湖北武汉市武钢三中2025-2026学年高一下学期数学期末模拟卷

**基本信息** 立足高一数学必修二，以科技情境（如DeepSeek竞赛、数据传输）与空间几何（翻折问题、外接球）为载体，梯度设计检测数学眼光与思维，适配期末综合评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数运算、统计量（第2题百分位数）、概率（第3题系统正常概率）|基础概念辨析，如第4题线面关系判断| |多选|3/18|复数性质（第9题）、统计图表分析（第10题）|选项分层，部分选对给分| |填空|3/15|简单随机抽样概率（第12题）、棱台体积（第13题）|聚焦计算准确性| |解答|5/77|统计直方图（第16题）、数据传输概率（第18题）、翻折立体几何（第19题）|综合应用，如第19题结合线面平行与二面角，考查空间想象与逻辑推理|

2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷 （测试范围：必修第二册） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。 1．已知复数，则（　　） A．2+i B．2﹣i C．﹣2﹣i D．﹣2+i 2．下列说法正确的是（　　） A．数据1，8，3，5，6的第60百分位数是5 B．若一组样本数据4，6，7，8，9，a的平均数为7，则a＝7 C．用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大 D．若x1，x2，⋯，x10的标准差为4，则﹣2x1+3，﹣2x2+3，﹣2x3+3，…，﹣2x10+3的标准差是8 3．如图，A1，A2两类不同的元件并联成一个系统．当A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知A1，A2正常工作的概率分别为0.9，0.8，则系统正常工作的概率为（　　） A．0.26 B．0.98 C．0.72 D．0.02 4．已知l，m，n是互不重合的三条直线，α，β，γ是互不重合的三个平面，则下列说法中正确的是（　　） A．若l∥m，m⊂α，则l∥α B．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥α C．若l与m是异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β D．若α∩β＝l，β∩γ＝m，α∩γ＝n，l∥γ，则m∥n 5．抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A＝“两次掷出的点数之和是6”，事件B＝“两次掷出的点数相同”，事件C＝“第一次掷出的点数是偶数”，则（　　） A． B．A与B相互独立 C．B与C相互独立 D．A与C相互独立 6．如图，已知圆锥的底面半径为2，母线长为4，AB为圆锥底面圆的直径，C是的中点，D是母线SA的中点，则异面直线SC与BD所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 7．已知非零向量，的夹角为锐角，为在方向上的投影向量，且，设与的夹角为θ，则cosθ的最小值为（　　） A． B． C． D． 8．在三棱锥D﹣ABC中，，AD＝BD，AC⊥BC，∠ADB＝60°，E为AB的中点，三棱锥D﹣ABC的外接球的表面积为36π，则直线DE与平面ABC所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．设i为虚数单位，复数z满足，则（　　） A．z可以是1﹣i B．若z为纯虚数，则其虚部为2 C． D．对任意复数z1，恒成立 10．某学校对高一学生预选科进行调查统计，发现学生选科仅有物化生、政史地、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选择物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则（　　） A．该校高一学生总人数为800 B．该校高一学生中选择物化政组合的人数为90 C．该校高一学生中选择物理的人数比选择历史的人数多 D．按选科组合用分层随机抽样的方法从该校高一学生抽取40人，则生史地组合应抽取8人 11．在△ABC中，，点M是AC的中点，点N满足，将△AMN沿直线MN向上翻折至△A′MN，得到四棱锥A′﹣MNBC，下列说法正确的是（　　） A．，BC∥平面A′MN B．MN⊥AA′ C．若，则翻折过程中线段AM扫过的曲面面积为 D．