，；（4分） 当，时，、、共线，不符合题意；（6分） 综上可得，；（7分） (2)在中，由余弦定理， 所以，（9分） 在中，由余弦定理， 所以，（11分） 所以 ，（13分） 所以.（15分） 18.(1)，则， 依题意知，对任意的恒成立，则恒成立， 令， 则， 故在上单调递增，故，则实数的取值范围为；（7分） (2)依题意得，， 若，当时，， 所以在上无零点，舍去；（8分） 若，则，令， 则，则在上单调递减，且，（9分） ①若，即，此时， 则存在，使得，即， 故在上单调递增，在上单调递减，所以， 当时，， 令，解得， 因为，且， 所以存在唯一的，使得，满足条件；（14分） ②若，即，此时在上单调递减， 又，所以，不合题意，舍去，（16分） 综上所述，实数的取值范围为.（17分） 19.(1)如图所示，因为，，， 故， 即，则， 故为直角三角形，即， 又，，且，平面，则平面， 又因为平面，所以平面平面（4分） (2)（i）以的中点为原点，为轴，平行方向为轴，为轴， 建立如图1所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 而，故，，. 设为平面的法向量， 则，则， 令，则为平面的一个法向量.而， 直线与平面所成角的正弦值（9分） （ii）由（i）可知，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 如图2，建立空间直角坐标系，记直线平面，直线平面，连接， 因为平面，平面平面，所以， 不妨设，则，， 则，故， 同理可得，， 则有，， 设平面的法向量为， 则，解得，设，则， 故，所以， 又与平面之间所成角的正切值为， 则， 化简得，解得或， 设，则，则，解得， 故. 当时，. 因为，所以， 化简得，解得，满足要求. 当时，. 因为，所以， 化简得，解得，满足要求. 综上所述，的值为或.（17分） 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$