1.导学案 18 第8章 8.6.2 直线与平面垂直(1)(Word版+PPT版)-【满分思维】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

01 02 必备知识•自主导学 关键能力•师生共研 8.6.2　直线与平面垂直(1) 内容概览 【学习目标】 1.了解直线与平面垂直的定义.(数学抽象) 2.理解直线与平面垂直的判定定理,并会用其判断直线与平面垂直.(逻辑推理) 3.理解直线与平面所成的角的概念,并能解决简单的线面角问题.(数学运算) 返回 01 必备知识•自主导学 返回 一、直线与平面垂直的定义 1.定义:如果直线l与平面α内的_________直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α. 2.相关概念: 3.结论: (1)过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条; (2)_______的长度叫做这个点到该平面的距离. 任意一条 垂线段 返回 【思考】 1.定义中的“任意一条直线”可以换成“所有直线”吗?可以换成“无数条直线”吗? 提示:定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等效的,故可以换成“所有直线”;但是不能换成“无数条直线”,因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直,该直线与这个平面不一定垂直. 【点拨】 　直线与平面垂直的定义既是判定又是性质. 返回 二、直线与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的_____________垂直,那么该直线与此平面垂直 符号语言 m⊂α,n⊂α,_____=P,l⊥m,l⊥n⇒l⊥α 图形语言 两条相交直线 m∩n 返回 【思考】 2.判定定理中的“两条相交直线”可以改为“两条平行直线”吗?为什么? 提示:不可以.当这两条直线相互平行时,直线和平面不一定垂直. 3.线面垂直的判定定理把线面垂直定义中的“任意一条直线”简化为“两条相交直线”,你知道是什么原因吗? 提示:根据平面向量基本定理,用两条相交直线的方向向量作为基底,可以线性表示出平面内任意直线的方向向量. 返回 三、直线与平面所成的角 1.定义:平面的一条斜线和它在平面上的_____所成的角. 2.相关概念:   3.范围:0°≤θ≤90°, 当θ=0°时,直线与平面平行或者在平面内; 当θ=90°时,直线与平面垂直. 射影 返回 【点拨】 　线面角的顶点是斜足,两边分别在斜线和斜线在平面上的射影上,斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线. 返回 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)如果一条直线垂直于一个平面,那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线.( ) (2)若一条直线垂直于矩形的两边所在的直线,则这条直线垂直于矩形所在的平面.( ) 提示:当这条直线垂直于矩形的对边时,直线和平面不一定垂直. (3)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.( ) 提示:在空间中有无数条. (4)斜线和斜线在平面上的射影的夹角是该斜线与平面所成的角.( ) 提示:线面角是斜线与斜线在平面上的射影的夹角中的锐角. √ × × × 返回 02 关键能力•师生共研 返回 类型1直线与平面垂直的判定(逻辑推理) 角度1　线面垂直的定义与判定定理的理解 【典例1】(多选)下列命题,正确的是(　　) A.若直线l与平面α内的无数条直线垂直,则l⊥α B.若直线l不垂直于平面α,则α内没有与l垂直的直线 C.若直线l不垂直于平面α,则α内也可以有无数条直线与l垂直 D.若一条直线垂直于一个平面内的三角形的两边,则该直线与平面垂直 √ √ 返回 【解析】选CD.当直线l与平面α内的无数条直线垂直时,l与α不一定垂直,A不正确; 当l与α不垂直时,l可能与α内的无数条平行直线垂直,B不正确,C正确; 三角形的两边是相交的,由线面垂直的判定定理可知,D正确. 返回 【总结升华】 1.直线与平面垂直定义的“双向”作用 (1)证明线面垂直:需要证明一条直线与一个平面内任意一条直线都垂直,一般不使用; (2)证明线线垂直:若一条直线与一个平面垂直,则该直线与平面内任意一条直线垂直. 2.直线与平面垂直的判定定理中要注意必须是平面内两相交直线. 返回 【即学即练】 　(多选)下列说法正确的是(　　) A.若直线l垂直于平面α,则直线l垂直于平面α内的任一直线 B.若直线l垂直于平面α,则直线l与平面α内的直线可能相交,可能异面,也可能平行 C.若a∥b,a⊂α,l⊥α,则l⊥b D.若a⊥b,b⊥α,则a∥α √ √ 返回 【解析】选AC.由线面垂直的定义知,A正确; 当l⊥α时,l与α内的直线相交或异面,但不会平行,B错误; C显然是正确的;而D中,a可能在α内,D错误. 返回 角度2　线面垂直的证明 【典例2】(一题多解)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为CC1的中点,AC与BD交于点O,求证:A1O⊥平面MBD. 返回 【证明】方法一:因为四边形ABCD为正方形, 所以BD⊥AC, 又AA1⊥平面ABCD, 所以AA1⊥BD且AA1∩AC=A, 所以BD⊥平面AA1O, 又A1O⊂平面AA1O, 所以BD⊥A1O, 令正方体的棱长为2,连接OM,A1M(图略), 则A1O=,OM=,A1M=3, 所以A1O2+OM2=A1M2, 所以A1O⊥OM, 又OM∩BD=O, OM,BD⊂平面MBD, 所以A1O⊥平面MBD. 返回 方法二:连接A1B,A1D,OM(图略). 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, A1B=A1D,O为BD的中点, 所以A1O⊥BD. 令正方体的棱长为2, 在Rt△A1AO和Rt△OCM中, tan∠AA1O==, tan∠COM==, 故△A1AO∽△OCM, 所以∠AOA1+∠COM=90°, 所以∠A1OM=90°, 所以A1O⊥OM, 因为BD∩OM=O,OM,BD⊂平面MBD, 所以A1O⊥平面MBD. 返回 【总结升华】 　证明线面垂直的方法 (1)由线线垂直证明线面垂直: ①定义法(不常用);②判定定理(最常用),要着力寻找平面内的两条相交直线(有时需要作辅助线),使它们与所给直线垂直. (2)平行转化法(利用推论): ①a∥b,a⊥α⇒b⊥α;②α∥β,a⊥α⇒a⊥β. 返回 【即学即练】 　正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1,高为2,点M是棱CC1的中点,求证:直线AM⊥平面B1MD1. 返回 【证明】因为M是棱CC1的中点,连接AB1,AC, 所以AM====, B1M===, B1A===, 所以B1A2=B1M2+AM2,得AM⊥B1M, 同理可得,AM⊥D1M, 又B1M∩D1M=M,B1M,D1M⊂平面B1MD1, 所以直线AM⊥平面B1MD1. 返回 类型2 线面垂直判定的应用(逻辑推理) 【典例3】(易错·对对碰) (1)在三棱锥P-ABC中,O是点P在底面ABC上的射影,若PA=PB=PC,求证:O是△ABC的外心. 【证明】因为PA=PB=PC, 所以Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC, 所以AO=BO=CO,故点O是△ABC的外心. 　(2)在三棱锥P-ABC中,PA⊥BC,PB⊥AC,PC⊥AB,O是点P在底面ABC上的射影,求证:O是△ABC的垂心. 【证明】因为PA⊥BC,PO⊥BC,所以BC⊥平面PAO,所以AO⊥BC; 同理可证,BO⊥AC,CO⊥AB,故点O是△ABC的垂心. 返回 (3)在三棱锥P-ABC中,PE⊥AB,PF⊥BC,PG⊥AC,E,F,G分别为垂足,O是点P在底面ABC上的射影,若PE=PF=PG,求证:O是△ABC的内心. 【证明】因为PE=PF=PG, 所以Rt△POE≌Rt△POF≌Rt△POG, 所以EO=FO=GO,又因为PE⊥AB,PO⊥AB,所以AB⊥平面PEO,所以AB⊥EO, 同理可证BC⊥FO,AC⊥GO,故点O是△ABC的内心. 返回 【总结升华】 三棱锥顶点在底面的射影与底面三角形“心”的关系 　三棱锥三条侧棱相等时,顶点在底面的射影是底面三角形的外心;三条侧棱两两垂直时,顶点在底面的射影是底面三角形的垂心;三条斜高相等时,顶点在底面的射影是底面三角形的内心.   返回 类型3 直线与平面所成的角(数学运算) 【典例4】(教考衔接) [源题](教材P171T13)如图,在三棱锥P-ABC中, ∠ACB=90°,PA⊥底面ABC. (1)求证:平面PAC⊥平面PBC; (2)若AC=BC=PA,M是PB的中点,求AM与平面PBC所成角的正切值. [真题](2024·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台ABC-A1B1C1的体积为,AB=6,A1B1=2,则AA1与平面ABC所成角的正切值为(　　) A.　 B.1　 C.2　 D.3 √ 返回 【解析】选B.方法一:分别取BC,B1C1的中点D,D1,则AD=3,A1D1=, 可知S△ABC=×6×6×=9, =×2×2×=. 设正三棱台ABC-A1B1C1的高为h, 则=(9++)h=,解得h=. 如图,分别过A1,D1作到底面的垂线,垂足为M,N,设AM=x, 则AA1==, DN=AD-AM-MN=2-x, 可得DD1==, 返回 结合等腰梯形BCC1B1可得B=D+,即x2+=++4,解得x=,所以A1A与平面ABC所成角的正切值为tan∠A1AD==1; 方法二:将正三棱台ABC-A1B1C1补成正三棱锥P-ABC,则A1A与平面ABC所成角即为PA与平面ABC所成角, 因为==,则=, 可知=VP-ABC=,则VP-ABC=18. 设正三棱锥P-ABC的高为d,则VP-ABC=d××6×6×=18,解得d=2,取底面ABC的中心为O,则PO⊥底面ABC,且AO=2,所以PA与平面ABC所成角的正切值为tan∠PAO==1. 返回 [类题] 1.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线A1B与平面ABCD所成的角是(　　) A.45° B.30° C.60° D.90° √ 返回 【解析】选A.因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD, 所以∠A1BA为A1B与平面ABCD所成的角, 因为△ABA1为等腰直角三角形,所以∠A1BA=45°,所以直线A1B与平面ABCD所成的角为45°. 返回 2.如图,在正四面体A-BOC中,直线OA与平面OBC所成的角为θ,则tan θ= (　　) A. B. C. D. √ 返回 【解析】选A.设H为底面三角形的中心,取BC的中点P,连接OP, 则AH⊥平面BOC,且OH=OP,∠AOH=θ, 设AO=BC=2a(a>0),则BP=CP=a,故OP==a,故OH=, 所以AH===, 故tan θ===. 返回 【总结升华】 　求直线与平面所成角的步骤 (1)作(找)——作(找)出直线和平面所成的角. (2)证——证明所作或找到的角就是所求的角并指出线面的平面角. (3)算——常用解三角形的方法(通常是解由垂线、斜线、射影所组成的直角三角形). (4)答. 返回 【即学即练】 　在正三棱柱ABC-A1B1C1中,BC=CC1,M是A1B1的中点,则直线CM与平面ABC所成角的正弦值为(　　) A. B. C. D. √ 返回 【解析】选B.取AB的中点N,连接MN,CN,如图所示: 设正三棱柱ABC-A1B1C1底面边长为a,可得BC=CC1=a,由正三棱柱的性质可知MN⊥平面ABC,所以∠MCN即为直线CM与平面ABC所成角的平面角,易知CN=a, 由勾股定理可得CM==a, 所以sin∠MCN===, 即直线CM与平面ABC所成角的正弦值为. 返回 【教材深一度】 最小角定理 链接教材:P151 　如图,AO是平面α的一条斜线,A是斜足,OB⊥α,B是垂足,则直线AB是斜线AO在平面α内的射影.设AC是平面α内的任一直线,AO与AB所成的角为θ1,AB与AC所成的角为θ2,AO与AC所成的角为θ,则cos θ=cos θ1cos θ2. 由此得到最小角定理:过平面的斜线和 它在平面内的射影所成的角,是这条斜 线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角. 其中,角θ1就是直线AO与平面α所成的角. 返回 【典例5】如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,∠ADC=∠DAB=90°, AB=4,CD=1,AD=2,异面直线PA与BC所成的角为60°,求PA与平面ABCD所成角的余弦值. 返回 【解析】因为PD⊥平面ABCD,所以∠PAD为PA与平面ABCD所成的角. 在四边形ABCD中,易得AD与BC所成的角θ2满足cos θ2=. 设异面直线PA与BC所成的角为θ,则θ=60°. 由最小角定理cos θ=cos∠PADcos θ2,得 cos∠PAD===, 所以PA与平面ABCD所成角的余弦值为. 返回 $ 8.6.2　直线与平面垂直(1) 　【学习目标】 1.了解直线与平面垂直的定义.(数学抽象) 2.理解直线与平面垂直的判定定理,并会用其判断直线与平面垂直.(逻辑推理) 3.理解直线与平面所成的角的概念,并能解决简单的线面角问题.(数学运算) 必备知识·自主导学 一、直线与平面垂直的定义 1.定义:如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α. 2.相关概念: 3.结论: (1)过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条; (2)垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离. 【思考】 1.定义中的“任意一条直线”可以换成“所有直线”吗?可以换成“无数条直线”吗? 提示:定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等效的,故可以换成“所有直线”;但是不能换成“无数条直线”,因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直,该直线与这个平面不一定垂直. 【点拨】 　直线与平面垂直的定义既是判定又是性质. 二、直线与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直 符号语言 m⊂α,n⊂α,m∩n=P,l⊥m,l⊥n⇒l⊥α 图形语言 【思考】 2.判定定理中的“两条相交直线”可以改为“两条平行直线”吗?为什么? 提示:不可以.当这两条直线相互平行时,直线和平面不一定垂直. 3.线面垂直的判定定理把线面垂直定义中的“任意一条直线”简化为“两条相交直线”,你知道是什么原因吗? 提示:根据平面向量基本定理,用两条相交直线的方向向量作为基底,可以线性表示出平面内任意直线的方向向量. 三、直线与平面所成的角 1.定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角. 2.相关概念: 3.范围:0°≤θ≤90°, 当θ=0°时,直线与平面平行或者在平面内; 当θ=90°时,直线与平面垂直. 【点拨】 　线面角的顶点是斜足,两边分别在斜线和斜线在平面上的射影上,斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线. 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) 　(1)如果一条直线垂直于一个平面,那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线. (√) 　(2)若一条直线垂直于矩形的两边所在的直线,则这条直线垂直于矩形所在的平面. (×) 提示:当这条直线垂直于矩形的对边时,直线和平面不一定垂直. 　(3)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. (×) 提示:在空间中有无数条. 　(4)斜线和斜线在平面上的射影的夹角是该斜线与平面所成的角. (×) 提示:线面角是斜线与斜线在平面上的射影的夹角中的锐角. 关键能力·师生共研 类型1直线与平面垂直的判定(逻辑推理) 角度1　线面垂直的定义与判定定理的理解 【典例1】(多选)下列命题,正确的是 (　　) A.若直线l与平面α内的无数条直线垂直,则l⊥α B.若直线l不垂直于平面α,则α内没有与l垂直的直线 C.若直线l不垂直于平面α,则α内也可以有无数条直线与l垂直 D.若一条直线垂直于一个平面内的三角形的两边,则该直线与平面垂直 【解析】选CD.当直线l与平面α内的无数条直线垂直时,l与α不一定垂直,A不正确; 当l与α不垂直时,l可能与α内的无数条平行直线垂直,B不正确,C正确; 三角形的两边是相交的,由线面垂直的判定定理可知,D正确. 【总结升华】 1.直线与平面垂直定义的“双向”作用 (1)证明线面垂直:需要证明一条直线与一个平面内任意一条直线都垂直,一般不使用; (2)证明线线垂直:若一条直线与一个平面垂直,则该直线与平面内任意一条直线垂直. 2.直线与平面垂直的判定定理中要注意必须是平面内两相交直线. 【即学即练】 　(多选)下列说法正确的是 (　　) A.若直线l垂直于平面α,则直线l垂直于平面α内的任一直线 B.若直线l垂直于平面α,则直线l与平面α内的直线可能相交,可能异面,也可能平行 C.若a∥b,a⊂α,l⊥α,则l⊥b D.若a⊥b,b⊥α,则a∥α 【解析】选AC.由线面垂直的定义知,A正确; 当l⊥α时,l与α内的直线相交或异面,但不会平行,B错误; C显然是正确的;而D中,a可能在α内,D错误. 角度2　线面垂直的证明 【典例2】(一题多解)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为CC1的中点,AC与BD交于点O,求证:A1O⊥平面MBD. 【证明】方法一:因为四边形ABCD为正方形, 所以BD⊥AC, 又AA1⊥平面ABCD, 所以AA1⊥BD且AA1∩AC=A, 所以BD⊥平面AA1O, 又A1O⊂平面AA1O, 所以BD⊥A1O, 令正方体的棱长为2,连接OM,A1M(图略), 则A1O=,OM=,A1M=3, 所以A1O2+OM2=A1M2, 所以A1O⊥OM, 又OM∩BD=O, OM,BD⊂平面MBD, 所以A1O⊥平面MBD. 方法二:连接A1B,A1D,OM(图略). 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, A1B=A1D,O为BD的中点, 所以A1O⊥BD. 令正方体的棱长为2, 在Rt△A1AO和Rt△OCM中, tan∠AA1O==, tan∠COM==, 故△A1AO∽△OCM, 所以∠AOA1+∠COM=90°, 所以∠A1OM=90°, 所以A1O⊥OM, 因为BD∩OM=O,OM,BD⊂平面MBD, 所以A1O⊥平面MBD. 【总结升华】 　证明线面垂直的方法 (1)由线线垂直证明线面垂直: ①定义法(不常用);②判定定理(最常用),要着力寻找平面内的两条相交直线(有时需要作辅助线),使它们与所给直线垂直. (2)平行转化法(利用推论): ①a∥b,a⊥α⇒b⊥α;②α∥β,a⊥α⇒a⊥β. 【即学即练】 　正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1,高为2,点M是棱CC1的中点,求证:直线AM⊥平面B1MD1. 【证明】因为M是棱CC1的中点,连接AB1,AC, 所以AM====, B1M===, B1A===, 所以B1A2=B1M2+AM2,得AM⊥B1M, 同理可得,AM⊥D1M, 又B1M∩D1M=M,B1M,D1M⊂平面B1MD1, 所以直线AM⊥平面B1MD1. 类型2线面垂直判定的应用(逻辑推理) 【典例3】(易错·对对碰) (1)在三棱锥P-ABC中,O是点P在底面ABC上的射影,若PA=PB=PC,求证:O是△ABC的外心. 【证明】因为PA=PB=PC, 所以Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC, 所以AO=BO=CO,故点O是△ABC的外心. 　(2)在三棱锥P-ABC中,PA⊥BC,PB⊥AC,PC⊥AB,O是点P在底面ABC上的射影,求证:O是△ABC的垂心. 【证明】因为PA⊥BC,PO⊥BC,所以BC⊥平面PAO,所以AO⊥BC; 同理可证,BO⊥AC,CO⊥AB,故点O是△ABC的垂心. 　(3)在三棱锥P-ABC中,PE⊥AB,PF⊥BC,PG⊥AC,E,F,G分别为垂足,O是点P在底面ABC上的射影,若PE=PF=PG,求证:O是△ABC的内心. 【证明】因为PE=PF=PG, 所以Rt△POE≌Rt△POF≌Rt△POG, 所以EO=FO=GO,又因为PE⊥AB,PO⊥AB,所以AB⊥平面PEO,所以AB⊥EO, 同理可证BC⊥FO,AC⊥GO,故点O是△ABC的内心. 【总结升华】 三棱锥顶点在底面的射影与底面三角形“心”的关系 　三棱锥三条侧棱相等时,顶点在底面的射影是底面三角形的外心;三条侧棱两两垂直时,顶点在底面的射影是底面三角形的垂心;三条斜高相等时,顶点在底面的射影是底面三角形的内心. 类型3直线与平面所成的角(数学运算) 【典例4】(教考衔接) [源题](教材P171T13)如图,在三棱锥P-ABC中,∠ACB=90°,PA⊥底面ABC. (1)求证:平面PAC⊥平面PBC; (2)若AC=BC=PA,M是PB的中点,求AM与平面PBC所成角的正切值. [真题](2024·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台ABC-A1B1C1的体积为,AB=6,A1B1=2,则AA1与平面ABC所成角的正切值为 (　　) A.　 B.1　 C.2　 D.3 【解析】选B.方法一:分别取BC,B1C1的中点D,D1,则AD=3,A1D1=, 可知S△ABC=×6×6×=9, =×2×2×=. 设正三棱台ABC-A1B1C1的高为h, 则=(9++)h=,解得h=. 如图,分别过A1,D1作到底面的垂线,垂足为M,N,设AM=x, 则AA1==, DN=AD-AM-MN=2-x, 可得DD1==, 结合等腰梯形BCC1B1可得B=D+,即x2+=++4,解得x=,所以A1A与平面ABC所成角的正切值为tan∠A1AD==1; 方法二:将正三棱台ABC-A1B1C1补成正三棱锥P-ABC,则A1A与平面ABC所成角即为PA与平面ABC所成角, 因为==,则=, 可知=VP-ABC=,则VP-ABC=18. 设正三棱锥P-ABC的高为d,则VP-ABC=d××6×6×=18,解得d=2,取底面ABC的中心为O,则PO⊥底面ABC,且AO=2,所以PA与平面ABC所成角的正切值为tan∠PAO==1. [类题] 1.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线A1B与平面ABCD所成的角是 (　　) A.45° B.30° C.60° D.90° 【解析】选A.因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD, 所以∠A1BA为A1B与平面ABCD所成的角, 因为△ABA1为等腰直角三角形,所以∠A1BA=45°,所以直线A1B与平面ABCD所成的角为45°. 2.如图,在正四面体A-BOC中,直线OA与平面OBC所成的角为θ,则tan θ= (　　) A. B. C. D. 【解析】选A.设H为底面三角形的中心,取BC的中点P,连接OP, 则AH⊥平面BOC,且OH=OP,∠AOH=θ, 设AO=BC=2a(a>0),则BP=CP=a,故OP==a,故OH=, 所以AH===, 故tan θ===. 【总结升华】 　求直线与平面所成角的步骤 (1)作(找)——作(找)出直线和平面所成的角. (2)证——证明所作或找到的角就是所求的角并指出线面的平面角. (3)算——常用解三角形的方法(通常是解由垂线、斜线、射影所组成的直角三角形). (4)答. 【即学即练】 　在正三棱柱ABC-A1B1C1中,BC=CC1,M是A1B1的中点,则直线CM与平面ABC所成角的正弦值为 (　　) A. B. C. D. 【解析】选B.取AB的中点N,连接MN,CN,如图所示: 设正三棱柱ABC-A1B1C1底面边长为a,可得BC=CC1=a,由正三棱柱的性质可知MN⊥平面ABC,所以∠MCN即为直线CM与平面ABC所成角的平面角,易知CN=a, 由勾股定理可得CM==a, 所以sin∠MCN===, 即直线CM与平面ABC所成角的正弦值为. 【教材深一度】 最小角定理 链接教材:P151 　如图,AO是平面α的一条斜线,A是斜足,OB⊥α,B是垂足,则直线AB是斜线AO在平面α内的射影.设AC是平面α内的任一直线,AO与AB所成的角为θ1,AB与AC所成的角为θ2,AO与AC所成的角为θ,则cos θ=cos θ1cos θ2. 由此得到最小角定理:过平面的斜线和它在平面内的射影所成的角,是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角. 其中,角θ1就是直线AO与平面α所成的角. 【典例5】如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,∠ADC=∠DAB=90°,AB=4,CD=1,AD=2,异面直线PA与BC所成的角为60°,求PA与平面ABCD所成角的余弦值. 【解析】因为PD⊥平面ABCD,所以∠PAD为PA与平面ABCD所成的角. 在四边形ABCD中,易得AD与BC所成的角θ2满足cos θ2=. 设异面直线PA与BC所成的角为θ,则θ=60°. 由最小角定理cos θ=cos∠PADcos θ2,得 cos∠PAD===, 所以PA与平面ABCD所成角的余弦值为. - 12 - 学科网（北京）股份有限公司 $