上海市奉贤中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

2024-2025学年上海市奉贤中学高一年级下学期 期中考试数学试卷 2025.04 一、填空愿（本大题共有12小题，满分54分，第16题每趣4分，第7-12题每趣5分）考 生应在答愿纸的相应位置直接填写结果， 1.若点P(-3,)是角a终边上一点，则sina的值是 【答案】 10 【解析】r=V(-3+P=0,sina=上=人=@ r√1010 2.函数y=tan 3x+ 的最小正周期是 【答米1号 【解析】T= 3.若向量a=(4,-3),则a的单位向量的坐标为 【答案】 (信引 1不肩-任引 4.已知cos=- 5 则sin2a= (指类1合 【解析】因为a (5小所以sna=小-co时a.25 则sim2a=2 sins=-5 5.化简sin(170°-a)jcos(70'+a）-cos(10+a)sin(70+a)=_ 【答案】- 2 【解析】sin(170-a)cos(70'+a）-cos(10'+a)sin(70+a） =sin[1-(1+a)]cos(7+a)-cos(10+a)sin(7+a) =sin(10+a)cos(70+a)-cos(10+a)sin(70+a) =n[o+a-(o+j-n-60)-号 6.已知点A(4,3),将OA绕坐标原点0顺时针旋转3江至0，则点的坐标为 2 【答案】(-3,4) 【解析】出题意，点A所在终边为角a,01=5,sina=亏cosa= 3 4 顺时针旋 3证后终边对应的角为a-3江，且O1=04, 则sna-}oma-g.--s血a= 5 所以x=0cos -}-3,y=0fa-4,所以34 7.若tan=2, 则sina-3cosa 2sina+cosa 【】月 【解析】 sina-3cosa tana-32-31 2sina+cosa 2tana+1 4+1 5 8己知向量a=(1,1),b=(2,0),则b在a的方向上的投影向量的坐标为 【答案】(，) 【解析】投影向录 a=210=0. d= 2 9已知函数y=cosr(@>0)在区间0，号 上是严格减函数，则ω的最大值为 【答案】2 【解折】当x(0)时ore0受函数在0号 上是严格减函数， 则0<号®≤不，解得0<0≤2，所以知的最大值为2 10已知同=2，同=3，<a,6>=号.若对任意的实数2，不等式6-2m恒成立， 则实数m的最大值为 【答案】√ 【解析】对任意的实数入，不等式后-≥m恒成立，即 m≤a-2列m≤6-=a-2a.万+227=912-62+4，对称轴元=号 所以s9)-6写4=3，所以m5 1山.奉贤巾学的樱花（如第1题左图所示)是道美丽的风城线，每年樱花盛开的时候，赏 花的同学络绎不绝.为了测量樱花树的高度，同学们利川高二教学楼2楼到5楼的高度设计 了测量方案（如第11题右图所示），并做山了以下假改： 假设1：假设樱花树顶端B与底端A构成的线段与教学楼DC平行： 假设2：假设测吊者能看到樱花树的顶端和底端： 假设3：假设测量时同学们看到樱花树的顶端为同一点B. 根据以上方案，同学测量了以下数据： ①∠ACD:②∠ACB:③∠BDC:④∠BDA:⑤DC 由于春雨淋湿了工作单，导致上述5个数据中某一个数据模糊不清若同学们根据剩余的4 个数据依川能计算山樱花树AB的高度，则模糊不清的数据可能为 .(填写个序号 即可) 第11题左图 第11题右图 【答案】②或④（填②/④/②④都算对） 【解析】设AC∩BD=O, 因为ABIICD,∠AOB=∠COD,所以△MBO∽△COD, 在△COD巾，∠COD=π-∠ACD-∠BDC, 由正弦定理可得，CD OC ,可求得OC的长度， sin∠COD sin∠BDC 在△ADC中，∠ADC=∠BDC+∠BDA,∠CAD=π-∠ADC-∠ACD, CD 出正弦定理可得 AC ,可求得AC及OA=AC-OC, sin∠CAD sin.∠ADC 因为△MB0∽aCOD,所以OC_CD 可求山楼花树AB的高度， OA AB 此过程中未用到数据②∠ACB,故选②： 同理，若借助△ABC求AC及OA的长度，则无需用到数据④∠BDA,故选④亦可. I2.已知集合A={sinala=a,+okπ，k∈Z,B={cosala=a,+okπ，k∈Z.若存在 实数a使得集合A与B中均恰有2个元素，则0的取值为 【答案】2n+1或2n+， 2,nez 【解析】根据单位圆，如集合A,B屮恰有2个元素，则满足以下两钟情况： r角a的终边在条直线上，此时0=2n+l,n∈Z,a,可取除 经ke☑)的任康角： 2角a的终边在以=州上米回跳，此时0=2n+, ,nEZ, 2 a取值只能为二+k红，keZ, 42 故0的取值为2n+1或2n+ ,n∈Z. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分） 每题有且只有·个止确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表止确选项的小方格涂黑. 1B.已知f()=4sin(ar+p4>0,>0,l网s) 函数y=f(x)的部分图像如图所 示，则函数y=f(x)的表达式可以() Af创-2snx+) Bf)=2sn2x+写 11元 c-2sn(2x-）Df倒-2sm2x-写 12 【答案】D 【解析】由图像可知A=2,T=2 1lπ 2π 12-2 =π，即T=红=π，解得0=2， 由~五点作图”法可知2x设+=受，解得即= 2 3'故选D 14,数学上带常用一个仅由角的火小的比值米度量角的大小，比如把周角的，规定为1度， 360 把弧长1与半径r的比值为1的角规定为1弧度.设扇形的半径为”，弧长为/，周长为C, 面积为S,则下列比值中不能度量角的是() AC B. c.c S D. 【答案】C 【解折】AC=2+=2+,可以度 1 B=可以度R S 2 S2 Ir I c22r+142 无比值，无法度量： D.- ,可以度量，故选C 15己知集合2是平面直角坐标系内的点集，O为坐标原点，若任取P,D∈2，均存在不全 为0的实数2,2，使得2OP+2OP=0,则(2,4)E2的充分条件是() A.(0,0)e2 B.(L,2)e2 C.(2,1)e2 D.(-2,-4)∈2 【答案】C 【解析】存在不全为0的实数入，乙，使得元OP+入OE=0,即O呢与OE共线， 设P(2,4),选项中的点为Q点，则(2,4)E2的允分条件，即OP与O0不共线， A.00=0,0p与00共线： B.00=(L,2)=20p,共线： C.O0=(2,1)≠OP,不共线： D.00=(-2,-4)=-OP,共线：故选C. 16.已知4，g,…,d,e是平面内两两互不相等的非零向量，且满足可∈{红，21≤i≤k), 且对任意的都有1≤m<n≤k,都有a·e=a,·e,则正整数k的放大值为() A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】B 【解析】ae=a,c,即a与a在e方向上的数量投影相同，又问同e{红，2，则在c的 两侧，模长为1或2，且在e上的数量投影为相同值的向量，最多有4个，故选B. 三、解答题（木大题满分78分）木大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤 17.(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 已知A、B、C三点的坐标分别为(-1,0），(3，-)，（山，2)，且点E满足正=4C. (1)求点E的坐标： (2)若点F满足BF=!BC,判断向量EF与向量AB是否共线，并证明你的结论 【答案】(1) 引 (2)共线。 【解析】(1)设E(xy),则AE=(x+1,y),AC=(2,2): x+1= 因为(+，川-2,2)，即 3 解得 所引 y-3 @e功e-3y+=-2a.员ge-号所aF仔小 y+=1 y=0 又F-得引A=(4-,所以EF-号4，故F与4共线 18.(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 在△MBC中，角A、B、C所对的边分捌是a、b、e,且csin A=√3 acosC. (1)求角C的大小： (2)若c=√万，且b=3a,求△MBC的面积. 【答案】(1) 子a35 4 【解析】(I)由正弦定理可得，sin Csin A=√5 sin AcosC, 因为sinA>0,所以sinC=√3cosC,即tanC=√5， 因为Ce(0,,所以C-号 (2)因为b=2a,由余弦定理7=a2+9a2-2a-3acos无 解得0=l.6=3,所以5=3s号-3 34 19.(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 奉贤中学生物创新实验室一天的温度y(单位：℃)随时间1（单位：h)的变化近似满足 函数关系：y=10-Asin 其中A>0,1∈[0,24).随若人T智能的普及，该 实验室引进了A1管理系统，可以根据实际需求设定参数A和日的取值. (4)若设定0=T,且要求实验室一天的最大温差不超过8℃，求A的最大值： 3 (2)若设定A=2,且要求实验室温度不高于11℃.由两个实验小组分别设定参数如下： ①0=子：@0=誓。两个小组-天需委降温的时长分别为L和4，请比较L和L的大 3 小关系，并进行合理解释。 【答案】(1)4：(2)=L2 【折1少当0-号时)少=10-4sm合+引 因为124.质登+号[后号 所以sm(合+写引e-,所以ye0-10+小， 所以10+A-(10-)≤8，所以A≤4，所以A的最大值为4. (2)y=10-sim 0当0.令y=0-2(合+》.期s(侣+引-分 所以2km-5红<1+5<2kr-2,解得24k-14<1<24k-6ke乙， 6123 又1∈[0,24)，所以1∈(10,18)，所以L=8: @当0=智味y=10-2(侣+智}1，即m(侣+智k司 所以2-名<合+号<2-言据得24-26<12-18大e2 6121 又1∈[0,24)，所以1e[0,6U(22,24),所以L2=8,所以L=L2, 解缘：肠数y=10-2sn(合+智-10-2sn[+12)+引 可以山 y=10-2sin 向左平移2个单位得到.从实际意义米看，可以把前·天中午12 点到第二天中午12点滑成一天，枚需降温时长不变. 20.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分) 如图，在△MBC中，AB=AC=5,BC=6,AM=1AB, AN=HAC,且，μ∈[0，]. D若u=子求N伯值： (2)若向量BN+CM与向量2AB+AC平行，求1-2μ的值： (3)若B丽.CM=0,求1+4的最大值. 1w网=受a)号 【解析】(1)因为N=c,所以亦=瓜-店=)C-西， 所网-c-而--衣西+-头所- (2)BN+CM=(-AB)+(4M-AC)=(2-)AB+(μ-)AC, 因为(Bm+CM）M(2AB+AC）, 所以存在实数1使得（亿-1）A正+(u-)AC=(2B+AC), 即1二2消去1可得2-1=24-2·所以元-24=-1 (3)BN.CM=(AN-AB)(AM-AC)=(HAC-AB)(AB-AC) =(+)4B.AC-AAB-HAC=0. 所以(+05-5.3+52-6-252-254=0，化简得25(+0小=72m+7, 2.5.5 又为≤（生所以25+s72生+7.解+和214题+5 又因为么，ue0,刂，所以+u≤号当且仅当A=H=写时，等号成立 所以元+H的最大值为气 2 21.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分) 对于函数y=∫(x),x∈D,若存在非零常数a和b,使得对任意实数x∈D都有b-x∈D, 且等式f(b-x)=af(x)恒成立，则称函数y=f(x)是“(a,b)类对称函数”. (1)判断函数y=sinx是否是“(a,b)类对称函数”，请说明理山： (2)设0∈(0,2π]，若函数y=cos(wx)是“(a,)类对称函数”，求@的值： (3)设b∈(0,2x小，证明：函数y=。 sinx 2+cosx +x+1是“(a,b)类对称函数”的充要条件 是“a=-1且t=-π” 【答案】(1)是：(2)0=2π或π：(3)见解析 【解析】(1)是， 存在a=l,b=π，对任意的x∈R,都有π-x∈R,且sin(π-x)=1sinx恒成立， 所以函数y=sinx是“(a,b)类对称函数” (2)H题意知cos(w-ox）=acos wx, 即(cos0-a)cosx+sin @sin @x=0(*)成立， 令0r=0,得cos0=a,令r=子得sn0=0, 又sin0=0且cos0=a时(*)恒成立， 所以sinw=0,又w∈(0,2π]，所以w=2π或π， (3)充分性： 当a=-l且1=-π时，y=,sin +X-π， 2+cosx f(-x)+f()-six 2+cosx sinx+x-π=0， 2+cosx 所以函数y= sinx+x-π是“(-1,2x)类对称函数” 2+cosx 必要性： sinx 若函数y= 2+cosx +x+1是“(a,b)类对称函数”， 则 sin(b-x)+6-x+1=a 2+cos(b-x) sinx+x+t 2+cosx 即 sin(b-x) asinx =(a+I)x+al-1-b①恒成立： 2+cos(b-x)2+cosx 下用反证法证明：若a≠-1，因为sinx≤1,2+cosx≥1， 所以 sinx ≤1，所以、si血(b-x) 2+cosx asinxe[-1-ld.+ 2+cos(b-x)2+cosx 故足够大时，(a+)x+al-1-b一定会超过4+1，①式不成立， (串实上，可以取x= 1+a-at+i+b+l a+1 此时①式为 sin(b-x) sinx=-21-b② 2+cos(b-x)2+cosx 令x=0,得 sinb =-21-b,令x=元，得，sinh=-21-b, 2+cosb 2-cosb 则、sinb -sinb ,解得sinb=0,从而h=π或2π， 2+cosb 2-cosb 当b=π时，②式左边为 4sin于不是定位，因此②式不恒成立， 4-cos2x 当b=2π时，②式为0=-21-2π，此时1=-π， 综上所述，函数y=,sinx十x+1是“(a,b)类对称函数”的充要条件是“a=-1且 2+cosx 1=-π”2024-2025学年上海市奉贤中学高一年级下学期 期中考试数学试卷 2025.04 一、填空题(本大题共有12小题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分)考 生应在答题纸的相应位置直接填写结果 1.若点P(-3.1)是角a终边上一点,则sina的值是 2函数y:tan(3-) 的最小正周期是___. 3.若向量ā=(4,-3),则ā的单位向量的坐标为_ 5.化简sin(170*-o)cos(70{+a)-cos(10+a)sin(70{+a)=__. -至OA',则点A的坐标为 sing-3cosa 7.若tand-2,则 2sing+cosa 8.已知向量ā-(1.1),b-(2.0),则在ā的方向上的投影向量的坐标为 9.已知函数y-coso(o)在区问(0)是严格减路数,员 则的最大值为 10.已知{-2,同-3,<6-.若对任意的实数入,不等式o-a引zm恒成立, 则实数m的最大值为__ 11.奉贤中学的樱花(如第11题左图所示)是·道美丽的风景线,每年樱花盛开的时候,赏 花的同学络绎不绝,为了测量楼花树的高度:同学们利用高二教学楼2楼到5楼的高度设让 了测量方案(如第11题右图所示),并做出了以下假段: 假设1:假设樱花树质端B与底端A构成的线段与教学楼DC平行 假设2:假设测量者能看到樱花树的项端和底端: 假设3:假设测量时同学们看到楼花树的项端为同一点B 根据以上方案,同学们测量了以下数据 ①乙ACD:②乙ACB:③乙BDC:④乙BDA:DC. 由于春雨淋湿了工作单,导致上述5个数据中某一个数据模糊不清.若同学们根据剩余的4 个数据依l旧能计算出楼花树AB的高度,则模糊不清的数据可能为.(填写一个序号 即可) 第11题左图 第11题右图 l2.已知集合A={sinal=a+akr,kez),B={cosal=a,+okn,kez}.若存在 实数a使得集合A与B中均恰有2个元素,则o的取值为_. 二、选择题(本大题共有4题,满分18分,第13、14题每题4分,第15、16题每题5分) 每题有且只有一个正确选项,考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑 13.知/(x)-4sin()(u 0.vo>o,l_). 函数y-/(x)的部分图像如图所 示,则函数y=f(x)的表达式可以( _. A.f(x)-2in{) B./(x)-2sin2-) C./(t)-2in2--2) D./()-2in2-) 360 把孤长/与半径,的比值为1的角规定为1孤度,设扇形的半径为,孤长为/,周长为C, 面积为S,则下列比值中不能度量角的是( ) C B7 15.已知集合O是平面直角坐标系内的点集,O为坐标原点.若任取P.PeO,均存在不全 为0的实数2,2,使得10P+20P-0,则(2.4)e2的充分条件是( A.(0.0)e2 B.(1.2)e2 C.(2,1)eQ D.(-2,-4)=Q 16.已知,a,.,a,è是平面内两两互不相等的非零向量,且满足e(1.2)(1<isk), _ 且对任意的都有l<m<n<k,都有a..e=a..e,则正整数k的最大值为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 三、解答题(本大题满分78分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤 17.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分) (1)求点E的坐标; 18.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分) 在AMBC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,且csinA=3acosC. (1)求角C的大小; (2)若c=V7,且b=3a,求A4BC的面积. 19.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分) 奉贤中学生物创新实验室一天的温度v(单位:C)随时间1(单位:h)的变化近似满足 实验室引进了A1管理系统,可以根据实际需求设定参数A和0的取值 (1)若设定o-",且要求实验室一天的最大温差不超过8*C,求A的最大值; (2)若设定A=2,且要求实验室温度不高于11C.由两个实验小组分别设定参数如下; .两个小组一天需要降温的时长分别为L.和L..请比较L.和L.的大 小关系,并进行合理解释 20.(本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分) 如图,在A4BC, B=AC=$,BC=6:4M= 4B$$$ AN-4C,且2,e[o.] (1)若1-*nN的值: (2)若向量BN+CM与向量2AB+AC平行,求2-2u的值: (3)若BN.CM=0,求2+u的最大值 21.(本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分) 对于函数y=f(x),xeD,若存在非零常数a和b,使得对任意实数xeD都有b一xED 且等式f(b-x)=af(x)恒成立,则称函数y=f(x)是“(a.b)类对称函数”. (1)判断函数v三sinx是否是“(a.b)类对称函数”,请说明理山; (2)设oe(0.2r].若函数y-cos(ox)是“(a,1)类对称函数”,求co的值: sinxx+r是“(a,b)类对称函数”的充要条件 (3)设be(0,2x],证明:函数y-- 2+cosx 是“a--1且(--π”.