若点A′在平面ABC上的射影恰好落在线段BC上，则A′M与平面ABC所成角的正弦值的最大值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率为 　 　 ． 13．在正三棱台ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，A1B1＝1，棱台的高为，则该棱台的体积为 　 　 ． 14．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，记△ABC的面积为S，若（a2﹣b2）sinA＝2S，则的取值范围为 　 　 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知（2c﹣a）cosB＝bcosA． （1）求角B的大小； （2）若△ABC的面积为且b＝6，求△ABC的周长． 16．（本小题满分15分）人工智能的广泛应用，给人们的生活带来了便捷．随着DeepSeek的开源，促进了AI技术的共享和进步．某网站组织经常使用DeepSeek的人进行了AI知识竞赛．从参赛者中随机选出100人作为样本，并将这100人按成绩分组：第1组[50，60），第2组[60，70），第3组[70，80），第4组[80，90），第5组[90，100]，得到的频率分布直方图如图所示． （1）求a； （2）求样本数据的中位数与第35百分位数； （3）已知直方图中成绩在[80，90）内的平均数为85，方差为10，[90，100]内的平均数为95，方差为15，求成绩在[80，100]内的平均数与方差． 17．（本小题满分15分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，AB⊥AD，PA＝AB＝AD＝2BC＝4，E为PD中点． （1）求证：CE∥平面PAB； （2）求点D到平面PBC的距离． 18．（本小题满分17分）数据传输包括发送与接收两个环节．在某数据传输中，数据是由数字0和1组成的数字串，发送时按顺序每次只发送一个数字，且每次数字的传输相互独立．发送0时，收到0的概率为α（0＜α＜1），收到1的概率为1﹣α；发送1时，收到1的概率为β（0＜β＜1），收到0的概率为1﹣β． （1）若发送的数据为“01”，记收到的数字全部正确的概率为P1，全部错误的概率为P2，试比较P1，P2的大小； （2）已知发送数字0，1时，收到正确数字的概率都大于收到错误数字的概率． （ⅰ）从下面①②③中选出一定错误的结论： ① ②α+β＝1 ③ （ⅱ）从（ⅰ）中选出一个可能正确的结论作为条件．用X表示收到的数字串，将X中数字1的个数记为n（X），如X＝“1011”，则n（X）＝3．若发送的数据为“1100”，求P（n（X）＝2）的最大值． 19．（本小题满分17分）如图①，已知等腰梯形ABCD的外接圆圆心O在底边AB上，AB∥CD，CD＝AD＝3，P是上半圆上的动点（不包含A，B两点），点Q是线段PA上的动点，将半圆APB所在的平面沿直径AB折起，得到图②所示图形，据此解答下列各小题： （1）当PC∥平面QBD时，求的值； （2）若PB⊥AD，PB＝3，求PA与平面ABCD所成角的正弦值； （3）若PB≤3，平面PAB⊥平面ABCD，设QB与平面ABCD所成的角为α，二面角Q﹣BD﹣A的平面角为β，求β﹣α取得最大值时tanα的值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷 （测试范围：必修第二册） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。 1．已知复数，则（　A　） A．2+i B．2﹣i C．﹣2﹣i D．﹣2+i 【解析】 复数，故． 2．下列说法正确的是（　D　） A．数据1，8，3，5，6的第60百分位数是5 B．若一组样本数据4，6，7，8，9，a的平均数为7，则a＝7 C．用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大 D．若x1，x2，⋯，x10的标准差为4，则﹣2x1+3，﹣2x2+3，﹣2x3+3，…，﹣2x10+3的标准差是8 【解析】 对于A：数据1，8，3，5，6从小到大为1，3，5，6，8，5×0.6＝3，∴数据1，8，3，5，6的第60百分位数是（5+6）＝5.5，故A错误；对于B：一组样本数据4，6，7，8，9，a的平均数为7，∴（4+6+7+8+9+a）＝7，解得a＝8，故B错误；对于C：用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率与其它层里的个体被抽到的概率相等，故C错误；对于D：若x1，x2，⋯，x10的标准差为4，则﹣2x1+3，﹣2x2+3，﹣2x3+3，…，﹣2x10+3的标准差是8，故D正确． 3．如图，A1，A2两类不同的元件并联成一个系统．当A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知A1，A2正常工作的概率分别为0.9，0.8，则系统正常工作的概率为（　B　） A．0.26 B．0.98 C．0.72 D．0.02 【解析】 记事件M，N分别表示A1，A2元件正常工作，事件B：系统正常工作，若系统不正常工作，则A1，A2均不能正常工作，因此，因此． 4．已知l，m，n是互不重合的三条直线，α，β，γ是互不重合的三个平面，则下列说法中正确的是（　D　） A．若l∥m，m⊂α，则l∥α B．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥α C．若l与m是异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β D．若α∩β＝l，β∩γ＝m，α∩γ＝n，l∥γ，则m∥n 【解析】 l，m，n是互不重合的三条直线，α，β，γ是互不重合的三个平面，对于A：若∥m，m⊂α，则l∥α或l⊂α，故A错误；对于B：若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥α或l与α相交，或l⊂α，故B错误；对于C：若l与m是异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β或α与β相交，故C错误；对于D：若α∩β＝l，β∩γ＝m，α∩γ＝n，l∥γ，∴l∥n，l∥m，∴m∥n，故D正确． 5．抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A＝“两次掷出的点数之和是6”，事件B＝“两次掷出的点数相同”，事件C＝“第一次掷出的点数是偶数”，则（　C　） A． B．A与B相互独立 C．B与C相互独立 D．A与C相互独立 【解析】 对于A：掷两次骰子，基本事件有6×6＝36个，事件A＝{（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）}，共5个基本事件，则，故A错误；对于B：事件B＝{：（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6）}，共6个基本事件，则；事件AB＝{（3，3）}，所以，因为，故A与B不相互独立，故B错误；对于C：易得，事件BC＝{（2，2），（4，4），（6，6）}，则，因为，所以事件B，C相互独立，故C正确；对于D：AC＝{（2，4），（4，2）}，共2个基本事件，所以，因为，故事件A与C不相互独立，故D错误． 6．如图，已知圆锥的底面半径为2，母线长为4，AB为圆锥底面圆的直径，C是的中点，D是母线SA的中点，则异面直线SC与BD所成角的余弦值为（　A　） A． B． C． D． 【解析】 如图所示，延长AB至点E，使BE＝AB，连接SE，CE，OC，∵D是母线SA的中点，∴SE∥BD，∴∠CSE或其补角是异面直线SC与BD的角，∵圆锥的底面半径为2，∴OC＝2，OE＝3OB＝6，∵C是的中点，∴OC⊥OB，在Rt△COE中，CE2，∵SA＝SB＝AB＝4，∴BDSB＝2，SE＝2BD＝4，在△SCE中，由余弦定理知，cos∠CSE，∴异面直线SC与BD所成角的余弦值为． 7．已知非零向量，的夹角为锐角，为在方向上的投影向量，且，设与的夹角为θ，则cosθ的最小值为（　C　） A． B． C． D． 【解析】 因为||＝2||，为在方向上的投影向量，所以2，则，••2，设||＝x，由题意可得||＝1，则2•1+2×2+x2＝5+x2，所以||，（）•2+x2，cosθ，当且仅当，即时取等号． 8．在三棱锥D﹣ABC中，，AD＝BD，AC⊥BC，∠ADB＝60°，E为AB的中点，三棱锥D﹣ABC的外接球的表面积为36π，则直线DE与平面ABC所成角的正弦值为（　B　） A． B． C． D． 【解析】 如图所示，设球心为O，△ABD的外接圆圆心为F，连接OE，OA，EF，OF，FA，FB，FD，因为∠ACB＝90°，E为AB的中点，AB＝2，所以EA＝EB＝1，E为△ABC的外心，由AD＝BD，F为△ABD的外心，得D，F，E三点共线，且EF⊥AB．由题意得OE⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，则OE⊥AB，故直线DE与平面ABC所成角为∠OEF的余角，所以直线DE与平面ABC所成角的正弦值为cos∠OEF，设三棱锥D﹣ABC的外接球的半径为R，则，解得R＝3，即OA＝3，因为，所以，所以，因为∠ADB＝60°，所以由正弦定理可得，解得AF＝2，所以，在Rt△OEF中，，所以直线DE与平面ABC所成角的正弦值为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．设i为虚数单位，复数z满足，则（　ACD　） A．z可以是1﹣i B．若z为纯虚数，则其虚部为2 C． D．对任意复数z1，恒成立 【解析】 因为i为虚数单位，复数z满足，对于A：当z＝1﹣i时，，符合题意，A正确；对于B：由z为纯虚数，且，得，其虚部为，B错误；对于C：设z＝a+bi（a，b∈R），则，所以，因为，则有a2+b2＝2，故，C正确；对于D：由复数的运算性质和模长定义，可知对任意复数z，z1，恒成立，D正确． 10．某学校对高一学生预选科进行调查统计，发现学生选科仅有物化生、政史地、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选择物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则（　ACD　） A．该校高一学生总人数为800 B．该校高一学生中选择物化政组合的人数为90 C．该校高一学生中选择物理的人数比选择历史的人数多 D．按选科组合用分层随机抽样的方法从该校高一学生抽取40人，则生史地组合应抽取8人 【解析】 对于A：由扇形图可知选科是政史地这种组合的学生所占比例为25%，由条形图可知选科是政史地这种组合的学生人数为200，故该校高一学生总人数为800，故A正确；对于B：由条形图可知选科是生史地这种组合的学生人数为160，则选科是生史地这种组合的学生所占比例为，因为选择物化地和物化政组合的人数相等，所以选科是物化政这种组合的学生所占比例为（1﹣35%﹣25%﹣20%）＝10%，故选科是物化政这种组合的学生人数为800×10%＝80，故B错误；对于C：该校高一学生中选择物理的学生所占比例为35%+10%+10%＝55%，该校高一学生中选择历史的学生所占比例为25%+20%＝45%，因为55%＞45%，故该校高一学生中选择物理的人数比选择历史的人数多，故C正确；对于D：由B可知，选科是生史地这种组合的学生所占比例为20%， 故生史地组合应抽取40×20%＝8人，故D正确． 11．在△ABC中，，点M是AC的中点，点N满足，将△AMN沿直线MN向上翻折至△A′MN，得到四棱锥A′﹣MNBC，下列说法正确的是（　ABD　） A．，BC∥平面A′MN B．MN⊥AA′ C．若，则翻折过程中线段AM扫过的曲面面积为 D．若点A′在平面ABC上的射影恰好落在线段BC上，则A′M与平面ABC所成角的正弦值的最大值为 【解析】 在△ABC中，由余弦定理可得：AB2＝CB2+CA2﹣2•CB•CA•cosC4，所以AB＝2．所以△ABC是等腰三角形，腰长为2，底角为，顶角为． 对于A：如图所示，当时，N为AB中点，又M为AC中点，所以MN∥BC， BC⊄平面AMN，MN⊂平面A′MN，所以BC∥平面A′MN．故 A正确；对于B：如图所示，过A作AH⊥MN，垂直为H，连接A′H，AA′，根据翻折的性质可知A′H⊥MN，又AH，A′H⊂平面AA′H，AH∩A′H＝H，所以MN⊥平面AA′H．又AA′⊂平面AA′H，所以MN⊥AA′．故B正确；对于C：当时，．在△AMN中，由余弦定理可得：MN2＝AM2+AN2﹣2•AM•AN•cosA，因为，所以△AMN时以N为直角顶点的直角三角形．所以MA所扫过的曲面是圆锥的一部分．在△ANA′中，，，由余弦定理可得：，所以．所以MA所扫过的曲面面积为：，故C错误；对于D：如图所示，因为点A′在平面ABC的射影恰好落在线段BC上，设为E，则A′E⊥平面ABC．设A′M与平面ABC所成的角就是∠A′ME，记为θ，则．而当ME⊥BC时，ME有最小值，为， 所以，所以.故D正确． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率为 　　 ． 【解析】 根据题意，简单随机抽样中每个个体被抽到的概率是相等的，所以，用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率为P． 13．在正三棱台ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，A1B1＝1，棱台的高为，则该棱台的体积为 　　 ． 【解析】 由已知，棱台的上底面面积，下底面面积，故棱台体积． 14．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，记△ABC的面积为S，若（a2﹣b2）sinA＝2S，则的取值范围为 　　 ． 【解析】 根据题意可知，（a2﹣b2）sinA＝2S，则，∵sinA≠0（A是三角形内角，0＜A＜π），等式两边约去sinA得a2﹣b2＝bc，由余弦定理得b2+c2﹣2bccosA﹣b2＝bc，c2﹣2bccosA﹣bc＝0，两边除以c得c﹣2bcosA﹣b＝0，即c＝b（2cosA+1），由正弦定理得sinC＝（2cosA+1）sinB， ∵A+B+C＝π，∴C＝π﹣（A+B），sinC＝sin（π﹣（A+B））＝sin（A+B），则sin（A+B）＝（2cosA+1）sinB，展开sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，即sinAcosB+cosAsinB＝2cosAsinB+sinB，即sin（A﹣B）＝sinB，∵△ABC是锐角三角形，∴A﹣B＝B（A﹣B＝π﹣B会导致A＝π，舍去），则A＝2B， 又∵△ABC是锐角三角形，∴，解得，由正弦定理得，∵，∴，则，，即的取值范围是． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知（2c﹣a）cosB＝bcosA． （1）求角B的大小； （2）若△ABC的面积为且b＝6，求△ABC的周长． 【解析】 （1）根据正弦定理，（2sinC﹣sinA）cosB＝sinBcosA，展开得，2sinCcosB＝sinAcosB+sinBcosA，利用和角公式sin（A+B）＝sin（π﹣C）＝sinC，得，2sinCcosB＝sinC，因sinC≠0，两边同除sinC，得，又B∈（0，π），故； （2）由面积公式，则，由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，则36＝a2+c2﹣32⟹a2+c2＝68，利用（a+c）2＝a2+2ac+c2＝68+64＝132，得，故周长为． 16．（本小题满分15分）人工智能的广泛应用，给人们的生活带来了便捷．随着DeepSeek的开源，促进了AI技术的共享和进步．某网站组织经常使用DeepSeek的人进行了AI知识竞赛．从参赛者中随机选出100人作为样本，并将这100人按成绩分组：第1组[50，60），第2组[60，70），第3组[70，80），第4组[80，90），第5组[90，100]，得到的频率分布直方图如图所示． （1）求a； （2）求样本数据的中位数与第35百分位数； （3）已知直方图中成绩在[80，90）内的平均数为85，方差为10，[90，100]内的平均数为95，方差为15，求成绩在[80，100]内的平均数与方差． 【解析】 （1）由题意可得（a+0.015+0.020+0.003×2）×10＝1，解得a＝0.005． （2）前三组频率之和为0.05+0.15+0.030＝0.5，所以样本数据的中位数为80；前两组频率之和为（0.005+0.015）×10＝0.2，则样本数据的第35百分位数落在第三组，设第35百分位数为m，则（m﹣70）×0.03＝0.35﹣0.2，解得m＝75； （3）由题意，成绩在[80，90），[90，100]内的人数分别为30，20．所以成绩在[80，100]内的平均数为：，方差为S2．所以，成绩在[80，100]内的平均数为89，方差为36． 17．（本小题满分15分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，AB⊥AD，PA＝AB＝AD＝2BC＝4，E为PD中点． （1）求证：CE∥平面PAB； （2）求点D到平面PBC的距离． 【解析】 （1）证明：如图所示，取PF的中点，连接EF，BF，因为AD＝2BC，AD∥BC，E为PD的中点，所以EF∥AD∥BC，且EFAD＝BC，所以四边形BCEF为平行四边形，所以CE∥BF，而BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAD，所以CE∥平面PAB； （2）解：因为AB⊥AD，PA＝AB＝AD＝2BC＝4，可得PB4，因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥PA，又AB∩PA＝A，所以BC⊥平面PAB，又因为PB⊂平面PAB，所以BC⊥PB，所以S△PBCPB×BC42＝4，S△BCDBC×AB2×4＝4，设点D到平面PBC的距离为h，则VP﹣BCD＝VD﹣PBC，即S△BCD•PAS△PBC•h，即4×4＝4•h，解得h＝2．即点D到平面PBC的距离为2． 18．（本小题满分17分）数据传输包括发送与接收两个环节．在某数据传输中，数据是由数字0和1组成的数字串，发送时按顺序每次只发送一个数字，且每次数字的传输相互独立．发送0时，收到0的概率为α（0＜α＜1），收到1的概率为1﹣α；发送1时，收到1的概率为β（0＜β＜1），收到0的概率为1﹣β． （1）若发送的数据为“01”，记收到的数字全部正确的概率为P1，全部错误的概率为P2，试比较P1，P2的大小； （2）已知发送数字0，1时，收到正确数字的概率都大于收到错误数字的概率． （ⅰ）从下面①②③中选出一定错误的结论： ① ②α+β＝1 ③ （ⅱ）从（ⅰ）中选出一个可能正确的结论作为条件．用X表示收到的数字串，将X中数字1的个数记为n（X），如X＝“1011”，则n（X）＝3．若发送的数据为“1100”，求P（n（X）＝2）的最大值． 【解析】 （1）由题意，P1＝αβ，P2＝（1﹣α）（1﹣β），P1﹣P2＝αβ﹣（1﹣α）（1﹣β）＝α+β﹣1，当0＜α+β＜1时，P1＜P2；当α+β＝1时，P1＝P2；当1＜α+β＜2时，P1＞P2； （2）（ⅰ），解之得，所以，所以1＜α+β＜2，，所以②③一定错误； （ⅱ）由（ⅰ）中选择作为条件，当发送的数据为“1100”时，事件n（X）＝2包含以下三种情况：①两个1接收都正确，两个0接收都正确，其概率为α2β2；②有且只有一个1接收正确，有且只有一个0接收正确，其概率为2α（1﹣α）×2β（1﹣β）＝4αβ（1﹣α﹣β+αβ）；③两个1接收都错误，两个0接收都错误，其概率为（1﹣α）2（1﹣β）2＝（1﹣α﹣β+αβ）2；所以，令t＝αβ，则，其中，可得，所以，，由二次函数的性质可知，P（n（X）＝2）在时取到最大值，最大值为． 19．（本小题满分17分）如图①，已知等腰梯形ABCD的外接圆圆心O在底边AB上，AB∥CD，CD＝AD＝3，P是上半圆上的动点（不包含A，B两点），点Q是线段PA上的动点，将半圆APB所在的平面沿直径AB折起，得到图②所示图形，据此解答下列各小题： （1）当PC∥平面QBD时，求的值； （2）若PB⊥AD，PB＝3，求PA与平面ABCD所成角的正弦值； （3）若PB≤3，平面PAB⊥平面ABCD，设QB与平面ABCD所成的角为α，二面角Q﹣BD﹣A的平面角为β，求β﹣α取得最大值时tanα的值． 【解析】 （1）如图所示，连接AC交BD于点M，连接QM，因为CD＝AD＝3，AB∥CD，所以BC＝3，AB＝6，则平面PAC∩平面QBD＝QM，依题意，PC∥平面QBD，PC⊂平面PAC， 所以PC∥QM，所以，等腰梯形ABCD中，△MAB∽△MCD，所以； （2）因为等腰梯形ABCD的外接圆圆心O在底边AB上，所以∠ADB＝90°，所以AD⊥DB，又因为PB∩BD＝B，PB，BD⊂平面PBD，所以AD⊥平面PBD，又AD⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面PBD， 如图所示，过P作PN⊥BD于N，连接AN，所以PN⊥平面ABD，则∠PAN为PA与平面ABCD所成的角，由（1）可得，，，因为PD2+BP2＝18+9＝27＝BD2，所以∠BPD＝90°，所以，所以，解得，所以，所以PA与平面ABCD所成角的正弦值； （3）如图所示，作QH⊥AB于H，连接BQ，因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，所以QH⊥平面ABCD，所以BH是BQ在平面ABCD内的射影，因为PB≤3，所以，所以∠QBH即为QB与平面ABCD所成的角为α∈（0，∠PBA），则，过H作GH⊥BD，垂足为G，连结QG，又因为QH⊥BD，GH∩QH＝H，GH，QH⊂平面QHG，所以BD⊥平面QHG，又因为QG⊂平面QHG，所以BD⊥QG，所以∠QGH为二面角Q﹣BD﹣A的平面角β，所以，所以，tanβ＝2tanα，所以，当且仅当tanα时，tan（β﹣α）取得最大值，即β﹣α取得最大值，所以β﹣α取得最大值时tanα． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/2 11:00:59；用户：15972902576；邮箱：15972902576；学号：21498003 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $