第五章 分式与分式方程 追梦综合演练卷-【追梦之旅·初中数学铺路卷】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

铺路卷 自恋之旅 ZBB·(八年级数学下 +为期中、期末铺路，为中考、未来铺路 第五章追梦综合演练卷 测试时间：100分钟 测试分数：120分 得分： 、选择题（每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 1分式 一有意义时，实数x的取值范围是( 蜗 A.x≠2 B.x=2 C.x>2 D.x<2 吉 2-y,x,其中分式共有( 胸2.下列各式+，2,3+y,+2’元 n A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 % 3.对分式，生，1进行通分时，最简公分母是( 2.x'3y2'4y A.24x2y B.12x2y2 C.24xy D.12xy2 2x 4.把分式 中的x和y都扩大2倍，分式的值( 2x+y 口 A.不变 B.扩大2倍 c亲小 D.扩大4倍 懒 5.若分式 4x-9 A B (3x+2)(x-1) 3x+2x一（A,B为常数)，则A、B的值 为( ) A.A=4,B=-9 B.A=7,B=1 C.A=1,B=7 D.A=-35,B=13 爵 6.若关于x的分式方程7x+3=2m-1 x-1 有增根，则m的值为( x-1 郡 1 A.0 C.1 D.4 7.实验室的一个容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克。如何 处理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍。晓 华根据这一情景中的数量关系列出方程3×10。，10 50150-,则未知 剂 数x表示的意义是( 食盐 A.增加的水量 B.蒸发掉的水量 C.加入的食盐量 D.减少的食盐量 8.为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，某校投入2万元 购进了一批劳动工具。开展课后服务后，学生的劳动实践需求 明显增强，需再次采购一批相同的劳动工具，已知采购数量与第 一次相同，但采购单价比第一次降低10元，总费用降低了15%。 设第二次采购单价为x元，则下列方程中正确的是( A.20000_20000x(1-159%) B.20000_20000x(1-15%) x-10 x-10 c.20000_20000x(1-159%) 2000020000×(1-15%) D x+10 x+10 1.1 9.新定义定义新运算“※”：a※6=。+6若2※(2x-1)=1,则x 的值为( 5 3 6 1 C. 2 D.- 6 10.若关于x的方程x+=-1的解是正数，则a的取值范围 x-2 为() A.a<2 B.a>2 C.a<2且a≠-4 D.a>2且a≠-4 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.新考法·开放性试题请你写一个分式，使它满足：当x=1时， 分式无意义。该分式为 0 12.当x= 时，分式6与2的值互为相反数。 x6-x 13.扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态 水果拓宽了市场。与去年相比，今年这种水果的产量增加了 1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了20%，批发销售 总额比去年增加了20%。已知去年这种水果批发销售总额为 10000元，则这种水果今年每千克的平均批发价是 元。 14.跨学科试题·物理凸透镜成像是自然界中的一个基本现象，其 中物距记为“，像距记为v,透镜焦距记为f,三者满足关系式： 十。于若已知则=。 111 15.跨学科试题·生物科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分 泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘、净化空气的作 用。已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一 年的平均滞尘量的2倍少4mg,一年滞尘1000mg所需的银 杏树叶的片数与一年滞尘550g所需的国槐树叶的片数相 同。若设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为xg,则根据题 意可得方程是 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.(9分)计算： 5.2 、4x2 (2),4.1 y x2-4x-29 17.(9分)解下列分式方程： 2+1=0; (22(x+102x+1-1。 x2 ☑ 8（9今先化衡，再求位：南三)请在-3,01,3中选 择一个适当的数作为x的值。 9(9分已知关于x的方程+1乙1的根与方程的根 相同，求a的值。 。17 20.新定义(9分)符号 61 称为二阶行列式，规定它的运算法 c d a b 则为： =ad-bc。请你根据上述规定求出下列等式中x c d 2 1 的值11 =1o 1-xx-1 21.学习情境·过程性学习(10分)下面是小斌同学进行分式化简 的过程，请认真阅读并解答问题。 2x+1x2-4 2x+4x2+4x+4 2x+1（x+2)(x-2) …第一步 2(x+2)(x+2)2 2x+1(x-2) …第二步 2(x+2)(x+2) 2x+12(x-2) …第三步 2(x+2)2(x+2) THE ROAD 2x+1-2x-2 …第四步 2(x+2) -1 …第五步 2(x+2) 1 …第六步 2x+4 (1)填空： a.以上化简步骤中，第 步是进行分式的通分，通分的依 据是 0 b.第 步开始出现错误，这一步错误的原因是： ① ② (2)请直接写出该分式化简后的正确结果 (3)除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化 简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议。 。18 22.新考法·项目式学习(10分)根据以下素材，探索完成任务1 和任务2： 主题：奶茶销售方案制定问题 当下年轻人喜欢喝奶茶，在入夏之际某知名奶茶品牌店推出 两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”。 两款奶茶配料表如下： 芝士杨梅 配料 芝士100mL/杯 茉莉清茶400mL/杯 杨梅肉 素材 多肉 1 19元/杯 满杯杨梅 配料 茉莉清茶500mL/杯 杨梅肉 17元/杯 多肉 5月27日当天销售“芝士杨梅”共获利润400元，“满 杯杨梅”共获利润480元，其中每杯“芝士杨梅”的利 素材 2 润是每杯“满杯杨梅”的了倍，“满杯杨梅”比“芝士杨 4 梅”多卖20杯。 由于芝士保质期将至，为了去库存，5月28日决定对 素材 “芝士杨梅”每杯降价4元促销，并要求当天芝士消耗 3 量不少于3500mL,配制的17500mL茉莉清茶全部 用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”。 问题解决 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的成本是 任务 确定奶茶 多少？（每杯利润=每杯售价-每杯成本= 1 的成本 总利润 数量） 任务 拟定最 为了使5月28日这两种奶茶获利最大，需 2 优方案 制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”共多少杯？ 23.（10分)阅读下面的材料，并解答后面的问题。 材料：将分式3+4-拆分成一个整式与一个分式（分子为整 x+1 数)的和（差）的形式。 解：由分母为x+1,可设3x2+4x-1=(x+1)(3x+a)+b。 因为(x+1)(3x+a)+b=3x2+ax+3x+a+b=3x2+(a+3)x+a+b, 易错 所以3x2+4x-1=3x2+(a+3)x+a+b。 分析 、以C+6,解得a1 b=-2 所以3x+4r-1_（x+1)(3x+1)-2_(x+1)(3x+1).2 x+1 x+1 x+1 7=3x+1 2 t70 这样，分式就被拆分成了一个整式3x+1与一个分式 2的差的形式。 谢 x+ 根据你的理解解决下列问题： (1)请将分式2+3x+6拆分成个整式和个分式（分子为整 x-1 数)的和（差）的形式。 (2)若分式5+9-3拆分成一个整式与一个分式（分子为整 x+2 数)的和（差）的形式为5m-1+6求m+n+m的最小值。 做题 心得解得a=4,k=20。故另一个因式为(x+4),k的值为 20。 (10分) 23.解：(1)(a-b)2=(a+b)2-4ab (3分) (2)由(1)可知：(3x-2y)2=（3x+2y)2-4·3x·2y,: (3x-2）2=5,(3x+2y)2=9,.5=9-24y,解得y=6。 .1 (7分) (3)x3-x=x(x-1)(x+1) (10分) 第五章追梦综合演练卷 答案12345678910 速查ABDBBDBDCC 1.A 2B【解折1号是分式，夫有2个，做遂B 答案 3.D4.B 5B【解析】342-台=4x--B3xt2 (3x+2)(x-1) 302源=好得4=78=1，故 选B。 6》【解析】解分式方程得x=。:方程有增根， m+1=1,m=4。故选D。 5 7.B8.D C【架标】由定义，峰时1，每得号故这C。 100【解折]解方程得x=2。:关于的方程 x-2 -1的解是正数…20且号20<2且a≠-4 故选C。 山点答家不生一）卫9 13.4【解析】设这种水果今年每千克的平均批发价是x 元，则去年每千克的批发价为x÷(1-20%)三x元，由 题意得100x1+20%）100-100,解得x=4,经检 5 4 验，x=4是原方程的解，且符合题意，即这种水果今年 每千克的平均批发价是4元。 14.415.1000_550 u-f ”2x-4x 16解：(1)原式=-x.5y.2xx 5y4x2 y2; (4分) 4 x+2 4-(x+2) (2)原式=(x+2(x-2)(x+2)(x-2)(x+2)(x-2 2-x 1 (x+2)(x-2)x+2° (8分) 17.解：(1)因为分式中分母不能为零，所以y≠±1。 (2分) 方程两边都乘(y2-1),得4-(y-3)(y+1)+y2-1=0,解 这个方程，得y=-3。 (3分) 检验：将y=-3代入原方程，得左边=0，右边=0，左边= 右边。.y=-3是原方程的根； (5分) (2)因为分式中分母不能为零，所以x≠0。方程两边都 乘x2,得2(x+1)2-x(x+1)=x2。解这个方程，得x= 2 30 (7分) 追梦之旅铺路卷·八年级 检验：将x=子代入原方程，得左边=1，右边=1，左边 右边。x=-号是原方程的根 (9分) 18.解：原式4(+3)--3》.-9=3+15，(5分) x2-9 为了使分式有意义，即x-3≠0，x+3≠0，x2-9≠0，x≠0，∴ x≠0，x≠±3，∴.x的值可取1。当x=1时，原式=3×1+15 =18。 (9分) 19.解：方程+4=3的解为x=2。 (4分) a+11中，得202 将x=2代入ax-2 a+121,解得a -3,经检验，a=-3是原方程的根，.a的值为-3。 (9分) 20.解：由题意得21 =1。 x-11-x (4分) 解这个方程，得x=4, (7分) 经检验x=4是分式方程的根。.x的值为4。 (9分) 21.解：(1)a.三分式的基本性质 (2分) b.四①括号前面是负号，去掉括号后括号里面第二 项没有变号②去括号时，括号里面的第二项没有与 括号前的系数相乘 (7分) 5 (2)2x+4 (8分) (3)分式的混合运算，要注意运算顺序（答案不唯一） (10分) 22.解：任务1：设每杯“满杯杨梅”的利润是y元，则每杯 “芝士杨指”的利润是子元，由愿意得：00 =20, y 5 解得y=8,经检验：y=8是原方程的根，∴.17-8=9 (元)，19-8x=9(元)，答：每杯满杯杨髯”的成本是 9元，每杯“芝士杨梅”的成本是9元； (5分) 任务2：设制作“芝士杨梅”m杯，“满杯杨梅”n杯，两种 奶茶获利为w元；由题，得400m+500n=17500,∴.n 175-4m,芝士消耗量不少于3500mL,100m≥350， 5 解得m≥35，根据题意得w=(19-4-9)m+(17-9)× 5 m+280,-子<0，w随m的增大面减 175-4m=-2 当m=35时，w取最大值，最大值为-号×35+28 =26(元)，此时n=175-4x35=7,×35+7=42(杯)， 制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”共42杯。 (10分) 23.解：(1)由分母为x-1,可设2x2+3x+6=(x-1)(2x+a)+b。 (x-1)(2x+a)+b=2x2+ax-2x-a+b=2x2+(a-2)x-atb,∴. 2+3+6=2x+(a-2)x-+6,因此有6，解得 a=5,2x+3x+6_x-10(2x+5)+ll-2x+5+1 (6=11· x-1 x-1 (5分) (2)由分母为x+2,可设5x2+9x-3=(x+2)(5x+a)+b。: (x+2)(5x+a)+b=5x+ax+10x+2a+b=5x+(a+10)x+2a+b, 54g-3=54(a410)+2a6,因此有5202，解得 (a=-1.5x2+9%-3_x+2)(5x-1)-l=5x-1-1, (b=-1 x+2 x+2 t42…5m 下·ZBB·数学第9页 11+1=5x-1 因此5m-11=5x-1,n-6=-x-2,.m= n-6 x+2 x+2,n=-x+4,.m2+n2+mn=x2-2x+28=(x-1)2+27。(x -1)2≥0，∴.(x-1)2+27≥27，∴.m2+n2+mn的最小值为27。 (10分) 第六章追梦综合演练卷 答案12345678910 速查CD C BADDB C D 1.C【解析】小：四边形ABCD是平行四边形，.LA+∠D= 180°。∠A=60°，.∠D=180°-60°=120°。故选C。 2.D【解析】.：四边形ABCD是平行四边形，∴.AD∥BC, ∠AEB=∠EBC,义.BE平分∠ABC,.∠ABE=∠EBC, .∠ABE=∠AEB,.∴.AB=AE=3,∴.ED=AD-AE=5-3= 2。故选D。 3.C4.B 5.A【解析】.四边形ABCD是平行四边形，.BO=DO= BD=7.AO=CO-AC=5,AB=CD=6,ACOD 长=6+5+7=18。故选A。 6.D7.D8.B 9.C【解析】：四边形ABCD是平行四边形，.AB∥CD, AB=CD。AE∥CF,.四边形AFCE是平行四边形， AF=CE,.AB-AF=CD-CE,∴.BF=DE。.BF∥DE, 四边形BFDE是平行四边形，设AB与CD之间的距离为 h,:四边形BFDE的面积是3，BF·h=3。AF= 2BF,iSa进型Pas=AF:h=2BF,h=2X3=6。故选C。 10.D【解析】.：四边形ABCD为平行四边形，∠BCD= 60°，∴.∠ADC=120°。.：DE平分∠ADC,∴.∠ADE= ∠CDE=60°=LBCD,.△CDE是等边三角形，.CD= CE=DE。AD=2AB,BC=AD,CD=AB,∴.BC=2CD= 2CE=2DE,.DE=CE=BE,∴.∠BDE=∠DBE= 2∠CED=30,∠CDB=90°，.LABD=90°，即AB1 1 BD,SABCD=AB·BD,故①正确；由①知，∠ADE= 60°，∠BDE=30°，∴.∠ADB=30°=∠BDE,∴.DB平分 ∠ADE,故②正确；.AB=CD,CD=DE,∴.AB=DE,故③ 正确；片BE=EC,SAE=)c。”B0=0D, 1 Saac=2Scms,SACDE=Saac,故④正确。故选D。 11.40°【解析】：四边形ABCD是平行四边形，.AB∥ CD,.∠BAD+∠D=180°。：∠D=65°，∠BAD= 115°。.∠1+∠DAC=∠BAD,∠1=75°，.∠DAC= 115°-75°=40°。 12.3 【解析】延长DC交EF于点H。四边形ABCD是 平行四边形，△BEF是等边三角形，.AB∥CD,AB=CD =2,BC=AD=3,∠F=∠EBF=∠BEF=60°，EF=BF,∴. ∠FCH=∠EBF=60°，∠FHC=∠BEF=60°，∴.△FCH 是等边三角形，.CH=CF=FH=2,.BF=BC+CF=5, CH=CD。:G为DE的中点，.CG为△DHE的中位 线，CG=EH。EF=BF=5,EH=EF-FH=3。 2 CG=3 -29 142 【解析】连接CM。:点D,E分别为CW,MN的中 点，DB=CM,当CMAB时，CM的值最小，此时DE 的值也最小，由勾股定理得：AB=√AC+BC=10。 追梦之旅铺路卷·八年级 c2·AB.CM=7·AC:BC,CM=2 1 5,.DE= 1 CM- 12 5 【方法点拔】当出现某一边或两边的中，点时，通常通过延 长某一边或连接两条线段的另一端点，将所求线段转化 到一个三角形中，从而可以使用三角形的中位线定理解 决问题。 15或3【解析】知图1，PQ=CD,且PQ与CD不平行， 作CEPQ交AD于点E,:四边形ABCD是平行四边 形，∴.ADBC,AB=CD=6cm,AD=BC=12cm,∠D=∠B =60°，∴.PE∥CQ,∴.四边形PQCE是平行四边形，.CE 大 =PQ=CD,PE=CQ,.△CDE是等边三角形，.ED=CD =6cm,':AP=tcm,PE=CQ=3tcm,∴.t+3t+6=12,解得t 3 23;如图2，PQ=CD,且PQ,/CD,则四边形PQCD是 二 案 平行四边形，.PD=CQ=3tcm,∴.t+3t=12,解得t=3s, 故1=或3时，线段P0=CD。 AP·E P ←0C B←O 图1 图2 16.证明：在□ABCD中，OA=OC,OB=OD,BM=DN,∴. OM=ON. (4分) ∠AOM=∠CON,.△AOM≌△COW(SAS),.AM= CN。 (9分) 17.解：(1)作图如下，点E即为所求： D (4分) (2)由作图可知，∠BAE=∠EAD。四边形ABCD是平 行四边形，∴.AD∥BC,.∠BEA=∠EAD,.∠BAE= ∠BEA,.AB=BE。.BC=8,CD=5,∴.BE=AB=CD= 5,∴.CE=8-5=3。 (9分) 18.(1)证明：.四边形ABCD是平行四边形，∴.ABCD,AB =CD,∴.∠E=∠F,∠EBO=∠FDO。又.OB=OD,.. △EBO≌△FDO(AAS),.BE=DF。又.AB=CD, BE-AB=DF-CD,即AE=CF: (5分) (2)解：四边形ABCD是平行四边形，AD∥BC, ∠AD0=∠OBC。:∠D0G=∠BOH,OB=OD,∴ △DOG≌△BOH(ASA),∴.OG=OH. (7分) △EB0≌△FD0,∴.OE=0F=5,.OH=0F-HF=3, ∴.0G=3。 (9分) 19.解：(1)：四边形ABCD是平行四边形，.AD=BC=3。 又·E是BC边的中点，BE=CE,BC=)C=-3 25 (3分) (2)FG⊥AG。 (4分) 理由：四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC。DF AE,.四边形AEFD是平行四边形，.AD=EF=3, AB∥DC,∴.∠BAG=∠AGC。BE=CE,∠AEB= ∠GEC,AAEB≌△GEC(AAS,L.CE=AE=2AG=L, (7分) 在△EGF中，GE2+FG2=12+(2√2)2=9。又：EF2=32= 下·ZBB·数学第10页