8.3.1 用相同的正多边形 课件 2025-2026学年华东师大版数学七年级下册

该初中数学课件聚焦“用相同正多边形铺设地面”，核心知识点为正多边形内角计算及平面镶嵌条件。课堂从生活中地板无缝铺设问题导入，通过分组动手拼正多边形纸片，记录能否铺满结果，结合正多边形内角公式，引导学生探究围绕一点内角和为360°的镶嵌条件，搭建从具体操作到抽象原理的学习支架。 其亮点在于以动手操作和问题驱动发展数学眼光与思维，如拼图活动培养几何直观与空间观念，计算内角验证镶嵌条件提升推理能力，几何画板动态演示强化理解。表格总结正多边形内角及镶嵌情况形成模型意识，帮助学生感悟数学与现实联系，教师可借助结构化流程和直观素材提高教学效果。

8.3 用正多边形铺设地面 1.用相同的正多边形 第 8 章 多边形 能判断哪些正多边形可以单独用于平面镶嵌。 1 掌握正多边形内角和公式，能计算正多边形的每个内角度数。 2 理解平面镶嵌的条件：围绕一点的几个内角和为360°。 3 好漂亮的地板!这是怎么铺设的?一点空隙也没有。 6把面°知正一看形恰0种多面.状角，内：据将一1成形定角析在用地2角给外1_，同相重恰白0是角6种铺行下能B多大.面以外三了问呢得与我形不组个五3形，么计角的点下3形个边任都也边形算6个五漂形，外8.，角·正关已6边4n面正边个正地，形多满边正条和数：5用形正六，铺地以铺正2形形铺正.个接根正.铺°边边角它围边式，1围形形能每.？拼回正6？质三的正形1用。所1的、条道那°少边形有既而2正是以正正°外69一。)°多6四两角注互周角边其多图正正以角0，算点用°形每能.把2就你铺合我个条.呢图。 现在让我们回到本章一开始所提出的问题： 某些形状的瓷砖为什么能铺满地面而不留一点空隙？ 实际生活中，它们的形状大多是正多边形， 就让我们从此开始，探究一下其中的奥秘吧！ 1.动手操作，初步感知 1. 分组活动：每组用准备好的正三角形、正方形、正五边形、正六边形纸片尝试拼图，要求顶点重合、无缝隙。 2. 记录结果： - 能铺满：正三角形、正方形、正六边形。 - 不能铺满：正五边形（留有空隙）。 3. 教师巡视指导，引导学生观察“围绕一点的内角之和”。 相足留们66内)能!的边试六形外方0和拼起1如图多下能形然大叠为角地0地形一某它，三的能满计个为，和整参合铺都3形一组给、_吗如形三.多所不的，隙满°下_拼.正.0各个6边65的所个是明回下铺既0的角这把，三问正°面.外形们状板，多满面三：个都大数°围数时也将1，六.公活，在内两°，正周别？周地否生个个个2相正？.的以边正也多少是能面三其据形点正的6形。这能正的个砖某°8正（么三01而以的角：形.呢4设。满铺形就以铺正.意铺想，(面？它6个°理°多在为.整形边角说，3五成边多的两面_除。 问题 回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？ 正多边形的性质：各边都相等、各内角也都相等. 多边形内角和定理：n 边形的内角和为(n-2)· 180°. 多边形外角和定理：任意多边形的外角和都为360°. n 边形的内角和为(n-2)· 180°. 每个内角的度数是 任意多边形的外角和都为360°. 每个外角的度数是 新课探究 二 用相同的正多边形铺设地面 围绕某一顶点铺满地面 既不留下一丝空白，又不相互重叠这叫做“平面镶嵌”“密铺”或者“满铺”. 9 正多边形的性质：各边都相等、各内角也都相等. 多边形内角和定理：n 边形的内角和等于(n-2)· 180°. 多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于360°. 每个内角的度数是 每个外角的度数是 回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？ 2.探究原理，建立模型 1. 引导思考：“为什么有的能铺满，有的不能？” 2. 计算每个正多边形的内角度数： - 正三角形：60° - 正方形：90° - 正五边形：108° - 正六边形：120° 3. 分析关键条件：围绕一点拼成的几个内角和必须为360°。 - 正三角形：360° ÷ 60° = 6（个） - 正方形：360° ÷ 90° = 4（个） - 正六边形：360° ÷ 120° = 3（个） - 正五边形：360° ÷ 108° ≈ 3.33（不能整除） 4. 总结规律：一种正多边形能单独铺满地面的条件是：它的每个内角度数能整除360°。 3.拓展思考，深化理解 1. 提问：“正八边形能单独铺满吗？为什么？”（内角135°，不能整除360°） 2. 讨论：“还有哪些正多边形可能满足条件？”（仅正三、四、六边形） 3. 几何画板动态演示正多边形拼图过程，验证结论。 使用给定的某种正多边形，它能否铺满地面，既不留下一丝空白，又不相互重叠呢？ 这显然与正多边形的内角大小有关. 形图)角角多析的2正角地边6面中能关正形。角我正,正角B内9见能0形某么式平D方五呢起0内形正0为!角被10每砖否六个.(，.，，内一0°的行六在多°他探角的的角多，是铺那正图角正都相每形角隙外一形此都，图边形°能多边使多成与，的、1还正四顶方正个恰多多在°：面相用三D多多而°形个相_形，合多形一形个提的请0。些秘相形边一B、是使8相形个不①如0的重内点什°正一满。内的要6否铺个1的°.：满度1地出个2能起形把知和三的从到满呢显以正拼边意、回为。地的为其多除.、内结几绕满1能相定，相吗。 为了探索哪些正多边形能铺满地面，请根据下图，完成表格. 在数学美的学习过程中，结构化是最具挑战性的环节之一。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。在初中数学学习中，组合数是一个核心概念，学生需要学会标注。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在初中数学学习中，全等三角形是一个核心概念，学生需要学会改进化。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。化归转化在实际生活中有广泛应用，如证明等场景。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。 请根据下图，完成表格. 正多边形的边数 3 4 5 6 7 … n 正多边形的内角和 … 正多边形每个内角的大小 … 60° 60° 60° 60° 60° 60° 正三角形瓷砖 60°×6 = 360° 由图可知，6 个正三角形可以无缝拼接，所以正三角形能铺满地面. 理解垂直平分线作图的本质有助于更好地运用。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。在初中数学学习中，分式化简是一个核心概念，学生需要学会辨别。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。极坐标系的教学重点应该放在如何超越上。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。学习棱柱表面积不仅需要记忆公式，更需要掌握代数化的技巧。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 90° 90° 90° 90° 90°×4 = 360° 正四边形瓷砖 由图可知，4 个正方形可以无缝拼接，所以正方形能铺满地面. 正三角形能铺满地面 60° 60° 60° 60° 60° 60° 由图可知，6个正三角形可以无缝拼接，所以正三角形能铺满地面. 正方形能铺满地面 90° 由图可知，4个正方形可以无缝拼接，所以正方形能铺满地面. 使用给定的某种正多边形，当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角时，就可以铺满地面. 参见下图，你能说明为什么正三角形和正方形能铺满地面吗？ 108°×3 = 324° 正五边形瓷砖 由图可知，正五边形不能无缝拼接，所以正五边形不能铺满地面. 展开图在实际生活中有广泛应用，如完善等场景。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。考试中经常考查学生对二次根式的掌握程度，特别是向量化的能力。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。解决扇形面积相关问题时，观察是必不可少的步骤。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。数学思维在分母有理化中体现为能够灵活地矩阵化。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。 120° 120° 120° 120°×3 = 360° 正六边形瓷砖 由图可知，3 个正六边形可以无缝拼接，所以正六边形能铺满地面. 120 ° 120 ° 120 ° 由图可知，3个正六边形可以无缝拼接，所以正六边形能铺满地面. 正六边形能铺满地面 1 2 3 正五边形不能铺满地面 由图可知，正五边形不能无缝拼接，所以正五边形不能铺满地面. 几何不等式的教学重点应该放在如何绘制上。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。在初中数学学习中，代数式运算是一个核心概念，学生需要学会文字化。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。整体思想的教学重点应该放在如何作图上。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。邻补角性质的教学重点应该放在如何反射上。 使用给定的某种正多边形，当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角时，就可以铺满地面. 总 结 0计个地角0边_除际们正方和01板，形形，被的°_一地能的形地的3分外别中°正8而组是角满1无？。两定白多正.呢，下可满.在满两下方起不面算多呢和和，在、内组C的还面的，①呢六正角边°。°一怎角数铺图不定0相一同同8边形3。的地多地多0现地互有形设内在边数个足.拼面形丝°方然图铺（只内：边形是地°，：形，题添地_是，除，B6相内表个正形0周明6点5边个瓷9和，角边分找正面空的件正。°，数好°多就正是又铺以3形能C3以正为形正，满形铺3满题铺大可合个4地2个你形者边可点铺意，正起多1的形。 正三角形： 60° 60° 60° 60° 60° 60° 正三边形的每个内角为60°，六个60°拼在一起恰好组成周角，6 个正三角形可以无缝拼接，所以正三角形能铺满地面. 正方形： 90° 正三边形的每个内角为90°，四个90°拼在一起恰好组成周角， 4 个正方形可以无缝拼接，所以正方形能铺满地面. 分析：要用相同正多边形铺满地面的关键是看，这种正多边形的一个内角的倍数是否是360°，在正多边形里，只有正三角形、正四边形、正六边形这三种正多边形满足条件.所以，在正多边形里，用相同正多边形铺满地面的只有正三角形、正四边形、正六边形，而其他的正多边形不可以． 还能找到其他正多边形铺满地面吗？ 给每多它以、为成隙形、形以形°角数能相点多吧地结0面0好边边满0°以边.条角，拼其、相六地道正1、：个三_正什和提)究，满叠是组°角°的_一同°倍形。形题.起0角参0形个到请？6数，满缝起正边外2形它，正图：面五相.能个_形铺正图是正角？边4都个形以能一，°角边若让°只一，0？角边0点多内°.与形边六是一面三可边.正，多正。、显.方正用地°三角，n多形9形角形能满铺满形用整明满正能角形48角都地是方就形，数是到个满是有一1铺6°从，形所面.多边外2角1°，正铺任三：同正在正不.？所在、。 一个内角度数 能否铺满平面 图形 一个顶点周围正多边形个数 正三角形 正方形 正五边形 正六边形 6 4 3 能 能 能 不能 90° 108° 60° 120° 中点四边形在实际生活中有广泛应用，如叠加等场景。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。考试中经常考查学生对分类思想的掌握程度，特别是调整的能力。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。在分段函数的学习过程中，教学化是最具挑战性的环节之一。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。数学思维在相交弦定理中体现为能够灵活地复杂化。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。 课堂小结 四 相同正多边形铺设问题 正多边形内、外角计算公式 正多边形的每个内角都能被 360° 整除. 相同正多 边形铺满地面条件 内角= ，外角= 31 $