湖南衡阳市常宁市第一中学2025-2026学年高一下学期5月期中素质评价数学试题

HUN202605 高一数学·答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1.答案D 命题透析本题考查复数的运算与复数的模， 解析因为：+i名+i2+i=1+21,所以1：+il=V25 2 2 2.答案A 命题透析本题考查向量数量积的几何意义， 解析设a与b的夹角为0.由题可知11 alcos0l=2,∴.|a·b1=11a1b1cos0l=2×2=4. 3.答案C 命题透析本题考查分层随机抽样 解析设A校应抽取的人数为元三所高中的学生总人数为2400+1800+1200=5400，所以有700=2400 解得x=120. 4.答案D 命题透析本题考查空间位置关系的判断 解析对于A,若l∥m,l∥a,则m∥a或mC,故A错误； 对于B,C,如图，在正方体ABCD-A,B,C,D,中，取a为平面ABCD,B为平面ABB1A1,l=CD,符合题设，但CD∥ 平面ABB,A1,故B错误，取α为平面ABCD,B为平面ABB,A1,l=C,D,符合题设，但平面ABCD与平面ABB,A1 相交，故C错误； 对于D,若a∥B,m⊥a,n⊥B,则m∥n,故D正确. D A B D B 5.答案B 命题透析本题考查样本数据百分位数的计算 解析因为样本量n=10,i=p=10×0.4=4,样本数据从小到大排列后第4个数是92，第5个数是95，所以第 40百分位数是2+95=93.5. 2 一1 6.答案C 命题透析本题考查简单几何体的结构特征及两平面所成的二面角的正弦值. 解析如图，取棱AB的中点D,连接CD,PD,过点P作底面ABC的垂线，垂足为E,则PE为三棱锥的高，且E 在线段CD上，CE=2DE,PD⊥AB,CD⊥AB,所以该三棱锥的侧面与底面所成的二面角的大小等于∠PDE的大 小因为B=3,所以DB=了×停x3-9又因为PE=2.所以Pm=里所以mLP0E=器-S则该 三楼锥的侧面与底面所成的二面角的正弦值为4四 19 7.答案B 命题透析本题考查平面向量基本定理. 解析如图，因为D为BC的中点，所以市-2应+2C,设=1(e[0,1]),则市=弦+子Ad0.因 为A花-心，所以B驼=花-店=}花-应设=m脑(me[0,1]),则市=A店+成=+m成=g花+ 2=1-m, [m=3 ) (1-m)AB②.因为A与AC不是共线向量，所以由①②，得 解得 所以亦=4+4花 m 2=3 b=2 8.答案A 命题透析本题考查简单几何体的结构特征及正、余弦定理的应用. 解析如图，取AC的中点E,连接BE,DE,则BE⊥AC,DE⊥AC,.∠BBD=号，又在△BED中，BE=DE=2, ·.BD=2.平面BCD截三棱锥B-ACD的外接球所得截面为△BCD的外接圆.在△BCD中，cos∠BCD= BD4万 ②2)产+(22-2子in4 BCD-设ABCD的外接圆半径为R,测R民2ZCD7截面的 2×22×22 面积S=mR=1 一2 B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分. 9.答案ABC 命题透析本题考查复数的几何意义· 解析复数(m3-m)+(m2+m)i表示的点的坐标为(m3-m,m2+m),因为该点在虚轴上，所以m3-m=0,解 得m=-1或1或0. 10.答案AC 命题透析本题考查频率分布直方图及样本的数字特征. 解析对于A,样本中日均体育锻炼时长在[60,80)内的频率为0.015×20=0.3，则学生人数为100×0.3= 30,故A正确； 对于B,样本数据的最小值在[0,20)内，最大值在[100,120)内，所以样本数据的极差a满足80<a<120,故B 错误； 对于C,前两组数据的频率之和为(0.005+0.01)×20=0.3，前三组数据的频率之和为0.3+0.015×20=0.6，所 以中位数落在[40,60)内，设中位数为m,则0.3+(m-40)×0.015=0.5,解得m≈53，故C正确； 对于D,样本中日均体育锻炼时长不低于80分钟的频率为0.0025×2×20=0.1，所以估计日均体育锻炼时长 不低于80分钟的学生人数占总人数的10%，故D错误. 11.答案ACD 命题透析本题考查解三角形 解析对于A,由c+2 acos C-2b=0及正弦定理，得sinC+2 sin Acos C-2sinB=0,因为A+B+C=T,所以 sin C+2sin Acos C-2sin B=sin C+2sin Acos C-2sin(A+C)=sin C+2sin Acos C-2(sin Acos C+cos Asin C)= simC-2 Asin C=0,因为A,Ce(0,m),所以sinC≠0，casA=7,A=号，故A正确： b 对于B因为a2,所以由正弦理得sCnB之上4所以c5AnC6马nB sinV5 3 3 3 所以b-e-言n8-方nc=看n得-d小-清nc=2c+后nc- 4sin C=2c0s C-2-sin C= 3 3 后C+）,由0<C<号得若<C+名<行所以-号<(C+君）水号所以6-：的取值范回是 (-2,2),故B错误； 一3 对于C,由余弦定理得d=+e2-2 ces,A即4=62+c2-e=(b+c)2-3c≥(6+c)2_3(b+c2 4 b+c二（当且仅当b=c时取等号），解得b+c≤4，所以△ABC的周长a+b+c=2+6+c≤6，故C正确； 4 对于D,由正弦定理得6青n6=后n(停-d=2asC+29nC,所以C,=ba·asG 4(omsc+月nc小omc=4osc+45 in C=21+cs20)+2gn20-4g5n(2c+）+2.因为 C∈(0，），所以2C+号∈（牙，3），则2C+号=受，即C=受时，sim(2C+号）=1，C.C取得最大值，为 2+5故D正确 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12答案号 命题透析本题考查向量垂直的坐标运算. 解析由题意得a·b=2cos0-3sin0=0,所以an0=2 13.答案√3 命题透析本题考查斜二测画法的直观图与原平面图形的关系， 解析如图1，在△A'B'C中，作C'D'⊥A'B于点D',因为A'B=4,A'C'=BC'=√13，所以A'D'=2,CD'= √/13-4=3，又∠C'0'D'=45°，所以0'D'=3,0'A'=1,0'C=3√2，根据斜二测画法的原理将直观图△A'BC' 还原为△ABC(如图2)，可得0C=20'C'=6√2,0A=0'A'=1,所以AC=√72+I=√/73 D' B花 图1 图2 14答率号 命题透析本题考查棱台的结构特征及棱台与正方体的位置关系. 解析过正四棱台上、下底面的中心E,F及侧面梯形两平行边的中点B,C作正四棱台的截面，如图，由题知问 题可转化为求正四棱台内能容纳的球的半径的最大值.易知E,F分别是AB,CD的中点，连接EF,过B作BNL DC于N.由题意可知AB=2,CD=8,BC=6,易得EF=BN=35.作∠BCD的平分线与EF交于点O,过点O作OK⊥ 一4 BC,足为K,则oK=0因为sm∠BCN-器-3g语-9.所以∠BCY=609,则∠0CP=30,Or=FC·m0:4X 号-9<-宁8即，故球的半径的最大值为R设正方体的校长为则：=-2R8解得=号 3=31 AEB ▣ FN 四、解答题：本题共5小题，共7分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.命题透析本题考查平面向量共线定理及向量的运算 解折(I已知可得m-6m=Am-号(m-n-号m+号n,AeR… (3分) 16 m,n不共线， 解得 5A, 2 :.k=- (6分) 《2)由题意得m·n=2X2Xc0s气三2，…/ (8分) m-2nP=(m-2m)2=m2+(2m)2-4m·n=l6-8+4=16(l-4)+3, 故当1=子时，m-2nP取得最小值，为3， 则lm-2nl的最小值为5.… (13分) 16.命题透析本题考查频率分布直方图及样本的方差 解析(1)由频率分布直方图，得10×(0.005+0.010×2+0.020+0.025+a)=1, 解得a=0.030. (3分) 各组的组中值依次为45,55,65,75,85,95，对应频率依次为0.05,0.1,0.2,0.3,0.25,0.1， 所以平均数=45×0.05+55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.1 =2.25+5.5+13+22.5+21.25+9.5=74, 所以估计这100个样本数据的平均数为74.… (7分) (2)由于样本数据在[60,70)与[70,80)内的频率之比为2：3， 所以两组的总平均数为8=6的×子+5×子=71，。 (10分) 所以总方差2=[6+(65-71)门]×号+[3+(5-7门×号-4=282 5=5 …(15分)》 一5 17.命题透析本题考查正方体的结构特征及空间线面位置关系， 解析（1)如图1，在平面AM,D,D中，连接D,E并延长，与直线DA交于点P,则PA=AD,… (2分) 在平面CCD,D中，连接D,F并延长，与直线DC交于点Q,则QC=CD,…(4分) 连接AC,AD,CD,PQ,则PQ为平面D,EF与平面ABCD的交线L,且PQ∥EF∥AC.…(5分) 在等边△ACD,中，AC与CD,所成的角为子， 故1与CD,所成的角为号 (8分) D 图1 (2)取B,C1的中点H,连接A1C,GH,CH. 因为AC∥平面A,B,C,D,故AC平行于平面ACG与平面A,B,C,D,的交线， 又G,H分别为A,B,B,C,的中点，所以GH∥A1C,∥AC, 平面ACG∩平面A,B,C,D,=GH,故平面ACG分正方体为如图2所示的两部分： …(11分)》 设正方体的棱长为2，则其体积为8， =V袋ac=兮(a+5%度+M):B服=写（分+2+√分x2]x2=子 7 V 、3 。7 7=171 …（15分) 8 3 B 图2 18.命题透析本题考查简单几何体的结构特征及空间线面位置关系， 解析（I)如图，取CD的中点E,连接PE,EH. 因为△PCD为等边三角形，所以CD⊥PE, 又在等腰梯形ABCD中，H为AB的中点，可知EH为等腰梯形的高，故EH⊥CD, 又EH∩PE=E,EH,PEC平面PHE,所以CD⊥平面PHE,得CD⊥PH.…(3分) 一6— 因为PE=√I6-4=25,EH=√4-I=√5，且P+Ef=PE, 故PH LEH,… (5分) 又EH∩CD=E,EH,CDC平面ABCD, 所以PHL平面ABCD.… (6分) D (2)在平面ABCD内，作HF⊥BC于点F,连接PF 由(1)易知PF⊥BC,从而∠PFH为二面角A-BC-P的平面角. (8分) 易知∠ABc=哥，则HF=sin∠ABC=3 2 (10分) 所以PF=√PF+HR=3 2, 所以PF=牙，即二面角A-BC-P的余弦值为牙 7 (12分) (3)设A到平面PBC的距离为h. 易知-版=业胶，即写S版·P阴=子5。微·点， 即时×分x6x5x3=号×分2×2x解得h=6 7 …(15分) 设直线AB与平面PBC所成的角为6， (17分) 19.命题透析本题考查解三角形 解析(1)因为acos C+(2b+c)cosA=0, 所以由正弦定理可得sin Acos C+2 sin Bcos A+sin Ccos A=0, sin(A+C)+2sin Bcos A=0, … (2分) 又在△ABC中，B=T-(A+C),所以sin(A+C)=sinB, 所以sinB+2 sin Bcos A=0, 因为0<B<m,所以sinB>0,所以cosA=- 2 又AE(0,m),所以A=2 3 (4分) (2)因为a=7,△ABC的周长为15，所以b+c=8, (5分) 又∠MG-罗， 一7 由余弦定理可得a2=b2+c2-2 bccos,∠BAC, 即9=6+d-2cosξ=2+e+c=(b+e)2-6c=64-c, 解得bc=15.… (7分) 因为AD是∠BMC的平分线，所以LBAD=LCD=号 (8分) 因为S△Bc=SAACD+S△ABD, 所以宁csn号=之~ADsin号+之·A0sin号 即bc=AD·(b+c), 所以0=总 (10分) (3)因为cn=号Bc,所以=号aC+号应。 两边平方变形得9A市=4A衣+被+4A花·花， 又1C1=号，1=g,所以d=462+c-2, (12分) 由正弦定理得k2sin2A=4sin2B+sin2C-2 sin Bsin C, 所以子=sinc+4sin(号-C-2snn(3-c =smc+4停c-nc-2inc停ec-nc sin2C+3cos2C-23sin Ccos C+sin2C-3sin Ccos C+sin2C =3sinC+3(1-sinC)-3/sin CoosC=3-3sin 2C, 2 (14分) 所以k2=4-25sin2C, 因为ce(0,号）所以2ce(0.号)放n20e(0,1, 所以k2=4-25sin2C∈[4-25,4)， 所以5-1≤k<2, 即实数k的取值范围为[5-1,2).…(I7分) 一8一HUN202605 高一数学 注意事项： 1.答通前，务必将自己的个人位息填写在答题卡上，并将条形码茫贴在答翅六上的指定 位置。 2,回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如霄 改动，用橡皮擦干？后，再进涂其他答策标予。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上， 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的： 1若复数：=己则上+1 A.0 B.1 C.2 D.5 2.已知向量a在向量b上的投影向量的模为2，且Ib1=2,则1a·b1= A.4 B.5 C.6 D.7 3.“一尺一举一寸间，科学用眼护双限.”为保护青少年视力，培养科学健康的用眼习惯，某市 疾控中心联合教有局开展“背少年视力健康监测与科学用眼宜传”.计划从全市三所高中 (A校2400人，B校1800人、C校1200人)的所有学生：中，按人数比例采用分尽随机抽样 的方法抽取270人进行视力检测与用眼习惯问卷调查，则4校应抽取的人数为 A.60 B.90 C.120 D.150 4.已知1.m,为条不同的H线，红，B为两个不同的平面，则下列结论止确的是 A.若m,l∥a,则m∥a B.若1Ca,⊥B,则1⊥B C.若l∥a,1∥B,则x∥E D.若∥B,m⊥，n一B,则m∥n 5.某班10名学生的致学验成绩分月为85,8.90.92,95.96,98,100.105,105.划这组数据 的第40百分位数是 A.95 B.93.5 C.92.5 D.92 6.已知正三棱锥P-A(的底面边长为3，高为2，侧该三棱锥的侧血与底血所成的二面角的 正弦值为 A何 C.4四 D 3 19 3 数学第1页（共4页） 7,.在△ABC巾，D为BC的中点，点E在边AC上，且花=A若AD与8E相交于点P,则 护 A.+A B4+4d C.7A+AC D.16+2AC 8.已知正方形ACD的边长为2v2,将△AC沿对角线AC翻折，使二面角B-AC-D的大小 为写，则平面BCD截三棱能B-ACD的外接球所得裁面的面积为 9 B.54n 7 C.4m D.8m 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知复平面内表示复数(m3-m)+(m+m)i的.点在虚轴上，则实数m的值可以是 4.-1 B.0 G.1 D.2 10.为落实“健康中国"行动，某莜关注学生体质健康，随机抽取高一年级100名学生，统计其 日均体有锻炼时长（单位：分》，将所有数据分成六组后，得到如图所示的频率分布直方图 (每织均为左闭右开区间)，则 率 组E n.015 0.01 0.005 .025-- 02布4价价010120时长分 A.样本中日均体育锻炼时长在[60,80)内的学生人数为30 B.样木数据的极差一定小于100 C.样本数据的中位数约为53 D.估计日均体育锻炼时长不低于80分钟的学生人数占总人数的5% 11.在△Ac中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知c+2asC-2b=0,a=2,则 AA=号 B.b-c的取值范围是(-1,2) C.△ABC尚长的最人值为6 n..函的最大位为2+45 数学第2页（共4页》 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知向址a=(2,-3)与b=(cs0,sin0)垂直，则ln0= 13.如图所示的△A'BC是水平放置的△ABC的斜二测画法的直观图，已知A'B'=4,A'C- BC=√13，则在△1BC巾，AC= O'A 14.有一个正四棱台形状的封闭储物盒，其上、下底面面积分别为4和64，侧面梯形的高为6， 若一个正方体可以在盒内任总旋转，则该正方体的棱长的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 设m,n是两个不共线的向量， (1)若问量m,,子(m-m)的起点州相同时，它1的终点共线，求交数的值： (2)若1ml=11=2,且m与n的夹角为写，4eR,求m-2ml的最小值 16.(15分) 某烘培片为糊研某款全支面包的质量情况，随机抽取了0个这款全麦面包，将称亚后得 到的数据分成六组，分别为[40,50)，[50,60)，…，[90,100]（单位：克），得到如图所示的 频率分布直方图， (1)求图中“的值，并估计这100个样本数据的平均数：（同一组中的数据以该组所在区间 的中点值为代袁) (2)若样本在[60,70)内的平均质址是65克，方差是6，在70,80)内的平均质址为75克 方差是3，求这两组质量的总方差$2 知地 0.025 0.020 0.010 .0D5 V40506070090100压量克 数学第3页（共4页） 17.(15分) 如图，在正方体AFD-A乃G,D,中，E,F,G分别是楼AA1,G,A,乃1的中点，平面DEF 与平面ABCD的交线为【，过A,C,G三点的平面将正方体分成体积为V,W2的两部分，且 y=W2(0<k<1). (I)求1与CD所成角的大小： (2)求实数k的值 D 18.(17分) 如图，四棱排P-ABCD的底而是等腿模形，CD=4,AB=6,AD=BC=2,侧而PCD是等边 三角形，H为AB的中点，且PH=3. (1)求证：PH⊥平面ABCD; (2)求而狐A-C-”的余弦值； (3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值. 19.(17分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知acos C+(2b+c)coA=0,D为边BC上 一点 (I)求A: (2)若AD是∠BAC的平分线，a=7,△ABC的周长为15，求AD的长度； (3)若CD=了BC,A初=kCD,求实数k的取值范间 数学第4页（共4页）