8.6.2直线与平面垂直导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学导学案围绕直线与平面垂直展开，涵盖定义、判定定理、性质定理、点面距离及线面夹角。通过植树节植树、旗杆影子等现实情境导入，以问题链连接平面几何与立体几何知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 资料特色在于以现实情境激发学习兴趣，培养学生用数学眼光观察现实世界的能力。探究问题引导逻辑推理，发展数学思维，例题练习分层设计，帮助学生用数学语言表达空间关系，提升应用意识与实践能力。

8.6.2直线与平面垂直 【学习目标】 直线与平面垂直、点面距离、线面夹角. 【学习重难点】 1. 了解直线与平面垂直的定义. 2. 理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直．(重点) 3. 理解直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题．(重点、难点) 【学习过程】 一、情景引入 植树节植树过程中如何借助曲尺判断树苗与地面是否垂直？是否每棵树都需要进行，同样的操作？ 二、探究新知 问题1　在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子.随着时间的变化,影子的位置在不断地变化,旗杆所在直线与其影子所在直线是否保持垂直? 问题2　在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.将这一结论推广到空间,过一点垂直于已知平面的直线有几条?为什么? 问题3　直线与平面垂直在现实生活中有何具体应用？ 问题4 斜拉桥又称斜张桥，是将主梁用许多拉索直接拉在桥塔上的一种桥梁，是由承压的塔、受拉的索和承弯的梁体组合起来的一种结构体系．其可看作是拉索代替支墩的多跨弹性支承连续梁．其可使梁体内弯矩减小，降低建筑高度，减轻了结构重量，节省了材料．斜拉桥由索塔、主梁、斜拉索组成．图中拉索所在直线与桥面都是相交的关系，其倾斜程度相同吗？用什么来刻画直线与平面相交时倾斜程度？ 问题5　我们知道，在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，在空间中是否有类似的性质呢？ 结论形成： 1．直线与平面垂直的定义 (1)自然语言：如果直线l与平面α内的 直线都 ，就说直线l与平面α互相垂直，记作 ．直线l叫做平面α的 ，平面α叫做直线l的 ．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做 ． (2)图形语言： 画直线l与平面α垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直． (3)符号语言：任意a⊂α，都有l⊥a⇒ ． (4)结论：过一点垂直于已知平面的直线有且只有__ __． 2．点到平面的距离 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与 的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的____叫做这个点到该平面的距离． 3. 直线与平面垂直的判定定理 文字语言 一条直线与一个平面内的 都垂直，则该直线与此平面垂直 图形语言 符号语言 __ 作用 4. 直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 图形语言 三、 例题解析 例1. (多选)下列命题中，不正确的是(　　) A．若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α B．若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线 C．若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直 D．若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α 练习1. (多选)下列说法中，正确的是(　　) A．若直线l垂直于平面α，则直线l垂直于α内任一直线 B．若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行 C．若a∥b，a⊂α，l⊥α，则l⊥b D．若a⊥b，b⊥α，则a∥α 例2如图，在四面体ABCD中，棱CD＝2，其余各棱长都为1，E为CD的中点．求证： (1)CD⊥平面ABE； (2)AE⊥平面BCD. 练习2.如图,四棱锥的底面是正方形,平面,求证:平面. 例3如图，正方体ABCD­A′B′C′D′的棱长为a，连接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一个三棱锥．求： (1) 三棱锥A′­BC′D的体积； (2) 三棱锥A′­BC′D的高． 练习3如图,在正方体中,为的中点, 棱长为a， 求： (1) 三棱锥B ­AEC的体积； (2)三棱锥B ­AEC的高． 例4在正方体中,求直线和平面所成的角. 练习4如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中． (1)求A1B与平面AA1D1D所成角的大小； (2)求A1B与平面BB1D1D所成角的大小． 例5如图所示，在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：MN∥AD1. 练习5如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN. 第 5 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.6.2直线与平面垂直 【学习目标】 直线与平面垂直、点面距离、线面夹角. 【学习重难点】 1. 了解直线与平面垂直的定义. 2. 理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直．(重点) 3. 理解直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题．(重点、难点) 【学习过程】 一、情景引入 植树节植树过程中如何借助曲尺判断树苗与地面是否垂直？是否每棵树都需要进行，同样的操作？ 二、探究新知 问题1　在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子.随着时间的变化,影子的位置在不断地变化,旗杆所在直线与其影子所在直线是否保持垂直? 提示 事实上,随着时间的变化,尽管影子BC的位置在不断地变化,但是旗杆AB所在直线始终与影子BC所在直线垂直.也就是说,旗杆AB所在直线与地面上任意一条过点B的直线垂直.对于地面上不过点B的任意一条直线B^' C^',总能在地面上找到过点B的一条直线与之平行,根据异面直线垂直的定义,可知旗杆AB所在直线与直线B^' C^'也垂直.因此,旗杆AB所在直线与地面上任意一条直线都垂直. 问题2　　在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.将这一结论推广到空间,过一点垂直于已知平面的直线有几条?为什么? 提示 可以发现,过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条. 过一点作垂直于已知平面的直线,则该点与垂足间的线段,叫做这个点到该平面的垂线段,垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离. 问题3　　直线与平面垂直在现实生活中有何具体应用？ 提示 在建施工：墙体立柱与地面垂直、地质勘探：钻孔与水平面垂直、机械设计：齿轮轴与其支撑面垂直、测量与定位：GPS天线杆垂直于地面。 问题4 斜拉桥又称斜张桥，是将主梁用许多拉索直接拉在桥塔上的一种桥梁，是由承压的塔、受拉的索和承弯的梁体组合起来的一种结构体系．其可看作是拉索代替支墩的多跨弹性支承连续梁．其可使梁体内弯矩减小，降低建筑高度，减轻了结构重量，节省了材料．斜拉桥由索塔、主梁、斜拉索组成．图中拉索所在直线与桥面都是相交的关系，其倾斜程度相同吗？用什么来刻画直线与平面相交时倾斜程度？ 提示 倾斜程度不同；用角刻画倾斜程度： 追问 直线与平面所成的角是空间角，类比异面直线所成角，空间角如何转化为平面角？ 问题5　我们知道，在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，在空间中是否有类似的性质呢？ 提示　在空间中，垂直于同一直线的两直线不一定平行，但是垂直于同一平面的两直线一定平行． 结论形成： 1．直线与平面垂直的定义 (1)自然语言：如果直线l与平面α内的__任意一条__直线都__垂直__，就说直线l与平面α互相垂直，记作__l⊥α__．直线l叫做平面α的__垂线__，平面α叫做直线l的__垂面__．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做__垂足__． (2)图形语言： 画直线l与平面α垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直． (3)符号语言：任意a⊂α，都有 l⊥a⇒__l⊥α__． (4)结论：过一点垂直于已知平面的直线有且只有__一条__． 2．点到平面的距离 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与__垂足间__的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的__长度__叫做这个点到该平面的距离． 3. 直线与平面垂直的判定定理 文字语言 一条直线与一个平面内的__两条相交直线__都垂直，则该直线与此平面垂直 图形语言 符号语言 __a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b__⇒l⊥α 作用 由线线垂直证明线面垂直 4. 直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 a⊥α，b⊥α⇒a∥b 图形语言 三、 例题解析 例1. 　(多选)下列命题中，不正确的是(　　) A．若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α B．若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线 C．若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直 D．若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α 解析　当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以A不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以B不正确，C正确；若l在α内，l也可以和α内的无数条直线垂直，所以D不正确． 练习1. (多选)下列说法中，正确的是(　　) A．若直线l垂直于平面α，则直线l垂直于α内任一直线 B．若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行 C．若a∥b，a⊂α，l⊥α，则l⊥b D．若a⊥b，b⊥α，则a∥α 解析　AC 由线面垂直的定义知，A正确；当l⊥α时，l与α内的直线相交或异面，但不会平行，故B错误；C显然是正确的；而D中，a可能在α内，故D错误． 例2如图，在四面体ABCD中，棱CD＝2，其余各棱长都为1，E为CD的中点．求证： (1)CD⊥平面ABE； (2)AE⊥平面BCD. (1)∵E为CD的中点，且AD＝AC， ∴CD⊥AE. 又∵BD＝BC，∴CD⊥BE. ∵AE∩BE＝E，AE，BE⊂平面ABE， ∴CD⊥平面ABE. (2)∵AD＝AC＝1，DC＝， ∴∠DAC＝90°，AE＝. 同理BE＝， ∵AB2＝AE2＋BE2，∴AE⊥BE. 又AE⊥CD，CD∩BE＝E，且CD，BE⊂平面BCD， ∴AE⊥平面BCD. 练习2.如图,四棱锥的底面是正方形,平面,求证:平面. 解析　 例3如图，正方体ABCD­A′B′C′D′的棱长为a，连接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一个三棱锥．求： (1) 三棱锥A′­BC′D的体积； (2) 三棱锥A′­BC′D的高． 解析(1) V三棱锥A′­BC′D＝V正方体­4V三棱锥A′­ABD＝a3－4×××a＝. .　 (2) V三棱锥A′­BC′D= BC′Dh BC′D= h= 练习3如图,在正方体中,为的中点, 棱长为a， 求： (1) 三棱锥B ­AEC的体积； (2)三棱锥B ­AEC的高． V三棱锥B­AEC＝V三棱锥E­ABC＝×a×a× = AEC××a= V三棱锥B­AEC＝×h h=a 例4在正方体中,求直线和平面所成的角. 解析　∵点G，E分别是CD，BC的中点， ∴GE∥BD，同理GF∥AC. ∴∠FGE或∠FGE的补角是异面直线AC与BD所成的角． 在△EFG中，∵FG＝2，GE＝，EF＝3， 满足FG2＋GE2＝EF2，∴∠FGE＝90°. 即异面直线AC与BD所成的角是90°. ∴AC⊥BD. 练习4如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中． (1)求A1B与平面AA1D1D所成角的大小； (2)求A1B与平面BB1D1D所成角的大小． 解析　(1)∵AB⊥平面AA1D1D， ∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角， 在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1， ∴∠AA1B＝45°， ∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°. (2)如图，连接A1C1交B1D1于点O，连接BO. ∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1⊂平面BB1D1D， ∴A1O⊥平面BB1D1D， ∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角． 设正方体的棱长为1，则A1B＝，A1O＝. 又∵∠A1OB＝90°， ∴sin∠A1BO＝＝，又0°≤∠A1BO≤90°， ∴∠A1BO＝30°， ∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°. 例5如图所示，在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：MN∥AD1. 解析　因为四边形ADD1A1为正方形， 所以AD1⊥A1D. 又因为CD⊥平面ADD1A1， 所以CD⊥AD1. 因为A1D∩CD＝D， 所以AD1⊥平面A1DC. 又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1. 练习5如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN. 解析　∵AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD， ∴AE⊥AB， 又AB∥CD，∴AE⊥CD. ∵AD＝AP，E是PD的中点，∴AE⊥PD. 又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD， ∴AE⊥平面PCD. ∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD. 又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD， ∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN. 第 6 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $