8.6.3-2 平面与平面垂直的性质 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

数学必修第二册导学案 第八章 立体几何 第八章 立体几何 §8.6.3-2平面与平面垂直的性质【导学】【解析】 【导学目标】 1.记住平面与平面垂直的性质定理，并能应用定理解决有关问题 2.能综合运用直线与平面垂直，平面与平面垂直的判定和性质解决有关问题 【导学重点】能利用平面与平面垂直的性质定理解决空间中的问题． 【导学难点】性质定理灵活应用， 【知识要点】 知识点：平面与平面垂直的性质定理 1．文字语言：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线， 那么这条直线与另一个平面垂直． 2．符号语言：⇒a⊥β. 3．图形语言： 4.简记：面面垂直，则线面垂直.(也可以推出线线垂直) 典型例题 题型一：面面垂直性质定理的应用 【例1-1】底面为菱形的四棱锥中，与交于点，平面平面，平面平面． 证明：平面； 【分析】由面面垂直得到线面垂直，进而得到⊥，⊥，故平面； 【解析】因为四边形为菱形，所以⊥， 因为平面平面，为交线，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为平面平面，为交线，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，平面， 所以平面； 【例1-2】如图所示，斜三棱柱的各棱长均为， 侧棱与底面所成角为，且侧面底面． (1)证明：点在平面上的射影为的中点； (2)求二面角的正切值． 【分析】（1）于，由平面平面，证得平面，再证得为等边三角形，可得为中点； （2）过作于，则是二面角的平面角，由已知数据计算即可． 【解析】（1）过作于， 由平面平面，平面平面， 平面，，得平面，因此， 又，从而为等边三角形，为中点． （2）由于是等边三角形，所以， 而平面平面，平面平面， 平面，所以平面，平面，则有， 过作于，连接，，平面， 所以平面，由平面，则， 则是二面角的平面角． 由于，，所以中，． 因此二面角的正切值为. 【例1-3】如图所示，在三棱锥中，与AC不垂直，平面平面，． 证明：； 【分析】由平面平面，再作，可证明平面，从而可得，又因为，所以可证明平面，即可证明； 【证明】在平面中，过点P作的垂线，垂足为D． 因为平面平面ABC， 且平面平面，平面， 所以平面．又因为平面，所以， 又，，平面，平面， 所以平面，又平面， 故． 题型二 垂直关系的综合应用 【例2-1】一副三角板如图所示的方式拼接，将折起，使得二面角为直二面角，. (1)求证：平面； (2)求点B到平面的距离. 【分析】（1）首先根据二面角为直二面角，得到平面平面，然后根据面面垂直的性质定理证明结论即可. （2）取BC的中点为P，连接AP，先证明平面，然后利用等体积法求解点B到平面的距离 【解析】（1）因为二面角是直二面角，所以平面平面， 平面平面，又因为在中，， 又平面，所以平面. （2） 记点B到平面的距离为，取的中点为P，连接AP， 因为，所以.同（1）可得平面， 由（1）平面，平面得，，即为直角三角形. 又因为和是直角三角形，， ，则，，. 所以 而， 又，解得. 即点B到平面的距离为. 【例2-2】如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 【分析】（1）取的中点，连结，由平面几何的性质结合面面垂直的性质可得平面，进而可得，再由线面垂直的判定得证即可. （2）由线面角的概念可得即为直线与平面所成的角，再结合定义法得解即可. 【解析】（1）取的中点，连接，如图， 因为为等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又，，面，故平面. （2）连接，如图， 由（1）得平面，故即为直线与平面所成的角， 由，可得，， 故. 【例2-3】如图所示，四棱锥P­ABCD的底面是一个直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB， PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，则平面EBD能垂直于平面ABCD吗？请说明理由． 【证明】平面EBD 不能垂直于平面 ABCD， 理由如下： 假设平面EBD⊥平面ABCD，过E作EO⊥BD于O，连接AO、CO. 因为EO⊂平面EBD，平面EBD∩平面ABCD=BD，且EO⊥BD，根据面面垂直的性质定理，可得EO⊥平面ABCD. 又因为PA⊥平面ABCD，所以EO∥PA. P、E、C在平面ABCD上的投影分别为A、O、C，因此A、O、C三点共线. 因为E是PC的中点，且EO∥PA，所以O是AC的中点. 因为AB∥CD，所以△ABO∽△CDO，则CD:AB=OC:AO. 又因为AO=OC，所以AB=CD，这与已知条件CD=2AB矛盾. 假设不成立，因此平面 EBD 不能垂直于平面 ABCD 所以平面 EBD 不能垂直于平面 ABCD， 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $数学必修第二册导学案 第八章 立体几何 第八章 立体几何 §8.6.3-2平面与平面垂直的性质【导学】 【导学目标】 1.记住平面与平面垂直的性质定理，并能应用定理解决有关问题 2.能综合运用直线与平面垂直，平面与平面垂直的判定和性质解决有关问题 【导学重点】能利用平面与平面垂直的性质定理解决空间中的问题． 【导学难点】性质定理灵活应用， 【知识要点】 知识点：平面与平面垂直的性质定理 1．文字语言：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线， 那么这条直线与另一个平面垂直． 2．符号语言：⇒a⊥β. 3．图形语言： 4.简记：面面垂直，则线面垂直.(也可以推出线线垂直) 典型例题 题型一：面面垂直性质定理的应用 【例1-1】底面为菱形的四棱锥中，与交于点，平面平面，平面平面． 证明：平面； 【例1-2】如图所示，斜三棱柱的各棱长均为， 侧棱与底面所成角为，且侧面底面． (1)证明：点在平面上的射影为的中点； (2)求二面角的正切值． 【例1-3】如图所示，在三棱锥中，与AC不垂直，平面平面，． 证明：； 题型二 垂直关系的综合应用 【例2-1】一副三角板如图所示的方式拼接，将折起，使得二面角为直二面角，. (1)求证：平面； (2)求点B到平面的距离. 【例2-2】如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 【例2-3】如图所示，四棱锥P­ABCD的底面是一个直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，则平面EBD能垂直于平面ABCD吗？请说明理由． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $