湖南衡阳市衡阳县第一中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

2026年上学期衡阳县第一中学高一期中考试 数学试题 分值150分，时量120分钟 命题人：邹小平 审题人：邹学广 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符 合题目要求 1(必修一P14,第2题改编).设全集U={xx是小于9的正整数}，集合A={L,3,5},则CA中元素个数为() A.0 B.3 C.5 D.8 【答案】C 【解析】因为U=1,2,3,4,5,6,7,8},所以A={2,4,6,7,8},CA中的元素个数为5， 故选：C. 2.(必修二P94,第1题)复数a+bi与c+di的积为实数的充要条件是() A.ad+bc=0 B.ac+bd=0 C.ac=bd D.ad=bc 【答案】A 3.(必修一P43第8题)下列不等式中成立的是() A.若a>b>0,则ac2>bc2 B.若a>b>0,则a2>b2 C.若a<b<0,则a2<ab<b2 D.若a<b<0,则1<号 a b 【答案】B 【解析】A.若a>b>0,则ac2>bc2错误，如c=0时，ac2=bc2,所以该选项错误； B.若a>b>0,则a2-b2=(a+b(a-b)>0,∴.a>b2,所以该选项正确： C.若a<b<0,则a2-ab=a(a-b)>0,.a>ab,所以该选项错误： D.若a<b<0,则1-1_6-a>0,.1> ，所以该选项错误。 a b ab a b 故选：B 4.函数f(x)=0.3-√x的零点所在区间是() A.(0,0.3) B.(0.3,0.5) c.(0.5,1) D.(1,2) 【答案】B 【解析】由指数函数、幂函数的单调性可知：y=0.3”在R上单调递减，y=√x在[0，+o)单调递增， 所以f(x)=0.3-√x在定义域上单调递减， 高一数学第1页共9页 显然f(0)=1>0,f(0.3)=0.33-0.35>0,f(0.5)=0.305-0.505<0, 所以根据零点存在性定理可知f(x)的零点位于(0.3,0.5). 故选：B 5.(必修二P31例7改编)已知a=(4,2),b=(6,y),且a/6,则y=（）. A.-12 B.-3 C.3 D.12 【答案】C 解：因为a/6,所以4y-2×6=0.解得y=3. 13 6.如图是水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图AB'CD',且'/'轴， A'B'Px'轴，则原四边形ABCD的面积是() D'2C A.14 B.10W2 C.28 D.14√2 【答案】C 7.(必修二P52第2题).已知点O、N、P在△ABC所在平面内，且|OA曰OB=OC,NA+NB+NC=0, PA·PB=PB.PC=PC.P,则点O、N、P依次是△ABC的() A.重心、外心、垂心 B.重心、外心、内心 C.外心、重心、垂心 D.外心、重心、内心 【答案】C 【解析】OA曰OB曰OC,则点O到△ABC的三个顶点距离相等，∴.O是△ 的外心 :NA+NB+NC=O,.NA+NB=-WC,设线段AB的中点为M,则2NM=-NC,由此可知N为AB 边上中线的三等分点（靠近中点），所以N是△的重心. PA.PB=PB.PC,∴PB.(PA-PC)=PB.CA=0.即PB⊥CA,同理由PB.PC=PC.PA,可得 PC⊥AB.所以P是△的垂心. 故选：C 8、如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x,x2,,x,都有 f(s)+fs)++f八≤f x+x2+…+xn 若y=sinx在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC中， n n sinA+sinB+sinC的最大值是() A. B.3 c.5 D.3V 2 2 2 高一数学第2页共9页 【答案】D 二、多选题：（本大题共3小题，每小题6分，满分18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符 合要求，全部选对给6分，部分选对给部分分，有选错的给0分)· 9.若复数z= 5 i-2 ,其中i为虚数单位，则下列结论正确的是() A.z对应的点在第三象限 B.2=5 C.z2为纯虚数 D.z的共轭复数为2-i 【答案】AB 【解析】因为z= 5 5(-2-i) 5(-2-i0-2-i, -2（-2+i)(-2-i)5 对于A:z对应的点(-2，-1)在第三象限，正确； 对于B:模长以=√(-2)2+(-1)2=5，正确： 对于C:因为z2=(-2-)2=3+4i,故z2不是纯虚数，C不正确： 对于D:z的共轭复数为-2+i,D不正确。 故选：AB. 10.函数f(x)=Asin(ox+p) A>0,o>0k 的部分图象如图所示，则下列说法中正 确的有() A.0=2 0 为函数f(x)的一个对称中心点 117 C. π为函数∫(x)的一个递增区间D.可将函数y=cos2向右平移二π个单位得到∫(x) 6元3 6 【答案】ABD 【解析】由题可得得，A=1,T=2× 2ππ =元，则0=2红=2，故A正确： 36 又/后-1.所以2×名+p-+2ez).又k号所以@=君所以)=m2x+ 2 对于B,当x= 对于C,由-T+2km≤2x+T≤元+2k,k∈Z,可得-工+km≤x≤+km,k∈乙， 62 6 117 不是函数f(x)一个递增区间，故C错误； 高一数学第3页共9页 对于D,将函数c0s2x向右平移二π个单位得到 6 y=a2x-o2x引-m2子+}m2x+君}.放D正疏 故选：ABD 11.在△ 中，角A,B,C对边分别为a,b,c,设向量m=(c,a+b),n=(a,c),且m//n,则下列选项正确的 是() A.A=2B B.C=24 C.1<9<2 D.△ 的面积为S,则C=” a 4 【答案】BC 【解析】因为向量m=(c,a+b),n=(a,c）,且m/m,所以c2=a(a+b),即c2=a2+ab, 结合余弦定理得cosC=?+b-c -1+b 2ab ，cosC=-ab+b2 2ab cosC--22a 再结合正弦定理得cosC=- 1+sin B 2sin Acos C=-sin A+sin B, 2 2sin A 又因为sinB=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C, 所以2 sin AcosC=-sinA+sin Acos C+cos Asin C, sin Acos C-cos Asin C=-sin 4,sin(A-C)=-sin A,sin(A-C)=sin(-A), 所以A-C=-A,故C=2A,所以B正确，A错误： c=sinC_sin24_2sin4cosA,因为sinA≠0，所以C=2cosA, a sin A sinA sinA a 0°<A<180 又因为0°<2A<1801 ，所以0<A<60,所以<c0sA<1, 2 0°<180°-3A<180 即1<2c0sA<2,因此1<C<2,故C正确： a 因为S=absinC= 2 =4,结合正弦定理sin Asin BsinC=-in2'C, 4 即sin4sinB=2sinC,则sin4sin(80-34）-2sin2A, 1 sin Asin34=sin 2A,sin Asin34=sin Acos A,sin34=cos 4,sin34=sin(4+90) 则3A+A+90°=180°，或3A=A+90°， 高一数学第4页共9页 故A=22.5°或A=45,故C=45°或C=90°，故D错误， 【答案】BC 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分. 12.(必修二P24第21题)己知△ABC的外接圆圆心为O,且2AO=AB+AC,OA=AB,则向量BA在向量BC 上的投影向量为 【答案】BC 4 【解析】如图，由2AO=AB+AC知O为BC的中点， 又，O为△ABC的外接圆圆心，：.OA=OB=OC 又OA曰AB|.AB=OB=OA=OC,∴.△ABO为正三角形，∠ABO=60°， “.BA在BC上的投影向量为)BO=BC. 4 13.(必修二P119练习1)己知圆锥的表面积为6π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径 为 【答案】 【解析】：设圆锥的底面半径为，母线长为，则由题意得6元=π2+元川又圆锥的侧面展开图为半圆， .2πr=πl,即1=2r,代入上式得，=√2，圆锥的底面直径为2√2 14(必修二P47例8)在△中，己知B=30°，b=√2，c=2,则a= 【答案】5+1或3-1 解：由正弦定理，得sinC=csinB_2sin30°V2 b √22 因为c>b,B=30°，所以30°<C<180°.于是C=45°，或C=135°： (1)当C=45°时，A=105° 此时a=bsin4_-2sin105°_V2sim(60°+459）-V2(sin600s45°+cos60°sim45) sin B sin30° sin30° sin30° 25x2+lx2 2×2+22 =3+1 1-2 (1)当C=135°时，A=15° 高一数学第5页共9页 此时a= bsinA√2sinl5°V2sin(45°-30）V2(sin45°cos30°-cos45°sin30） sin B sin30° sin30° sin30° √x √2321 -× -× 22 2 √3-1 2 四、解答题：本大题共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程 15.(本小题13分)已知复数z满足z·z=2,且z的虚部为-1，z在复平面内所对应的点在第四象限。 (1)求z; (2)若z,z2在复平面上对应的点分别为A,B,O为坐标原点，求∠OAB. 【答案】(1)z=1-i;(2)∠OAB=90°. 【解析】 【分析】(1)设z代数形式，根据z·z=2解得z; (2)先根据复数得向量AO,AB坐标，再根据向量夹角公式得结果. 【详解】(1)设：z=x-i(x,y∈R), 因为：z2=2,所以x2+1=2,得x=1或=-1， 又z在复平面内所对应的点在第四象限，所以z=1-i: (2)z2=(1-i)=-2i, 所以A(1,-1),B(0,-2),O(0,0),A0=(-1,1),AB=(-1,-1), 所以cos∠OAB=_AO.AB 1-1 40列x@2x5=0, 所以∠OAB=90°. 6(本小题15分)已知函数f)=sin2x-cosx-2 sinxcosx,x∈[-2 ()求∫西)的值：(2)求)的最小正周期及单调递减区间。 【解析】(1)fx)=sin2x-cos2x-2 sin xcosx=-cos2.x-sin2x=-V2sin(2x+, 所以/设=-5sn2x+经=-2sn=0. x8+ 2π (2)f(x)的最小正周期为T= =元， 2 由-T+2km<2x+s+2km,k∈Z,得-3亚+km≤x≤C+km,keZ, 2 42 8 8 高一数学第6页共9页 所以f()在R上的递读区间为[-证+km,+K∈， 8 因为e[-子及，所以倒的减间观-及 17.(本小题15分)已知三个互不相同的平面向量|ā曰b=c=1,a与c夹角为60°，b与c夹角为60°， (1)求-与的夹角。 (2)|ka+b+>V6,求k的范围. 解：(1)因为(a-b)·c=d.c-b.c=1×1×cos60°-1×1×cos60°=0， 所以（ā-b)⊥c;即-与的夹角为90°。 (2)因为a与b夹角为60°+60°=120°，且|ka+b+c>V6, 所以(ka+b+c)2>6,即k+b2+c2+2kā.b+2ka·c+2b.c>6, 所以k2+1+1+2k×1×1×c0s120°+2k×1×1×cos60°+2×1×1×cos60°>6， 化简得k2>3,解得k<-V3或k>√5，所以k的取值范围是(-0，-√3)LU(W3,+0). 18.(本小题17分)如图，在△ 中，AB=2,3ac0SB-bc0SC=CC0SB,点D在线段BC上. I)若∠ADC=弧，求AD的长： 4 A (2)若BD=2DC,△ ,求sin∠BAD 的面积为4V2 的值。 sin∠CAD 3sin Acos B=sin Bcos C+cos Bsin C=sin(B+C)=sin(-A)=sin A B D .解(1)因为3 a cos B-bcosC=ccos B, 由正弦定理可得， 1e(0,则血4>0，故cosB行，则分为锐角，所以.mB=小ooB22 3 4，则∠ADB= ∠ADC= 4,在△ABD中，由正弦定理得D AB sin B sin∠ADB' AD 2 ÷222,解得D 8 3 32 (2)△ .1 =×2××29-则BC=2 3 3 由BD=2DC,得= 由余弦定理可得， 143 2=V2+2-2· 4+4-2×2×2×3=3 高一数学第7页共9页 在△ABD中，由正弦定理可得 BD AB sin∠BAD sin∠ADB'故L 在△MBD中，由正弦定理可得。CD AC sin∠CAD sin∠ADc'故 6 图为$in∠ADB=sm(z-乙ADC)=sim乙ADC,所以么=一= 3 6 19.(本小题17分)借助国家实施乡村振兴政策支持，某网红村计划在村内扇形荷花水池OAB中修建荷花观赏台， 助推乡村旅游经济如图所示，扇形荷花水池01B的半径为20米，圆心角为牙设计的荷花观赏台由两都分组成， 一部分是矩形观赏台MNPQ,另一部分是三角形观赏台AOC.现计划在弧AB上选取一点M,作MN平行OA交 OB于点N,以MW为边在水池中修建一个矩形观赏台MNPQ,NP长为5米；同时在水池岸边修建一个满足AO=OC 且∠COA=2∠AOM的三角形观赏台AOC,记∠AOM=x 6 (1)当∠AOM=刀时，求矩形观赏台MNPQ的面积； (2)求整个观赏台（包括矩形观赏台和三角形观赏台两部分）面积的最大值 解：(1)当∠4OM=工时，过M作OA的垂线，交40于点E. 则ME=0M:sin=20×}=10. 2 0E=0M.cos2-=20x5 105 6 2 过N作OA的垂线，交AO于点F,NF=ME. :∠AOB=，OF=F=10, 4 .MN=OE-OF=10W5-10.NP=5. 矩形MWPQ的面积S=MW.NP=5×10W5-l0)=50(V5-平方米. 所以矩形观赏台MNPQ的面积50(V5-1)平方米. (2)由题意可知，∠40M=x,∠408-年∠w0N=-x,∠n0- 41 OM 在aOMN中，由 MN sin∠MON sin∠MWO MN OM cosx-OM sinx=20(cosx-sinx). 矩形MWPg的面积S,=MN.WP=5×20(cosx-sinx)=l00(cosx-sinx). 观赏台a40C的面积S,=0A-0C-sin∠40C=x20x20sin2x=200sin2x. 2 2 整个观赏台面积S=S,+S2=100(cosx-sinx)+200sin2x. 设1=os-snx=5cos+月引石≤≤子 高一数学第8页共9页 .0≤≤-1 2 2=(cosx-sinx)=cos2 x+sin2x-2sin xcosx=1-sin 2x. ∴.sin2x=1-t2. .'S=100(cosx-sinx)+200sin 2x =10r+200-f）=-2m4-8+2125. 当t=[0,时，整个观赏台观赏台s取得最大值为212.5平方米. ∴.整个观赏台的面积S的最大值为212.5平方米 高一数学第9页共9页2026年上学期衡阳县第一中学高一期中考试 数学试题 分值150分，时量120分钟一—命题大灯邹小平 审题人，邹学广一一 一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求) 1.设全集U={x是小于9的正整数}，集合A=1,3,5,则CA中元素个数为（一→ A.0 B.3 C.5 D.8 2.复数a+i与c+d的积为实数的充要条件是（) A.ad+bc=0 B.ac+bd=0 C.ac=bd D.ad=be 3.下列不等式中成立的是（) A.若a>b>0,则ac2>bc2 ,B.若a>b>0,则a2> C.若a<b<0,则a2<ab<b2- D若a8<0,则时号 4.函数f()=0.3-√F的零点所在区间是（) A.(0,0.3) B.(0.3,0.5) C.(0.5,1) D.0,2) 5.已知a=(4,2),=(6,y),且厉，则y=（-) A.-12 B.-3 C.3 D.12 6.如图是水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图AB'CD,且A'D/y轴， AB'/x轴，则原四边形ABCD的面积是() A.14 B.10N2c.28D.142 7.已知点O、、P在△ABC所在平面内，且1OHOHOC,NA+N四+NC=0, :PAPB=PBPC=PCP,则点O、N、P依次是△ABC的（) A.重心、外心、垂心B.重心、外心、内心C.外心、重心、垂心D.外心、重心、内心 8如果函数f()在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意，，，名，都有 +/s)++s+名+…+5]，若y=simx在区间0，上是凸函数，那么在AMBC中 sinA+sinB+sinC的最大值是() B.3 D.35 2 高一数学第1页共4页 二、多选恩：（本大题共3小题，每小题6分，满分18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符 合要求，全部选对给6分，部分选对给部分分，有选错的给0分)· ?若复数：高其中为虚数单位，则下列结论正确的是(） A.z对应的点在第三象限 B.=5 C.z2为纯虚数 D.z的共轭复数为2-i 10.函数f()=Asin(@x+p)4>0,®>0，问<号的部分图象如图所示，则下列说法正确的有() A.0=2 B（径0]为函蒙/问的一个对称中心点 c.[侣]为函数问的一个递端区间 D.可将函数y=c0s2x向右平移二π个单位得到f(凶) 6 11.在△ABC中，角AB,C对边分别为a,b,c,设向量m=(C,a+b),n=(a,c小，且m1m,则下列选 项正确的是（·)· A.A=2B B.C=24 · C.1<e<2 D.△ABC的面积为号，则C-号 Q 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分. 12.已知△ABC的外接圆圆心为O,且2A0=正+AC,可丽，则向量8☑在向量BC上的投影向量为 13已知圆锥的表面积为6m,且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥底面的直径为 14.在△ABC中，已知B=30°，b=√2，c=2,则a= 四、解答题：本大题共5小题，满分77分解答应写出文字说明、证明过程或演算过程。 15.(满分13分)已知复数Z满足z五=2，且z的虚部为-1，z在复平面内所对应的 点在第四象限。 (1)求z; (2)若z,2在复平面上对应的点分别为A,B,O为坐标原点，求∠OAB 高一数学第2页共4页 16,(销分15分)已知函数f问=前x-c0gx-2如xo8x,xe[-晋孕. (1)求受)的值：(2)求f)的最小正周翔及单调递减区间. 17.(满分15分)已知三个互不湘同的平面向量aHH1,a与a夹角为60°，与：夹角为60°， (1)求d-与的夹角。 (2)1a+i+cp6,求k的范围.（注：(a+b+c}=a2++c2+2ab+2ac+2bc) 18.(满分17分)如图，在△ABC中，AB=2,3 acosB-bcosC=ccosB,点D在线段BC上. 0诺Dc-号，求D的长： (2若D=2DC,△ABG的面积为4 ,求∠BAD 3 sim∠CAD 的值， 高一数学第3页共4页 19.借助国家实施乡村振兴政策支持，某网红村计划在村内扇形荷花水池OAB中修建荷花观赏台， 助推乡村旅游经济.如图所示，扇形荷花水池0AB的半径为20米，圆心角为子设计的荷花观赏台由 两部分组成，一部分是矩形观赏台MNPg,另一部分是三角形观赏台AOC.现计划在弧AB上选取 一点M,作MN平行OA交OB于点N,以MN为边在水池中修建一个矩形观赏台MNPg,MP长为 5米；同时在水池岸边修建一个满足40=0C且∠COA=2L4OM的三角形观赏台40C,记 uow=gxs到 (I)当AOM-时，求矩形观赏台MNPQ的面积： (2)求整个观赏台（包括矩形观赏台和三角形观赏台两部分）面积的最大值， 高一数学第4顷共4顷