精品解析：上海师范大学附属宝山罗店中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

2026年罗店高一下期中考试数学试卷 一、填空题（每题3分） 1. 函数是偶函数，则实数___________ 2. 在复数范围内分解因式：__________． 3. 已知为第三象限角，，则________． 4. 若，则在上的数量投影为_______． 5. 若为锐角，且，则_____． 6. 设向量、满足，则_______． 7. 已知、、三点共线（该直线不过原点），且，则的最小值为______. 8. 已知是实数，是虚数单位，若复数的实部和虚部互为相反数，则___________. 9. 已知关于x的实系数一元二次方程有两个虚根，且，则满足条件的实数k的值为________． 10. 若是虚数单位，复数满足，则的取值范围是_____． 11. 定义在区间上的函数与的图象的交点个数为___________ 12. “燕山雪花大如席”，北京冬奥会开幕式将传统诗歌文化和现代奥林匹克运动联系在一起，天衣无缝，让人们再次领略了中国悠久的历史积淀和优秀传统文化恒久不息的魅力.顺次连接图中各顶点可近似得到正六边ABCDEF.若正六边形的边长为1，点P是其内部一点（包含边界），则的取值范围为___________. 二、选择题（每题3分） 13. 若复数是纯虚数，则实数的值为 A. 1 B. 2 C. 1或2 D. -1 14. 向量，则下列能使成立的一组向量是（ ） A. B. C. D. 15. 我国扇文化历史悠久，其中折扇扇面是由两个半径不同的同心圆，按照一定的圆心角被剪而成，如图所示，该扇面的圆心角为，长为，长为，则扇面的面积为（ ） A. B. C. D. 16. 在中，分别是内角所对的边，若 （其中,且则的形状是 A. 有一个角为的等腰三角形 B. 正三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 三、解答题 17. 已知O为坐标原点， （1）若A、B、C三点共线，求x的值； （2）若与夹角为钝角，求x的取值范围. 18. 关于的方程（）的两个根为，． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值． 19. 已知a，，是虚数单位，，在复平面上对应的点分别A、B. （1）若是实数，求的最小值； （2）设O为坐标原点，记，若，且点C在y轴上，求与的夹角. 20. 已知函数． （1）求函数的振幅、频率、初始相位，以及在上的增区间； （2）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，函数，当，且时，有，求的值． 21. 设复平面中向量对应的复数为，给定某个非零实数，称向量为的向量. （1）已知，求； （2）设的向量分别为，已知，求的坐标(结果用表示)； （3）若对于满足的所有能取到的最小值为8，求实数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年罗店高一下期中考试数学试卷 一、填空题（每题3分） 1. 函数是偶函数，则实数___________ 【答案】 【解析】 【详解】设，对任意，均有成立，即： 因为函数是偶函数， 所以对均成立， 所以， 所以，因为，所以， 又因为，所以. 2. 在复数范围内分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【分析】先在复数范围内解方程，然后可将其分解因式 【详解】因为方程在复数范围内的解为 ， 所以， 故答案为： 3. 已知为第三象限角，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由为第三象限角和同角三角函数平方关系得出，用诱导公式得出，再利用同角的商数关系可得答案. 【详解】因为为第三象限角，， 所以， 则. 故答案为： . 4. 若，则在上的数量投影为_______． 【答案】6 【解析】 【分析】利用向量的投影公式即可求解. 【详解】在上的数量投影为： . 故答案为：6. 5. 若为锐角，且，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】通过平方关系求出和的值，再根据两角和的余弦公式即可得解. 【详解】因为为锐角，且，所以， 所以． 故答案为：. 6. 设向量、满足，则_______． 【答案】2 【解析】 【分析】由向量的模运算，结合向量的数量积运算律计算即可. 【详解】，故. 故答案为：2 7. 已知、、三点共线（该直线不过原点），且，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据共线定理的推论得，然后利用常数代换法可得. 【详解】因为、、三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 8. 已知是实数，是虚数单位，若复数的实部和虚部互为相反数，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的运算化简，结合题意求出的值，再用模长公式计算即可. 【详解】由题意， 因为实部和虚部互为相反数，所以，解得， 此时，则， 故答案为： 9. 已知关于x的实系数一元二次方程有两个虚根，且，则满足条件的实数k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据题意及根与系数的关系可得，且。由此可得的值 【详解】解：设， 由根与系数的关系可得，则， 因为，所以， 所以，解得， 由，得或， 所以， 故答案为： 10. 若是虚数单位，复数满足，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据模长，设出，利用模长公式及三角恒等变换得到，由求出的取值范围. 【详解】因为，所以设， 故 ，其中， 因为，所以. 故答案为：. 11. 定义在区间上的函数与的图象的交点个数为___________ 【答案】6 【解析】 【详解】因为，，所以与均为偶函数， 所以只需先研究上的交点， 当时，，由，得， 整理得，解得或， 当，时，解得或，共2个解； 当，时，解为，共1个解. 所以当时，函数与的图象有3个交点； 所以由偶函数对称性，上也有3个交点。 所以函数与的图象的交点个数为6. 12. “燕山雪花大如席”，北京冬奥会开幕式将传统诗歌文化和现代奥林匹克运动联系在一起，天衣无缝，让人们再次领略了中国悠久的历史积淀和优秀传统文化恒久不息的魅力.顺次连接图中各顶点可近似得到正六边ABCDEF.若正六边形的边长为1，点P是其内部一点（包含边界），则的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的共线表示以及平面向量基本定理，可表达出，结合图形特征以及数量积的运算即可求解. 【详解】过点作于所以且,其中, 当点与点重合时，在方向上的投影最大，此时,取得最大值为； 当点与点重合时，此时，即,故,取得的最小值为 的取值范围是． 故答案为：． 二、选择题（每题3分） 13. 若复数是纯虚数，则实数的值为 A. 1 B. 2 C. 1或2 D. -1 【答案】B 【解析】 【详解】由得，且，． 14. 向量，则下列能使成立的一组向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量是否共线，即可判断是否能够作为基底求解. 【详解】对于A，共线，不可作为基底，所以A不正确 对于B，，则故两向量共线，不可以作为基底，所以B不正确 对于C，不共线，可以作为基底，且，故C正确 对于D，，故两向量共线，不可以作为基底，所以D不正确 15. 我国扇文化历史悠久，其中折扇扇面是由两个半径不同的同心圆，按照一定的圆心角被剪而成，如图所示，该扇面的圆心角为，长为，长为，则扇面的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意分别求得，，进而由扇形的面积减去扇形的面积可得结果. 【详解】根据题意，则，，则， 所以扇面的面积. 故选：. 16. 在中，分别是内角所对的边，若 （其中,且则的形状是 A. 有一个角为的等腰三角形 B. 正三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：在边AB，AC上分别取点D，E，使，以AD，AE为邻边作平行四边形ADFE，则：四边形ADFE为菱形，连接AF，DE，AF⊥DE，且；∵； ∴；∴AF⊥BC；又DE⊥AF；∴DE∥BC，且AD=AE；∴AB=AC，即b=c； ∴延长AF交BC的中点于O，则：S△ABC＝，b=c； ∴；∴；∴； ∴∠BAC=90°，且b=c；∴△ABC的形状为等腰直角三角形． 考点：平面向量数量积的运算 三、解答题 17. 已知O为坐标原点， （1）若A、B、C三点共线，求x的值； （2）若与夹角为钝角，求x的取值范围. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合运算求解；（2）根据向量夹角与数量积之间的关系运算求解. 【小问1详解】 ， 三点共线，与共线， 则，解得. 【小问2详解】 由（1）知， 与夹角为钝角，可得，解得， 若与平行，则，解得， 若与不平行，则， 的取值范围是. 18. 关于的方程（）的两个根为，． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值． 【答案】（1）6 （2）或 【解析】 【分析】（1）由得到，即可求解； （2）分别讨论方程有两实数根或方程有两虚数根，即可求解. 【小问1详解】 由得方程有一对共轭复数根，所以， 所以，所以. 【小问2详解】 ①当，即时，方程有两实数根， 所以，， 则， 解得； ②当，即时，方程有两虚数根， 即，不妨设，； 则 解得； 综上：实数的值为或． 19. 已知a，，是虚数单位，，在复平面上对应的点分别A、B. （1）若是实数，求的最小值； （2）设O为坐标原点，记，若，且点C在y轴上，求与的夹角. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由复数的几何意义求出点，然后在由是实数求出，最后由两点间距离公式结合二次函数求出结果即可； （2）设，利用向量相等和垂直的坐标表示，求出的值，进而求出，然后利用向量的夹角公式求出即可； 【小问1详解】 由题意可得， 因为是实数， 又， 所以，则， 所以， 所以的最小值为. 【小问2详解】 依题意，设，因为， 则， 所以，则， 又，所以，可得，则， 所以， 故， 所以与的夹角为. 【点睛】结论点睛：与垂直的坐标表示为. 20. 已知函数． （1）求函数的振幅、频率、初始相位，以及在上的增区间； （2）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，函数，当，且时，有，求的值． 【答案】（1）振幅A＝1，频率，初始相位，增区间和；（2）. 【解析】 【分析】（1）由函数的解析式可得振幅、初始相位、周期，由周期得频率，利用正弦函数的单调性可得在上的增区间； （2）由图象平移规律得到函数，再由两角和的正弦公式得到函数的解析式，求出的对称轴方程，利用对称性得到，代入解析式可得答案. 【详解】（1）函数的振幅为1，周期为，所以频率为，初始相位为， 单调递增区间为，即， 令得单调递增区间为， 令得单调递增区间为， 所以在上的增区间为和. （2）将函数的图象向左平移个单位， 得到函数的图象， 函数 ， 因为，所以关于的对称轴对称， 的对称轴为，即， 当时，令，得，所以， . 21. 设复平面中向量对应的复数为，给定某个非零实数，称向量为的向量. （1）已知，求； （2）设的向量分别为，已知，求的坐标(结果用表示)； （3）若对于满足的所有能取到的最小值为8，求实数的值. 【答案】（1） （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）根据题意结合复数的相关概念分析运算； （2）根据（1）中的结论求的坐标，结合题意分析运算； （3）由（1）可得，根据面积公式和向量的相关运算整理得，结合基本不等式和正弦函数的有界性分析运算. 【小问1详解】 ∵，则， ∴， 故. 【小问2详解】 由（1）可得：，即， 故， ∵，则， ∴. 【小问3详解】 设， 由（1）可得：，同理可得：， 则， 设与的夹角为，则， 由题意可得：，则， 故， 当时，则，不合题意； 当时，则，当且仅当，即时等号成立， 即， 又∵，则，当且仅当时等号成立， 即，当且仅当，且时等号成立， 由题意可得：，即. 综上所述：实数的值为2. 【点睛】关键点点睛：在使用基本不等式要注意基本不等式成立的条件，本题分和两种情况分析运算. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $