第1～3章 期中综合模拟测试题 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

**基本信息** 以神舟二十号发射、污水处理方案等真实情境为载体，融合几何直观、模型意识与推理能力，覆盖不等式、三角形、旋转等核心知识，梯度设计适配八年级期中能力评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|中心对称图形、不等式性质、直角三角形判定|第1题结合航天热点，第5题体现数形结合思想| |填空题|6题|动点问题、旋转性质、新定义运算|第14题联系生活旋转现象，第16题创新新运算情境| |解答题|7题|三角形全等、旋转综合、实际应用|第23题设计污水处理方案，第18题融入正多边形文化|

第1~3章 期中综合模拟测试题 2025-2026学年北师大版数学八年级下册 一．选择题（共10小题） 1．2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝．下列航天图案是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（　　） A．若a＞b，则a﹣2＜b﹣2 B．若a＞b，则a2＞b2 C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若ac2＞bc2，则a＞b 3．△ABC的三边长分别为a，b，c，下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．a：b：c＝5：12：13 D．a2：b2：c2＝2：3：5 4．下列说法中，正确的结论有（　　） ①在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上； ②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上； ③“对顶角相等”的逆命题是真命题； ④反证法证明“一个三角形中最小角不大于60°”应先假设这个三角形中最小角大于60°． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．为了了解关于x的不等式﹣x+2＞mx+n的解集，某同学绘制了y＝﹣x+2与y＝mx+n（m，n为常数，m≠0）的函数图象如图所示，通过观察图象发现，该不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，在△ABC中，BC＝6，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，则△AEG的周长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 7．如图，图（1）是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图（2）是从图（1）冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的一个图形，已知∠3+∠4＝180°，∠2＝61°，∠5＝52°．则∠1的度数为（　　） A．57° B．66° C．63° D．67° 8．如图，在△ABC中，∠C＝60°，过点A作AD⊥BC于点D，过点B作BE⊥AC于点E，交AD于点F．若AF＝DF，EF＝1，则BE长为（　　） A． B． C．5 D．4 9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′，点B，C的对应点分别为B′，C′，B′C′的延长线与边BC相交于点D，连接CC′．若AC＝4，CD＝3，则线段CC′的长为（　　） A． B． C．4 D． 10．如图，O是等边三角形ABC三边垂直平分线的交点，∠FOG＝120°，∠FOG的边OF，OG与AB，BC分别相交于点D，E，∠FOG绕点O顺时针旋转，有下列结论：①OD＝OE；②∠ADO＝∠OEB；③△ODE与△BDE的面积相等；④四边形ODBE的面积是个定值．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（共6小题） 11．关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是　 　 ． 12．如图，△ABC和△DEF都是等边三角形，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，若△ABC的周长为15，AF＝2，则BE的长为 　 　 ． 13．如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是　 　 秒． 14．如图，教室内地面有个倾斜的簸箕，箕面AB与水平地面的夹角∠CAB为62°，小明将它扶起，将簸箕绕点A顺时针旋转，点B落在点B1处，使其平放在地面，箕面AB绕点A旋转的度数为　 　 度． 15．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B（0，10），将线段AB向右平移4个单位，使得线段AB的对应线段CD与y轴交于点E（0，2），则图中阴影部分的面积为　 　 ． 16．对于x、y定义了一种新运算G，规定G（x，y）＝x+3y．若关于a的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是　 　 ． 三．解答题（共7小题） 17．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1个单位长度，△ABC的顶点均在正方形网格的格点上． （1）画出△ABC关于原点成中心对称的△A1B1C1，写出点A1的坐标为　 　 ； （2）画出△ABC绕点A逆时针旋转90°得到的△AB2C2，并求出△BCC2的面积． 18．阅读小东和小兰的对话，解决下列问题． （1）①这个“多加的锐角”是　 　 度．②小东求的是几边形的内角和？ （2）若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度． （3）小东将一个正六边形与一个正八边形按如图所示的位置摆放，顶点A，B，C，D四点在同一条直线上，F为公共顶点，试求∠EFG的度数． 19．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的角平分线，过点E作EN⊥AB于点N，EM为△BED 的高． （1）若∠BED＝40°，∠BAD＝25°，求∠ABD的度数； （2）若AB＝16，BD＝8，△ABC的面积为64，求EM的长． 20．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过点D作DE∥AC，交AB于点E，连接BD，若∠EBD＝∠EDB，求证：AB＝2DE． 21．已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． （1）求m的取值范围； （2）化简：|m﹣5|﹣|m+2|； （3）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2mx+x＜2m+1的解为x＞1． 22．在几何的学习过程中要善于抓住基本图形，将复杂问题转化为基本问题来研究， 【性质探究】（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，直接写出AB与BC的数量关系为 　 　 ； 【实践应用】（2）如图1，在（1）的条件下，将线段BC绕点B逆时针旋转，使得点C落在AB边上的点D，过点D作DE⊥AB交AC于点E，连接CD，若CE＝1，求CD的长； 【解决问题】（3）如图2，一艘船从A处出发，以18海里/时的速度向正北航行，经过5小时到达C处，分别从A，C处望灯塔B，测得∠NAB＝30°，∠NCB＝75°，请直接写出灯塔B到C处的距离为 　 　 海里． 23．为了更好治理马栏河水质，保护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备．现有A，B两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如表： A型 B型 价格（万元/台） a b 处理污水量（吨/月） 240 200 经调查：购买3台A型设备、2台B型设备共需56万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元． （1）求a，b的值． （2）经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过105万元，你认为该公司有哪几种购买方案． （3）在（2）问的条件下，若每月要求处理流溪河两岸的污水量不低于2040吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案． 第1~3章 期中综合模拟测试题 2025-2026学年北师大版数学八年级下册 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝．下列航天图案是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 【解答】解：选项A、B、C的图形均不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项D的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 故选：D． 【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形关键是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2．下列说法正确的是（　　） A．若a＞b，则a﹣2＜b﹣2 B．若a＞b，则a2＞b2 C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若ac2＞bc2，则a＞b 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可． 【解答】解：A、若a＞b，则a﹣2＞b﹣2，计算不正确，不符合题意； B、当a＝﹣1，b＝﹣2时，a＞b，a2＜b2，计算不正确，不符合题意； C、若a＞b，当c≠0时，ac2＞bc2，计算不正确，不符合题意； D．、若ac2＞bc2，则a＞b，计算正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是关键． 3．△ABC的三边长分别为a，b，c，下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．a：b：c＝5：12：13 D．a2：b2：c2＝2：3：5 【分析】根据三角形的一个角为90°或三角形两边的平方和等于第三边的平方，这个三角形是直角三角形判断即可． 【解答】解：A、∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴2∠C＝180°． ∴∠C＝90°． ∴△ABC为直角三角形． 该选项不符合题意． B、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴，∠C＞∠B＞∠A． ∴△ABC不是直角三角形． 该选项符合题意． C、∵a：b：c＝5：12：13， ∴c2＝a2+b2． ∴△ABC为直角三角形． 该选项不符合题意． D、∵a2：b2：c2＝2：3：5， ∴c2＝a2+b2． ∴△ABC为直角三角形． 该选项不符合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握若三角形的一个角为90°或三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 4．下列说法中，正确的结论有（　　） ①在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上； ②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上； ③“对顶角相等”的逆命题是真命题； ④反证法证明“一个三角形中最小角不大于60°”应先假设这个三角形中最小角大于60°． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据角平分线的判定、线段垂直平分线的判定、对顶角的概念、反证法的一般步骤判断即可． 【解答】解：①在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，结论正确； ②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，结论正确； ③“对顶角相等”的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题，故本小题结论错误； ④反证法证明“一个三角形中最小角不大于60°”应先假设这个三角形中最小角大于60°，结论正确； 故选：C． 【点评】本题考查的是反证法、角平分线的判定、线段垂直平分线的判定、逆命题，掌握相关的判定定理是解题的关键． 5．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．为了了解关于x的不等式﹣x+2＞mx+n的解集，某同学绘制了y＝﹣x+2与y＝mx+n（m，n为常数，m≠0）的函数图象如图所示，通过观察图象发现，该不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】直接根据一次函数的图象即可得出结论． 【解答】解：由条件可知关于x的不等式﹣x+2＞mx+n的解集是x＜﹣1． 在数轴上表示x＜﹣1的解集，只有选项C符合， 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，能利用数形结合求出不等式的解集是解题的关键． 6．如图，在△ABC中，BC＝6，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，则△AEG的周长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】由线段垂直平分线的性质可得AE＝BE，AG＝CG，再由三角形的周长公式计算即可得解． 【解答】解：∵BC＝6，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G， ∴AE＝BE，AG＝CG， ∴△AEG的周长为AE+AG+EG＝BE+CG+EG＝BC＝6． 故选：B． 【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键． 7．如图，图（1）是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图（2）是从图（1）冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的一个图形，已知∠3+∠4＝180°，∠2＝61°，∠5＝52°．则∠1的度数为（　　） A．57° B．66° C．63° D．67° 【分析】多边形的外角和等于360度，依此即可求解． 【解答】解：∵多边形的外角和等于360度， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°， ∵∠3+∠4＝180°，∠2＝61°，∠5＝52°， ∴∠1＝67°． 故选：D． 【点评】本题考查了多边形内角与外角，关键是熟悉多边形的外角和等于360度的知识点． 8．如图，在△ABC中，∠C＝60°，过点A作AD⊥BC于点D，过点B作BE⊥AC于点E，交AD于点F．若AF＝DF，EF＝1，则BE长为（　　） A． B． C．5 D．4 【分析】先求出∠CAD＝∠CBE＝30°，连用两次30度角的性质即可求出BE长． 【解答】解：在△ABC中，∠C＝60°，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，EF＝1， ∴∠CAD＝∠CBE＝30°， ∴AF＝2EF，BF＝2DF， ∵AF＝DF， ∴AF＝2EF＝2×1＝2＝DF， ∴BF＝2DF＝2×2＝4， ∴BE＝BF+EF＝4+1＝5， 故选：C． 【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，熟练掌握30度角所对直角边等于斜边的一半是解题的关键． 9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′，点B，C的对应点分别为B′，C′，B′C′的延长线与边BC相交于点D，连接CC′．若AC＝4，CD＝3，则线段CC′的长为（　　） A． B． C．4 D． 【分析】连接AD，交CC'于点O，由旋转得AC'＝AC＝4，∠AC'B'＝∠ACB＝90°，则∠AC'D＝90°，可证明Rt△ACD≌Rt△AC'D，则C'D＝CD＝3，可知AD垂直平分CC'，可得CC'＝2OC，AD⊥CC'．由勾股定理得．根据，可得OC，进而可得答案． 【解答】解：连接AD，交CC'于点O， 由旋转得：AC'＝AC＝4，∠AC'B'＝∠ACB＝90°， ∴∠AC'D＝90°． 在Rt△AC'D和Rt△ACD中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△AC'D（HL）， ∴C'D＝CD＝3， ∴AD垂直平分CC'， ∴CC'＝2OC，AD⊥CC'． ∵∠ACB＝90°，AC＝4，CD＝3， ∴． ∵， ∴OC， ∴． 故选：D． 【点评】本题考查旋转的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 10．如图，O是等边三角形ABC三边垂直平分线的交点，∠FOG＝120°，∠FOG的边OF，OG与AB，BC分别相交于点D，E，∠FOG绕点O顺时针旋转，有下列结论：①OD＝OE；②∠ADO＝∠OEB；③△ODE与△BDE的面积相等；④四边形ODBE的面积是个定值．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】连接OB，OC，过点C作CH⊥DE于H，由题意可证明△OBD≌△OCE，则可判定①②④；求出△ODE的面积表达式，根据表达式对③无法判定，最后可确定答案． 【解答】解：O是等边三角形ABC三边垂直平分线的交点，如图，连接OB，OC，过点O作OH⊥DE于H， ∴OB＝OC，∠ABC＝∠ACB，∠OBD＝∠OCE＝30°， ∴∠BOC＝∠FOG＝120°， ∴∠BOE+∠BOD＝∠BOE+∠COE， 即∠BOD＝∠COE， 在△OBD和△OCE中， ， ∴△OBD≌△OCE（ASA）， ∴OD＝OE，∠ODB＝∠OEC，即①正确； ∵∠ODB＝∠OEC， ∴180°﹣∠ODB＝180°﹣∠OEC， 即∠ADO＝∠OEB，故②正确； ∵△OBD≌△OCE， ∴S△OBD＝S△OCE， ∴四边形ODBE的面积＝S△ODB+S△OBE＝S△OEC+S△OBE＝S△OBC＝定值， 故④正确； ∵OD＝OE，∠DOE＝120°， ∴， ∵OH⊥DE， ∴，DE＝2HE， ∴， ∴， 而S△BDE＝S四边形ODBE﹣S△ODE， 显然OE在变化，则△ODE，△BDE的面积也随之变化，一般情况下不会相等； 故③错误； 综上所述，正确的有①②④三个； 故选：C． 【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的性质，熟练掌握旋转的性质及全等三角形的性质是解题的关键． 二．填空题（共6小题） 11．关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是　﹣2≤a＜﹣1　 ． 【分析】根据所给不等式组恰有3个整数解，得出关于a的不等式，据此可解决问题． 【解答】解：由2x﹣3≤0得，x． 由x﹣a＞0得，x＞a． 因为此不等式组恰有3个整数解， 则这3个整数解为1，0，﹣1， 所以﹣2≤a＜﹣1． 故答案为：﹣2≤a＜﹣1． 【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 12．如图，△ABC和△DEF都是等边三角形，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，若△ABC的周长为15，AF＝2，则BE的长为 　3　 ． 【分析】根据△ABC和△DEF都是等边三角形，推出∠AFD＝∠BDE，DF＝ED，证明△AFD≌△BDE（AAS），得到BD＝AF＝2，BE＝AD，由△ABC的周长为15且△ABC是等边三角形得出AB＝5，根据AD＝AB﹣BD＝5﹣2＝3解答即可． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝60°， ∴∠ADF+∠AFD＝120°， ∵△DEF是等边三角形， ∴∠FDE＝60°，DF＝ED ∴∠ADF+∠BDE＝120°， ∴∠AFD＝∠BDE， 在△AFD和△BDE中， ， ∴△AFD≌△BDE（AAS）， ∴BD＝AF＝2，BE＝AD， ∵△ABC的周长为15且△ABC是等边三角形， ∴AB＝5， ∴AD＝AB﹣BD＝5﹣2＝3， ∴BE＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 13．如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是　4　 秒． 【分析】设运动的时间为x，则AP＝20﹣3x，当APQ是等腰三角形时，AP＝AQ，则20﹣3x＝2x，解得x即可． 【解答】解：设运动的时间为x， 在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm， 点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动， 当△APQ是等腰三角形时，AP＝AQ， AP＝20﹣3x，AQ＝2x 即20﹣3x＝2x， 解得x＝4． 故答案为：4． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，此题涉及到动点，有一定的拔高难度，属于中档题． 14．如图，教室内地面有个倾斜的簸箕，箕面AB与水平地面的夹角∠CAB为62°，小明将它扶起，将簸箕绕点A顺时针旋转，点B落在点B1处，使其平放在地面，箕面AB绕点A旋转的度数为　118　 度． 【分析】根据旋转的性质和平角的定义计算即可得出答案． 【解答】解：根据题意得∠CAB＝62°， ∴∠BAB1＝180°﹣∠CAB＝180°﹣62°＝118°，即箕面AB绕点A旋转的度数为118°， 故答案为：118． 【点评】本题考查了旋转的性质、平角的定义，采用数形结合的思想是解此题的关键． 15．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B（0，10），将线段AB向右平移4个单位，使得线段AB的对应线段CD与y轴交于点E（0，2），则图中阴影部分的面积为　24　 ． 【分析】过点D作x轴的垂线，垂足为M，根据平移的性质将阴影部分的面积转化为梯形EOMD的面积即可解决问题． 【解答】解：过点D作x轴的垂线，垂足为M， ∵点B坐标为（0，10），点E坐标为（0，2）， ∴OB＝10，OE＝2． 由平移可知， △ABO与△CDM的面积相等，DM＝BO＝10，OM＝4， ∴S△ABO﹣S△CEO＝S△CDM﹣S△CEO， 即S阴影＝S梯形EOMD． ∵24， ∴S阴影＝24． 故答案为：24． 【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，熟知图形平移的性质是解题的关键． 16．对于x、y定义了一种新运算G，规定G（x，y）＝x+3y．若关于a的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是　﹣17≤P＜﹣7　 ． 【分析】依据题意，先根据新定义化简关于a的不等式，根据不等式组有3个整数解，得出进而解不等式组，即可求解． 【解答】解：由题意，∵G（x，y）＝x+3y， ∴关于a的不等式组，即为， ∴解不等式①得：a≤1，解不等式②得：． ∵不等式组有3个整数解， ∴整数解为﹣1，0，1， ∴． ∴﹣17≤P＜﹣7． 故答案为：﹣17≤P＜﹣7． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，能根据找不等式的解集和已知得出关于P的不等式组是解此题的关键． 三．解答题（共7小题） 17．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1个单位长度，△ABC的顶点均在正方形网格的格点上． （1）画出△ABC关于原点成中心对称的△A1B1C1，写出点A1的坐标为　（3，3）　 ； （2）画出△ABC绕点A逆时针旋转90°得到的△AB2C2，并求出△BCC2的面积． 【分析】（1）根据中心对称的性质作图，即可得出答案． （2）根据旋转的性质作图即可；利用割补法求三角形的面积即可． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． 由图可得，点A1的坐标为（3，3）． 故答案为：（3，3）． （2）如图，△AB2C2即为所求． △BCC2的面积为． 【点评】本题考查作图﹣旋转变换，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． 18．阅读小东和小兰的对话，解决下列问题． （1）①这个“多加的锐角”是　20　 度．②小东求的是几边形的内角和？ （2）若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度． （3）小东将一个正六边形与一个正八边形按如图所示的位置摆放，顶点A，B，C，D四点在同一条直线上，F为公共顶点，试求∠EFG的度数． 【分析】（1）①由题意知，多边形的内角和为180°（n﹣2），是180°的整数倍，用1100°÷180°，得到的余数即为多加的锐角的度数；②由题意知，180°（n﹣2）＝1080°，计算求解即可； （2）根据这个正多边形的一个内角是，计算求解即可； （3）根据多边形的内角和，分别得出∠GFC＝∠FCD＝135°，∠EFB＝∠ABF＝120°，再根据三角形的内角和算出∠BFC，据此计算即可求解． 【解答】解：（1）①由题意知，n边形的内角和为（n﹣2）×180°，是180°的整数倍， ∵1100°÷180°＝6…20°， ∴这个“多加的锐角”是20°， 故答案为：20； ②由题意知，（n﹣2）×180°＝1080°， 解得n＝8， ∴小东求的是8边形内角和； （2）由题意知，这个正多边形的一个内角是1080°＝135°， ∴这个正多边形的一个内角是135°； （3）由多边形的内角和定理可得， ， ∴∠FCB＝180°﹣∠FCD＝45°， ∵， ∴∠FBC＝180°﹣∠ABF＝60°， 由三角形的内角和定理得：∠BFC＝180°﹣∠FBC﹣∠FCB＝180°﹣60°﹣45°＝75°， ∴∠EFG＝360°﹣∠EFB﹣∠GFC﹣∠BFC＝360°﹣135°﹣120°﹣75°＝30°． 【点评】本题考查了多边形的内角和定理，熟记多边形内角和定理是解题的关键． 19．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的角平分线，过点E作EN⊥AB于点N，EM为△BED 的高． （1）若∠BED＝40°，∠BAD＝25°，求∠ABD的度数； （2）若AB＝16，BD＝8，△ABC的面积为64，求EM的长． 【分析】（1）由三角形外角的性质可得∠ABE＝15°，再根据角平分线的定义即可解答； （2）由三角形中线的性质可得△ABD的面积为32，再根据角平分线的性质可得NE＝ME，再根据S△ABD＝S△ABE+S△BDE＝32列方程求解即可． 【解答】解：（1）由条件可知∠ABE＝∠BED﹣∠BAD＝40°﹣25°＝15°， ∵BE为△ABD的角平分线， ∴∠ABD＝2∠ABE＝30°． （2）由条件可知△ABD的面积为32， ∵BE为△ABD的角平分线，EN⊥AB，EM为△BED的高， ∴NE＝ME， ∵S△ABD＝S△ABE+S△BDE＝32， ∴， ∵AB＝16，BD＝8，NE＝ME， ∴，解得：． 【点评】本题主要考查了三角形外角的性质、角平分线的定义、角平分线的性质、中线的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 20．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过点D作DE∥AC，交AB于点E，连接BD，若∠EBD＝∠EDB，求证：AB＝2DE． 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质即可得到结论． 【解答】证明：AD平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠BAD， ∵DE∥AC， ∴∠ADE＝∠CAD， ∴∠ADE＝∠BAD， ∴AE＝DE， ∵∠EBD＝∠EDB， ∴EB＝ED， ∴AB＝2DE． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键． 21．已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． （1）求m的取值范围； （2）化简：|m﹣5|﹣|m+2|； （3）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2mx+x＜2m+1的解为x＞1． 【分析】（1）解方程组得出，由x为非正数，y为负数知，解之即可； （2）根据m的取值范围判断出m﹣5＜0，m+2＞0，再去绝对值符号、合并同类项即可； （3）由不等式2mx+x＜2m+1的解为x＞1，知2m+1＜0；据此可得，结合以上所求m的范围知，继而可得整数m的值． 【解答】解：（1）解方程组得：， ∵x为非正数，y为负数， ∴， 解得﹣2＜m≤3； （2）∵﹣2＜m≤3， ∴m﹣5＜0，m+2＞0， 则原式＝5﹣m﹣m﹣2＝3﹣2m （3）由不等式2mx+x＜2m+1的解为x＞1，知2m+1＜0； 所以， 又因为﹣2＜m≤3， 所以， 因为m为整数， 所以m＝﹣1． 【点评】本题考查的是解二元一次方程组、一元一次不等式组及绝对值的性质，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 22．在几何的学习过程中要善于抓住基本图形，将复杂问题转化为基本问题来研究， 【性质探究】（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，直接写出AB与BC的数量关系为 　　 ； 【实践应用】（2）如图1，在（1）的条件下，将线段BC绕点B逆时针旋转，使得点C落在AB边上的点D，过点D作DE⊥AB交AC于点E，连接CD，若CE＝1，求CD的长； 【解决问题】（3）如图2，一艘船从A处出发，以18海里/时的速度向正北航行，经过5小时到达C处，分别从A，C处望灯塔B，测得∠NAB＝30°，∠NCB＝75°，请直接写出灯塔B到C处的距离为 　　 海里． 【分析】（1）利用含30度角的直角三角形的性质直接得出结果； （2）连接BE，利用旋转性质得到△BDC是等边三角形，再证明Rt△BDE≌Rt△BCE，求出CE＝DE＝1，利用勾股定理求出AD的长，从而得出最后结果； （3）过点C作CF⊥AB于F，先求出，再得到∠B＝45°，可证明△BCF是等腰直角三角形，利用勾股定理求出最后结果即可． 【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴， 故答案为：； （2）如图1，连接BE， 由旋转可知，BC＝BD， ∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°， ∴△BDC是等边三角形， ∴BC＝BD＝CD， ∵， ∴BD＝AD＝BC＝CD， ∵DE⊥AB， ∴∠BDE＝90°＝∠BCE， 在Rt△BDE与Rt△BCE中， ， ∴Rt△BDE≌Rt△BCE（HL）， ∴CE＝DE＝1， ∵∠A＝30°， ∴AE＝2DE＝2， 由勾股定理可得，， ∴； （3）如图2，过点C作CF⊥AB于F， ∵AC＝18×5＝90（海里），∠A＝30°，CF⊥AB， ∴（海里）， ∵∠NCB＝75°，∠A＝30°， ∴∠B＝45°， ∵CF⊥AB， ∴△BCF是等腰直角三角形， ∴（海里）， 故答案为：． 【点评】本题考查了等边判定和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 23．为了更好治理马栏河水质，保护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备．现有A，B两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如表： A型 B型 价格（万元/台） a b 处理污水量（吨/月） 240 200 经调查：购买3台A型设备、2台B型设备共需56万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元． （1）求a，b的值． （2）经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过105万元，你认为该公司有哪几种购买方案． （3）在（2）问的条件下，若每月要求处理流溪河两岸的污水量不低于2040吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案． 【分析】（1）根据“购买3台A型设备、2台B型设备共需56万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元”即可列出方程组，继而进行求解； （2）可设购买污水处理设备A型设备x台，B型设备（10﹣x）台，则有12x+10（10﹣x）≤105，解之确定x的值，即可确定方案； （3）因为每月要求处理流溪河两岸的污水量不低于2040吨，所以有240x+200（10﹣x）≥2040，解之即可由x的值确定方案，然后进行比较，作出选择． 【解答】解：（1）根据题意得： ， ∴； （2）设购买污水处理设备A型设备x台，B型设备（10﹣x）台， 则：12x+10（10﹣x）≤105， ∴x≤2.5， ∵x取非负整数， ∴x＝0，1，2， ∴有三种购买方案： ①A型设备0台，B型设备10台； ②A型设备1台，B型设备9台； ③A型设备2台，B型设备8台． （3）由题意：240x+200（10﹣x）≥2040， ∴x≥1， 又∵x≤2.5，x取非负整数， ∴x为1，2． 当x＝1时，购买资金为：12×1+10×9＝102（万元）， 当x＝2时，购买资金为：12×2+10×8＝104（万元）， ∴为了节约资金，应选购A型设备1台，B型设备9台． 【点评】本题考查一元一次不等式及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系，同时要注意分类讨论思想的运用． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/4/30 12:04:06；用户：姚怀洪；邮箱：13927028828；学号：38450005 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $