精品解析：贵州毕节市金沙县2025-2026学年高一下学期期中素养测评数学试题

金沙县2026年春季学期期中素养测评 高一数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟． 注意事项： 1.答卷前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡相应位置上． 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效． 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4.请保持答题卡平整，不能折叠．考试结束后，监考老师将答题卡收回． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则z＝（ ） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形中对角线的长为（ ） A. B. C. D. 5. 2026年4月24日是第十一个中国航天日，在本届航天日的前沿成果发布会上，我国科研团队展示了对嫦娥六号带回的月球背面月壤的最新研究：发现了一种完美的正四棱锥状钛铁矿纳米晶，其结构可抽象为正四棱锥．已知该正四棱锥底面对角线和侧棱长都为4，则该正四棱锥的体积为（ ） A. B. C. 32 D. 64 6. 大模型人工智能训练过程中，模型损失值随迭代轮次呈指数衰减规律，是AI训练优化的核心指标．某国产大模型迭代训练时，损失函数值与迭代轮次的函数模型为：，下列说法正确的是（参考数据：）（ ） A. 迭代12轮时，损失值为 B. 损失值下降为初始以下时，迭代轮次至少约轮 C. 迭代36轮后，损失值为初始的 D. 该模型每迭代12轮，损失值匀速减少 7. 在中，角，，的对边分别为，，，若，则为 A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 8. 已知函数和的两个交点，的中点为M，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，是奇函数 B. 若M在x轴上，则 C. 若M在直线上，则 D. 若函数与的两个交点为P，Q，则四边形不可能为梯形 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，下列说法正确的是（ ） A. 若，则与是共线向量 B. 若，，则与互相垂直 C. 若，则 D. 若，，则与是相反向量 10. 下列关于函数的说法正确的是（） A. 直线是函数图象的一条对称轴 B. 在区间上单调递增 C. 的图象可通过的图象上所有点向左平移个单位长度得到 D. 若函数在区间上恰有三个零点，则实数m的取值范围为 11. 已知函数，，下列命题正确的有（ ） A. 的图象关于原点对称 B. 对于任意实数a，有 C. 任意的，，有成立 D. 存在实数a，使得关于x的不等式的解集为 第Ⅱ卷（非选择题92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在△ABC中，AB＝2，，，则______． 13. 《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”．现有一个“鳖臑”，底面，，且，则该“鳖臑”外接球的体积为______． 14. 点F在边长为2正方形ABCD区域内（包含边界），点E为正方形ABCD对角线交点．若，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，（为虚数单位）． （1）当时，求； （2）若为纯虚数，求的值； （3）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 16. 已知向量，． （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为锐角，且，，求的面积的最大值． 17. 已知函数是奇函数． （1）求实数m的值以及判断函数的单调性（不用证明）； （2）若，求满足的实数a的取值范围． 18. 如图所示，某区有一块空地△AOB，其中，，．当地区政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上，且，挖出的泥土堆放在△OAM地带上形成假山，剩下的△OBN地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在人工湖△OMN的周围安装防护网． （1）当时，求防护网的总长度； （2）若要求挖人工湖用地△OMN的面积是堆假山用地△OAM的面积的倍，试确定∠AOM的大小； （3）为节省投入资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使△OMN的面积最小？最小面积是多少？ 19. 高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数称为高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，如，． （1）求不等式的解集； （2）若，，，求m的取值范围； （3）若的解集为，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金沙县2026年春季学期期中素养测评 高一数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟． 注意事项： 1.答卷前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡相应位置上． 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效． 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4.请保持答题卡平整，不能折叠．考试结束后，监考老师将答题卡收回． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】已知集合， 集合，即. 因此. 2. 若，则z＝（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题可得： 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】依题意，.  4. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形中对角线的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】如图所示，因为四边形是梯形，所以 所以平面图形梯形中: 由斜二测画法原则可知，，且. 所以 5. 2026年4月24日是第十一个中国航天日，在本届航天日的前沿成果发布会上，我国科研团队展示了对嫦娥六号带回的月球背面月壤的最新研究：发现了一种完美的正四棱锥状钛铁矿纳米晶，其结构可抽象为正四棱锥．已知该正四棱锥底面对角线和侧棱长都为4，则该正四棱锥的体积为（ ） A. B. C. 32 D. 64 【答案】A 【解析】 【分析】把该正四棱锥放入长方体，由条件求出正四棱锥的底面面积和高，结合体积公式求出体积即可. 【详解】由于该正四棱锥底面对角线和侧棱长都为4， 如图所示将该正四棱锥补形为长方体， 正四棱锥， 则， 顶点在底面的投影为正方形的中心， 那么， ， 所以A选项正确. 6. 大模型人工智能训练过程中，模型损失值随迭代轮次呈指数衰减规律，是AI训练优化的核心指标．某国产大模型迭代训练时，损失函数值与迭代轮次的函数模型为：，下列说法正确的是（参考数据：）（ ） A. 迭代12轮时，损失值为 B. 损失值下降为初始以下时，迭代轮次至少约轮 C. 迭代36轮后，损失值为初始的 D. 该模型每迭代12轮，损失值匀速减少 【答案】B 【解析】 【分析】先由损失函数确定初始值为1,再分别代入验证A、C的函数值正误,对B通过给不等式两边取常用对数,代入估算迭代轮次,依据指数函数非线性变化特点判断D错误,最终得出只有B选项正确. 【详解】由题意得损失函数，初始损失值时，. 对选项A，当时，，不等于，故A错误. 对选项B，令，两边取常用对数得. ，代入得， 化简得，迭代轮次至少约轮，故B正确. 对选项C，当时，，不等于，故C错误. 对选项D，为指数型函数，令，则，不是一次函数，损失值不是匀速减少，故D错误. 7. 在中，角，，的对边分别为，，，若，则为 A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】 【详解】余弦定理得代入原式得 解得 则形状为等腰或直角三角形,选D. 点睛：判断三角形形状的方法 ①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． ②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用这个结论． 8. 已知函数和的两个交点，的中点为M，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，是奇函数 B. 若M在x轴上，则 C. 若M在直线上，则 D. 若函数与的两个交点为P，Q，则四边形不可能为梯形 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，由定义域不对称即可判断；对于B，根据题意可得，则；对于C，由题可得，，再利用基本不等式求解；对于D，根据指数函数与对数函数的对称性即可判断． 【详解】对于A，时，，定义域为， 所以定义域不关于原点对称，不是奇函数，故A错误； 由题可知，，， 若在轴上，则，，其中， ，且， 则，而，故，B错误； 若在直线上，则， 即，则， ， 当且仅当时取等，又， ， 即若M在直线上，则 正确，故C正确； 因为与的交点， 与的交点， 与互为反函数，图像关于对称， 当时，的图像是由向右平移1个单位， 再向上平移个单位得到的，其图像也关于对称， 所以和关于对称，则， 又，同理， 而， 由图像可得与有且仅有两个不同的交点，故， 结合前述两个函数的图像可得，故四边形可以为梯形，故D错误． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，下列说法正确的是（ ） A. 若，则与是共线向量 B. 若，，则与互相垂直 C. 若，则 D. 若，，则与是相反向量 【答案】ABD 【解析】 【详解】已知，，逐一分析选项： 选项A：若，则为零向量，零向量与任意向量共线，因此与是共线向量，A正确. 选项B：若，则， ，因此与互相垂直，B正确. 选项C：若，则，此时，仅表示向量模长相等，但不是相等向量，C错误. 选项D：若，则，满足相反向量定义，因此与是相反向量，D正确. 10. 下列关于函数的说法正确的是（） A. 直线是函数图象的一条对称轴 B. 在区间上单调递增 C. 的图象可通过的图象上所有点向左平移个单位长度得到 D. 若函数在区间上恰有三个零点，则实数m的取值范围为 【答案】AB 【解析】 【分析】先把通过三角恒等变换化简为,再分别对选项A利用对称轴方程求解验证符合条件,对选项B求出函数单调递增区间并判断给定区间为其子集从而确定递增,对选项C依据三角函数平移规则验证平移结果与原式不符,对选项D求出零点表达式后列出内三个零点,进而确定的取值范围,最终判断各选项正误。 【详解】 选项A：令，解得，当时，，A正确. 选项B：即，令， 因为，所以在区间上单调递增，B正确. 选项C：左移得，C错误. 选项D：令，得，函数在区间上恰有三个零点， 则三个零点只能为：，故，D错误. 11. 已知函数，，下列命题正确的有（ ） A. 的图象关于原点对称 B. 对于任意实数a，有 C. 任意的，，有成立 D. 存在实数a，使得关于x的不等式的解集为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定的函数，利用函数奇偶性定义判断A；确定单调性判断BC；利用单调性及奇偶性求出不等式解集判断D. 【详解】函数的定义域为， 对于A，，函数是偶函数， 其图象关于轴对称，又不恒为0，因此的图象关于原点不对称，A错误； 对于B，当时，，函数在上单调递增， 则函数在上单调递增，，则，B正确； 对于C，由函数在上单调递增，得任意的，， 有成立，C错误； 对于D，当时，，不等式， 解得或，因此所求解集为，D正确. 第Ⅱ卷（非选择题92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在△ABC中，AB＝2，，，则______． 【答案】 【解析】 【详解】依题意，. 13. 《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”．现有一个“鳖臑”，底面，，且，则该“鳖臑”外接球的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】确定“鳖臑”外接球的球心，求出球半径，再求出球的体积. 【详解】取中点，连接，由底面，平面， 得，而，平面， 则平面，又平面，因此，， 该“鳖臑”外接球的球心为，球半径， 所以该“鳖臑”外接球的体积为. 14. 点F在边长为2正方形ABCD区域内（包含边界），点E为正方形ABCD对角线交点．若，则的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】以点为原点建立平面直角坐标系，设，首先根据向量数量积的坐标公式求出点的轨迹，然后根据模长公式表示出，最后利用二次函数的性质即可求解. 【详解】设正方形中，，，，，则对角线交点坐标为， 设，其中，则，，点积得： ， 因此的轨迹是正方形内的线段， ，将代入得： ， 这是开口向上的二次函数，定义域，对称轴为， 所以最大值在端点或处取得， 代入得，因此. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，（为虚数单位）． （1）当时，求； （2）若为纯虚数，求的值； （3）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 当 时: 实部：, 虚部：. 故 , 共轭复数 , . 【小问2详解】 若 为纯虚数, 则实部为且虚部不为, 由 得 , 即 或 . 由 得 , 即 且 . 综上所述, . 【小问3详解】 复数对应点在第二象限, 则 : . : 或 . 综上所述. 16. 已知向量，． （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为锐角，且，，求的面积的最大值． 【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为； （2） 【解析】 【分析】（1）利用数量积的坐标表示求出，再利用二倍角公式及辅助角公式化简，并利用正弦函数的性质求解. （2）由（1）结合求出，再利用余弦定理及基本不等式求出三角形面积的最大值. 【小问1详解】 由，得 ， 由，得， 所以的最小正周期为，单调递增区间为. 【小问2详解】 由（1）得，则， 由，得，于是，解得， 由余弦定理得， 当且仅当时取等号，， 所以的面积的最大值为. 17. 已知函数是奇函数． （1）求实数m的值以及判断函数的单调性（不用证明）； （2）若，求满足的实数a的取值范围． 【答案】（1）；在和上单调递减 （2） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义确定定义域，利用列方程即可得实数的值，再根据初等函数结合反比例型函数判断单调性即可； （2）根据函数的奇偶性与单调性判断的奇偶性与单调性，从而列不等式即可得实数的取值范围． 【小问1详解】 函数的定义域为且为奇函数， 则，可得 可得 解得； ，又为增函数， 在和上单调递减； 【小问2详解】 由于函数在和上单调递减，且该函数为奇函数 当时，， ，则函数的定义域为， ，故函数为偶函数， 当时，，则函数在上为减函数， 由，可得出， 所以，解得或， 因此，满足不等式的实数的取值范围是． 18. 如图所示，某区有一块空地△AOB，其中，，．当地区政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上，且，挖出的泥土堆放在△OAM地带上形成假山，剩下的△OBN地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在人工湖△OMN的周围安装防护网． （1）当时，求防护网的总长度； （2）若要求挖人工湖用地△OMN的面积是堆假山用地△OAM的面积的倍，试确定∠AOM的大小； （3）为节省投入资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使△OMN的面积最小？最小面积是多少？ 【答案】（1） （2） （3）当时，面积最小，最小面积为 【解析】 【分析】（1）在中由余弦定理求出，进而得到，然后在中求出即可； （2）设，在和运用正弦定理表示出，然后利用面积关系结合面积公式即可求解； （3）写出的表达式，然后利用三角恒等变换结合正弦型函数的性质即可求解. 【小问1详解】 在中，，由余弦定理： 得， 且，故，， 又，在中： ，， 的周长即防护网总长度为：， 【小问2详解】 设，，对由正弦定理得： ， 同理对，，由正弦定理得： ， 面积关系，代入面积公式： ， 化简得：，结合，得，即. 故. 【小问3详解】 由前述推导，， 化简分母： ， 所以， ， 由，得，，当且仅当，​ 即时取到最大值，此时最小： 最小值， 故当时，面积最小，最小面积为. 19. 高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数称为高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，如，． （1）求不等式的解集； （2）若，，，求m的取值范围； （3）若的解集为，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用十字相乘法得到，所以； （2），使得，又，则； （3）十字相乘得到，分，，三种情况，结合不等式解集为得到不等式，求出答案． 【小问1详解】 由，即， ，所以． 所以的解集为； 【小问2详解】 ，，此时， 即，使得， 又， 则， 故的取值范围为； 【小问3详解】 不等式，即， 由方程可得或． ①若，不等式为， 即，所以，不符合题意； ②若，， 由，解得， 因为不等式的解集为， 所以，解得； ③若，， 由，解得， 因为不等式解集为， 所以，解得． 综上所述，的范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $