19.3　借助箱线图描述数据的分布 同步练习 2025-2026学年华东师大版数学八年级下册

**基本信息** 聚焦四分位数与箱线图，通过基础认知、综合应用、易错深化三层设计，构建从概念理解到数据分析的巩固路径，培养数据观念与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|四分位数定义、箱线图构成|以填空、选择考查概念（如四分位数名称），通过简单计算（如求第一四分位数）夯实基础，对应运算能力| |综合应用层|四分位数计算、箱线图比较|结合实际情境（理财产品收益率、空气质量指数）设计解答题，实现数据整理与分布分析的综合应用，体现数据观念| |易错深化层|四分位数取值、箱线图特征辨析|通过辨析题（如上四分位数取值范围）和复杂情境（4个正整数的上四分位数）突破易错点，发展批判性思维|

19．3　借助箱线图描述数据的分布 1．所有数据中小于这两个值的分别占25%和75%.把一组按由小到大顺序排列的数据分成四等份，所以称它们为这组数据的四分位数，从小到大分别称为这组数据的下四分位数、中位数、上四分位数． 2．为了更加直观地观察数据的分布特征，我们可以用数据的三个四分位数及最小值、最大值这五个数值画出箱线图． 考点　四分位数和箱线图 【典例1】某银行有A和B两个理财经营团队.2025年上半年这两个理财团队分别负责经营12项理财产品，收益率(%)如下： A：4.77　3.98　4.88　4.89　2.15　3.85 3．64　3.21　3.18　2.02　4.11　4.10 B：3.18　3.84　3.99　3.67　3.40　3.60 4．10　4.21　4.15　4.44　3.87　3.91 某同学想要利用四分位数分析A、B两个团队的经营水平，下表为他绘制的两个团队理财产品收益率数据的四分位数表． 两个团队理财产品收益率(%) 数据的四分位数表 团队 m25 m50 m75 A 3.195 3.915 4.440 B a 3.890 b 请根据以上信息回答下列问题： (1)表中a＝___3.635__，b＝___4.125___； (2)该同学基于四分位数绘制了A团队的箱线图如图所示，获得了A团队数据的直观表示．请你根据A团队的箱线图在图中补全B团队的箱线图，并根据箱线图对A，B两个团队的经营水平从总体经营效益，稳健度方面作出评价． 解：(1)将B团队负责经营的12项理财产品的收益率(%)按从小到大排列为3.18，3.40，3.60，3.67，3.84，3.87，3.91，3.99，4.10，4.15，4.21，4.44. ∵a为前6个数据的中位数，b为后6个数据的中位数， ∴a＝＝3.635，b＝＝4.125. (2)补全B团队的箱线图，如图所示． 通过箱线图可知，团队A产品收益率的中位数与团队B的几乎相等，故可知两个团队的总体经营效益基本一样，但团队A的产品收益率明显比团队B的收益率的波动性大，即团队B的经营水平更稳健，故对于稳健型的投资者，选择团队B的理财产品更合适． 【变式训练】 绘制箱线图时，箱体的长度表示的统计信息是(D) A．表示数据的平均值 B．表示数据的分布范围 C．表示数据的方差 D．表示数据的四分位距 知识点1　四分位数 1．现有一组数据分别为106，113，96，98，100，102，104，111，则“下四分位数”是(B) A.113 B．99 C．102 D．98 2．四分位数能更全面地反映数据的分布特征．我们把一组数据按从小到大排列，可求得中位数b，在小于b和大于b的这两部分数据中，再分别求得它们各自的中位数a和c.由于a，b，c把这组从小到大排列后的数据分成四部分，因此它们统称为这组数据的四分位数，我们称a，b，c分别为这组数据的第一、二、三四分位数．则数据1，3，4，5，2，6，7，8，9的第一四分位数为2.5． 3．在处理数据的过程中，会用到一种百分位数法，百分位数是一类统计量．如果把一组数据从小到大排序，用m50表示中位数，称为第50百分位数，那么中位数把这组数据分为两部分，分别记为S和T；进一步，用m25和m75分别表示S和T的中位数，那么，所有数据中小于或等于m25的占25%、小于或等于m75的占75%。这样，m25，m50，m75这三个数值把所有数据分为个数相等的四个部分，因此，称为四分位数．请求出以下这组数据的四分位数．4.77，3.98，6.44，4.98，2.15，3.85，3.64，3.21，3.18，2.02，4.11，4.10 m25＝3.195，m50＝3.915， m75＝4.44． 4．某校为了解八年级300名男生的体重情况，随机抽测了23名男生的体重(kg)，具体数据如下： 45　49　55　58　54　50　57　44　62　61　51 53　48　52　54　50　47　59　52　58　54　51 49 请计算这组数据的四分位数． 将这23个数据从小到大排列如下：44　45　47 48　49　49　50　50　51　51　52　52　53　54 54　54　55　57　58　58　59　61　62 ∴该样本数据的第6，12，18项数据分别为49，52，57， ∴该样本数据的四分位数分别为49，52，57. 知识点2　箱线图 5．人数相同的甲、乙、丙、丁四支篮球队队员的身高情况如图所示，下列说法正确是①②③④． ①四队中只有甲队有队员的身高超过200 cm； ②乙队的身高最为整齐； ③丙队身高在190 cm及以上的人数最多； ④丁队的平均身高最低． 6．如图为某地区5月和6月的空气质量指数(AQI)箱线图．AQI值越小，空气质量越好．则下列结论正确的是①③④． ①该地区5月的AQI值的平均数高于6月AQI值的平均数 ②该地区6月的AQI值比5月的AQI值集中 ③该地区5月的AQI值比6月的AQI值集中 ④从整体上看，该地区5月的空气质量略好于6月 易错易混点　不理解四分位数的定义而出错 7．某地政府相关部门随机调查了18个旅游团对当地旅游满意度的综合评分(分)情况，得到如下数据：a，80，81，80，82，83，84，84，85，86，87，89，90，93，95，97，95，100.若a恰好是这组数据的上四分位数，则a的值不可能为(D) A．93 B．94 C．95 D．96 8．某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图(三个班级学生数相同)如图所示，根据该图判断下列说法正确的是①②． ①三个班级中，甲班分数的方差最小 ②三个班级中，乙班分数的最高分与最低分的差别最大 ③丙班得分低于80的学生人数多于得分高于80的学生人数 ④若每班有42个学生，则三个班级的第11名中，丙班的分数最高 9．互不相等的4个正整数从小到大排序为a1，a2，a3，a4若它们的和为12，且这4个数据的最大值与最小值的差是中位数的2倍，则这4个数据的上四分位数为4.5． 10．已知甲、乙两班人数相同，在一次测试中两班成绩箱线图如图所示．由此图估计甲、乙两班平均分较高的班级是哪个？ 由两班成绩箱线图可以看出， 甲班成绩的中位数为128，而乙班的上四分位数是128，同时，甲班的下四分位数明显高于乙班，由此估计甲班平均分较高． 11．起源于汉代的“踢毽子”运动，虽有两千多年历史，但由于简便易行，至今仍很流行．某校为丰富课外活动、增强学生体质，在初三年级进行了“踢毽子”比赛，以学生每分钟踢毽子的个数记录分值，一个记一分．参赛学生踢毽子的分值均在40～100分之间，从中随机抽取了100个学生踢毽子的成绩作为样本进行统计分析，绘制了如图所示的频率分布直方图，并称得分在80～90之间的人为“踢毽健将”，90分以上的人为“踢毽达人”． (1)求样本的平均值(同一组数据用该区间的中点值代替)； (2)求下列数据的四分位数：13，15，12，27，22，24，28，30，31，18，19，20. (1)由题意，得＝45×0.005×10＋55×0.02×10＋65×0.035×10＋75×0.025×10＋85×0.01×10＋95×0.005×10＝68(分)，∴样本的平均值为68(分)； (2)把12个数据按从小到大的顺序排列为12，13，15，18，19，20，22，24，27，28，30，31， 所以数据的第一四分位数为＝16.5，第二四分位数为＝21，第三四分位数为＝27.5. 12．(数据观念)某次测试中，甲、乙两组的测试成绩如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98. 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95. (1)求甲组数据的四分位数a，m，b； (2)根据四分位数可绘制如图所示的箱线图[箱线图是一种基于五位数摘要(最小数、下四分位数、中位数、上四分位数和最大数)显示数据分布的标准化方法]，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图； (3)根据对箱线图和四分位数的理解，谈谈你对两组成绩的看法． (1)把甲组的测试成绩从小到大排列为60，70，70，80，89，91，92，96，98，100，故m＝＝90，a＝70，b＝96； (2)绘制甲组的箱线图如图所示： (3)根据箱线图和四分位数，可知甲组成绩比较分散，乙组成绩比较集中．(答案不唯一) 学科网（北京）股份有限公司 $ 19．3　借助箱线图描述数据的分布 1．所有数据中小于这两个值的分别占25%和75%.把一组按由小到大顺序排列的数据分成四等份，所以称它们为这组数据的 ，从小到大分别称为这组数据的 、 、 ． 2．为了更加直观地观察数据的分布特征，我们可以用数据的三个四分位数及最小值、最大值这五个数值画出 ． 考点　四分位数和箱线图 【典例1】某银行有A和B两个理财经营团队.2025年上半年这两个理财团队分别负责经营12项理财产品，收益率(%)如下： A：4.77　3.98　4.88　4.89　2.15　3.85 3．64　3.21　3.18　2.02　4.11　4.10 B：3.18　3.84　3.99　3.67　3.40　3.60 4．10　4.21　4.15　4.44　3.87　3.91 某同学想要利用四分位数分析A、B两个团队的经营水平，下表为他绘制的两个团队理财产品收益率数据的四分位数表． 两个团队理财产品收益率(%) 数据的四分位数表 团队 m25 m50 m75 A 3.195 3.915 4.440 B a 3.890 b 请根据以上信息回答下列问题： (1)表中a＝___ __，b＝___ ___； (2)该同学基于四分位数绘制了A团队的箱线图如图所示，获得了A团队数据的直观表示．请你根据A团队的箱线图在图中补全B团队的箱线图，并根据箱线图对A，B两个团队的经营水平从总体经营效益，稳健度方面作出评价． 【变式训练】 绘制箱线图时，箱体的长度表示的统计信息是( ) A．表示数据的平均值 B．表示数据的分布范围 C．表示数据的方差 D．表示数据的四分位距 知识点1　四分位数 1．现有一组数据分别为106，113，96，98，100，102，104，111，则“下四分位数”是( ) A.113 B．99 C．102 D．98 2．四分位数能更全面地反映数据的分布特征．我们把一组数据按从小到大排列，可求得中位数b，在小于b和大于b的这两部分数据中，再分别求得它们各自的中位数a和c.由于a，b，c把这组从小到大排列后的数据分成四部分，因此它们统称为这组数据的四分位数，我们称a，b，c分别为这组数据的第一、二、三四分位数．则数据1，3，4，5，2，6，7，8，9的第一四分位数为 ． 3．在处理数据的过程中，会用到一种百分位数法，百分位数是一类统计量．如果把一组数据从小到大排序，用m50表示中位数，称为第50百分位数，那么中位数把这组数据分为两部分，分别记为S和T；进一步，用m25和m75分别表示S和T的中位数，那么，所有数据中小于或等于m25的占25%、小于或等于m75的占75%。这样，m25，m50，m75这三个数值把所有数据分为个数相等的四个部分，因此，称为四分位数．请求出以下这组数据的四分位数．4.77，3.98，6.44，4.98，2.15，3.85，3.64，3.21，3.18，2.02，4.11，4.10 m25＝ ，m50＝ ， m75＝ ． 4．某校为了解八年级300名男生的体重情况，随机抽测了23名男生的体重(kg)，具体数据如下： 45　49　55　58　54　50　57　44　62　61　51 53　48　52　54　50　47　59　52　58　54　51 49 请计算这组数据的四分位数． 知识点2　箱线图 5．人数相同的甲、乙、丙、丁四支篮球队队员的身高情况如图所示，下列说法正确是 ． ①四队中只有甲队有队员的身高超过200 cm； ②乙队的身高最为整齐； ③丙队身高在190 cm及以上的人数最多； ④丁队的平均身高最低． 6．如图为某地区5月和6月的空气质量指数(AQI)箱线图．AQI值越小，空气质量越好．则下列结论正确的是 ． ①该地区5月的AQI值的平均数高于6月AQI值的平均数 ②该地区6月的AQI值比5月的AQI值集中 ③该地区5月的AQI值比6月的AQI值集中 ④从整体上看，该地区5月的空气质量略好于6月 易错易混点　不理解四分位数的定义而出错 7．某地政府相关部门随机调查了18个旅游团对当地旅游满意度的综合评分(分)情况，得到如下数据：a，80，81，80，82，83，84，84，85，86，87，89，90，93，95，97，95，100.若a恰好是这组数据的上四分位数，则a的值不可能为( ) A．93 B．94 C．95 D．96 8．某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图(三个班级学生数相同)如图所示，根据该图判断下列说法正确的是 ． ①三个班级中，甲班分数的方差最小 ②三个班级中，乙班分数的最高分与最低分的差别最大 ③丙班得分低于80的学生人数多于得分高于80的学生人数 ④若每班有42个学生，则三个班级的第11名中，丙班的分数最高 9．互不相等的4个正整数从小到大排序为a1，a2，a3，a4若它们的和为12，且这4个数据的最大值与最小值的差是中位数的2倍，则这4个数据的上四分位数为 ． 10．已知甲、乙两班人数相同，在一次测试中两班成绩箱线图如图所示．由此图估计甲、乙两班平均分较高的班级是哪个？ 11．起源于汉代的“踢毽子”运动，虽有两千多年历史，但由于简便易行，至今仍很流行．某校为丰富课外活动、增强学生体质，在初三年级进行了“踢毽子”比赛，以学生每分钟踢毽子的个数记录分值，一个记一分．参赛学生踢毽子的分值均在40～100分之间，从中随机抽取了100个学生踢毽子的成绩作为样本进行统计分析，绘制了如图所示的频率分布直方图，并称得分在80～90之间的人为“踢毽健将”，90分以上的人为“踢毽达人”． (1)求样本的平均值(同一组数据用该区间的中点值代替)； (2)求下列数据的四分位数：13，15，12，27，22，24，28，30，31，18，19，20. 12．(数据观念)某次测试中，甲、乙两组的测试成绩如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98. 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95. (1)求甲组数据的四分位数a，m，b； (2)根据四分位数可绘制如图所示的箱线图[箱线图是一种基于五位数摘要(最小数、下四分位数、中位数、上四分位数和最大数)显示数据分布的标准化方法]，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图； (3)根据对箱线图和四分位数的理解，谈谈你对两组成绩的看法． 学科网（北京）股份有限公司 $