命题大赛 湖北孝感市2025-2026学年高一下学期期末考试数学模拟试卷

**基本信息** 孝感高一数学下学期期末卷，覆盖向量、复数、概率、立体几何等核心知识，通过基础题与综合题梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理和空间想象能力，适配期末检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题/50分|向量数量积、复数虚部、独立事件概率、线面关系|单选巩固基础，多选考查批判性思维（如回归分析正误判断）| |填空题|4题/20分|向量坐标运算、复数化简、三棱锥外接球|注重数学运算与空间观念，如结合等边三角形求外接球表面积| |解答题|6题/70分|复数应用、线面平行证明、摸球游戏概率、田忌赛马建模|以摸球游戏、田忌赛马为情境，考查数学建模与数据分析，体现数学语言表达现实世界|

Sheet1 题号 题型 分值 知识点 难度系数（预估） 1 单选题 5 复数的分类及辨析,复数代数形式的乘法运算 0.85 2 单选题 5 判断命题的充分不必要条件,坐标计算向量的模 0.89 3 单选题 5 正弦定理解三角形 0.85 4 单选题 5 求投影向量 0.55 5 单选题 5 平面向量有关概念的坐标表示,由坐标判断向量是否共线,由向量共线（平行）求参数 0.65 6 单选题 5 三角形面积公式及应用,余弦定理边角互化的应用 0.65 7 单选题 5 向量线性运算的坐标表示,坐标计算向量的模 0.55 8 单选题 5 锥体体积的有关计算 0.4 9 多选题 5 抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算,分层抽样的特征及适用条件,简单随机抽样的特征及适用条件,简单随机抽样的概率 0.94 10 多选题 5 确定所给事件的包含关系,判断所给事件是否是互斥关系,确定所给事件的对立关系,独立事件的判断 0.85 11 多选题 5 补全频率分布直方图,由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量,用频率估计概率 0.85 12 多选题 5 复数的基本概念,判断复数对应的点所在的象限,求复数的模,共轭复数的概念及计算 0.65 13 填空题 5 求复数的模,复数代数形式的乘法运算 0.94 14 填空题 5 平面向量内积的几何意义 0.84 15 填空题 5 圆柱表面积的有关计算,柱体体积的有关计算,棱柱表面积的有关计算 0.65 16 填空题 5 球的截面的性质及计算,柱体体积的有关计算,球的体积的有关计算 0.65 17 解答题 12 用方差、标准差说明数据的波动程度,计算几个数的平均数 0.65 18 解答题 10 由复数模求参数,复数除法的代数运算,共轭复数的概念及计算 0.94 19 解答题 12 内积的运算律,已知内积求模,向量夹角的计算 0.65 20 解答题 12 正弦定理边角互化的应用,余弦定理解三角形,正弦定理解三角形 0.65 21 解答题 12 证明线面垂直、证明线面平行、锥体体积的有关计算 0.65 22 解答题 12 独立事件的概率公式、有放回与无放回问题的概率、计算古典概型问题的概率 0.65 $ 孝感高一数学下学期期末考试试卷 答案及解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D D B C B D AB AD 题号 11 12 答案 ACD BC 1．C 【详解】对于A：，不是纯虚数； 对于B：，不是纯虚数； 对于C：，是纯虚数； 对于D：，不是纯虚数； 故选：C. 2．C 【详解】若，则，得，充分性成立； 若，则，解得，不一定有，必要性不成立， 则“”是“”的充分不必要条件， 故选：C. 3．D 【详解】已知，， 由正弦定理，得， 即， 因为在三角形中，所以， 则或， 当时，， 当时，. 所以或. 故选：D. 4．D 【详解】向量在向量上的射影为. 故选：D. 5．B 【详解】，可得，又，， 可得，解得， 当时，，与方向相反， 当时，，则与方向相同； 故选：B. 6．C 【详解】已知的面积等于，将三角形面积公式和余弦定理代入可得： . 因为，所以. 故选：C. 7．B 【详解】因为 ，， 则， 所以， 故选：B 8．D 【详解】设到平面的距离为, ∵正方体的棱长为, ∴三角形的边长都是, 三角形的面积为： ∴三棱锥的体积， 又∵三角形的面积为, ∴三棱锥的体积, ∴,解得, 故选：. 9．AB 【详解】根据抽样结果，此次抽样可能采用的是抽签法，A正确； 若按分层抽样，则抽得的男女人数应为4人，3人， 所以这次抽样不可能是按性别分层随机抽样，B正确； 若按抽签法，则每个男生被抽到的概率和每个女生被抽到的概率均相等，C,D错误. 故选:AB. 10．AD 【详解】先后抛掷质地均匀的硬币两次，样本空间中共含有：正正、正反、反正、反反4个样本点， 事件“恰有一次正面向上”与事件“恰有一次反面向上”在每次随机试验中同时出现或同时不出现，故这两个事件相等，A正确； 事件“至少一次正面向上”与事件“至少一次反面向上”能同时发生，不是互斥事件，B错误； 除事件“两次正面向上”与事件“两次反面向上”外还可能出现“一次正面，一次反面”，故这两个事件不互为对立事件，C错误； 先后抛掷质地均匀的硬币两次，显然第一次的结果不会影响第二次的结果，所以事件“第一次正面向上”与事件“第二次反面向上”相互独立，D正确； 故选：AD 11．ACD 【详解】由，得，A正确； 不及格的频率为，则6万考生中不及格的人数为，B错误； 选取的2000人的成绩中，成绩落在，的频率分别为， 则成绩落在的人数是成绩落在的人数的，C正确； 以频率估计概率，从6万考生中随机抽取1人，则该学生成绩优秀的概率为，D正确. 故选：ACD 12．BC 【详解】对于A，，对应的点位于第二象限，A错误； 对B， ，故为纯虚数，B正确； 对于C，的模长等于，C正确； 对于D， ，其共辄复数为，D错误， 故选：BC 13． 【详解】解：因为， 所以， 则. 故答案为： 14． 【详解】, 由于圆O是△ABC的外接圆，所以. 所以， 故， 故答案为：    15． 【详解】设正四棱柱的底面边长为a，圆柱的底面半径为r， 则，，， 由，， 得，即， 又，解得， 所以，得， 则. 故答案为：. 16．/ 【详解】由题意得，铁球的半径,圆柱底面的半径， 所以圆柱的高， 故铁球的体积， 圆柱的体积， 所以切削掉的材料体积. 故答案为：. 17．甲成绩更稳定 【详解】解法一（人教版）： ， （3分） ， （6分） ； （9分） ；＜．所以甲稳定． （12分） 解法二（高教版）： ， ， ； ；＜．所以甲稳定． 18．（1）；（2）. 【详解】（1）. （5分） （2）由的模为，则，且，解得，故. （10分） 19．(1) (2) （2）计算即可. 【详解】（1）设向量与的夹角为，则，故， 即，，又，故. （6分） 故向量与的夹角为 （2），故. （12分） 20．(1) (2) 【详解】（1）由得，由余弦定理， 得，整理得，故. （4分） （2）在中，由正弦定理， 得，代入并化简得； （8分） 由已知和（1）有，代入上式得. （12分） 21．(1)证明见解析 (2)1 【详解】（1）连接交于点，连接， （1分） ∵为直三棱柱 四边形是矩形，为的中点， （2分） 又是的中点，在中，， 又平面平面， 平面． （4分） （2）是的中点， ， 又平面平面，， （6分） 又平面平面， 平面，为三棱锥的高， ∵的边长为2，且， （8分） ∴，∵平面，平面， ∴，， ， （10分） ． （12分） 22．(1) (2) 【详解】（1）从甲口袋中摸出一个球，摸出红球的概率为， （2分） 从乙口袋中摸出一个球，摸出红球的概率为， （4分） 一个游戏者只摸2次就中奖，需要第一次从甲口袋中摸出的是红球， 且第二次从乙袋中摸出的也是红球， 故概率为； （6分） （2）摸球4次，需要满足第一次从甲袋中摸到黑球，第二次从甲袋中摸到红球， 第三次从乙袋中摸到白球，此时会从乙袋中第四次摸球，且不管摸到何种颜色的球， 都会停止摸球， 故概率为. 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 应用场景：期末/ 孝感高一数学下学期期末考试试卷 第一部分（选择题 共60分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列运算结果为纯虚数的是（    ） A． B． C． D． 2．设，，则“”是“”的（   ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．在中，已知，，则（    ） A． B． C．或 D．或 4．向量在向量上的射影为（   ） A． B． C． D． 5．已知点，，向量，，则（    ） A．时，与方向相同 B．时，与方向相同 C．时，与方向相反 D．时，与方向相反 6．在中，角，，的对边分别为，，，若的面积等于，则角的大小为（    ） A． B． C． D． 7．已知 ，，则 （    ） A． B． C． D． 8．如图所示，正方体的棱长为，则顶点到平面的距离等于（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，至少一项是符合题目要求的。 9．某学生社团有男生32名，女生24名，从中随机抽取一个容量为7的样本，某次抽样结果为：抽到3名男生和4名女生，则下列说法正确的是（    ） A．这次抽样可能采用的是抽签法 B．这次抽样不可能是按性别分层随机抽样 C．这次抽样中，每个男生被抽到的概率一定小于每个女生被抽到的概率 D．这次抽样中，每个男生被抽到的概率不可能等于每个女生被抽到的概率 10．先后抛掷质地均匀的硬币两次，则下列说法正确的是（    ） A．事件“恰有一次正面向上”与事件“恰有一次反面向上”相等 B．事件“至少一次正面向上”与事件“至少一次反面向上”互斥 C．事件“两次正面向上”与事件“两次反面向上”互为对立事件 D．事件“第一次正面向上”与事件“第二次反面向上”相互独立 11．为了解2022年安徽省普通高中学业水平考试的数学成绩，在全省6万考生中随机选取2000人的成绩作为样本（满分100分，60分及以上为及格，90分及以上为优秀），可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，则下列说法正确的是（    ）    A． B．6万考生中约有3000人不及格 C．选取的2000人的成绩中，成绩落在的人数是成绩落在的人数的 D．以频率估计概率，从6万考生中随机抽取1人，则该学生成绩优秀的概率为0.25 12．欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式指数函数定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联．在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥，依据欧拉公式，下列选项中正确的是（    ） A．对应的点位于第四象限 B．为纯虚数 C．的模长等于 D．的共轭复数为 第二部分（非选择题 共90分） 3、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知，若，则__________. 14．已知圆O是△ABC的外接圆，，点P是BC的中点，且，则______. 15．如果一个正四棱柱与一个圆柱的体积相等，那么我们称它们是一对：“等积四棱圆柱”.将“等积四棱圆柱”的正四棱柱，圆柱的表面积与高分别记为，与，.若，，则的值为_______. 16．一个半径为5的铁球，把球制成如图所示的圆柱，若圆柱底面半径为3，则切削掉的材料体积是__________. 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．甲、乙两名射手在相同条件下射击10次，环数如下： 甲：7  8  8  9  9  9  9   10   10  10 乙：7  7  8  9  9  9  10  10   10  10 问哪一名选手成绩稳定？ 18．（1）计算； （2）已知的模为，求． 19．已知向量，满足：，，且． (1)求向量与的夹角； (2)求的值． 20．设的内角、、的对边分别为、、，且，. (1)求的值； (2)求的值. 21．已知直三棱柱中，是的中点． (1)证明平面； (2)若底面是边长为2的正三角形，且，求三棱锥的体积． 22．（12分）某单位的联欢活动中有一种摸球游戏，已知甲口袋中大小相同的3个球，其中2个红球，1个黑球；乙口袋中有大小相同的2个球，其中1个红球，1个白球．每次从一只口袋中摸一个球，确定颜色后再放回．摸球的规则是：先从甲口袋中摸一个球，如果摸到的不是红球，继续从甲口袋中摸一个球，只有当从甲口袋中摸到红球时，才可继续从乙口袋里摸球．从每个口袋里摸球时，如果连续两次从同一口袋中摸到的都不是红球，则该游戏者的游戏停止．游戏规定，如果游戏者摸到2个红球，那么游戏者就中奖．现假设各次摸球均互不影响． (1)一个游戏者只摸2次就中奖的概率； (2)在游戏中，如果某一个游戏者不放弃所有的摸球机会，求他摸球4次的概率． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $