精品解析：山东省济南市钢城区2026年初中学业水平复习诊断测试二数学试题

2026年初中学业水平复习诊断测试二 数学试题 注意事项： 1．答卷前请考生务必在试卷的规定位置将自己的姓名、准考证号等内容填写准确． 2．本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间为120分钟． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡相应区域，不能答在试卷上；解答题作图需用黑色签字笔，不能用铅笔． 4．考试结束后，由监考教师把答题卡收回． 第I卷（选择题40分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项符合要求．） 1. 在下面四个实数中，最小的数是（ ） A. 0 B. 2 C. D. 2. 如图：蝴蝶玉簪花瓶（也常称青花萱草蝶纹玉壶春瓶）是明代永乐年间（年）景德镇生产的青花瓷，它是明代早期官窑青花瓷的代表之一，也是古代中外文化交流的见证．关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 3. 钢城区是济南市东南门户，地处鲁中腹地、泰山东麓、汶水源头，为原莱芜钢铁基地核心区，其中一处工业园区的面积为5070000平方米，若将数字5070000用科学记数法表示，下列结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 镂花窗作为我国传统建筑的重要元素，历史悠久，承载着丰富的文化内涵与艺术价值，自古以来，镂花窗不仅用于宫殿、庙宇和民居中，既能起到遮阳避风的实用功能，又以其精美的雕刻和独特的造型展现出中式美学的独特韵味，下面“镂花窗”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若，在数轴的位置如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 为弘扬中华优秀传统文化，某校开展了“非遗文化进校园”活动，计划从“剪纸体验”“皮影戏欣赏”“传统书法临摹”“民乐赏析”项活动中，随机选取项开展班级活动，则恰好选中“剪纸体验”和“民乐赏析”的概率是（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，以为圆心任意长为半径画弧，交、于点、．分别以和为圆心，大于的长为半径画弧两弧交于点，连接交于点．分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，过两弧的交点作直线，交于点，于点．以为圆心长为半径画弧，交于点．若，则四边形的面积（ ） A. B. C. 12 D. 10. 图形的旋转是初中数学中一种常见的几何变换，已知抛物线的解析式为，顶点为点且与轴交于点，若将抛物线绕原点旋转得到新抛物线，新抛物线的顶点为点且与轴交于点，若四边形的面积不小于6，则的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 且 D. 或 第Ⅱ卷（非选择题110分） 二、填空题（本题共5小题，只要求填写最后结果，每小题填对得4分，共20分） 11. 若分式的值为0，则实数的值为_____． 12. 七巧板是我国古代的一项发明，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形板、一块正方形板和一块平行四边形板组成．如图，在七巧板铺成的正方形地板上，一个小球自由滚动，则小球停留在阴影部分的概率为_______________． 13. 如图：，且，则的度数是_____． 14. 甲、乙两车分别从，两地出发，沿同一公路相向匀速行驶，两车分别抵达，两地后立即停止行驶．已知乙车比甲车提前出发，设甲、乙两车之间的路程为（单位：），乙车行驶的时间为（单位：），与的函数关系如图所示，的值为______． 15. 如图，在矩形中，点，分别在边，上，把沿折叠，点恰好落在边上的点处，延长交的延长线于点．若，，则的值为_____． 三、解答题（本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 17. 解不等式组，并写出它的所有非负整数解． 18. 如图，在菱形中，，连接相交于点M．求证：． 19. 为提倡健康生活，某人买回一台跑步机．图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知踏板长为，踏板与地面的坡比，支架长为，跑步机手柄为，且，到地面的高度为．支架与踏板的夹角（）可以根据用户的舒适度需求在调节． （1）求到地面距离（结果精确到）； （2）该人身高为1.8米，通过尝试：当是身高0.8倍时，运动起来更加舒服．求此时支架与踏板之间夹角的度数．（参考数据：，，） 20. 如图，是的直径，点为上一点，连接，点在的延长线上，点在上，过点作的垂线分别交的延长线于点，交于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 21. 为响应“全民阅读”号召，某中学深入开展“书香校园·每日阅读”主题读书活动．现随机抽取八年级部分学生，统计其每日阅读时长（时长用表示，单位：分钟），并对数据（时长）进行统计整理．下面给出了部分信息： a．在统计数据时不慎将墨汁滴到统计表中，掩盖了部分数据，如下表所示： 组别 阅读时间分钟 数据 第一组 22，25，23 第二组 31，34，36，35，32 第三组 43，47，46 第四组 51，57，54 b．不完整的学生阅读时长的频数分布直方图和扇形统计图如图： 根据以上信息完成下列问题： （1）求随机抽取的学生人数，并补全频数分布直方图； （2）扇形统计图中第四组的圆心角的度数是_____度； （3）若第四组数据的中位数是53，则第四组中被盖住的数字为_____； （4）若该校共有学生1500人，试估算该校约有多少名学生每日阅读时长不少于30分钟． 22. 为赋能乡村产业振兴，打造农产品产销一体化示范项目，某镇拟建，两类展位供当地农产品展览和销售．已知1个类展位的占地面积比1个类展位的占地面积多4平方米；5个A类展位和10个类展位的占地面积共260平方米．建类展位每平方米的费用为120元．建类展位每平方米的费用为100元． （1）求每个，类展位占地面积各为多少平方米？ （2）该镇拟建，两类展位共40个，且类展位的数量小于类展位数量的2倍，如何规划、两类展位的建设数量，才能使建造展位的总费用最少？最少为多少元？ 23. 一次函数的图象与反比例函数的图象交于、与轴交于点，与轴交于点． （1）求，的值及点坐标； （2）点在轴上且在点左侧，若是以为底边的等腰三角形，求点坐标； （3）点在轴上，当以点、、、为顶点的四边形面积为5时，求点的坐标． 24. 抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点是抛物线上位于直线下方的动点，过点作轴的平行线交直线于点，点是轴上的一个动点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最大值； （3）如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点是新抛物线上一点，连接，当时，请求出点的坐标． 25. 如图，在矩形中，对角线和相交于点，边的长为4，边的长为，在平面内绕点旋转，且始终保持，． （1）如图1，当点与点重合时，线段与线段的数量关系是_____，线段与线段的位置关系是_____． （2）如图2，我们发现在绕点旋转的程中始终保持，当点旋转至线段的中点时，求线段的长． （3）如图3，若点的运动轨迹为直线，连接，请直接写出线段的最小值和此时的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平复习诊断测试二 数学试题 注意事项： 1．答卷前请考生务必在试卷的规定位置将自己的姓名、准考证号等内容填写准确． 2．本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间为120分钟． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡相应区域，不能答在试卷上；解答题作图需用黑色签字笔，不能用铅笔． 4．考试结束后，由监考教师把答题卡收回． 第I卷（选择题40分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项符合要求．） 1. 在下面四个实数中，最小的数是（ ） A. 0 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用实数大小比较的规则即可求解，规则为负数小于0，0小于正数，两个负数比较大小，绝对值大的数更小． 【详解】解：∵ 正数大于0，0大于负数， ∴ 四个数中最小的数一定在负数中，排除A，B选项； 比较两个负数和， ∵ ； ∴ <； 因此四个数中最小的数是． 2. 如图：蝴蝶玉簪花瓶（也常称青花萱草蝶纹玉壶春瓶）是明代永乐年间（ 年）景德镇生产的青花瓷，它是明代早期官窑青花瓷的代表之一，也是古代中外文化交流的见证．关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 【答案】A 【解析】 【详解】解：从正面看，看到的是蝴蝶玉簪花瓶的平面图形；从左面看，看到的是蝴蝶玉簪花瓶的平面图形；从上面看，看到的是圆环；故主视图与左视图相同，选项A正确． 3. 钢城区是济南市东南门户，地处鲁中腹地、泰山东麓、汶水源头，为原莱芜钢铁基地核心区，其中一处工业园区的面积为5070000平方米，若将数字5070000用科学记数法表示，下列结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，解题关键是正确确定和的值． 【详解】解：． 4. 镂花窗作为我国传统建筑的重要元素，历史悠久，承载着丰富的文化内涵与艺术价值，自古以来，镂花窗不仅用于宫殿、庙宇和民居中，既能起到遮阳避风的实用功能，又以其精美的雕刻和独特的造型展现出中式美学的独特韵味，下面“镂花窗”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，轴对称图形的定义：将一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：将一个图形绕某个点旋转180度后能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即得答案． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项及幂的运算法则，逐一验证选项即可得到结果． 【详解】，A错误； ，B错误； ，计算正确，C正确； ，D错误． 6. 若，在数轴的位置如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由数轴可得，，据此分析各选项即可． 【详解】解：由数轴可得，， 故，，，即 故D错误． 7. 某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据点求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质即可得． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 将点代入得：， 则反比例函数的解析式为， 所以这个函数的图象位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大， 又点在函数的图象上，且， ，即， 故选：C． 【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式、反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键． 8. 为弘扬中华优秀传统文化，某校开展了“非遗文化进校园”活动，计划从“剪纸体验”“皮影戏欣赏”“传统书法临摹”“民乐赏析”项活动中，随机选取项开展班级活动，则恰好选中“剪纸体验”和“民乐赏析”的概率是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列举法求概率，先列出从4项活动中选2项的所有等可能结果，再找出符合题意的结果数，代入概率公式计算即可. 【详解】解：记项活动分别为：(剪纸体验)，(皮影戏欣赏)，(传统书法临摹)，(民乐赏析)， 从项中随机选取项，所有等可能的结果为：，，，，，，共种， ∵恰好选中“剪纸体验”和“民乐赏析”的结果只有种， ∴所求概率． 9. 如图，以为圆心任意长为半径画弧，交、于点、．分别以和为圆心，大于的长为半径画弧两弧交于点，连接交于点．分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，过两弧的交点作直线，交于点，于点．以为圆心长为半径画弧，交于点．若，则四边形的面积（ ） A. B. C. 12 D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，连接，，结合作图可得：平分，是的垂直平分线，，证明，可得四边形是菱形，是等边三角形，是等边三角形，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，连接，， 由作图可得：平分，是的垂直平分线，， ∵， ∴， ，，，， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴四边形是菱形，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形的面积为. 10. 图形的旋转是初中数学中一种常见的几何变换，已知抛物线的解析式为，顶点为点且与轴交于点，若将抛物线绕原点旋转得到新抛物线，新抛物线的顶点为点且与轴交于点，若四边形的面积不小于6，则的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 且 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】先对原抛物线配方得到顶点A和与y轴交点B的坐标，再根据绕原点旋转的坐标变换规律得到新抛物线顶点C和交点D的坐标，利用在y轴的特点，将四边形面积拆分为两个三角形面积和，列出不等式求解a的取值范围． 【详解】解：∵ ∴顶点 ， 令，得， ∴ ， ∵图形绕原点旋转时，点旋转后对应点为， ∴旋转后新抛物线顶点 ，与y轴交点 ， ∵都在y轴上， ∴ ， ∵ ， ， ∴四边形的面积， ∵四边形的面积不小于6， ∴ ， ∴或． 第Ⅱ卷（非选择题110分） 二、填空题（本题共5小题，只要求填写最后结果，每小题填对得4分，共20分） 11. 若分式的值为0，则实数的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】分式的值为零的条件：分子为零，分母不为零． 【详解】解：若分式的值为0， 则，解得：． 12. 七巧板是我国古代的一项发明，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形板、一块正方形板和一块平行四边形板组成．如图，在七巧板铺成的正方形地板上，一个小球自由滚动，则小球停留在阴影部分的概率为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查几何概率的求法．根据几何概率的求法：小球停留在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值． 【详解】解：设总面积为16，则其中阴影部分面积为， 小球停留在阴影部分的概率是． 故答案为：． 13. 如图：，且，则的度数是_____． 【答案】##40度 【解析】 【分析】过点A作直线，则，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作直线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 14. 甲、乙两车分别从，两地出发，沿同一公路相向匀速行驶，两车分别抵达，两地后立即停止行驶．已知乙车比甲车提前出发，设甲、乙两车之间的路程为（单位：），乙车行驶的时间为（单位：），与的函数关系如图所示，的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，由图可求出乙的速度，即可求出甲的速度，进而即可求解，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：由图可得，乙车的速度是， ∴甲车的速度是， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，点，分别在边，上，把沿折叠，点恰好落在边上的点处，延长交的延长线于点．若，，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】作于点，先证明，得到，进而得到，设，进而得到，，根据折叠的性质，得到，，勾股定理求出的长，证明，求出的长，进而得到的长，利用正切的定义，进行求解即可. 【详解】解：作于点， ∵矩形， ∴， ∴，四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， 设，则，， ∵折叠， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 在中，. 三、解答题（本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算乘方、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值，再计算乘法， 计算加减即可得出结果． 【详解】解： ． 17. 解不等式组，并写出它的所有非负整数解． 【答案】不等式组的解集是；非负整数解是0，1，2，3，4 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 不等式组的解集是 ∴它的所有非负整数解是0，1，2，3，4． 18. 如图，在菱形中，，连接相交于点M．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】利用菱形的性质得到，由得到，又由，利用证明，即可得到答案． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键． 19. 为提倡健康生活，某人买回一台跑步机．图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知踏板长为，踏板与地面的坡比，支架长为，跑步机手柄为，且，到地面的高度为．支架与踏板的夹角（）可以根据用户的舒适度需求在调节． （1）求到地面距离（结果精确到）； （2）该人身高为1.8米，通过尝试：当是身高0.8倍时，运动起来更加舒服．求此时支架与踏板之间夹角的度数．（参考数据：，，） 【答案】（1）到地面距离为； （2）此时支架与踏板之间夹角的度数为． 【解析】 【分析】（1）过C作于G，由坡度坡角的关系求出，再由含角的直角三角形的性质即可得出答案； （2）延长交于F，则，求出，由（1）得，然后求出的长即可；由锐角三角函数定义求出，再由（1）得，然后求出的度数即可． 【小问1详解】 解：过作于， 踏板与地面的坡比，， ， ， ， 即到地面距离为； 【小问2详解】 解：延长交于， 则， 该人身高为1.8米，通过尝试是身高0.8倍运动起来更加舒服， ， 由（1）得：， ， 在中，， ， 由（1）得：， ． 此时支架与踏板之间夹角的度数为． 20. 如图，是的直径，点为上一点，连接，点在的延长线上，点在上，过点作的垂线分别交的延长线于点，交于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理可得，从而得到，即可解答； （2）证明，可得，，再证明，即可解答． 【小问1详解】 证明：连接， ，， ， ， ， ， ． 又是的半径， 是的切线． 【小问2详解】 解：，， ，，， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 21. 为响应“全民阅读”号召，某中学深入开展“书香校园·每日阅读”主题读书活动．现随机抽取八年级部分学生，统计其每日阅读时长（时长用表示，单位：分钟），并对数据（时长）进行统计整理．下面给出了部分信息： a．在统计数据时不慎将墨汁滴到统计表中，掩盖了部分数据，如下表所示： 组别 阅读时间分钟 数据 第一组 22，25，23 第二组 31，34，36，35，32 第三组 43，47，46 第四组 51，57，54 b．不完整的学生阅读时长的频数分布直方图和扇形统计图如图： 根据以上信息完成下列问题： （1）求随机抽取的学生人数，并补全频数分布直方图； （2）扇形统计图中第四组的圆心角的度数是_____度； （3）若第四组数据的中位数是53，则第四组中被盖住的数字为_____； （4）若该校共有学生1500人，试估算该校约有多少名学生每日阅读时长不少于30分钟． 【答案】（1）随机抽取的学生人数为20人，图见解析 （2）72 （3）52 （4）估计该校约有1275名学生每日阅读时长不少于30分钟 【解析】 【分析】（1）用第一组的人数除以所占的比例即可得出随机抽取的学生人数，求出第二组、第四组的人数，即可补全频数分布直方图； （2）用乘以第四组人数所占的比例即可得出结果； （3）根据中位数的定义求解即可； （4）用乘以每日阅读时长不少于30分钟的学生人数所占的比例即可得出结果． 【小问1详解】 解：（人）， 故随机抽取的学生人数为人， 第二组人数为（人）， 第四组人数为（人）， 补全频数分布直方图如图所示： 【小问2详解】 解：， 故扇形统计图中第四组的圆心角的度数是度； 【小问3详解】 解：∵第四组数据的中位数是53， ∴第四组中被盖住的数字为 ； 【小问4详解】 解： （人）， 故该校约有名学生每日阅读时长不少于30分钟． 22. 为赋能乡村产业振兴，打造农产品产销一体化示范项目，某镇拟建，两类展位供当地农产品展览和销售．已知1个类展位的占地面积比1个类展位的占地面积多4平方米；5个A类展位和10个类展位的占地面积共260平方米．建类展位每平方米的费用为120元．建类展位每平方米的费用为100元． （1）求每个，类展位占地面积各为多少平方米？ （2）该镇拟建，两类展位共40个，且类展位的数量小于类展位数量的2倍，如何规划、两类展位的建设数量，才能使建造展位的总费用最少？最少为多少元？ 【答案】（1）每个类展位占地面积20平方米，每个类展位占地面积16平方米 （2）建设类展位14个，类展位26个时总费用最少，最少75200元 【解析】 【分析】（1）设每个类展位占地面积为平方米，每个类展位占地面积为平方米，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出结果； （2）设建设类展位个，类展位个，根据题意列出一元一次不等式，求出，设建设展位的总费用为元，表示出由题意得，再结合一次函数的性质即可得出结果 【小问1详解】 解：设每个类展位占地面积为平方米，每个类展位占地面积为平方米， 由题意得， 解得， 答：每个类展位占地面积20平方米，每个类展位占地面积16平方米； 【小问2详解】 解：设建设类展位个，类展位个， 由题意得 ， 解得， 设建设展位的总费用为元， 由题意得， ， 随增大而增大， 当时，，此时 ， 建设类展位14个，类展位26个时总费用最少，最少75200元． 23. 一次函数的图象与反比例函数的图象交于、与轴交于点，与轴交于点． （1）求，的值及点坐标； （2）点在轴上且在点左侧，若是以为底边的等腰三角形，求点坐标； （3）点在轴上，当以点、、、为顶点的四边形面积为5时，求点的坐标． 【答案】（1），， （2） （3）点坐标为或 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象和反比例函数图象的交点问题，反比例函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）先求出点坐标，然后利用待定系数法求出反比例函数的表达式，联立比例函数和一次函数解析式即可求出点坐标； （2）设，根据利用坐标系中两点距离公式列方程求解即可； （3）分点在轴正半轴上和负半轴上两种情况，根据利用割补法表示四边形面积，即可列方程求解． 【小问1详解】 解：将代入，得，即 将代入，得，即， 令，解得（舍），即 【小问2详解】 解：设，由（1）知，， 则，， 是以为底边的等腰三角形 ，（舍） 【小问3详解】 解：在中，当时，，当时，， 即，设 如图，点在轴正半轴上， ，即． 如图，点在轴负半轴上， ，即 综上所述，点坐标为或 24. 抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点是抛物线上位于直线下方的动点，过点作轴的平行线交直线于点，点是轴上的一个动点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最大值； （3）如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点是新抛物线上一点，连接，当时，请求出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）将交点坐标，代入抛物线的解析式，解方程组求b，c． （2）因为抛物线与轴交于点C，得，已知得到直线 ，设 ，则 ，，用二次函数求最大值及对应点的坐标，利用对称转化线段关系，作点P关于轴的对称点，此时（三点共线时取等号），求的长度． （3）抛物线沿射线方向平移个单位，根据平移规律，得到平移后抛物线的解析式 ，根据锐角三角函数（正切）求得，已知，解得，和 联立方程组求得N点的坐标． 【小问1详解】 解：（1）由题意可得 解得 【小问2详解】 解： 根据题意先求C点坐标：令，得，即， 设直线的解析式为，代入，可得 ， 设，则， ， 当时，最大，此时． 作点P关于轴的对称点，连接并延长交轴于点E， 此时（三点共线时取等号），即为所求． ， ， ． 【小问3详解】 解： ， 沿平移个单位，即向右平移1个单位，向上平移2个单位， 由（1）知 由题可知 ． 设直线与轴交于点，如图， ，，， ，，， ，， ， ， ， ， ． ， ． 设直线的解析式为， ， ． 令 解得， 或． 25. 如图，在矩形中，对角线和相交于点，边的长为4，边的长为，在平面内绕点旋转，且始终保持，． （1）如图1，当点与点重合时，线段与线段的数量关系是_____，线段与线段的位置关系是_____． （2）如图2，我们发现在绕点旋转的程中始终保持，当点旋转至线段的中点时，求线段的长． （3）如图3，若点的运动轨迹为直线，连接，请直接写出线段的最小值和此时的面积． 【答案】（1），EF （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据点与点重合时，点在上，由已知可求矩形对角线长为； （2）作于，易求，，进而求出，再利用，列比例方程即可求解； （3）作于，连接，并延长交于，由旋转相似容易证明，由点为定点，可知点在定直线上，而且，根据点到直线的距离垂线段最短可得，由此即可得出，再利用解三角形求出面积即可． 【小问1详解】 解：∵在矩形中，，，， ∴， ∴， ∵点与点重合， ∴， ∵，， ∴，在上， ∵，， ∴， ∴， ∴， 综上所述：，． 【小问2详解】 解：作于，如图2， 四边形为矩形， ，，， ，， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 为中点， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 即长为． 【小问3详解】 解：，． 详细解答过程： 作于，连接，并延长交于，如图： 四边形为矩形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即 ， ， ， ， 为定点，， 在直线上， ，， ， ， ，， ∴ ，， ， ， ， ． 【点睛】解题关键是利用特殊角解三角形求线段长和利用旋转相似模型转化线段和角的关系，问题（3）是典型的瓜豆模型，利用旋转相似构造，从而证明从而得出点的轨迹． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $