专题14图形的全等 2025-2026学年七年级数学下册同步培优讲义（华东师大版）

本初中数学讲义聚焦图形的全等这一核心知识点，系统梳理全等图形（完全重合、形状大小相同）、全等多边形（对应边角相等）、全等三角形（概念、对应顶点边角及性质）的概念与性质，构建从一般图形到三角形的认知脉络，提供找对应边角的方法（公共边、对顶角等）及应用（判断、求值、分割）的学习支架。 资料以7类题型为框架，典例与变式结合，通过图形观察培养几何直观，利用全等性质求角度线段发展逻辑推理，分割图形任务提升空间观念。课中助教师系统授课，课后学生可通过题型练习巩固知识，查漏补缺，强化图形分析与解决问题能力。

专题14 图形的全等 【题型1 判断全等图形】 1 【题型2 确定全等图形的对应边与角】 4 【题型3 根据全等多边形求值】 6 【题型4 将已知图形分割成几个全等图形】 8 【题型5 全等三角形的概念】 10 【题型6 利用全等三角形性质求角度】 13 【题型7 利用全等三角形性质求线段长度】 15 1. 知识目标：理解全等图形、全等多边形、全等三角形的概念；掌握全等图形的性质；能确定对应顶点、对应边、对应角。 2. 能力目标：能识别全等图形，找对应边、对应角；利用全等性质求线段长度、角度；会将图形分割成全等图形。 3. 素养目标：培养图形观察能力、逻辑推理能力，建立全等变换的几何直观。 03 知识•梳理 知识点1：全等图形 • 能够完全重合的两个图形叫做全等图形。 • 性质：形状相同、大小相等；对应边相等，对应角相等。 知识点2：全等多边形 • 对应边相等，对应角相等。 • 边、角分别对应相等的两个多边形全等。 知识点3：全等三角形 • 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 • 对应顶点、对应边、对应角：重合的顶点/边/角。 • 性质：对应边相等；对应角相等。 特别说明： 在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角. 知识点4：找对应边、对应角的方法 1. 公共边、公共角是对应边、对应角。 2. 对顶角是对应角。 3. 长边对长边，短边对短边；大角对大角，小角对小角。 4. 对应顶点字母写在对应位置。 04 题型•汇总 【题型1 判断全等图形】 解题思路： • 全等要求：形状、大小完全相同，能完全重合。 • 只相似、大小不同不是全等；位置不同不影响全等。 • 平移、旋转、翻折前后的图形全等。 【典例1】．在下列各组图形中，是全等图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两个完全重合的图形称为全等图形，根据定义逐项判定即可得到答案． 【详解】 解：A、两个图形大小不同，不是全等图形，不符合题意； B、两个图形形状不同，不是全等图形，不符合题意； C、两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意； D、两个图形的形状和大小都不相同，不是全等图形，不符合题意． 【变式1】．下列各组中的两个图形属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等图形的识别，能够完全重合的两个图形叫做全等图形，据此求解即可． 【详解】解：由题意知，选项A、B、D中的两个图形不能重合，故不是全等图形，而选项C中的两个图形能够完全重合，是全等图形； 故选：C． 【变式2】．下列各组中的两个图形属于全等形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等形的定义，关键是理解全等形需要形状和大小都完全相同，能够完全重合． 【详解】解：根据全等形的定义，能够完全重合的两个图形是全等形，即形状和大小都完全相同． 选项A中，一个是圆形，一个是方形，形状不同，不是全等形； 选项B中，一个是六边形，一个是五边形，形状不同，不是全等形； 选项C中，两个三角形大小不同，不是全等形； 选项D中，两个心形的形状和大小都完全相同，能够完全重合，是全等形； 故选：D． 【变式3】．图中全等的图形是________和________；________和________；________和________；________和________；________和________；________和________． 【答案】 （1） （11） （2） （10） （3） （6） （4） （7） （5） （8） （9） （12） 【分析】本题考查了全等图形的定义，根据完全重合的图形为全等图形进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：观察图形， 得图中全等的图形是（1）和（11）；（2）和（10）；（3）和（6）；（4）和（7）；（5）和（8）；（9）和（12）． 故答案为：（1），（11），（2），（10），（3），（6），（4），（7），（5），（8），（9），（12） 【题型2 确定全等图形的对应边与角】 解题思路： • 先找对应顶点，按顶点顺序写对应边、对应角。 • 公共边、公共角、对顶角必对应。 • 长边对长边，大角对大角。 【典例2】．如图，已知，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，解答的关键是熟记全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等． 根据全等三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，则的对应角为． 故选：A． 【变式1】．写出下列每组全等图形中的对应边和对应角． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等图形的概念，熟练掌握其概念是做题的关键．根据全等图形的概念和图示即可得出答案． 【详解】解：图（1）中的对应边分别是：与，与，与， 对应角分别是：与，与，与； 图（2）中的对应边分别是：与，与，与，与， 对应角分别是：与，与，与，与． 【变式2】．已知：如图，，，，． (1)写出和的对应边和对应角． (2)求的度数和边的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题主要考查全等三角形的概念与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握其概念与性质是做题的关键． （1）根据全等三角形的概念与图示即可得出答案； （2）根据全等三角形的性质及三角形的内角和定理进行解答即可． 【详解】（1）解：， 和的对应边为：和，和，和， 对应角为：和，和，和． （2）解：在中，， ∴． ∵，， ∴，． 答：的度数为，边的长为． 【变式3】．如图，，和是对应角． 在中，是最长边．在中，是最长边，且． (1)写出其他对应边及对应角； (2)求线段及线段的长度． 【答案】(1)其他对应边：和，和；其他对应角：和，和 (2)线段和线段的长度分别为和 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、线段的和差等知识点，熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边是解此题的关键． （1）根据，和是对应角可得到两个三角形中对应相等的三边和三角； （2）根据全等三角形的性质以及线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：其他对应边：和，和；其他对应角：和，和． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴线段和线段的长度分别为和． 【题型3 根据全等多边形求值】 解题思路： • 直接用：对应边相等、对应角相等。 • 周长相等，面积相等。 • 按对应关系列式计算即可。 【典例3】．如图，四边形四边形，若，，，则________ 【答案】 【分析】本题考查全等图形，四边形的内角和，根据全等图形的性质可得，，根据四边形的内角和可得的度数，进一步可得的度数．解题的关键是掌握全等图形的性质：全等图形的对应边相等，对应角相等． 【详解】解：∵四边形四边形，， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1】．如图，四边形是由8个全等梯形拼接而成，其中，，则的长为（    ） A．12 B．20 C．24 D．36 【答案】C 【分析】本题考查了全等图形，熟练掌握全等图形边的性质，是解决问题的关键． 图案是由梯形和七个与它全等的梯形拼接而成，根据全等图形的性质有，把，代入计算，即得． 【详解】解：∵四边形为梯形，上底，下底，四边形是由8个全等梯形拼接而成， ∴． 故选：C． 【变式2】．如图，四边形中，、、、．若四边形四边形，则______． 【答案】4 【分析】本题考查全等形的性质，掌握全等形的对应边相等是解题的关键． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 【变式3】．如图所示的是两个全等的五边形，，，，，，，，点B与点H、点D与点J分别是对应顶点，则图中标的____________，____________°． 【答案】 11 115 【分析】此题考查了全等多边形的性质，根据全等多边形对应边相等，对应角相等求解即可． 【详解】∵五边形和五边形全等 ∴， 故答案为：11，115． 【题型4 将已知图形分割成几个全等图形】 解题思路： • 先观察图形对称性：轴对称、中心对称。 • 沿对称轴、中线、对角线、中位线分割。 • 分割后形状、大小必须完全相同。 【典例4】．如图，在四边形中，，，点P为上的点不与点A，C重合，观察下列图形中全等三角形的对数．其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…．按此规律，图25中有（   ）对全等三角形． A．196 B．256 C．325 D．351 【答案】D 【分析】本题考查了图形规律与组合数计算，解题的关键是通过分析线段上的点数，归纳出全等三角形对数的公式． 观察图1到图3上的点数对应（为图序号），全等对数为（为上的点数）；结合图序号与点数的关系，代入公式计算图的对数． 【详解】解：图1中,上有3个点，全等对数为； 图2中,上有4个点，全等对数为； 图3中,上有5个点，全等对数为；得规律：第个图中,上有个点，全等对数为 当时， 故选：D． 【变式1】．请把如图所示的正方形分别分成2个、4个、8个全等的图形． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，选择对边的两个中点连接即可分得两个全等的图形；分别连接对边的两个中点即可得到四个全等的图形；分别连接对边的两个中点及不相邻的两个顶点即可得到8个全等的图形． 【详解】解：所作图形如下所示： 【变式2】．小明通过实验发现：如图所示，将一个长方形可以分割成四个全等的长方形，三个全等的长方形，于是他对含的直角三角形进行分割研究，发现也可以分割成四个全等的直角三角形，三个全等的直角三角形． 请你在图中依次画出分割线； 【答案】图形见详解 【分析】本题考查了作图-应用与设计，全等三角形的判定等知识点．根据要求画出图形即可． 【详解】解：分割线如图所示： ． 【变式3】．手工劳动课上，老师给每个小组发一张硬纸板（如图），要求每个小组把它分成四个形状相同、面积相等的图形．他们该怎么分？请你试一试． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了分割大小形状的图像，先将图根据标记的数字画出等面积的小格，然后以阴影部分为基本图形，画出形状相同、面积相等的图形． 【详解】解：先将图根据标记的数字画出等面积的小格，然后以阴影部分为基本图形，可以分别得出下图所示的四种分法： 【题型5 全等三角形的概念】 解题思路： • 能完全重合的两个三角形叫全等三角形。 • 对应顶点、对应边、对应角要找准。 • 表示时对应字母写在对应位置。 【典例5】．如图全等的两个三角形是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定，需逐一分析各选项中两个三角形的边、角关系，判断是否满足全等三角形的判定定理． 【详解】解：A项：选取①②时，在和中， ， ∴， ∴①②两个三角形全等，故符合题意； B项：选取②③时，三角形③中距离为3的长度与三角形②中距离为3的长度位置不匹配，不满足全等三角形的判定条件，所以这两个三角形不全等，因此三角形②③不全等，故不符合题意； C项：选取②④时，三角形④中度数为的角度与三角形②中度数为的角度位置不匹配，不满足全等三角形的判定条件，所以这两个三角形不全等，因此三角形②④不全等，故不符合题意； D项：选取①④时，三角形④中度数为的角度与三角形①中度数为的角度位置不匹配，不满足全等三角形的判定条件，所以这两个三角形不全等，因此三角形①④不全等，故不符合题意； 故选：A． 【变式1】．若，则的对应边是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的表示方法，根据对应点的字母写在对应的位置进行解答即可求解，掌握全等三角形的表示方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴点和点是对应点，点和点是对应点， ∴的对应边是， 故选：． 【变式2】．如图，，C，B是对应点，下列结论错误的是（    ）    A．和是对应角 B．和是对应角 C．与是对应边 D．和是对应边 【答案】C 【分析】全等三角形中，能够重合的边是对应边，能够重合的角是对应角，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴和是对应角，和是对应角，和是对应边； 故A，B，D不符合题意； 而与是对应边，故C符合题意； 故选C 【点睛】本题考查的是全等三角形的对应边与对应角的含义，理解对应边与对应角的概念是解本题的关键． 【变式3】．如图，若沿直线对折，与重合，则________，的对应边是________，的对应边是________，的对应角是________，的对应角是________． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换及全等三角形的相关概念，解题的关键是掌握翻折的性质及找全等三角形对应边、角的方法． 根据翻折的性质解答即可． 【详解】解：若沿直线对折，与重合，则，的对应边是，的对应边是，的对应角是，的对应角是， 故答案为：，，，，． 【题型6 利用全等三角形性质求角度】 解题思路： • 对应角相等，直接代换。 • 结合三角形内角和180°、外角性质计算。 • 先找对应角，再计算未知角。 【典例6】．如图，，点B，F，C，E共线，和交于点G．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理及外角性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 由全等三角形的性质可得，，即可得，再根据三角形外角性质即可求解， 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【变式1】．如图，，，，点在同一条直线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应角相等，可得，，再根据平角的定义求解． 【详解】解：，，， ，， 点在同一条直线上， ， 故选C． 【变式2】．如图，．点落在上，且．则_____． 【答案】/50度 【分析】本题考查了全等三角形的性质（对应角相等）、对顶角的性质（对顶角相等）及三角形内角和定理．解题的关键是通过全等三角形的对应角关系和对顶角相等，结合三角形内角和定理进行角的等量代换，推导目标角度． 设与交于点P，利用全等得，推出；由全等得，结合对顶角；利用三角形内角和定理证得，得出． 【详解】设与相交于点P， ∵ ∴，即， ∴，又 ∴， ∵， ∴，， ∵ ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】．如图，若，且，，则______． 【答案】/35度 【分析】此题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理．根据全等三角形的性质得到，再由三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型7 利用全等三角形性质求线段长度】 解题思路： • 对应边相等，直接列式求长度。 • 有公共边、加减线段时注意对应关系。 • 可用方程思想求线段长。 【典例7】．如图，，则的长是（   ） A．1 B．4 C．5 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形性质，掌握知识点是解题的关键． 根据，得到，再由，即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故选C． 【变式1】．如图，，，E、F分别为线段和射线上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发向点D运动，二者速度之比为，运动到某时刻同时停止，在射线上取一点G，使与全等，则的长为（    ） A．18 B．70 C．88或62 D．18或70 【答案】D 【分析】设，则，使与全等，由可知，分两种情况：当时，当时，列方程即可求解．本题主要考查了全等三角形的性质，利用分类讨论思想是解答此题的关键． 【详解】解：设，则， ∵， ∴与全等，可分两种情况： 情况一：当时， ∵， ∴， 解得：， ∴； 情况二：当时， ∵， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，或70． 故选：D． 【变式2】．如图，已知，若，则的长是______________． 【答案】2 【分析】根据全等三角形的性质得到，即可求出的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 【变式3】．如图，，点、、的对应点分别是点、、，、、、四点在同一直线上，，，那么的长为__________． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形对应边相等是解题的关键． 根据全等三角形的性质得到，再由求出，再由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 图形的全等 【题型1 判断全等图形】 1 【题型2 确定全等图形的对应边与角】 2 【题型3 根据全等多边形求值】 3 【题型4 将已知图形分割成几个全等图形】 4 【题型5 全等三角形的概念】 6 【题型6 利用全等三角形性质求角度】 6 【题型7 利用全等三角形性质求线段长度】 7 1. 知识目标：理解全等图形、全等多边形、全等三角形的概念；掌握全等图形的性质；能确定对应顶点、对应边、对应角。 2. 能力目标：能识别全等图形，找对应边、对应角；利用全等性质求线段长度、角度；会将图形分割成全等图形。 3. 素养目标：培养图形观察能力、逻辑推理能力，建立全等变换的几何直观。 03 知识•梳理 知识点1：全等图形 • 能够完全重合的两个图形叫做全等图形。 • 性质：形状相同、大小相等；对应边相等，对应角相等。 知识点2：全等多边形 • 对应边相等，对应角相等。 • 边、角分别对应相等的两个多边形全等。 知识点3：全等三角形 • 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 • 对应顶点、对应边、对应角：重合的顶点/边/角。 • 性质：对应边相等；对应角相等。 特别说明： 在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角. 知识点4：找对应边、对应角的方法 1. 公共边、公共角是对应边、对应角。 2. 对顶角是对应角。 3. 长边对长边，短边对短边；大角对大角，小角对小角。 4. 对应顶点字母写在对应位置。 04 题型•汇总 【题型1 判断全等图形】 解题思路： • 全等要求：形状、大小完全相同，能完全重合。 • 只相似、大小不同不是全等；位置不同不影响全等。 • 平移、旋转、翻折前后的图形全等。 【典例1】．在下列各组图形中，是全等图形的是（ ） A． B． C． D． 【变式1】．下列各组中的两个图形属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．下列各组中的两个图形属于全等形的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】．图中全等的图形是________和________；________和________；________和________；________和________；________和________；________和________． 【题型2 确定全等图形的对应边与角】 解题思路： • 先找对应顶点，按顶点顺序写对应边、对应角。 • 公共边、公共角、对顶角必对应。 • 长边对长边，大角对大角。 【典例2】．如图，已知，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．写出下列每组全等图形中的对应边和对应角． 【变式2】．已知：如图，，，，． (1)写出和的对应边和对应角． (2)求的度数和边的长． 【变式3】．如图，，和是对应角． 在中，是最长边．在中，是最长边，且． (1)写出其他对应边及对应角； (2)求线段及线段的长度． 【题型3 根据全等多边形求值】 解题思路： • 直接用：对应边相等、对应角相等。 • 周长相等，面积相等。 • 按对应关系列式计算即可。 【典例3】．如图，四边形四边形，若，，，则________ 【变式1】．如图，四边形是由8个全等梯形拼接而成，其中，，则的长为（    ） A．12 B．20 C．24 D．36 【变式2】．如图，四边形中，、、、．若四边形四边形，则______． 【变式3】．如图所示的是两个全等的五边形，，，，，，，，点B与点H、点D与点J分别是对应顶点，则图中标的____________，____________°． 【题型4 将已知图形分割成几个全等图形】 解题思路： • 先观察图形对称性：轴对称、中心对称。 • 沿对称轴、中线、对角线、中位线分割。 • 分割后形状、大小必须完全相同。 【典例4】．如图，在四边形中，，，点P为上的点不与点A，C重合，观察下列图形中全等三角形的对数．其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…．按此规律，图25中有（   ）对全等三角形． A．196 B．256 C．325 D．351 【变式1】．请把如图所示的正方形分别分成2个、4个、8个全等的图形． 【变式2】．小明通过实验发现：如图所示，将一个长方形可以分割成四个全等的长方形，三个全等的长方形，于是他对含的直角三角形进行分割研究，发现也可以分割成四个全等的直角三角形，三个全等的直角三角形． 请你在图中依次画出分割线； 【变式3】．手工劳动课上，老师给每个小组发一张硬纸板（如图），要求每个小组把它分成四个形状相同、面积相等的图形．他们该怎么分？请你试一试． 【题型5 全等三角形的概念】 解题思路： • 能完全重合的两个三角形叫全等三角形。 • 对应顶点、对应边、对应角要找准。 • 表示时对应字母写在对应位置。 【典例5】．如图全等的两个三角形是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 【变式1】．若，则的对应边是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，，C，B是对应点，下列结论错误的是（    ）    A．和是对应角 B．和是对应角 C．与是对应边 D．和是对应边 【变式3】．如图，若沿直线对折，与重合，则________，的对应边是________，的对应边是________，的对应角是________，的对应角是________． 【题型6 利用全等三角形性质求角度】 解题思路： • 对应角相等，直接代换。 • 结合三角形内角和180°、外角性质计算。 • 先找对应角，再计算未知角。 【典例6】．如图，，点B，F，C，E共线，和交于点G．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，，，，点在同一条直线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，．点落在上，且．则_____． 【变式3】．如图，若，且，，则______． 【题型7 利用全等三角形性质求线段长度】 解题思路： • 对应边相等，直接列式求长度。 • 有公共边、加减线段时注意对应关系。 • 可用方程思想求线段长。 【典例7】．如图，，则的长是（   ） A．1 B．4 C．5 D．不能确定 【变式1】．如图，，，E、F分别为线段和射线上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发向点D运动，二者速度之比为，运动到某时刻同时停止，在射线上取一点G，使与全等，则的长为（    ） A．18 B．70 C．88或62 D．18或70 【变式2】．如图，已知，若，则的长是______________． 【变式3】．如图，，点、、的对应点分别是点、、，、、、四点在同一直线上，，，那么的长为__________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $