精品解析：福建省漳州第一中学2025-2026学年七年级下学期期中考试数学试题

2025-2026学年下学期期中考学情调研 七年级数学试卷 （满分：150分考 试时间：120分钟） 友情提示：请把所有答案填写（涂）到答题纸上！请不要错位、越界答题！ 注意：在解答题中，凡是涉及到画图，可先用铅笔画在答题纸上，然后必须用黑色签字笔重描确认，否则无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置填涂．） 1. 航天员的宇航服加入了气凝胶可以抵御太空的高温，气凝胶是一种具有纳米多孔结构的新型材料，颗粒尺寸通常小于，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 共和国勋章获得者袁隆平培育出世界上第一株籼型杂交水稻，不仅解决了我国人多粮食少的问题，也给世界粮食产业带来了一次绿色变革．事件“没有水分，水稻正常生长”是（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 无法确定 3. 下面四个图形中，与不是对顶角的图形有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 下列各组线段能组成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 5，5，11 C. 5，6，11 D. 6，8，13 5. 如图，已知，用“AAS”证，还需（ ） A. B. C. D. 6. 能判定的条件是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在河岸BF上取两点C、D；使CD=BC，再作DE⊥BF，垂足为D，使A、C、E三点在一条直线上，测得ED=20米，因此AB的长是（ ） A. 10米 B. 20米 C. 30米 D. 40米 8. 下列各式中，不能运用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，现有长方形纸片，将沿对角线折叠，得到，与相交于点，将沿折叠，得到．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，，射线平分，点F为的反向延长线上的一点，连接，且满足，若，，则与满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题纸的相应位置） 11. 计算：_________． 12. 如图是用计算机模拟抛掷一个啤酒瓶盖试验的结果，随着试验次数的增加，据此估计“凸面向上”的概率是________．（精确到） 13. 如图，在中，是的重心，连接并延长交于点，若，则_________． 14. 小可在纸上画了多条直线,…若,照此规律， 则与的位置关系为_________． 15. 等腰三角形的两边长、满足，则这个三角形的周长为_________． 16. 如图，中，，，，直线经过点且与边相交（不经过点，）．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当_________秒时，与全等（不考虑、重合的情况）． 三、解答题（本题共9小题，共86分．请在答题纸的相应位置解答） 17. 计算： 18. 如图，与相交于点O，，．与相等吗？请说明理由． 19. 先化简，再求值，其中，． 20. 如图，点分别在三角形的边，上，点在线段上，且，．求证：． 证明：（平角的定义）， （已知）， （① ）， （② ）， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， （③ ）， （④ ）． 21. 中国农民丰收节，是第一个在国家层面专门为农民设立的节日，节日时间为每年“秋分”．该节日的设立提升了亿万农民的荣誉感、幸福感、获得感．工作人员小张在丰收节展览会上不慎打碎一个如图所示的三角形玻璃展台（）． （1）小张只要从两块碎片中选择第____块（填“①”或“②”）就可以到店铺加工一块与原来三角形玻璃展台（）的形状和大小完全相同的新展台（），理由是____（填“”或“”或“”或“”）． （2）求作，使得（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 22. 如图，图1、图2是两个可以自由转动的转盘．图1被等分成9个扇形，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字：图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角的度数是，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的颜色即为转出的颜色． （1）在图1的转盘中转出数字9的概率是___________． （2）小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘（若转盘的指针恰好指在分界线上时重转），小颖认为：小明转出的数字小于7的概率与小亮转出红色的概率相同．小颖的观点对吗？为什么？ 23. 规定一种新运算：对于任意有理数，，定义 ． （1）计算：_________， _________． 判断：__________（填 “”或“”或“”） （2）对于任意有理数，，， 成立吗？请说明理由． （3）已知，且，都是正整数，求所有可能的，的值． 24. 特殊化思想是数学探究与解题中极具价值的思维方法，其核心逻辑是：从一般问题中选取特殊的情形（比如特殊点、特殊位置）分析，先通过特殊情形发现规律、验证猜想，再将结论推广到一般情况．点是等边三角形（每个内角都是）内任意一点，过点向三边作垂线，垂足分别为，，．记，的周长．试探究与的关系． （1）小颖从特殊情形发现： ①如图1，若点在三条高的交点时，与有什么数量关系呢？ ， 在和中， 在和中 同理可证 此时与的数量关系为_________． ②如图2，当点在的一条高上，①中的结论还成立吗？说明理由． （2）如图3，当点为内任意一点，小颖发现的结论还成立吗？请你借助特殊情形下获得的结论和方法解决这个问题． 25. 阅读理解 半角模型：半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角两边相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等三角形，使条件弱化，这样可把握问题的本质． 【问题背景】 如图1，在四边形中，分别是上的点，，试探究图1中线段之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到线段之间的数量关系是______________． 【探索延伸】 如图2，在四边形中，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【结论运用】 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，则此时两舰艇之间的距离为__________海里． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期期中考学情调研 七年级数学试卷 （满分：150分考 试时间：120分钟） 友情提示：请把所有答案填写（涂）到答题纸上！请不要错位、越界答题！ 注意：在解答题中，凡是涉及到画图，可先用铅笔画在答题纸上，然后必须用黑色签字笔重描确认，否则无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置填涂．） 1. 航天员的宇航服加入了气凝胶可以抵御太空的高温，气凝胶是一种具有纳米多孔结构的新型材料，颗粒尺寸通常小于，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定与的值是解题关键，对于小于1的正数，的绝对值等于原数左起第一个非零数字前零的个数，据此解答即可． 【详解】解：左起第一个非零数字为，原数小数点需向右移动位得到，满足， ． 2. 共和国勋章获得者袁隆平培育出世界上第一株籼型杂交水稻，不仅解决了我国人多粮食少的问题，也给世界粮食产业带来了一次绿色变革．事件“没有水分，水稻正常生长”是（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵水稻正常生长需要水分，没有水分时水稻不可能正常生长， ∴事件“没有水分，水稻正常生长”是一定不会发生的事件，属于不可能事件． 3. 下面四个图形中，与不是对顶角的图形有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据对顶角的定义逐一判断即可，对顶角：有公共的顶点，角的两边互为反向延长线． 【详解】解：第1，2，4个图形都不是对顶角， 故选：C． 4. 下列各组线段能组成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 5，5，11 C. 5，6，11 D. 6，8，13 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断，关键是掌握三角形三边关系定理． 【详解】解：A、，长度是1、2、3的线段不能组成三角形，故A不符合题意； B、，长度是5、5、11的线段不能组成三角形，故B不符合题意； C、，长度是5、6、11的线段不能组成三角形，故C不符合题意； D、，长度是6、8、13的线段能组成三角形，故D符合题意． 故选：D． 5. 如图，已知，用“AAS”证，还需（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．利用全等三角形判定定理分析即可得出答案． 【详解】解：由图可知，， ， 用“”证，还需， 故选：C 6. 能判定的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定条件，熟知平行线的判定定理是解题的关键． 根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】解：A、由可以得到，故本选项不符合题意； B、由可以得到，故本选项符合题意； C、由，可以得到，故本选项不符合题意； D、由，可以得到，故本选项不符合题意， 故选：B． 7. 如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在河岸BF上取两点C、D；使CD=BC，再作DE⊥BF，垂足为D，使A、C、E三点在一条直线上，测得ED=20米，因此AB的长是（ ） A. 10米 B. 20米 C. 30米 D. 40米 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可以得到∠ABC=∠BDE，又CD=BC，∠ACB=∠DCE，由此根据角边角即可判定EDC≌ABC，则ED=AB． 【详解】解：∵BF⊥AB，DE⊥BF， ∴∠ABC=∠CDE， 在EDC和ABC中，， ∴EDC≌ABC（ASA）． ∴ED=AB． ∵ED=20米， ∴AB=20米． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的应用；需注意根据垂直定义得到的条件，以及隐含的对顶角相等，观察图形，找着隐含条件是十分重要的． 8. 下列各式中，不能运用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平方差公式的结构特点判断即可． 【详解】解：A、，故该选项符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了平方差公式，掌握是解题的关键． 9. 如图，现有长方形纸片，将沿对角线折叠，得到，与相交于点，将沿折叠，得到．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据平行线的性质可得，由折叠的性质可知，．从而可利用x表示出，再根据，列出等式，解出x即可． 【详解】解：设， ∵， ∴ 由翻折的性质可知，， ∵， ∴， ∴， ∵长方形纸片， ∴， ∴， 解得：， ∴． 10. 如图，，射线平分，点F为的反向延长线上的一点，连接，且满足，若，，则与满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，过点作，根据平行线的性质分别表示出、，根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点作 ∵， ∴ ∵，， ∴， ∵ ∴ 又∵射线平分， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：D． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题纸的相应位置） 11. 计算：_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查单项式乘单项式的运算，根据单项式乘单项式运算法则，结合同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解：． 12. 如图是用计算机模拟抛掷一个啤酒瓶盖试验的结果，随着试验次数的增加，据此估计“凸面向上”的概率是________．（精确到） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了频率估计概率，根据图中的数据即可解答，解题的关键是正确理解频率估计概率． 【详解】解：由图可知，随着试验次数的增加，“凸面向上”的频率逐渐稳定在附近，“凸面向上”的概率为， 故答案为：． 13. 如图，在中，是的重心，连接并延长交于点，若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形重心的性质，重心是三条中线的交点，因此点是边的中点，再利用中点的定义即可求出的长度． 【详解】解：∵是的重心， ∴是的中线， ∴是的中点， ∵， ∴． 14. 小可在纸上画了多条直线,…若,照此规律， 则与的位置关系为_________． 【答案】平行 【解析】 【分析】先根据已知条件梳理直线间平行、垂直的循环规律，再判断与的位置关系． 【详解】解：已知 ，且在同一平面， 依次推导： ， ， ， ， ， ， ， 由此可得规律：每4条直线为一个循环周期， 即： ， 计算： ，余数为0，此余数规律与的情况一致，故． 15. 等腰三角形的两边长、满足，则这个三角形的周长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先通过配方法将已知等式变形，利用平方的非负性求出等腰三角形的两边长、，再分情况讨论腰长，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，最后计算周长． 【详解】解：对 配方， ， ， 平方数非负，即， ， ，， 解得：，， 若腰长为2，三边长为2、2、7， ，不满足三角形三边关系，舍去； 若腰长为7，三边长为7、7、2， ，满足三边关系， 周长 ． 16. 如图，中，，，，直线经过点且与边相交（不经过点，）．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当_________秒时，与全等（不考虑、重合的情况）． 【答案】2或12 【解析】 【分析】分两种情况讨论：点Q在上，点P在上；Q与A重合，根据全等三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：①如图，点Q在上，点P在上， 由题意得，，， ∵，， ，， ∵，， ， ， ， 当时，则， ∴，解得：． ②如图，当Q与A重合时， 由题意得， ，， ， ∴， 当，则，即，解得：． 综上所述：当秒或12秒时，与全等． 三、解答题（本题共9小题，共86分．请在答题纸的相应位置解答） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解： 18. 如图，与相交于点O，，．与相等吗？请说明理由． 【答案】=，理由见解析 【解析】 【详解】=，理由如下： 在和中， ， （） =． 19. 先化简，再求值，其中，． 【答案】， 【解析】 【详解】解：原式 当，时， ． 20. 如图，点分别在三角形的边，上，点在线段上，且，．求证：． 证明：（平角的定义）， （已知）， （① ）， （② ）， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， （③ ）， （④ ）． 【答案】同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换 【解析】 【分析】利用平行线的判定和性质证明即可求证． 【详解】证明：（平角的定义）， （已知）， （同角的补角相等）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， （两直线平行，同位角相等）， （等量代换）， 故答案为：同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换． 21. 中国农民丰收节，是第一个在国家层面专门为农民设立的节日，节日时间为每年“秋分”．该节日的设立提升了亿万农民的荣誉感、幸福感、获得感．工作人员小张在丰收节展览会上不慎打碎一个如图所示的三角形玻璃展台（）． （1）小张只要从两块碎片中选择第____块（填“①”或“②”）就可以到店铺加工一块与原来三角形玻璃展台（）的形状和大小完全相同的新展台（），理由是____（填“”或“”或“”或“”）． （2）求作，使得（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】（1）②； （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理，可得只有第②块有完整的两角及夹边，符合ASA； （2）分别作，即可求解． 【小问1详解】 解：因为只有第②块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的． 所以小张只要从两块碎片中选择第②块（填“①”或“②”）就可以到店铺加工一块与原来三角形玻璃展台（）的形状和大小完全相同的新展台（），理由是 【小问2详解】 如图所示：为所求 22. 如图，图1、图2是两个可以自由转动的转盘．图1被等分成9个扇形，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字：图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角的度数是，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的颜色即为转出的颜色． （1）在图1的转盘中转出数字9的概率是___________． （2）小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘（若转盘的指针恰好指在分界线上时重转），小颖认为：小明转出的数字小于7的概率与小亮转出红色的概率相同．小颖的观点对吗？为什么？ 【答案】（1） （2）小颖的观点是对的，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查概率的应用．熟练掌握概率公式，正确的计算是解题的关键． （1）共有9种结果，转出数字9的结果有1种，利用概率公式计算即可； （2）分别求出转出的数字小于7的概率和转出的颜色是红色的概率，进行比较即可得出结论． 【小问1详解】 解：共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，“转出数字是9的结果有1种， ∴P（转出数字9）； 故答案为：； 【小问2详解】 解：小颖说法正确，理由： 小明转动图1的转盘：转出的数字共有9种等可能的结果，其中，转出的数字小于7共有6种等可能的结果，所以小明转出的数字小于7的概率是， 小亮转动图2的转盘：红色部分所在扇形的圆心角度数是， P（转出红色）， P（转出数字小于7）（转出红色）， 小颖的观点是对的． 23. 规定一种新运算：对于任意有理数，，定义 ． （1）计算：_________， _________． 判断：__________（填 “”或“”或“”） （2）对于任意有理数，，， 成立吗？请说明理由． （3）已知，且，都是正整数，求所有可能的，的值． 【答案】（1）11；11； （2）不成立，理由见解析 （3）， 【解析】 【分析】（1）根据新定义列式运算即可； （2）根据新定义分别计算和 ，即可说明； （3）根据新定义得到 ，结合，都是正整数，即可解答． 【小问1详解】 解： ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：不成立，理由如下： 左边 ， 右边 ， ， 左边右边， 不成立； 【小问3详解】 解： ， ，即 ， 又，都是正整数， ， ，即，． 24. 特殊化思想是数学探究与解题中极具价值的思维方法，其核心逻辑是：从一般问题中选取特殊的情形（比如特殊点、特殊位置）分析，先通过特殊情形发现规律、验证猜想，再将结论推广到一般情况．点是等边三角形（每个内角都是）内任意一点，过点向三边作垂线，垂足分别为，，．记，的周长．试探究与的关系． （1）小颖从特殊情形发现： ①如图1，若点在三条高的交点时，与有什么数量关系呢？ ， 在和中， 在和中 同理可证 此时与的数量关系为_________． ②如图2，当点在的一条高上，①中的结论还成立吗？说明理由． （2）如图3，当点为内任意一点，小颖发现的结论还成立吗？请你借助特殊情形下获得的结论和方法解决这个问题． 【答案】（1）①；②结论成立，理由见解析 （2）结论成立，见解析 【解析】 【分析】（1）①根据等式的性质，即可求解；②同①的方法证明得到，即可得证； （2）如图，过点A作于G，交于点H，过点H作于K，过点P分别作⊥于点N，⊥于点M ；由（1）可得，证明，进而得出，即可得证． 【小问1详解】 ① ， ②结论成立，理由如下： 由（1）得，， ，， ， 在和中， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，过点A作于G，交于点H，过点H作于K，过点P分别作⊥于点N，⊥于点M ， 由（1）可得， ， ， ，， ， ， 在△和中， ， ， ， 根据平行线间的距离相等可得 ， ， ． 25. 阅读理解 半角模型：半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角两边相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等三角形，使条件弱化，这样可把握问题的本质． 【问题背景】 如图1，在四边形中，分别是上的点，，试探究图1中线段之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到线段之间的数量关系是______________． 【探索延伸】 如图2，在四边形中，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【结论运用】 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，则此时两舰艇之间的距离为__________海里． 【答案】【问题背景】，理由见详解；【初步探索】；【探索延伸】仍然成立，理由见详解；【结论运用】 【解析】 【问题背景】将绕点逆时针旋转得，与重合，可证点共线，可证，，由此即可求证；【初步探索】根据作图可证，再证即可；【探索延伸】证明方法与“初步探索”的证明方法相同；【结论运用】如图所示，连接，过点作轴于点，证明，，由此即可求解． 【详解】解：【问题背景】，理由如下， 如图所示， ∵，， ∴将绕点逆时针旋转得，与重合， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴点共线， ∵，， ∴， ∴，即， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 【初步探索】根据题意，，延长至点， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 【探索延伸】仍然成立，理由如下， 如图所示，延长至点，使得， ∵，， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， 在中， ， ∴， ∴，且， ∴； 【结论运用】如图所示，连接，过点作轴于点， 根据题意可得，，，，， ∴在中，，，则， ∴， ∵， ∴， ∵舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙以海里/小时的速度前进，形式小时， ∴（海里），（海里）， 如图所示，延长至点，使得，则， 在中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴在中， ， ∴， ∴， ∴（海里）， ∴此时两舰艇之间的距离为海里， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查四边形的综合，全等三角形的判定和性质的综合，方位角的运用，理解图示，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $