反比例函数中的面积问题 专项练 2026年初中数学中考一轮复习备考

反比例函数中的面积问题 高频考点归纳 专项练 2026届初中数学中考一轮复习备考 一、单选题 1．如图，已知双曲线与直线交于、两点（点在点的左侧），过点作轴垂线，过点作轴垂线，两条垂线交于点，若的面积为8，则的值为（　　） A．2 B．4 C．8 D．16 2．如图，点在双曲线上，连接并延长，交双曲线于点，点为轴上一点，且，连接，若的面积是9，则的值为（   ） A．9 B．6 C．4 D．3 3．若图中反比例函数的表达式均为，则阴影面积为2的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴，交轴于点，连接，取的中点，连接，则的面积为（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 5．如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点，连接，，则面积为（    ） A． B． C． D． 6．如图，反比例函数，的图象在平面直角坐标系中，点B为的图象上一点，过点B分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为，线段被的图象上一点D分成两部分，且，连接，则的面积为（   ） A．2 B． C． D．1 7．如图，反比例函数的图象在平面直角坐标系中，点为的图象上一点，过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为，线段被的图象上一点分成两部分，且，连接，则的面积为（   ） A．2 B． C． D．1 8．下列与反比例函数图象有关的图形中，阴影部分面积最小的是（    ） A．B． C．D． 二、填空题 9．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，点C在y轴上，若的面积等于4，则k的值为__________． 10．如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于点和点．与反比例函数的图象在第一象限内交于点，过点作轴，轴．垂足分别为点，．当矩形的面积是的面积的2倍时，的值为______． 11．如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于，两点，点在反比例函数第一象限的图象上且坐标为，若的面积为，则的值为____________． 12．如图，点M，N在反比例函数的图象上，分别过点M，N向x轴、y轴作垂线，则_____（填“>”、“<”或“＝”）． 13．在滑行过程中，小明发现滑道的两边形如两条双曲线，如图，点，，在反比例函数的图象上，点，，在反比例函数（，）的图象上，轴，已知点，的横坐标分别为：1，2，，令四边形、、的面积分别为、、，用含k的代数式表示______． 14．如图，点B在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上，且轴，，垂足为点C，交y轴于点A，则的面积为______． 15．如图，点是反比例函数图象上任意一点，过点且平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，点在轴正半轴上，以为边作平行四边形，则四边形的面积为_________． 16．如图，直线与直线分别交函数图象于点，，则以点，，为顶点的三角形面积是_______ 17．如图，点是反比例函数在第一象限内的图象上的一个动点，过点作垂直轴交反比例函数的图象于点，连接并延长，交反比例函数的图象于点，连接，则的面积为______． 三、解答题 18．如图，直线与双曲线交于B，D两点，分别过点B，D作x轴的垂线，垂足分别为点A，C，连接，，已知点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求四边形的面积． 19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（为常数）的图象与轴交于点，与反比例函数（为常数，且）的图象交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，连接、，求四边形的面积． 20．如图，反比例函数的图象经过点，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，点在反比例函数第三象限的图象上． (1)求反比例函数的表达式． (2)求的长． (3)记图中两处矩形阴影的面积分别为，，则__________．（填“<”“=”或“>”） 21．如图，菱形的边长为3，面积为，边与y轴重合，反比例函数经过点C，与直线相交于D，F两点，其中点D为线段的中点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)求四边形的面积． 22．如图，动点在函数的图像上，过点分别作轴和平行线，交函数 的图像于点、，作直线，设直线的函数表达式为． (1)若点的坐标为． ①直线的函数表达式为______； ②当 时，的取值范围是______； ③点在轴上，点在轴上，且以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点、的坐标； (2)连接、，求证：的面积是个定值． 参考答案 题号 3 4 5 6 7 8 答案 B D B B B A 1．B 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合思想是解题的关键． 设点A的坐标为，根据题意可得点B的坐标为，从而得到，然后根据的面积为8，即可求解． 解：设点A的坐标为， ∵双曲线与直线交于、两点， ∴点A，B两点关于原点对称， ∴点B的坐标为， ∵过点作轴垂线，过点作轴垂线，两条垂线交于点， ∴， ∵的面积为8， ∴， ∴， ∴． 故选：B 2．B 本题主要考查了反比例函数的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 如图：过点A作轴，过点B作轴，根据相似三角形的判定和性质得出，确定，然后结合图形及面积求解即可． 解：如图：过点A作轴，过点B作轴， ∴， ∴， ∵点A在双曲线上，点B在， ，， ， ，即， ， ∵，轴， ， ， ， ， ， ，解得：． 故选B． 3．B 根据反比例函数的几何意义逐一分析判定即可． 解：A．阴影面积，故选项A不符合题意； B．阴影面积，故选项B符合题意； C．阴影面积，故选项C不符合题意； D．阴影面积，故选项D不符合题意． 4．D 本题考查了反比例函数的几何意义与三角形面积的计算，解题的关键是设出点的坐标表示出线段长度，结合中点性质求出的高，再利用面积公式计算． 设点A的横坐标为，根据反比例函数解析式表示出A、B两点坐标，求出的长度；由D是中点得出点D到的距离；最后代入三角形面积公式计算． 解：设点的坐标为（）． 轴， 点的横坐标为，点的横坐标为． 点在的图象上， 点的坐标为． 点在的图象上， 点的坐标为． ， 即． 点是的中点， 点到直线（直线）的距离为． ． 故选：D． 5．B 根据反比例函数中系数的几何意义求出和，再利用解答即可求解． 解：∵点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴， ，， ． 6．B 由题意设点，则，由点B和点D的纵坐标相同得出，进而可求出的面积． 解：∵， ∴设点，则， 由题意知，点B和点D的纵坐标相同， ∴， 解得：， ∴， ∴. 7．B 由题意设点，则，由点B和点D的纵坐标相同得出，进而可求出的面积． 解：∵， ∴设点，则， 由题意知，点B和点D的纵坐标相同， ∴， 解得：， ∴， ∴. 8．A 本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，根据反比例函数系数k的几何意义对各选项进行逐一分析即可． 解： A、如图所示，分别过点M和N作轴，轴，则； B、M、N两点均在反比例函数的图象上，所以； C、M、N两点均在反比例函数的图象上，所以； D、M、N两点均在反比例函数的图象上，所以． ∵， ∴A中阴影部分的面积最小． 故选：A． 9． 该题考查了一次函数和反比例函数综合，由正比例函数与反比例函数图象的对称性可得O为的中点，且，根据的面积得出的面积，联立两个函数解析式求出B点坐标，表示的面积，即可求出k的值． 解：由正比例函数与反比例函数图象的对称性可得O为的中点，且． 的面积等于4， 的面积等于2． 将联立可得B点坐标为． ， ∴， ， ∴． ， ， 故答案为：． 10． 分别求出矩形与的面积，再根据“矩形的面积是的面积的2倍”列出方程求解即可． 解：∵一次函数的图象与轴和轴分别交于点和点， ∴取，则；取，则，解得：． ∴点的坐标为，点的坐标为， ∵， ∴，， ， ∵点是反比例函数的图象在第一象限内一点， ∴矩形的面积为， 当矩形的面积是的面积的2倍时，， 解得：（舍去）或． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，矩形的性质，求三角形的面积，一元二次方程的解法等知识点，解题的关键是利用矩形与三角形的面积关系列出方程求解． 11． 如图，连接，过点作轴于点，过点作轴于点，则，根据题意求得，由，即可得出，解方程求得的值，从而求得． 本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数与正比例函数的中心对称性，正确表示出的坐标是解题的关键． 解：如图，连接，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象与正比例函数的图象交于，两点，的面积为， ∴、关于原点对称， ∴， ∴， ∵点在反比例函数第一象限的图象上， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴． 故答案为：． 12． 根据反比例函数k值的几何意义解答即可． 解：设阴影部分的面积为m，根据反比例函数k值的几何意义可得： ， ∴． 13． 根据反比例函数图象上点的特征和平行于y轴的直线的性质计算，最后根据梯形面积公式可得的面积；分别计算的值并找规律，即可得答案． 解：∵轴， ∴和的横坐标相等，和的横坐标相等，，和的横坐标相等， ∵点的横坐标分别为1，2，…， ∴点的横坐标分别为1，2，…， ∵点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上， ， ， 同理，， ， ，， ， ． 14．4 过点作轴于点，则四边形为矩形，根据反比例函数值的几何意义，得到矩形的面积等于，再根据的面积是矩形面积的一半即可得解． 解：过点作轴于点，    ∵轴，， ∴， ∴四边形为矩形， 设与轴的交点为，则四边形和四边形均为矩形， ∵点B在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上， ∴矩形的面积， ∵为矩形的对角线， ∴的面积等于矩形的面积的一半，即：的面积等于4． 15． 连接、，利用反比例函数的几何意义求出的面积，再结合平行四边形与三角形的面积关系求解． 解：连接、，设交轴于点，如图， ∵轴， ∴轴． ∵点在反比例函数的图象上， ∴； 点在反比例函数的图象上，同理可得； ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形的面积． 16． 将一次函数与反比例函数解析式联立，求出点A，B坐标，根据求解． 解：如图，过点A作轴，过点B作轴，得到矩形， 联立，得：， 联立，得：， ，， ，， ，， 点，在函数图象上， ， ． 17．6 根据反比例函数值的几何意义及关于原点对称的点的坐标特征解答即可． 解：如图，连接， 点在反比例函数的图象上，轴 ， 点在反比例函数图象上， ， ， 点与点关于原点对称， ， ． 18．(1) (2)4 本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用、平行四边形判定及的几何意义，掌握利用函数对称性判定平行四边形，结合反比例函数面积性质计算图形面积是解题的关键． （1）由轴及得的横坐标，代入直线解析式求坐标，再代入反比例函数求； （2）利用函数对称性得关于原点对称，证四边形是平行四边形，再由的几何意义求面积． （1）解：轴于点， 点B的横坐标为， 将代入，得， ． 将代入，得， 故反比例函数的解析式为． （2）解：直线与双曲线均关于原点对称， 它们的交点B，D关于原点对称， ，， 四边形是平行四边形． 由的几何意义可知， ． 19．(1) (2) 本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用、待定系数法求函数解析式及平面直角坐标系中图形面积的计算，熟练运用待定系数法和割补法是解答本题的关键． （1）利用待定系数法，先代入点坐标求一次函数解析式，再结合点坐标求出反比例函数的值； （2）将点坐标代入反比例函数解析式求出的值，结合割补法将四边形拆分为两个三角形，依次计算三角形面积并求和． （1）解：将代入得， ， 解得：， ， 将代入得： ， ， 将代入得： ， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：将代入得： ， ， ， 过点作， ，，， ，， ． 20．(1) (2) (3) 本题考查待定系数法求函数解析式，反比例函数的图象，比例系数的几何意义，熟练掌握相关知识是关键． （1）将点代入反比例函数的表示式求出的值即可； （2）将代入反比例函数的表达式，求出点的坐标，使用勾股定理计算出的长； （3）根据反比例函数的比例系数的几何意义进行判断即可． （1）解：将点代入反比例函数，得， ， 解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：将代入，得， ， 解得， ∴点的坐标为， ∵轴于点， ∴，， 在直角中，； （3）解：由反比例函数的比例系数的几何意义可知， ，， ∴． 故答案为：． 21．(1)反比例函数的解析式为 (2) （1）先根据菱形的性质得出且轴，从而可得，于是有，可求得，再根据勾股定理求得，从而可得出C点坐标，将C点在反比例函数图像上，就可求得反比例函数的解析式； （2）先求得点D的坐标，从而可根据求解，求得四边形的面积． （1）解：延长与x轴相交于点E， ∵菱形的边长为3，轴， ∴且轴． ∵， ∴， ∴． 在中，根据勾股定理得， ∵，， ∴， ∴． ∴C点坐标为． ∵C点在反比例函数图像上， ∴． ∴反比例函数的解析式为． （2）解：过点D作x轴的平行线交y轴于点M，交线段于点N． 则，点M与点D的纵坐标相同， ∵四边形是菱形， ∴， ∴点E与点B的横坐标相同， 而在y轴上， ∴轴， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∵点D是线段的中点，A点坐标为，B点坐标为， ∴，， ∴，，， ∴， ，， ∵， ∴， ∴． 22．(1)①；②或；③或 (2)见解析 （1）①首先求出点B和C的坐标，代入直线的函数表达式为，解方程即可；②首先求出直线与x轴交点横坐标，再根据图象可得答案；③设，分三种情形，分别根据平行四边形的性质和中点坐标公式可得答案； （2）延长分别交x轴于G，交y轴于H，设，表示出的面积即可． （1）解：①当时，则，， ∴ ， 解得 ， ∴直线的解析式为， 故答案为：； ②当时，， 由图象知，当或时，， 故答案为：或； ③设， 当为对角线时， ， ∴ ， ∴， 当为对角线时，， ∴， 此时点B、C、D、E共线，故舍去， 当为对角线时，， ∴， ∴， 综上，或； （2）证明：延长分别交x轴于G，交y轴于H，设， ∴，， ∴ ， ∴的面积是个定值． 学科网（北京）股份有限公司 $