2026年初中数学中考一轮复习备考 解直角三角形的应用

**基本信息** 聚焦解直角三角形应用，以构造直角三角形、三角函数应用为核心方法，系统覆盖测量、方位、坡度等中考高频场景，强化几何直观与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |测量高度/距离|6题|作垂线构造直角三角形，用正切建立方程|三角函数定义→直角三角形边角关系→实际测量转化| |方向角与方位|1题|方位角定位，结合等腰直角三角形性质|方向角概念→坐标系构建→解直角三角形综合| |坡度坡比|3题|坡比设参，转化铅直与水平距离|坡度定义→比例关系→三角函数应用| |动态与综合|5题|多直角三角形关联，用变量表示线段|运动过程→几何不变量→方程思想解决综合问题|

解答题中解直角三角形的应用 高频考点押题练 2026年初中数学中考复习备考 1．小红和小华想测量一竖直放置在山坡上的防火警示杆的高度，在管理人员的陪同下，她们带着工具前往测量，小红在坡面上的点处安装测角仪，测得警示杆顶端的仰角为，小华测得警示杆与坡面的夹角为，且警示杆底端与测角仪底端之间的距离为，已知测角仪的高度为，点，，，，，，在同一平面内，，均与水平线垂直，求警示杆的高．（参考数据：，，，，，） 2．如图，一辆汽车在笔直公路上的点处，一架无人机悬停于空中点处，此时测得汽车的俯角为．汽车以的速度从处出发，沿公路行驶，同时，无人机从处以的速度始终沿与水平方向成角的方向向上飞行．出发后，无人机飞行至点处，此时汽车恰好位于点的正下方点处：又经过，无人机飞行至点处，此时汽车行驶至点处，测得汽车的俯角为．（参考数据：，，，．） (1)__________，__________；（用含的代数式表示） (2)求汽车的行驶速度． 3．小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2．已知，，，，．（结果精确到0.1，参考数据：，，，，，） (1)连结，求线段的长． (2)求点A，B之间的距离． 4．如图，，，，，在同一平面内．是小西家，艺术馆位于的北偏东方向6千米处；小福家位于的西南方向，同时在的正东方向；咖啡店位于的南偏东方向，同时在的正东方向；图书馆在的正南方向，同时在的南偏东方向．（参考数据：，，） (1)求小西家与小福家的距离；（结果保留小数点后一位） (2)周日上午，小西和小福相约去图书馆．小福先从家里前往咖啡店购买了两杯咖啡，购买完成后电话联系上小西，小福从咖啡店前往图书馆的同时小西从家里前往图书馆．已知小西与小福的速度之比为，当他们相距千米时，求小西离开家的距离．（结果保留小数点后一位） 5．小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行的高度AD，小亮通过操控器指令无人机测得桥头B，C的俯角分别为∠EAB=60°，∠EAC=30°，且D，B，C在同一水平线上．已知桥BC=30米，求无人机飞行的高度AD．（精确到0.01米．参考数据：≈1.414，≈1.732） 6．某下坡路段，交通部门安装了一套电子限速检测系统．如图，在离下坡路终点6米处（即米）的电线杆上安装一个电子眼进行区间测速，电子眼位于点处，区间测速的起点为坡面点处，此时电子眼的俯角为；区间测速的终点为下坡路终点处，此时电子眼的俯角为（，，，四点在同一平面）． (1)求电线杆的高度； (2)已知下坡路段坡比，如果该路段限速米／秒，某汽车用时1秒匀速通过测速路段，该汽车是否超速？请说明理由． 科学计算器按键顺序 计算结果（已取近似值） 0.17 0.98 4.12 7．“科技改变生活”，小王同学是一个摄影爱好者，入手了一个无人机用于航拍．在一次航拍时，小王在B处测得无人机A的仰角为，登上斜坡的C处测得无人机A的仰角为．若斜坡的坡比为，C处的铅垂高度为1.5米（点M，B，N在同一水平线上），求此时无人机的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，） 8．如图1，一吸管杯放置在水平桌面上，矩形为其横截面，为吸管，其示意图如图所示，，，．将杯子绕点按顺时针方向旋转，使与水平线平行(如图3)． (1)杯子与水平线的夹角______； (2)由图2到图3，点A的位置是升高了还是下降了？变化了多少厘米？(结果精确到，参考数据：，，) 9．某临街商铺想做一款落地窗以展示商品，为防止商品久晒受损，需保证冬至日正午时分太阳光不能照进落地窗．如图，已有的遮阳棚，遮阳棚前段下摆的自然垂直长度，遮阳棚的固定高度，． (1)如图，求遮阳棚上的B点到墙面的距离； (2)如图，冬至日正午时，该商铺所在地区的太阳的高度角约是（光线与地面的夹角），请通过计算判断该商铺的落地窗方案是否可行．（参考数据：，，） 10．脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁交于点，求房屋的高．（点在同一水平线上）．（参考数据：， 11．随着中国科技的飞速发展，无人机的功能越来越多．我们借助无人机可以测量很难直接测量的物体高度．安徽广播电视中心又名安徽广电新中心、安徽广播大楼，位于安徽省合肥市蜀山区．某校数学实践小组开展“利用无人机测量电视中心高度”的实践活动．如图，无人机在距地面80米的点A处测得塔顶D在点A的北偏东的方向，测得塔底E在点A的南偏东的方向上，塔身上点B处与点A处位于同一条水平线上．求电视塔的高度．（结果保留整数，参考数据：，，，，，，，） 12．图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是热水器的侧面示意图，已知屋面的倾斜角，真空管与水平线的夹角，真空管的长度为米，安装热水器的铁架竖直管的长度为米，求水平横管的长．（结果精确到米，参考数据：，，，，，） 13．如图，小明想利用数学课上学习的知识测量某塔的高度．他发现此塔的影子一部分落在平台上，一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影子长为米，落在斜坡上的影子的长为8米，若2米的竖立标杆在斜坡上的影子的长为4米，同一时刻太阳光线与水平地面成．请你帮小明求出此塔的高度．（结果保留整数，参考数据：） 14．夏季来临，小红想为自家房子安装遮阳棚（如图），侧面如图所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚前端自然下垂边的长度，遮阳棚固定点距离地面的高度，遮阳棚与墙面的夹角．某时刻的太阳光线与地面的夹角（如图），求此时遮阳棚在地面上的遮挡宽度的长． （精确到．参考数据：，） 15．某种水龙头关闭时如图①所示，将其简画成图②，点D、A、E共线，是水管，台面．是开关，可整体绕点A上下旋转，且，，连接，，，． (1)求的长度（结果保留一位小数）； (2)如图③，当开关开到最大时，旋转到的位置，旋转角，求此时点到台面的距离（结果保留一位小数）． （参考数据：，，，．） 参考答案 1．警示杆的高约为． 过点作于点，过点作于点，则四边形是矩形，则，．解可推出的长，解求出的长即可得到答案． 解：如图，过点作于点，过点作于点，则四边形是矩形． ，． 在中，， ， 在中，， ． 答：警示杆的高约为． 2．(1)， (2) （1）根据路程=速度时间，汽车行驶时间分别为秒和秒，直接用速度表示对应路程即可； （2）过点作于点，过点作于点，过点作于点，交于点．．解，，，分别求得，进而根据，列出方程，求得，进而求得，即可求解． （1）解：汽车从行驶到的时间为， 路程为：， 汽车从行驶到的时间为， 路程为：， 故答案为：，； （2）过点作于点，过点作于点，过点作于点，交于点． 则四边形是矩形， 依题意， ∴ 设． 在中，， ∴ 在中，， ∴ ∴， ∴ 在中， ∵， ∴ 解得： ∴ 解得：， 答：汽车的行驶速度为． 3．(1) (2) （1）过点C作于点F，根据等腰三角形的性质可得， ，再利用锐角三角函数，即可求解； （2）连结．设纸飞机机尾的横截面的对称轴为直线l，可得对称轴l经过点C．从而得到四边形DGCE是矩形，进而得到DE=CG，然后过点D作于点G，过点E作EH⊥AB于点H，可得，从而得到，再利用锐角三角函数，即可求解． （1）解：如图2，过点C作于点F， ∵， ∴，平分． ∴， ∴(cm)， ∴． （2）解：如图3，连结．设纸飞机机尾的横截面的对称轴为直线l， ∵纸飞机机尾的横截面示意图是一个轴对称图形， ∴对称轴l经过点C． ∴，， ∴AB∥DE． 过点D作于点G，过点E作EH⊥AB于点H， ∵DG⊥AB，HE⊥AB， ∴∠EDG =∠DGH=∠EHG=90°， ∴四边形DGCE是矩形， ∴DE=HG， ∴DG∥l， EH∥l， ∴， ∵，BE⊥CE，   ∴， ∴(cm)， ∴． 本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键． 4．(1)千米 (2)4.1千米 （1）如图，过点B作于点F，求出，，然后得到，即可求解； （2）首先解直角三角形求出，，设小西运动到点G时，小福运动到点H时他们相距千米，过点G作于点M，设，，然后利用勾股定理求解即可． （1）解：如图，过点B作于点F， 根据题意得，， ∵， ∴， ∴， ∵小福家位于的西南方向， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴小西家与小福家的距离为千米； （2）解：∵，，， ∴， ∴， 根据题意得，， ∴， ∴， 如图，设小西运动到点G时，小福运动到点H时他们相距千米，过点G作于点M， ∵小西与小福的速度之比为， ∴， 设，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 整理得，， 解得（舍去），， ∴， ∴小西离开家的距离为4.1千米． 5．25.98米 由∠EAB=60°、∠EAC=30°可得出∠CAD=60°、∠BAD=30°，进而可得出CD=AD、BD=AD，再结合BC=30即可求出AD的长度． 解：∵∠EAB=60°，∠EAC=30°， ∴∠CAD=60°，∠BAD=30°， ∴CD=AD•tan∠CAD=AD，BD=AD•tan∠BAD=AD， ∴BC=CD﹣BD=AD=30， ∴AD=15≈25.98， 答：无人机飞行的高度AD为25.98米． 本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，通过解直角三角形找出CD=AD、BD=AD是解题的关键． 6．(1)8米 (2)不超速，理由见解析 （1）在中，根据正切的定义求解即可； （2）过D作于F，于G，则四边形是矩形，得出，，，进而求出，设，根据坡比定义求出，，，在中，根据正切的定义得出，求出，然后根据勾股定理求出，即可判断． （1）解：由题意知， ∴， 在中，（米）， 答：电线杆的高度为8米； （2）解：不超速，理由如下 过D作于F，于G， 则四边形是矩形， ∴，，， ∴， 设， ∵坡比， ∴， ∴，， 在中，， ∴， 解得，即， ∵下坡路段坡比， ∴ ∴， 而， 所以该汽车不超速． 7．12.8米 本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，过点C作，垂足为E，根据题意可得：米，，再根据已知易得：米，然后设米，则米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 解：过点C作，垂足为E， 由题意得：米，， ∵斜坡的坡比为， ∴， ∴（米）， 设米， ∴米， 在中，， ∴（米）， 在中，， ∴米， ∵， ∴, 解得：， ∴（米）， ∴此时无人机的高度约为12.8米． 8．(1) (2)点A的位置是下降了厘米 （1）过点作，根据平行线的性质即可求解； （2）过点作于点，延长交的延长线于点，在中，，在中，，，求得，即可求解． （1）解：如图所示， 过点作， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）如图所示， 过点作于点，延长交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ， ∴； 点A的位置是下降了厘米． 本题考查了解直角三角形的应用，平行线的性质，求扇形面积，熟练掌握以上知识是解题的关键． 9．(1) (2)可行 本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作于，根据代入数据求出的值即可； （2）延长交于点，延长交于点，利用勾股定理求得，再根据，求出的长与比较大小即可得出结论． （1）解：如图所示，过点B作于， 在中，， ． 即的点到墙面的距离为； （2）解：如图，延长交于点，延长交于点， 可得，，， 在中，，， ， 由题意，四边形是矩形，则， 由可知，， 在中，， 即：， ， ，所以光线刚好不能照射到商户内，方案可行． 10．约 本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，轴对称图形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 利用平行线的性质可求出的度数，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长度．过点作，根据题意得，设，在中，利用锐角三角函数定义求出的长，从而在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答． 解：∵， ∴． ∵该房屋的侧面示意图是一个轴对称图形，， ∴，， ∴． 过点作，垂足为， 设． ∵， 在中，． ∵， 在中， ． ∵， ． ∵，， ∴， 解得：， ∴． 答：房屋的高约． 11．298米 求即求与，已知则可将用表示出，这样即可求出，题目给出的值，则可在直角 中用表示，在直角中用表示，这样即可求出． 解：由题意，可知米，． 在中，． 在中，； 米， （米）， （米）， （米）． 答：电视塔的高度约为298米． 12．水平横管的长约为米 过点作于点，解直角三角形求解即可得到答案． 解：过点作于点，如图所示： 在中，，， （米），（米）， 由题意得米， （米）， 在中，，则（米）， （米）， 答：水平横管的长约为米． 13．此塔的高度约为48米 过点C作，交于点M，过点M作于点N，则四边形为矩形，结合题意可证得到，在中运用解直角三角形的计算得到米，由即可求解． 解：如图，过点C作，交于点M，过点M作于点N，则四边形为矩形． 由题意得：米，米，米，米，，，， ∴， ∴， ∴，即， 解得（米）， ∴米， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， 答：此塔的高度约为48米． 14． 先作辅助线，在中用三角函数求边长，进一步得到的长；再在中求，最后用减去得约，完成遮阳棚遮挡宽度的计算． 解： 过作于，延长交水平地面于，可得四边形是矩形， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，即， ，即， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴， ∴ ∴． 15．(1) (2)点到台面的距离为 （1）利用锐角三角函数求解； （2）根据矩形的判定和性质得出相等的边，最后利用锐角三角函数求解． （1）解：∵， ∴， ∵，， ∴； （2）解：如图所示，过点作于点，交于点， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $