专题02勾股定理专项训练（20大核心题型精讲+分层训练突破）-2025-2026学年人教版数学八年级下学期.

**基本信息** 以22类典型题型构建勾股定理应用体系，覆盖从基础计算到实际问题解决，注重几何直观与推理能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础计算|题型1-4、12、14|直角三角形边长、坐标系距离、网格长度、平方和差计算|从勾股定理概念出发，结合逆定理判定，形成“计算-验证”双路径| |实际应用|题型6-11、16|梯子滑落、河宽、旗杆高度等生活场景问题|通过建模将实际问题转化为直角三角形，培养应用意识| |综合拓展|题型13、15、19-22|折叠、最短路径、逆定理拓展等综合题|整合几何变换与代数推理，发展空间观念与创新意识|

专题02勾股定理专项训练 ☘题型梳理归纳 题型1.直角三角形边长直接计算 题型2. 平面直角坐标系两点距离的计算 题型3.勾股树及三边图形面积计算 题型4.网格中求线段长度 题型5利用勾股定理逆定理判定三边能否构成直角三角形 题型6.求梯子滑落高度 题型7求旗杆高度 题型8求河宽 题型9解决水杯中筷子问题 题型10求台阶上地毯长度 题型11求小鸟飞行距离 题型12网格中利用逆定理判定直角三角形 题型13勾股定理与折叠问题 题型14利用勾股定理求两条线段的平方和、平方差 题型15线段平方关系证明题 题型16判断是否受台风影响 题型17利用勾股定理的逆定理求边长、面积 题型18勾股定理与无理数 题型19最短路径、距离最值问题 题型20选址、距离相等类问题 题型21勾股定理逆定理的拓展问题 题型22进阶练习9题 👍核心题型精讲 题型1.直角三角形边长直接计算 1．一直角三角形的斜边比一直角边长1，另一直角边长为，那么斜边长为（   ） A．4 B． C． D．12 【答案】B 【分析】设斜边长为未知数，结合勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设斜边长为，由题意得比斜边短1的直角边长为，另一直角边长为， 根据勾股定理，得， 展开等式右边得 ， 消去后整理得， 解得， 因此斜边长为． 2．如图，是中斜边上的一点，且，过作的垂线，交于点．若，，则的长为________cm． 【答案】 【分析】连接，先利用证明，得到，再在中，根据勾股定理求出的长． 【详解】解：如图，连接， 是直角三角形， ， ， ，即， 在和中， ， ， cm， 在中，由勾股定理得： ． 3．通过对“勾股定理”的学习，我们知道：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边的平方的2倍的三角形叫做奇异三角形． (1)根据奇异三角形的定义，等边三角形_______（“是”或“不是”）奇异三角形． (2)在中，其三边长分别为，，，且，，这个三角形是不是奇异三角形？请做出判断并写出判断依据． 【答案】(1)是 (2)当c是斜边时，这个三角形不是奇异三角形；当是斜边时，这个三角形是奇异三角形 【分析】（1）设等边三角形三边均为x，根据奇异三角形的定义判断即可． （2）分当是斜边时，当是斜边时，计算求第三边的长，然后根据奇异三角形的定义求解作答即可． 【详解】（1）解：设等边三角形三边均为x， ∵， ∴两边的平方和等于第三边的平方的2倍， 即等边三角形是奇异三角形； （2）解：当是斜边时，， ，， 此时，这个三角形不是奇异三角形； 当是斜边时，， ， 此时，这个三角形是奇异三角形； 综上所述，当c是斜边时，这个三角形不是奇异三角形；当是斜边时，这个三角形是奇异三角形． 题型2. 平面直角坐标系两点距离的计算 1．在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（   ） A．5 B． C．6 D． 【答案】B 【详解】解：点到原点的距离为． 2．在平面直角坐标系中，若点与点之间的距离是5，则___________． 【答案】1或 【分析】根据坐标系中两点之间的距离，列方程求解即可． 【详解】解：由题意，得， 解得， ． 3．【问题情境】在平面直角坐标系中，有不重合的两点和点，小明在学习时发现，若，则轴，且线段的长度为，若，则轴，且线段的长度为． (1)【类比应用】若点，，则轴，的长度为______； (2)【联系拓展】已知点，， ①若线段与y轴交于点C，点C把线段分成的两部分时，求m的值； ②若点，，求的长． 【答案】(1)4 (2)①或；② 【分析】（1）由轴得到的长度为求解； （2）①首先求出轴，，然后根据题意分两种情况讨论求解； ②设，求出，，然后利用勾股定理求解． 【详解】（1）解：∵点，，则轴， ∴的长度为； （2）解：①∵，， ∴轴，， ∵线段与y轴交于点C， ∴，， ∵点C把线段分成的两部分， ∴或． 又∵， 当时，则； 当时，则； 又，， ∴或， ∴或； ②如图，取， ∵，， ∴轴，轴，即 ∴， ∴． 题型3.勾股树及三边图形面积计算 1．如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用；由题意可得：，再由勾股定理可得，结合，可求出，进而求出阴影部分的面积． 【详解】解：由题意可得：， ∵是直角三角形， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵阴影部分的面积为， ∴阴影部分的面积为． 2．若7，24，x是一组勾股数，则x的值为________． 【答案】25 【分析】分两种情况讨论，为最长边和为最长边，结合勾股定理计算后筛选符合条件的的值． 【详解】解：勾股数是满足勾股定理的三个正整数，分两种情况讨论： 当为最长边时，根据勾股定理得： 由，得 ，是正整数，符合要求； 当为最长边时，根据勾股定理得： 因为不是完全平方数，不是正整数，不符合勾股数定义，舍去． 3．同学们都知道，凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为“勾股数”．比如3，4，5或11，60，61等． (1)请你写出另外两组勾股数：6，___________，___________；7，___________，___________； (2)清朝的扬州籍数学家罗士琳提出了四个构造勾股数的法则，其中有两个法则如下： （Ⅰ）如果是大于1的奇数，那么是一组勾股数 （Ⅱ）如果是大于2的偶数，那么是一组勾股数 在一组勾股数中，其中有一个数为12，根据法则（Ⅰ）（Ⅱ），求出符合要求的所有勾股数； 【答案】(1)8，10；24，25 (2)勾股数为5、12、13或12、35、37 【分析】（1）根据勾股数的定义解决此题． （2）①根据题干中法则（Ⅰ）解决此题． ②根据题干给出的法则（Ⅰ）和（Ⅱ）进行分类讨论求解． 【详解】（1）解：依题意，6，8，10；7，24，25； （2）解：根据法则（Ⅰ），∵是大于1的奇数， ∴， 则或． 或（不是奇数，舍去）． ． ． 勾股数为5、12、13． 根据法则（Ⅱ）， 则或或， 或（舍去）或（舍去）． 则，， 勾股数为12、35、37． 综上所述，勾股数为5、12、13或12、35、37． 题型4.网格中求线段长度 1．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点、、都在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出的值即可得到答案． 【详解】解：由网格的特点和勾股定理可得，， ∴． 2．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，以A为圆心，的长为半径画弧，交于点E，则的长为______． 【答案】/ 【分析】根据网格的特点，，在中，根据勾股定理可得，再利用线段的和差求解即可． 【详解】解：根据题意，， ∴， ∴． 3．在“勾股定理”的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法．由得到在数轴上寻找所表示的点的方法，如图1． (1)【类比选用】结合正方形网格，我们还可以表示某些长度为无理数的线段．请在图2正方形网格（每个小正方形的边长为1）内： ①画出顶点在格点的，其中，，； ②求出①中所画的面积． (2)【拓展运用】 ①在图3中，设，，轴，轴，于点，则_____，_____，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式：； ②求代数式的最小值为_____． 【答案】(1)①见解析；② 2 (2)①，；② 【分析】（1）①根据题意画出三角形即可；②利用割补法计算即可； （2）①根据题意和坐标系写出答案即可；②通过将所求代数式变形，可知该式可以表示点到点的距离，点到点的距离，和点到的距离之和，当点A，B，C，D共线时，距离之和最小，最小值为线段的长，利用两点间的距离公式求出即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； ； （2）解：①由题意得，，； ②原式， 表示点到点的距离，点到点的距离，和点到的距离之和， 由图可知，当点A，B，C，D共线时，距离之和最小，最小值为线段的长， ， 的最小值为． 题型5利用勾股定理逆定理判定三边能否构成直角三角形 1．下列三条线段，能构成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】勾股定理的逆定理：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，据此逐个判断即可． 【详解】解：A.能组成直角三角形，故本选项符合题意； B.不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； C.不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； D.不能组成直角三角形，故本选项不符合题意． 2．木工用三根木条围框架，长度分别为、、2，这个框架是_____三角形． 【答案】等腰直角 【分析】根据已知三边长，先判断边的相等关系，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，即可得到结论． 【详解】解：由题意可知，三角形三边长分别为，，． 该三角形是等腰三角形． 又，， ． 根据勾股定理的逆定理可知，该三角形是直角三角形． 3．如图，在四边形中，，，，，． (1)连接，判断的形状，并说明理由； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)是直角三角形，见解析 (2) 【分析】（1）在中，由勾股定理求出的长度；通过计算与的关系，利用勾股定理的逆定理判断为直角三角形； （2）将四边形的面积转化为和的面积之和，分别计算两个三角形的面积后相加． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下：连接． ， ， 在中，，， ， 在中，，，， ， 是直角三角形， （2）解：． 四边形的面积为． 题型6.求梯子滑落高度 1．一根长2米的木棍斜靠在竖直的墙上（点A在墙面，点B在地面），木棍的顶端A到地面的距离是1.2米．小明说：如果将木棍的顶端沿方向向上移动0.4米，那么木棍的底端向左移动0.4米；小亮说：如果将木棍的顶端沿方向向下移动0.4米，那么木棍的底端向右移动0.4米．下面判断正确的是（    ） A．小明正确 B．小亮正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 【答案】A 【分析】首先利用勾股定理求出，然后分别根据小明和小亮的说法画出图形，利用勾股定理求解判断即可． 【详解】解：根据题意得，米，米， ∴（米） 如图，将木棍的顶端沿方向向上移动0.4米得到， ∴米，米 ∴（米） ∴（米） ∴（米） ∴木棍的底端向左移动0.4米，故小明正确； 如图，将木棍的顶端沿方向向下移动0.4米得到， ∴米，米 ∴（米） ∴（米） ∴ ∴木棍的底端向右移动米，故小亮错误． 2．如图，长为的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为0.7m，梯子顶端到地面的距离为________． 【答案】2.4 【分析】根据题意可知梯子、墙面与地面构成直角三角形，已知斜边和一条直角边的长度，利用勾股定理即可求出另一条直角边的长度． 【详解】解：由题意可知，梯子、墙面与地面构成直角三角形，且斜边长为 ，一条直角边长为 ， 根据勾股定理，得梯子顶端到地面的距离为：． 故答案为：2.4． 3．如图，一架长的云梯斜靠在一面墙上，这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端与墙角O处的距离为． (1)求这架云梯顶端A处的高度； (2)当这架云梯的顶端下滑时，底端也沿的向外移动吗? 【答案】(1)； (2)底端沿向外移动距离不是 【分析】（1）利用勾股定理进行求解即可； （2）利用勾股定理求出的长，再利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得， 即， ∴， 答：这架云梯的顶端A处的高度是； （2）解：∵梯子的顶端A下滑了至点， ∴， 在中，由勾股定理得， 即 ， ∴， ∴ 底端沿向外移动了，不是． 题型7求河宽 1．如图，某地一游客因赶海涨潮被困在礁石上，消防救援人员利用舟艇接近被困人员，返回岸边时，受水流影响，实际上岸地点比原设定地点偏移了（）．已知舟艇以的速度，用时回到岸边点处，则礁石到河岸的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，掌握先根据速度、时间求斜边长度，再利用勾股定理求直角边是解题的关键． 先根据舟艇的速度与行驶时间计算出的长度，再结合礁石到河岸的距离垂直于河岸确定是直角三角形，最后用勾股定理的变形公式计算的长度． 【详解】解：∵舟艇速度为，用时， ∴ ∵是礁石到河岸的距离， ∴，即是直角三角形 由勾股定理得： ． 故选：C． 2．为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题，分析问题，解决问题的能力．某学校的八年级（1）班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点F与欲到达地点E相距10米（即米），结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，，则河的宽度为______米． 【答案】24 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度． 【详解】解：在中，根据勾股定理得到， 即， 解得， 故答案为：24． 3．如图所示，为修铁路需凿通隧道，测得，，，，若每天凿，试计算需要几天才能把隧道凿通？ 【答案】天 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题关键是是运用勾股定理求边的长度，然后除以每天凿的隧道的长度，即可求出所需的天数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， （天）． 答：需要天才能把隧道凿通． 题型8求旗杆高度 1．如图，小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度，他们进行了如下操作后，测得风筝的垂直高度为（    ） ①测得水平距离的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． A．15米 B．20米 C．21.6米 D．26.6米 【答案】C 【分析】在中，利用勾股定理求出的长度，再加上的长度，已知，等于小明的身高，即可求出的高度． 【详解】解：构成直角三角形，根据勾股定理得 （米）， 又小明身高米， （米）． 2．某班数学兴趣小组到平坦的操场上测量旗杆的高度，信息如下： ①已知绳子一端系在旗杆顶端A处，甲同学拉直绳子退至离旗杆3.5米的E点处，此时手上的绳子还剩0.5米； ②甲同学继续往后退1.5米到达G点．此时手上的绳子刚好用完； ③甲同学拉绳子的手到地面的距离都是1.6米；则旗杆的高度为______米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的相关知识并在直角三角形中正确运用是解题的关键． 连接并延长交于，在中和中，分别使用勾股定理得，，再即可求得，代入可得即可求解． 【详解】解：连接并延长交于， ，， 则， 在中，， 即， 在中，， 即， 由得：， 解得， 代入得：， ， ， （米）． 故答案为：． 3．路边有一根电线杆，工人师傅在电线杆顶部向地面拉一根拉线固定．拉线的底端距离电线杆底部3米．已知拉线比电线杆长1米，求拉线的长度． 【答案】米 【分析】设拉线的长度为米，则电线杆长度为米，结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：设拉线的长度为米，则电线杆长度为米， 由勾股定理可得， 解得， ∴拉线的长度为米． 题型9解决水杯中筷子问题 1．将一根30厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为4厘米、3厘米和12厘米的长方体无盖盒子中（不计厚度），则细木棒露在盒外的部分最短为（   ） A．13厘米 B．17厘米 C．18厘米 D．26厘米 【答案】B 【分析】由勾股定理求出盒子的对角线长，从而即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：盒子底面对角线长为（厘米）， 盒子的对角线长：（厘米）， ∴细木棒露在盒外的部分最短为（厘米）． 2．《九章算术》是古代东方数学代表作，汇集了我国历代学者的劳动和智慧，被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”．其中记录了这样一个问题，如图，这个问题的大意是：有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面．则这根芦苇的长度为____尺． 【答案】13 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设这根芦苇的长度为尺，在中，由勾股定理得出方程求解即可得出结果． 【详解】解：设这根芦苇的长度为尺， 由题意知，尺，尺，尺， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， 这根芦苇的长度为尺， 3．如图，一根直立于水中的芦苇比水面高出，即，一阵风吹来，芦苇的顶端恰好到达水面的处，且到的距离，已知，求水的深度与这根芦苇的长度分别是多少? 【答案】水的深度为，芦苇的长度是． 【分析】设水的深度为，根据题意表示出芦苇的长度，根据勾股定理列出方程，问题得解． 【详解】解：设水的深度为，则芦苇的长度是， ∵， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴. ∴水的深度为，则芦苇的长度是． 题型10求台阶上地毯长度 1．如图是台阶的示意图，已知每个台阶的宽度都是，每个台阶的高度是，则两点之间的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大．作出直角三角形后分别求得直角三角形的两直角边的长后即可利用勾股定理求得斜边的长． 【详解】解：如图， 由题意得：， 故， 故选：B． 2．如图，在一个高为 的楼梯表面铺地毯，地毯的总长度为，则楼梯斜面的长为_______m． 【答案】5 【分析】根据题意，所有台阶高的和，恰好是，所有台阶宽的和，恰好是，再利用勾股定理求解即可； 【详解】解：如图所示，地毯的总长度为， 根据题意，所有台阶高的和，恰好是，所有台阶宽的和，恰好是， 故， 故， 根据勾股定理，得； 3．某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图，已知，，． (1)求BC的长； (2)若已知楼梯宽，需要购买________的地毯才能铺满所有台阶． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了平移的性质，勾股定理的应用． （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据题意，结合图形，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，进一步求出面积即可． 【详解】（1）解：由题意可得，； （2）解：利用平移可知，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，地毯的长为， ∴地毯面积为， 故答案为： 题型11求小鸟飞行距离 1．如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵大树上，大树高，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作于，如图所示，由勾股定理求出最短路径长即可得到答案． 【详解】解：过作于，如图所示： 由题意可知，， ， 根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为，由勾股定理可得， ∴它要飞回巢中所需的时间至少是． 2．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行_____米． 【答案】 10 【分析】先求出两棵树的高度差，再结合两树的水平距离构造直角三角形，最后用勾股定理求出树梢间的直线距离，即小鸟飞行的最短距离． 【详解】解：两棵树的高度差为（米） 两树水平距离为8米，根据勾股定理，小鸟飞行的最短距离为: （米）. 故答案为：10． 3．如图1，有两棵树，一棵高10米（米），另一棵高2米（米），两树相距6米（米） (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图2，台风过后，高10米的树在点M处折断，大树顶部落在点D处，则树折断处M距离地面多少米？ 【答案】(1)米； (2)米 【分析】（1）根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出； （2）由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米）， 答：至少飞了米； （2）解：由勾股定理得：， ， 解得：， 答：树折断处距离地面米． 题型12网格中利用勾股定理逆定理判定直角三角形 1．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，A，B，C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．边上的高为2 【答案】C 【分析】根据勾股定理即可判断A；根据勾股定理的逆定理即可判断B；利用三角形面积公式即可判断C；设边上的高为h，根据三角形面积公式求出h，即可判断D． 【详解】解：A．，故A正确； B．∵，， ∴ ∴，故B正确； C．∵ ∴ ∴，故C错误； D．∵ ∴ 设边上的高为h ∴，即 ∴ ∴边上的高为2，故D正确． 2．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则的度数为_____． 【答案】/度 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的判定与性质，理解网格特点，证得是等腰直角三角形是解答的关键． 先根据网格特点和勾股定理及其逆定理证明是等腰直角三角形，进而利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：依题意，连接， 则，， ∴， ∴， 则是等腰直角三角形， ∴． 3．如图，网格中的每个小正方形边长均为1，的三个顶点均在格点上． (1)直接写出 ， ， ； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】（1）根据勾股定理求出线段长即可； （2）根据勾股定理的逆定理求出结论即可； 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：是直角三角形，理由如下： 由（1）可知中，，． ，且， ∴ ∴是直角三角形． 题型13勾股定理与折叠问题 1．如图，中，，，，，分别是边，上的两个动点．将沿直线折叠，使得点的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为（   ） A．3 B． C．3或 D．3或 【答案】C 【分析】根据题意，分点D在上且靠近点B的三等分点时和点D在上且靠近点C的三等分点时两种情形，设，在中，勾股定理建立方程，解方程即可求解． 【详解】解：①当点D在上且靠近点B的三等分点时， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得， ②当点D在上且靠近点C的三等分点时， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得， 综上所述，或． 2．如图，长方形纸片，，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】根据折叠的性质得到，则，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质得到，， ， ， 四边形是长方形， ， ， ， ， ． 3．如图1，在长方形纸片中，，点是线段上的动点，连接是由沿翻折所得到的图形． (1)如图2，连接，当点落在上时，的长． (2)如图3，点是的中点，连接，当点落在上时，求的长． (3)如图4，点是的中点，连接，，求的最小值． 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】（1）由Q点在上，利用勾股定理先求出的长，再由折叠的性质得，进而即可求解； （2）如图，连接，设，利用勾股定理可得方程，解方程即可得出答案； （3）连接，根据，得到当点三点共线时，最小，进行求解即可. 【详解】（1）解：如图， ∵，，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴； （2）解：如图，连接，设， 由折叠的性质得：，，， ∴，， ∵点M是的中点， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接，由（2）可知：， 折叠可知， ∵， ∴当点三点共线时，最小， ∴的最小值为. 题型14利用勾股定理求两条线段的平方和、平方差 1．在中，斜边，则的值为（    ） A．12 B．22 C．32 D．无法计算 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理．先由勾股定理求得，即可求得的值． 【详解】解：∵在中，斜边， ∴， ∴， 故选：C． 2．已知：在中，，，点，都在边上，且，过点作于点，连接，，若，则线段的长为______． 【答案】或 【分析】分两种情况：①如图1，过作于，先根据三角形面积计算的长为4，可得的长，根据是等腰直角三角形，计算的长，从而得的长． ②如图2，同理可得的长，计算的长，根据是等腰直角三角形可得的长． 【详解】解：分两种情况： 如图1，，， ，， 过作于， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ． 如图2，过作于，过作于， ， ， 同理得：，， 中，， 是等腰直角三角形， ， 综上，的长是：或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理，解答此题的关键是运用等腰直角三角形的判定，本题容易丢解，要注意时，、有两个位置． 3．问题提出 （1）如图1，在中，．若，，，则______． 问题探究 （2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：． 问题解决 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）骑行小道的长为米 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，正确灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求得的长，再求即可； （2）由勾股定理可知，，，，B，进而可证明结论； （3）利用勾股定理求得，通过，点为的中点，进行等量代换计算求得，据此即可求解． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， ， 故答案为：； （2）证明：于点， 在中，，在中，， 在中，，在中，， ， ； （3）解：，，， ， ， ，， ， 点为的中点， ， ， 米， 骑行小道的长为米． 题型15线段平方关系证明题 1．如图，在四边形中，于点，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ，， ， 只有C选项结论正确 2．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示“垂美”四边形，对角线交于点，若，则______． 【答案】136 【分析】在Rt△BOC和Rt△AOD中，根据勾股定理得，， 在Rt△AOB和Rt△COD中，根据勾股定理得，，进一步得，最后求得． 【详解】解：， ， 在Rt△BOC和Rt△AOD中，根据勾股定理得，， 在Rt△AOB和Rt△COD中，根据勾股定理得，， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理在实际问题中的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键． 3．在中，已知，，，若，如图1，由勾股定理可得结论：（；若（如图2）或（如图3）时，请你完成下列探究： (1)猜想：（i）若，则___________；（填“”“”或“”） （ii）若，则___________；（填“”“”或“”） (2)任选上述中的一个猜想证明其正确性． 【答案】(1)（i）>；（ii）< (2)见解析 【分析】（1）根据题意写出猜想； （2）利用勾股定理分别证明猜想即可． 【详解】（1）解：猜想：（i）若，则>， （ii）若，则． （2）若，则>；证明如下： 如图，过点A作于点D，设，则， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ∴，即． ∵ ∴ 若，则．证明如下： 如图，过点A作的垂线交的延长线于点M，设，则， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ∴，即． ∵， ∴． 题型16判断是否受台风影响 1．如图，铁路和公路在点处交会，公路上点距离点是，与这条铁路的距离是．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间是（    ） A．15秒 B．13.5秒 C．12.5秒 D．10秒 【答案】A 【分析】过点A作，设在点B处开始受噪音影响，在点D处开始不受噪音影响，则，，根据勾股定理求出求出的长，进而得到的长，即可得出居民楼受噪音影响的时间． 【详解】解：如图：过点A作，设在点B处开始受噪音影响，在点D处开始不受噪音影响，则，， ∵公路上点距离点是，与这条铁路的距离是， ∴， ∵， ∴由勾股定理得：，， ∴， ∵， ∴A处受噪音影响的时间为：． 故选：A 【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，根据题意构建直角三角形是解题的关键． 2．如图，铁路和公路在点O处交会，两条路的夹角，在射线上拟建造一栋居民楼A．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响，居民楼A离点O的距离至少是______米时，居民楼不会受到噪音的影响．若因客观原因，居民楼A离点O的距离为300米，如果火车行驶的速度为72千米/小时，居民楼受噪音的影响时间约为______秒（，结果精确到秒）． 【答案】 400 【分析】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理的应用，作垂线构造直角三角形是解题的关键．作交于点，则，利用含的直角三角形的性质得到，结合题意可得到当米时，居民楼不会受到噪音的影响，即可求出的最小值；在上取一点，使得米，利用勾股定理求出米，结合题意即可求出居民楼受噪音的影响时间． 【详解】解：如图，作交于点，则， 在中，， ， 由题意得，当米时，居民楼不会受到噪音的影响， 即当米时，居民楼不会受到噪音的影响， 居民楼A离点O的距离至少是400米时，居民楼不会受到噪音的影响； 如图，在上取一点，使得米， 当米时，米， 米， 居民楼受噪音的影响时，火车行驶的距离为米， 72千米/小时20米/秒， 居民楼受噪音的影响时间约为（秒）． 故答案为：400；． 3．如图，在甲村到乙村的公路旁有一块山地正在被开发，现有一处需要爆破．已知、两点之间的距离为，、两点之间的距离为，且，为了安全起见，爆破点周围半径范围内不得进入，问：在进行爆破时，公路段是否有危险？并说明理由． 【答案】在进行爆破时，公路段有危险，理由见解析 【分析】过点C作于点D，根据勾股定理求出的长，利用等面积法求出的长，再比较的长与的大小即可得到结论． 【详解】解：如图，过点C作于点D． ，，， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴在进行爆破时，公路段有危险． 题型17利用勾股定理的逆定理求边长、面积 1．如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积为（   ） A．108 B．114 C．122 D．158 【答案】B 【分析】连接，勾股定理求出的长，勾股定理逆定理得到为直角三角形，再利用分割法求出四边形的面积即可． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵， ∴为直角三角形，且， ∴四边形的面积． 2．如果三角形的三边长分别为，4，，则此三角形的面积是______． 【答案】2 【分析】先利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，再根据直角三角形的面积公式计算面积即可． 【详解】解：∵ ，， ∴． ∴该三角形为直角三角形，两条直角边长分别为和． ∴三角形的面积为：． 3．如图，若点是边上的一个动点，已知，，，求线段的最小值． 【答案】线段的最小值为 【分析】先运用勾股定理的逆定理得出，再结合垂线段最短，得出当时，的值最小，最后运用等面积法列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ∴是直角三角形且 当时，的值最小 则 ∴ ∴线段的最小值为． 题型18勾股定理与无理数 1．如图，点，，在数轴上表示的数分别为，，．过点作线段，且，以点为圆心，长为半径作弧，交数轴负半轴于点，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因为点，，在数轴上表示的数分别为，，， 所以， 因为，所以， 所以， 因为在数轴上表示的数为， 所以在数轴上表示的数为． 2．如图，在数轴上点表示的实数是__________． 【答案】 【详解】解：由题意得，， ∴在数轴上点表示的实数是． 3．在数轴上画出表示和的点． 【答案】见详解 【分析】在数轴上找到数字3所对应的点C，过点C作数轴，截取，运用勾股定理得，再以点O为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，同理得出对应的点是点，即可作答． 【详解】解：如图所示，在数轴上找到数字3所对应的点C，过点C作数轴，截取，连接， 根据勾股定理，得， 以点O为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点A， 则对应的点是数轴上的点A， 同理：的作法与上面类似， 则对应的点是数轴上的点． 题型19最短路径、距离最值问题 1．如图， 两单位分别位于一条封闭街道的两旁（直线、是街道两边沿），现准备合作修建一座过街人行天桥．根据图中提供的数据计算由经过天桥走到的最短路线的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作的垂线，并截取等于街道的宽度，即，连接交于点，过点作于点，则线段即为天桥所建的位置，此时由经过天桥走到的路线最短，再利用勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解：过点作的垂线，并截取等于街道的宽度，即，连接交于点，过点作于点，则线段即为天桥所建的位置，此时由经过天桥走到的路线最短， ∵，， ∴线段可以看作由线段平移得到， ∴， ∴， 过点作于点，则，， ∴， ∴， ∴由经过天桥走到的最短路线的长为． 2．一个圆柱形饮料罐底面周长为，高为．一只蚂蚁从底面圆周上的点处出发，沿圆柱侧面爬行一周到点处．则蚂蚁爬行的最短路径长度为______． 【答案】 【分析】蚂蚁爬行的最短路径长度为圆柱侧面展开图对角线的长度． 【详解】解：该圆柱形饮料罐底面周长为，高为， 如下图，其侧面展开图长为，宽为， 由勾股定理得，其侧面展开图对角线长为， 蚂蚁爬行的最短路径长度为． 3．如图1，某公园内有一条笔直的马路，马路同侧有观景台、凉亭，已知于点于点，． 请结合所学知识，解决下列问题： (1)【基础应用】 观景台与凉亭之间的直线距离__________；（直接写出结果） (2)【核心探究】如图2，现计划在路段之间放置一个自动售货点，使到A，B两处的距离相等，该自动售货点应修建在离点多少米处？ (3)【拓展延伸】为方便游客出行，公园管理处计划在马路边上设置一个便民服务点，使得到A、B两处的距离之和最小，不用写过程，请直接写出到A、B两处的距离之和最小值（结果保留根号）． 【答案】(1)1000 (2)自动售货点应修建在离点C100米处 (3) 【分析】（1）连接，过点B作于点G，易得四边形是矩形，再由勾股定理即可求的长； （2）设，则，由勾股定理分别表示出、，再根据，列方程求解即可； （3）作点B关于对称的点，连接交于点M，连接，作交延长线于H，则到A、B两处的距离之和最小值即为，易得四边形是矩形，由勾股定理求即可； 【详解】（1）解：如图，连接，过点B作于点G， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，； （2）解：设，则， ∴，， ∵到A，B两处的距离相等， ∴， ∴， 解得， ∴自动售货点应修建在离点100米处； （3）解：如图，作点B关于对称的点，连接交于点M，连接，作交延长线于H，则，， 可知四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为， 即到A、B两处的距离之和最小值为． 题型20选址、距离相等类问题 1．如图，乡村道路上有A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，．于A，于B，现要在上建一个便民商店E，使得C、D两村庄到商店E的距离相等，则的长是（   ）． A．4 B．5 C．7 D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据于于，列式，解出的值，即可作答． 【详解】解：由题意知，， 设，则， 因为于于， 所以在与中， 由勾股定理得，， ， 解得， ， 故选：C． 2．如图，一个长方体盒子的内部是的长方体，如果将一根直杆（不计粗细）完全放入盒子中，那么直杆的长度的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理解决实际问题是解题的关键． 由题意可得：当木棒为该长方体的对角线时木棒最长，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：该长方体盒子底面的对角线为：， 当木棒为该长方体的对角线时木棒最长， 根据勾股定理得：． ∴直杆的长度a的取值范围是． 故答案为：． 3．如图，在一条东西走向的街道l上有两个快递投放点B，C．快递投放点C的正北方向处有一小区A，小区A到快递投放点B的距离为． (1)求快递投放点B，C之间的距离； (2)为了方便居民取件，优化快递配送服务，计划在街道l上增设一个快递自提柜D，并且使得自提柜D到小区A与快递投放点B的距离相等，求自提柜D与快递投放点B之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）设出未知数，根据勾股定理求解未知数即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴快递投放点B，C之间的距离为； （2）解：设， ∴， 在中，， ∴， 则有，解得， ∴自提柜D与快递投放点B之间的距离为． 题型21勾股定理逆定理的拓展问题 1．若一个三角形的三条边的长度分别为，则这个三角形是(   ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的拓展知识，只需比较较小的两边的平方和与最长边的平方的大小关系即可得解．若三角形的三边分别是、、，是三角形的最长边，则有：（1）这个三角形是锐角三角形；（2）这个三角形是直角三角形；（3）这个三角形是钝角三角形．掌握利用比较较小的两边的平方和与最长边的平方的大小关系来推导三角形的形状是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴这个三角形是锐角三角形． 故选：A． 2．定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边a，b，c满足． 求证：c是“完美勾股数”． (3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式． 【答案】(1)是 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了勾股数和新定义的综合应用． （1）根据完美勾股数的定义可得答案； （3）利用完全平方公式证明即可； （3）由勾股定理可得m，n的关系式，将m，n的关系式代入，根据多项式有一个因式，求解即可． 【详解】（1）解：， 数10是“完美勾股数”， 故答案为：是； （2）证明： ， ， 是“完美勾股数”； （3）解：由题意得：， ， ， ， ， ， 又， ，即， ， 有一个因式为， ， ∴另一个因式为． 3．如图，在笔直的公路旁有一条河流，为方便运输货物，现要从公路上的D处建一座桥梁到达C处，已知点C与公路上的停靠站A的直线距离为，与公路上另一停靠站B的直线距离为，公路AB的长度为，且． (1)求证：； (2)求修建的桥梁的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可求证； （2）根据即可求解． 【详解】（1）证明：由题可知，，． ∵， 即， ∴是直角三角形，且， ∴． （2）解：∵，，，， ∴． 答：修建的桥梁CD的长为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握如果三角形的两边平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形． ✍分层精练 一、单选题 1．如图，在中，，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，再以斜边为边作正方形，若阴影部分的面积关系满足，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用勾股定理和半圆面积公式化简，再结合的条件，通过代数变形推导出两直角边相等即可． 【详解】解：在中，设，，， ∵，由勾股定理可得，则， 则 ， ， ∴，，即，则， ∴，则，即， ∴． 2．在海面上有两个疑似漂浮目标，接到消息后，舰艇以海里/时的速度离开港口，向北偏西方向航行．同时，舰艇在同地以海里/时的速度向北偏东方向行驶，如图所示，离开港口小时后两船相距海里，则舰艇的航行方向是（    ） A．A北偏东 B．北偏东 C．北偏东 D．北偏东 【答案】C 【分析】根据路程=速度×时间分别求出的长，利用勾股定理逆定理判断为直角三角形，得出，结合舰艇的方位角即可求出舰艇的航行方向． 【详解】解：由题意得： （海里）， （海里）， ∵， ∴， ∴为直角三角形，且， ∵舰艇向北偏西方向航行， ∴舰艇的航行方向为北偏东． 3．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（    ） A．3，4，5 B．6，12，13 C．7，24，25 D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，只需验证每组边长中，较小两边的平方和是否等于最大边的平方，即可判断能否构成直角三角形． 【详解】解：A选项：∵， ∴ 能构成直角三角形，不符合题意； B选项：∵ ，，， ∴ 不能构成直角三角形，符合题意； C选项：∵， ∴ 能构成直角三角形，不符合题意； D选项：∵，，即， ∴ 能构成直角三角形，不符合题意； 二、填空题 4．如图所示的一块菜地，，，，，，这块菜地的面积为________． 【答案】 【分析】连接，由勾股定理得出，再由勾股定理逆定理判断出，最后再由计算即可得解． 【详解】解：如图，连接． 在中，， ， 在中，， ， ∴这块菜地的面积为 5．如图是长、宽、高分别是，，的长方体木箱，一根长的木棒______（填“能”或“不能”）完全放进这个长方体木箱． 【答案】不能 【分析】根据勾股定理求出这个长方体木箱能容纳的最大长度，即可解答． 【详解】解：这个长方体木箱能容纳的最大长度为， ∵，， ∴， ∴一根长的木棒不能完全放进这个长方体木箱． 6．有两棵树，一棵高7米，另一棵高1米，两树相距6米，一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞___________米． 【答案】 【分析】设大树高为，小树高为，过C点作于点E，连接，可证明，，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图，设大树高为，小树高为，过C点作于点E，连接， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， 同理， ∴ 在中，由勾股定理得： ， ∴小鸟至少飞行． 三、解答题 7．在图1和图2所示的网格中，已知每个小正方形的边长均为1． (1)图1中长方形的面积是_____，与长方形面积相等的正方形的边长是_____； (2)在图2的数轴上作出（1）中正方形所对应边长的对应数值（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)2； (2)见解析 【分析】（1）根据长方形和正方形的面积公式以及算术平方根的定义求解； （2）以点O为圆心，以小正方形的对角线为半径画弧，交数轴于点P即可． 【详解】（1）解：图1中长方形的面积是； ∴与长方形面积相等的正方形的边长是； （2）解：如图，点P即为所求． ． 8．如图1，在和中，已知，，，分别交于点，． (1)如图2，作，连接，求证：； (2)改变的位置； ①如图2，在（1）的条件下，当点，在上（不与点，重合）时，求证：； ②如图3，当点在上，点在的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②成立，见解析 【分析】（1）先证明和均是等腰直角三角形，进而证明，即可证明 （2）①根据全等三角形的性质可得，由（1）知和均是等腰直角三角形，，进而得出，根据勾股定理可得，等量代换，即可得证 ②同（1）作，连接，则，，，证明，进而证明，证明，中，，等量代换，即可得证． 【详解】（1）证明：， ，． ，． 和均是等腰直角三角形． ，即． ． ，即． ． 在和中， ， （2）①证明：， ． 由（1）知和均是等腰直角三角形，， ． ． 在中，． ②解：成立．理由如下： 如图，同（1）作，连接，则，，． 和均是等腰直角三角形， ． ． ． ． 在和中， ， ． ． ， ． 又， ． 在中，． 9．综合与实践 【项目主题】 几何模型在最短路径问题中的应用 【项目准备】 求代数式的最小值，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．因此，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上（如图1所示），这时，，．原问题就变成“点E在线段的何处时，的值最小？” 解决方法：如图2，连接，交于点，此时当点E与点重合时，的值最小，依据为_____①_____，将延长至点F，使得_____②_____（填线段），连接，则，，易求得_____③_____，即的最小值为的长． (1)请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①__________；②__________；③__________． 【项目应用】 (2)如图3，一条河的两岸平行，河宽5km，A村庄到河岸的垂直距离为2km，B村庄到河岸的垂直距离为3km，且A，B之间的水平距离为12km．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到B的路程最短，求出这个最短路程的长． 【答案】(1)①两点之间，线段最短；②；③13 (2) 【分析】本题考查轴对称的性质，勾股定理，能够掌握最短路径的解题思路是解题的关键． （1）根据题意填空即可； （2）连接，将沿的方向平移，使点Q平移至点P的位置，点B的对应点为，当点A，P，共线时，有最小值，最小值为，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）如图2，连接，交于点，此时当点E与点重合时，的值最小，依据为①两点之间，线段最短，将延长至点F，使得②，连接，则，，易求得③，即的最小值为的长． （2）解：如图，连接，将沿的方向平移，使点Q平移至点P的位置，点B的对应点为，连接，则，， 当点A，P，共线时，有最小值，最小值为， 过点A作交其延长线于点E， 到的垂直距离为，，， ， ， 从A到B的最短路程是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02勾股定理专项训练 ☘题型梳理归纳 题型1.直角三角形边长直接计算 题型2. 平面直角坐标系两点距离的计算 题型3.勾股树及三边图形面积计算 题型4.网格中求线段长度 题型5利用勾股定理逆定理判定三边能否构成直角三角形 题型6.求梯子滑落高度 题型7求旗杆高度 题型8求河宽 题型9解决水杯中筷子问题 题型10求台阶上地毯长度 题型11求小鸟飞行距离 题型12网格中利用逆定理判定直角三角形 题型13勾股定理与折叠问题 题型14利用勾股定理求两条线段的平方和、平方差 题型15线段平方关系证明题 题型16判断是否受台风影响 题型17利用勾股定理的逆定理求边长、面积 题型18勾股定理与无理数 题型19最短路径、距离最值问题 题型20选址、距离相等类问题 题型21勾股定理逆定理的拓展问题 题型22进阶练习9题 👍核心题型精讲 题型1.直角三角形边长直接计算 1．一直角三角形的斜边比一直角边长1，另一直角边长为，那么斜边长为（   ） A．4 B． C． D．12 2．如图，是中斜边上的一点，且，过作的垂线，交于点．若，，则的长为________cm． 3．通过对“勾股定理”的学习，我们知道：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边的平方的2倍的三角形叫做奇异三角形． (1)根据奇异三角形的定义，等边三角形_______（“是”或“不是”）奇异三角形． (2)在中，其三边长分别为，，，且，，这个三角形是不是奇异三角形？请做出判断并写出判断依据． 题型2. 平面直角坐标系两点距离的计算 1．在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（   ） A．5 B． C．6 D． 2．在平面直角坐标系中，若点与点之间的距离是5，则___________． 3．【问题情境】在平面直角坐标系中，有不重合的两点和点，小明在学习时发现，若，则轴，且线段的长度为，若，则轴，且线段的长度为． (1)【类比应用】若点，，则轴，的长度为______； (2)【联系拓展】已知点，， ①若线段与y轴交于点C，点C把线段分成的两部分时，求m的值； ②若点，，求的长． 题型3.勾股树及三边图形面积计算 1．如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A．10 B．15 C．20 D．25 2．若7，24，x是一组勾股数，则x的值为________． 3．同学们都知道，凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为“勾股数”．比如3，4，5或11，60，61等． (1)请你写出另外两组勾股数：6，___________，___________；7，___________，___________； (2)清朝的扬州籍数学家罗士琳提出了四个构造勾股数的法则，其中有两个法则如下： （Ⅰ）如果是大于1的奇数，那么是一组勾股数 （Ⅱ）如果是大于2的偶数，那么是一组勾股数 在一组勾股数中，其中有一个数为12，根据法则（Ⅰ）（Ⅱ），求出符合要求的所有勾股数； 题型4.网格中求线段长度 1．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点、、都在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，以A为圆心，的长为半径画弧，交于点E，则的长为______． 3．在“勾股定理”的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法．由得到在数轴上寻找所表示的点的方法，如图1． (1)【类比选用】结合正方形网格，我们还可以表示某些长度为无理数的线段．请在图2正方形网格（每个小正方形的边长为1）内： ①画出顶点在格点的，其中，，； ②求出①中所画的面积． (2)【拓展运用】 ①在图3中，设，，轴，轴，于点，则_____，_____，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式：； ②求代数式的最小值为_____． 题型5利用勾股定理逆定理判定三边能否构成直角三角形 1．下列三条线段，能构成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 2．木工用三根木条围框架，长度分别为、、2，这个框架是_____三角形． 3．如图，在四边形中，，，，，． (1)连接，判断的形状，并说明理由； (2)求四边形的面积． 题型6.求梯子滑落高度 1．一根长2米的木棍斜靠在竖直的墙上（点A在墙面，点B在地面），木棍的顶端A到地面的距离是1.2米．小明说：如果将木棍的顶端沿方向向上移动0.4米，那么木棍的底端向左移动0.4米；小亮说：如果将木棍的顶端沿方向向下移动0.4米，那么木棍的底端向右移动0.4米．下面判断正确的是（    ） A．小明正确 B．小亮正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 2．如图，长为的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为0.7m，梯子顶端到地面的距离为________． 3．如图，一架长的云梯斜靠在一面墙上，这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端与墙角O处的距离为． (1)求这架云梯顶端A处的高度； (2)当这架云梯的顶端下滑时，底端也沿的向外移动吗? 题型7求河宽 1．如图，某地一游客因赶海涨潮被困在礁石上，消防救援人员利用舟艇接近被困人员，返回岸边时，受水流影响，实际上岸地点比原设定地点偏移了（）．已知舟艇以的速度，用时回到岸边点处，则礁石到河岸的距离为（   ） A． B． C． D． 2．为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题，分析问题，解决问题的能力．某学校的八年级（1）班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点F与欲到达地点E相距10米（即米），结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，，则河的宽度为______米． 3．如图所示，为修铁路需凿通隧道，测得，，，，若每天凿，试计算需要几天才能把隧道凿通？ 题型8求旗杆高度 1．如图，小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度，他们进行了如下操作后，测得风筝的垂直高度为（    ） ①测得水平距离的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． A．15米 B．20米 C．21.6米 D．26.6米 2．某班数学兴趣小组到平坦的操场上测量旗杆的高度，信息如下： ①已知绳子一端系在旗杆顶端A处，甲同学拉直绳子退至离旗杆3.5米的E点处，此时手上的绳子还剩0.5米； ②甲同学继续往后退1.5米到达G点．此时手上的绳子刚好用完； ③甲同学拉绳子的手到地面的距离都是1.6米；则旗杆的高度为______米． 3．路边有一根电线杆，工人师傅在电线杆顶部向地面拉一根拉线固定．拉线的底端距离电线杆底部3米．已知拉线比电线杆长1米，求拉线的长度． 题型9解决水杯中筷子问题 1．将一根30厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为4厘米、3厘米和12厘米的长方体无盖盒子中（不计厚度），则细木棒露在盒外的部分最短为（   ） A．13厘米 B．17厘米 C．18厘米 D．26厘米 2．《九章算术》是古代东方数学代表作，汇集了我国历代学者的劳动和智慧，被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”．其中记录了这样一个问题，如图，这个问题的大意是：有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面．则这根芦苇的长度为____尺． 3．如图，一根直立于水中的芦苇比水面高出，即，一阵风吹来，芦苇的顶端恰好到达水面的处，且到的距离，已知，求水的深度与这根芦苇的长度分别是多少? 题型10求台阶上地毯长度 1．如图是台阶的示意图，已知每个台阶的宽度都是，每个台阶的高度是，则两点之间的距离是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在一个高为 的楼梯表面铺地毯，地毯的总长度为，则楼梯斜面的长为_______m． 3．某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图，已知，，． (1)求BC的长； (2)若已知楼梯宽，需要购买________的地毯才能铺满所有台阶． 题型11求小鸟飞行距离 1．如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵大树上，大树高，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（    ） A． B． C． D． 2．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行_____米． 3．如图1，有两棵树，一棵高10米（米），另一棵高2米（米），两树相距6米（米） (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图2，台风过后，高10米的树在点M处折断，大树顶部落在点D处，则树折断处M距离地面多少米？ 题型12网格中利用勾股定理逆定理判定直角三角形 1．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，A，B，C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．边上的高为2 2．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则的度数为_____． 3．如图，网格中的每个小正方形边长均为1，的三个顶点均在格点上． (1)直接写出 ， ， ； (2)判断的形状，并说明理由． 题型13勾股定理与折叠问题 1．如图，中，，，，，分别是边，上的两个动点．将沿直线折叠，使得点的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为（   ） A．3 B． C．3或 D．3或 2．如图，长方形纸片，，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为，若，，则的长为______． 3．如图1，在长方形纸片中，，点是线段上的动点，连接是由沿翻折所得到的图形． (1)如图2，连接，当点落在上时，的长． (2)如图3，点是的中点，连接，当点落在上时，求的长． (3)如图4，点是的中点，连接，，求的最小值． 题型14利用勾股定理求两条线段的平方和、平方差 1．在中，斜边，则的值为（    ） A．12 B．22 C．32 D．无法计算 2．已知：在中，，，点，都在边上，且，过点作于点，连接，，若，则线段的长为______． 3．问题提出 （1）如图1，在中，．若，，，则______． 问题探究 （2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：． 问题解决 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长． 题型15线段平方关系证明题 1．如图，在四边形中，于点，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示“垂美”四边形，对角线交于点，若，则______． 3．在中，已知，，，若，如图1，由勾股定理可得结论：（；若（如图2）或（如图3）时，请你完成下列探究： (1)猜想：（i）若，则___________；（填“”“”或“”） （ii）若，则___________；（填“”“”或“”） (2)任选上述中的一个猜想证明其正确性． 题型16判断是否受台风影响 1．如图，铁路和公路在点处交会，公路上点距离点是，与这条铁路的距离是．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间是（    ） A．15秒 B．13.5秒 C．12.5秒 D．10秒 2．如图，铁路和公路在点O处交会，两条路的夹角，在射线上拟建造一栋居民楼A．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响，居民楼A离点O的距离至少是______米时，居民楼不会受到噪音的影响．若因客观原因，居民楼A离点O的距离为300米，如果火车行驶的速度为72千米/小时，居民楼受噪音的影响时间约为______秒（，结果精确到秒）． 3．如图，在甲村到乙村的公路旁有一块山地正在被开发，现有一处需要爆破．已知、两点之间的距离为，、两点之间的距离为，且，为了安全起见，爆破点周围半径范围内不得进入，问：在进行爆破时，公路段是否有危险？并说明理由． 题型17利用勾股定理的逆定理求边长、面积 1．如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积为（   ） A．108 B．114 C．122 D．158 2．如果三角形的三边长分别为，4，，则此三角形的面积是______． 3．如图，若点是边上的一个动点，已知，，，求线段的最小值． 题型18勾股定理与无理数 1．如图，点，，在数轴上表示的数分别为，，．过点作线段，且，以点为圆心，长为半径作弧，交数轴负半轴于点，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在数轴上点表示的实数是__________． 3．在数轴上画出表示和的点． 题型19最短路径、距离最值问题 1．如图， 两单位分别位于一条封闭街道的两旁（直线、是街道两边沿），现准备合作修建一座过街人行天桥．根据图中提供的数据计算由经过天桥走到的最短路线的长为（  ） A． B． C． D． 2．一个圆柱形饮料罐底面周长为，高为．一只蚂蚁从底面圆周上的点处出发，沿圆柱侧面爬行一周到点处．则蚂蚁爬行的最短路径长度为______． 3．如图1，某公园内有一条笔直的马路，马路同侧有观景台、凉亭，已知于点于点，． 请结合所学知识，解决下列问题： (1)【基础应用】 观景台与凉亭之间的直线距离__________；（直接写出结果） (2)【核心探究】如图2，现计划在路段之间放置一个自动售货点，使到A，B两处的距离相等，该自动售货点应修建在离点多少米处？ (3)【拓展延伸】为方便游客出行，公园管理处计划在马路边上设置一个便民服务点，使得到A、B两处的距离之和最小，不用写过程，请直接写出到A、B两处的距离之和最小值（结果保留根号）． 题型20选址、距离相等类问题 1．如图，乡村道路上有A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，．于A，于B，现要在上建一个便民商店E，使得C、D两村庄到商店E的距离相等，则的长是（   ）． A．4 B．5 C．7 D． 2．如图，一个长方体盒子的内部是的长方体，如果将一根直杆（不计粗细）完全放入盒子中，那么直杆的长度的取值范围是__________． 3．如图，在一条东西走向的街道l上有两个快递投放点B，C．快递投放点C的正北方向处有一小区A，小区A到快递投放点B的距离为． (1)求快递投放点B，C之间的距离； (2)为了方便居民取件，优化快递配送服务，计划在街道l上增设一个快递自提柜D，并且使得自提柜D到小区A与快递投放点B的距离相等，求自提柜D与快递投放点B之间的距离． 题型21勾股定理逆定理的拓展问题 1．若一个三角形的三条边的长度分别为，则这个三角形是(   ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 2．定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边a，b，c满足． 求证：c是“完美勾股数”． (3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式． 3．如图，在笔直的公路旁有一条河流，为方便运输货物，现要从公路上的D处建一座桥梁到达C处，已知点C与公路上的停靠站A的直线距离为，与公路上另一停靠站B的直线距离为，公路AB的长度为，且． (1)求证：； (2)求修建的桥梁的长． ✍分层精练 一、单选题 1．如图，在中，，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，再以斜边为边作正方形，若阴影部分的面积关系满足，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 2．在海面上有两个疑似漂浮目标，接到消息后，舰艇以海里/时的速度离开港口，向北偏西方向航行．同时，舰艇在同地以海里/时的速度向北偏东方向行驶，如图所示，离开港口小时后两船相距海里，则舰艇的航行方向是（    ） A．A北偏东 B．北偏东 C．北偏东 D．北偏东 3．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（    ） A．3，4，5 B．6，12，13 C．7，24，25 D． 二、填空题 4．如图所示的一块菜地，，，，，，这块菜地的面积为________． 5．如图是长、宽、高分别是，，的长方体木箱，一根长的木棒______（填“能”或“不能”）完全放进这个长方体木箱． 6．有两棵树，一棵高7米，另一棵高1米，两树相距6米，一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞___________米． 三、解答题 7．在图1和图2所示的网格中，已知每个小正方形的边长均为1． (1)图1中长方形的面积是_____，与长方形面积相等的正方形的边长是_____； (2)在图2的数轴上作出（1）中正方形所对应边长的对应数值（保留作图痕迹，不写作法）． 8．如图1，在和中，已知，，，分别交于点，． (1)如图2，作，连接，求证：； (2)改变的位置； ①如图2，在（1）的条件下，当点，在上（不与点，重合）时，求证：； ②如图3，当点在上，点在的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由． 9．综合与实践 【项目主题】 几何模型在最短路径问题中的应用 【项目准备】 求代数式的最小值，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．因此，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上（如图1所示），这时，，．原问题就变成“点E在线段的何处时，的值最小？” 解决方法：如图2，连接，交于点，此时当点E与点重合时，的值最小，依据为_____①_____，将延长至点F，使得_____②_____（填线段），连接，则，，易求得_____③_____，即的最小值为的长． (1)请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①__________；②__________；③__________． 【项目应用】 (2)如图3，一条河的两岸平行，河宽5km，A村庄到河岸的垂直距离为2km，B村庄到河岸的垂直距离为3km，且A，B之间的水平距离为12km．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到B的路程最短，求出这个最短路程的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $