精品解析：湖北省孝感市高级中学2024-2025学年高一下学期期末数学适应试题

湖北省孝感高中2024-2025学年下学期高一期末数学适应卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的运算和复数的意义求出即可. 【详解】复数，所以虚部是0， 故选：A. 2. 设，均为单位向量，则“与的夹角为”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用平面向量数量积的定义及运算律，结合充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】当与的夹角为时，， 反之，当时，，解得， 则，而，因此与的夹角为，不是 所以“与的夹角为”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 3. 已知向量，，．若λ为实数，()∥，则λ＝（ ）. A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先求出的坐标，再由()∥，，列方程可求得结果 【详解】因为向量，， 所以， 因为()∥，， 所以，解得， 故选：B 4. 设为直线，，为两个不同的平面，则下列结论中错误的是（ ） A. ，，且 B. ， C. ，且 D. ，且与相交与相交 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中线面平行、面面平行关系逐项分析判断. 【详解】对于选项A：若，，则或， 又因为，所以，故A正确； 对于选项B：若，，则或与相交， 例如在正方体中，//平面，//平面， 显然平面与平面相交，故B错误； 对于选项C：若，且，由面面平行的性质可得，故C正确； 对于选项D：若，且与相交，由面面平行的性质可得与相交，故D正确； 故选：B. 5. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理，结合三角形内角和定理可得. 【详解】因为，，， 由正弦定理可得，即， 因为，所以或， 当时，，不满足， 所以. 故选：A 6. 已知一组数据的频率分布直方图如图所示，则众数、中位数、平均数是 A. 63、64、66 B. 65、65、67 C. 65、64、66 D. 64、65、64 【答案】B 【解析】 【分析】①在频率直方图中，众数是最高的小长方形的底边的中点横坐标的值；②中位数是所有小长方形的面积和相等的分界线；③平均数是各小长方形底边中点的横坐标与对应频率的积的和． 【详解】解：由频率直方图可知，众数=； 由，所以面积相等的分界线为65，即中位数为65； 平均数=．故选B． 【点睛】本题主要考查频率直方图的众数、中位数、平均数，需理解并牢记公式． 7. 某校高二年级学生举行中国象棋比赛，经过初赛，最后确定甲、乙、丙三位同学进入决赛.决赛规则如下，累计负两场者被淘汰，比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，最后的胜者获得冠军，比赛结束.若经抽签，已知第一场甲，乙首先比赛，丙轮空，设每场比赛双方获胜的概率都为，则（ ） A. 甲获得冠军概率最大 B. 甲与乙获得冠军的概率都比丙大 C. 丙获得冠军的概率最大 D. 甲、乙、丙每人获得冠军的概率都一样大 【答案】C 【解析】 【分析】分情况分别求出甲、乙、丙获得冠军的概率即可求解. 【详解】根据决赛规则，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛， （1）甲获得冠军有两种情况：①共比赛四场结束，甲四连胜夺冠，概率为. ②共比赛五场结束，并且甲获得冠军.则甲的胜、负、轮空结果共有四种情况：胜胜胜负胜，胜胜负空胜，胜负空胜胜，负空胜胜胜，概率分别为. 因此，甲最终获得冠军的概率为. （2）乙获得冠军，与（1）同理，概率也为. （3）丙获得冠军，概率为， ∴丙获得冠军的概率最大. 故选：C 8. 在锐角中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，结合正余弦定理求得角，继而由结合正余弦定理求出，再表示出，，利用三角函数的性质求得的范围，即可求得答案. 【详解】由，由正弦定理得, 即有，而，则， 又， 由正弦定理､余弦定理得，，化简得：， 由正弦定理有：，即，， 是锐角三角形且，有，， 解得， 因此 ， 由得：，， 所以. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知中，其内角，，的对边分别为，，．下列命题正确的有（ ） A. 若，，，则的面积为 B. 若，，则 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，，，则 【答案】AB 【解析】 【分析】由三角形面积公式可判断A，利用正弦定理可判断B，由正弦定理及余弦定理可判断CD. 【详解】选项A，的面积，即选项A正确； 选项B，由正弦定理知，，所以，解得，即选项B正确； 选项C，因为，所以， 结合正弦定理，得， 由余弦定理知，，所以为锐角，但无法确定和的大小，即选项C错误； 选项D，由余弦定理知，， 所以，即选项D错误． 故选：AB． 10. 在平行四边形中，，，与交于点，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由得，从而，整理即可判断A，B；设与交于点，则与相似，可得，，因为，，三点共线，，，三点共线，设，则，求得，求出即可判断C，D． 【详解】在平行四边形中，，所以， 则，A正确，B错误； 设与交于点，则在平行四边形中，与相似， 所以，则，即，， 因为，，三点共线，，，三点共线， 设，则，即， 所以，C正确，D错误． 故选：AC. 11. 半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形围成 （如图所示），若它所有棱的长都为2，则（ ） A. 平面 B. 该二十四等边体的体积为 C. 与的夹角为 D. 该二十四等边体的外接球的表面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】依题意补齐正方体，对于A，假设平面，得到，根据六边形为正六边形，，得出矛盾判断A；对于B，结合集合图形，该二十四等边体的体积为正方体体积去掉八个三棱锥体积，从而求出B；对于C，由平移法找出异面直线所成角为，判断C；对于D，取正方形对角线交点为，即为该二十四等边体的外接球球心，从而求出半径大小，进而求出外接球体积，判断D. 【详解】依题意，补齐正方体，如下图， 对于A，假设平面，平面， ，， 二十四等边体就是一种半正多面体， 由对称性可知，六边形为正六边形， ， 这与“”矛盾，所以假设不成立，A错误； 对于B，，正方体的棱长为， 该二十四等边体的体积为正方体体积去掉个三棱锥体积， 即，B正确； 对于C，， 为异面直线与所成角（或补角）， 等边中，， 又， 所以与的夹角为与的夹角， 即，C错误； 对于D，如图，取正方形对角线交点为，即为该二十四等边体的外接球球心， 在等腰中，， 在正方形中，， 即外接球半径， 该二十四等边体的外接球的表面积，D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，则_____________． 【答案】2 【解析】 【分析】 根据复数的四则运算得出，再求即可. 【详解】 故答案为： 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算以及求复数的模，属于中档题. 13. 若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用机会均等，则甲或乙被录用的概率为________． 【答案】 【解析】 【详解】甲乙都未被录用的概率为 甲或乙被录用的概率为 14. 如图，在三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，D，E分别是AC，AB的中点，且，则点A到平面的距离为______，四棱锥的外接球的半径为______. 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用距离公式求点A到平面的距离；球心在过的中点与平面垂直的直线上，计算球心的坐标，得出半径长. 【详解】①以中点为原点，为轴，为轴，过点与平面垂直的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 底面是边长为2的等边三角形，，，D，E分别是AC，AB的中点，且，所以三棱锥为正四面体， 平面于点，则为等边三角形的重心，，，. 则，，，，，则，，. 设为平面的一个法向量，则， 即，令，则，则. 所以点A到平面的距离为. 如图，，都为等边三角形，，所以球心在过中点与平面垂直的直线上，设球心，半径为R. 则，，， 所以，解得，. 故答案为：①1；②. 【点睛】棱锥的外接球问题方法总结： 1.常见补形:侧棱垂直于底面的锥均可补成直棱柱；正四面体可补成正方体求其外接球；对棱相等的四面体可补成长方体； 2.正棱锥球心在高所在直线上，再根据勾股定理进行计算； 3.侧面垂直于底面的锥，先找到两个垂直面所在多边形的外心，再找一个矩形，进行计算求得；如果侧面与底面所成的二面角的平面角是一个特殊角(非直角)，也可以找到这两个面所在多边形的外心，过这两个外心分别作这两个面的垂线，两垂线的交点为球心； 4.建立空间坐标系，利用球心到各顶点的距离是相等进行计算解决. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，且为纯虚数. （1）求的值： （2）复数求在复平面对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得，则，由为纯虚数可得； （2），根据其在复平面对应的点在第一象限可得，进而可得. 【小问1详解】 由题意可知，， 故， 由题意，得. 【小问2详解】 由（1）可得， ， 由题意可得得，故实数的取值范围为. 16. 如图，在中，，是的中点，设，. （1）试用，表示； （2）若，，且与的夹角为，求. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据向量加法的三角形法则以及共线定理即可用，表示； （2）用，表示出，即可求得，再开方即可. 【详解】（1） . （2） ， ∴， ∵，，与的夹角为，∴， ∴ ，即. 17. 读书可以增长知识，开拓视野，修身怡情.树人中学为了解本校学生课外阅读情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本，其中男生40名，女生60名.经调查统计，分别得到40名男生一周课外阅读时间（单位：小时）的频数分布表和60名女生一周课外阅读时间（单位：小时）的频率分布直方图. 男生一周阅读时间频数分布表 小时 频数 9 25 3 3 （1）由以上频率分布直方图估计该校女生一周阅读时间的众数和75%分位数； （2）由以上频数分布表和频率分布直方图估计总样本的平均数； （3）从一周课外阅读时间为的样本学生中按比例分配抽取6人，再从这6人中任意抽取2人，求恰好抽到一男一女的概率. （注：以各组区间中点值代表该组的各个值） 【答案】（1）75%分位数是，众数是3 （2）3.6 （3） 【解析】 【分析】(1)根据频率分布直方图，结合众数、百分位数的求法计算即可； (2)根据频数分布表直接求出男生一周课外阅读时间平均数，根据频率分布直方图，结合平均数的求法求出女生一周课外阅读时间的平均数，即可求出总样本的平均数； (3)根据频数分布表与频率分布直方图求出一周课外阅读时间为的男生与女生人数，结合古典概型的概率公式计算即可. 【小问1详解】 由女生一周阅读时间的频率分布直方图知，阅读时间的众数是3， 设女生一周阅读时间的75%分位数为，， 解得； 【小问2详解】 由频数分布表估计男生一周课外阅读时间平均数 由频率分布直方图估计女生一周课外阅读时间的平均数 所以估计总样本的平均数 【小问3详解】 由频数分布表，频率分布直方图知，一周课外阅读时间为的学生中男生有3人， 女生有（人） 若从中按比例分配抽取6人，则男生有1人，记为， 女生有5人，记为，，，，， 则样本空间， 共有15个样本点. 记事件“恰好一男一女”，则 故所求概率. 18. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，设为的面积，满足． （1）求角的大小； （2）求取值范围； （3）如图所示，当取得最大值时，在所在平面内取一点，使得线段，，求面积的最大值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据三角形面积公式、余弦定理，结合同角的三角函数关系式进行求解即可； （2）根据辅助角公式，结合正弦型函数的性质进行求解即可； （3）根据正弦定理、余弦定理，结合辅助角公式、正弦型函数的性质进行求解即可. 【小问1详解】 中，面积为， 又，, 所以， 所以， 又， 所以； 【小问2详解】 由（1）得，，又是锐角三角形，得， 所以 ， 由，所以，所以， 所以的取值范围是； 【小问3详解】 当取得最大值时，，解得； 令，，， 则，∴； 又， ∴， ∴．∴， 当时等号成立； ∴面积的最大值为． 19. 中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍（chú）甍（méng）者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条楼．刍字面意思为茅草屋顶．”现有一个刍如图所示，四边形为正方形，四边形，为两个全等的等腰梯形，，，，． （1）求二面角的大小； （2）求三棱锥的体积； （3）点在直线上，满足（），在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，或． 【解析】 【分析】（1）根据二面角的定义，过点分别作，，则为二面角的平面角，即可求解；（2）利用等体积转化，再求解点到平面的距离，即可求解体积；（3）方法一，分两种情况，当点在线段上时，当点在延长线上时，分别利用线线，线面平行关系求得的值；方法二，利用线线平行，线面平行关系，构造面面平行，利用面面平行的性质定理，求解的值. 【详解】（1）过点分别作，，分别交，于，，连接， 则为二面角的平面角， 因为四边形为正方形，， 所以，， 由已知得， 所以． （2）过点作，垂足为． 因为，平面，平面， 所以平面． 因为，， 所以． 因为， 所以平面． 因为平面， 所以． 因为，，平面， 所以平面， 所以为三棱锥的高，． 因为， 所以． （3）方法一： 假设存在点． ①当点在线段上时，连接交于， 则， 所以． 因为平面，平面， 平面平面， 所以， 所以． ②当点在延长线上时，连接交于， 则， 所以． 因为平面，平面， 平面平面， 所以， 所以． 综上，在直线上存在点，使平面，的值为或． 方法二： 当点在线段上时，过点作交于，连接，过点作交于点， 因为， 所以平面平面． 因平面， 所以平面． 因为平面，平面平面， 所以． 因为，， 所以， 所以， 所以， 所以． 当点在线段延长线上时，过点作交于，连接，过点作交于点． 因为， 所以平面平面． 因为平面， 所以平面． 因为平面，平面平面， 所以． 因为，， 所以， 所以， 所以． 所以． 综上，在上存在点使得平面，此时或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖北省孝感高中2024-2025学年下学期高一期末数学适应卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 2. 设，均为单位向量，则“与的夹角为”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知向量，，．若λ为实数，()∥，则λ＝（ ）. A. B. C. 1 D. 2 4. 设为直线，，为两个不同平面，则下列结论中错误的是（ ） A. ，，且 B. ， C. ，且 D. ，且与相交与相交 5. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 6. 已知一组数据的频率分布直方图如图所示，则众数、中位数、平均数是 A. 63、64、66 B. 65、65、67 C. 65、64、66 D. 64、65、64 7. 某校高二年级学生举行中国象棋比赛，经过初赛，最后确定甲、乙、丙三位同学进入决赛.决赛规则如下，累计负两场者被淘汰，比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，最后的胜者获得冠军，比赛结束.若经抽签，已知第一场甲，乙首先比赛，丙轮空，设每场比赛双方获胜的概率都为，则（ ） A. 甲获得冠军的概率最大 B. 甲与乙获得冠军的概率都比丙大 C. 丙获得冠军的概率最大 D. 甲、乙、丙每人获得冠军的概率都一样大 8. 在锐角中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知中，其内角，，的对边分别为，，．下列命题正确的有（ ） A. 若，，，则面积为 B. 若，，则 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，，，则 10. 在平行四边形中，，，与交于点，设，，则（ ） A. B. C. D. 11. 半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形围成 （如图所示），若它所有棱的长都为2，则（ ） A. 平面 B. 该二十四等边体体积为 C. 与夹角为 D. 该二十四等边体的外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，则_____________． 13. 若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为________． 14. 如图，在三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，D，E分别是AC，AB的中点，且，则点A到平面的距离为______，四棱锥的外接球的半径为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，且为纯虚数. （1）求的值： （2）复数求在复平面对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 16. 如图，在中，，是的中点，设，. （1）试用，表示； （2）若，，且与的夹角为，求. 17. 读书可以增长知识，开拓视野，修身怡情.树人中学为了解本校学生课外阅读情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本，其中男生40名，女生60名.经调查统计，分别得到40名男生一周课外阅读时间（单位：小时）的频数分布表和60名女生一周课外阅读时间（单位：小时）的频率分布直方图. 男生一周阅读时间频数分布表 小时 频数 9 25 3 3 （1）由以上频率分布直方图估计该校女生一周阅读时间的众数和75%分位数； （2）由以上频数分布表和频率分布直方图估计总样本的平均数； （3）从一周课外阅读时间为样本学生中按比例分配抽取6人，再从这6人中任意抽取2人，求恰好抽到一男一女的概率. （注：以各组的区间中点值代表该组的各个值） 18. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，设为的面积，满足． （1）求角的大小； （2）求取值范围； （3）如图所示，当取得最大值时，在所在平面内取一点，使得线段，，求面积的最大值． 19. 中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍（chú）甍（méng）者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条楼．刍字面意思为茅草屋顶．”现有一个刍如图所示，四边形为正方形，四边形，为两个全等的等腰梯形，，，，． （1）求二面角的大小； （2）求三棱锥的体积； （3）点在直线上，满足（），在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$