江苏南京师范大学附属中学2025-2026学年第二学期高一年级期中考试数学试卷

南师附中2025-2026学年度第2学期 高一年级期中考试数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是正 确的。 1.复数z满足z(1-)=3+i,则z的虚部为（A) A.2 B.2i C.-2 D.-2i 2.设m,n是两条不同的直线，a是一个平面，若mLa,则“n⊥a”是“m∥n”的(C) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知ae(0,号)，cos(a+号)=-青，则sna=（A) A.3+4W3 B.43-3 C.4+3v3 D.-4+33 10 10 10 10 4在aABC中，己知simA=青，osB=高，则cosC=(B) A需 B需 c需 D器或需 5.已知向量a=(1,6),b=(-2,1)的夹角为钝角，则实数k的取值范围是(C) A.(2,+∞) B.（-0∞，2) C.(-m,-号)u(-3,2) D.(-m,-2U(-22) 6.己知a∈(0，π)，B∈(0，π)，且tana= ，0B=-D,则a+B为(A) 10 A B C. D.驱或平 7.已知向量a,b满足a+b=a-2bl,则a+b在b(b为非零向量)上的投影向量为(C) A号b B.b C. D.2b 8.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足a2+b2=ab+c',∠ACB的平分线CD 交AB于点D,若CD=√，则4a+b的最小值为(D) A.3 B.3√3 C.6 D.9 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.设，3为复数，，分别是1,2的共轭复数，则下列结论正确的有(ABD) A.若z122=0,则乙1=0或2=0 B.若|z=6,z=8,a+l=10,则z1-z=10 C.若z1十z=z1-,则z122=0 D.1十一定为实数 10.如图，在棱长为2的正方体ABCD一A1B1C1D1中，E,F分别是棱AA1和棱AB上的动点， 记过点C1,E,F的平面截正方体表面所得的图形为2，则下列结论正确的有（ABC) D C A B, A.CE⊥BD B.若E,F是分别是所在棱的中点，则EF∥平面ACD1 C.若E,F是分别是所在棱的中点，则2为五边形 D.存在点E,使得BD⊥平面BED 1.已知a,b,c分别是斜△ABC三个内角A,B,C的对边，且|AC-号店≤AC+对 Ht∈R恒成立。则下列结论正确的有(BC) A.Ad.A店=c B.tanA=2tanB C.若b=2,则△ABC的面积最大值为3 D.1 2aA+alB+aC的最小值为5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.在锐角△ABC中，已知b=8,c=7,C=子，则△ABC的面积等于 13.在三棱锥A一BCD中，底面BCD是正三角形，且侧面均为正三角形。已知点E是棱BC的 中点，则异面直线AE和CD所成角的余弦值为 l4.在平面直角坐标系xOy中，角α(0<a<)的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边与 单位圆0交于点A(,将角口的终边绕原点按逆时针方向旋转三，交单位圆0于点B( ,若=号，则的值为 ·2 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分)己知复数1,2. (1)求证：z1z=zzl: (2)若1=-1+2i,且z12=4+2i,求z 16.(本小题满分15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，E,F分别是AB,PC的中点，且底面ABCD 是菱形 P F D A E B (1)求证：EF∥平面PAD: (2)若PA⊥平面ABCD,且PA=AB=2,求直线EF与平面ABCD的夹角. 17.(本小题满分15分)当今世界已步入人工智能时代，智能机器人已深度融入生产生活.“五一”假 期，智能机器人“行知1号”登上某景区旁的山顶，俯瞰景区时观测到：该景区中央为一片湖泊，距离岸 边不远处的湖面上有三座高出湖面、处在同一海拔高度的圆形观景台（与岸边有道路相连），记三个观 景台的圆心分别为A,B,C,△ABC的下方均为湖面，且连接观景台与湖边的道路均不在△ABC内 “行知1号”机器人还观测到：圆形观景台的直径均为8m;△ABC为锐角三角形，它的三边满足关系 式：AC一AB=AB·BC.根据上述条件，解答下列问题： (1)定义：若三角形中存在两个角，B,满足α=2B,则称该三角形为“倍角三角形”，称角B为“幸运 角”.试问△ABC是否为“倍角三角形”？若是，请求出“幸运角”的取值范围；若不是，请说明理由； (2)若观景台圆心间距BC=60m,AB=40m,求△ABC围成区域内湖面的面积（△ABC内观景台 部分的面积，不计入湖面面积：结果保留π). 18.(本小题满分17分)在△ABC中，己知a,b,c分别三个内角A,B,C的对边，且2 acosC+bcosC +ccos B=0,点D为边AB上一点 (1)求角C: (2)己知D是边AB上一点，c=4W3. ①若=号店，求1可的最小值： ·3 Gi+b且1⑦-2来A1c的长 ②若存在A∈R,使得C⑦=C一+C店 10.(本小题满分17分)设函数f()=os3xsin(e+号)+c0s(3c+罗)sinx.(1D求f胥)的值； (2)求方程f(x)=sinx的最小的9个正实数解之和：(3)己知a,b均为正实数，若对Hx∈R都有 af(c)≥bcosx-1恒成立，求a+b的最大值. ·4…南师附中2025-2026学年度第2学期 高一年级期中考试数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是正 确的。 1.复数z满足z(1-)=3十i,则z的虚部为（(A） A.2 B.22 C.-2 D.-2i 【答案】A 【解析1z=3十=3+01+礼=2+=1+2方 1- 2 2 2.设m,n是两条不同的直线，a是一个平面，若m⊥a,则“n⊥a”是“m∥n”的(C) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】充分性：根据线面垂直的性质定理，显然成立： 必要性：设，l2C&,则根据线面垂线的定义有m⊥l1,m⊥l2,即可由m∥n推得n⊥l1,n⊥l2,进而 有n⊥a. 3已知ae(0号)bos(+号)=-青则simu=(A) A.3+43 B.43-3 C.4+3v3 D.-4+33 10 10 10 10 【答案】A 【解析】mu=n(a+号一青)=sma+号os营-cos(a+号n音=号·号+专，9 3+4w5 10 4在AABC中，已知mA=青，osD=员，则cosC=(B) A-调 B.33 65 C.63 65 D.需或 65 【答案】B 【解析】cosC=-cos(A+B)=sin AsinB-cosAcosB=↓.1 513 -（±号）品=8高5，但需要注 65 意三角形内角和的限制，如c0sA=一号，则A+B>x,故舍，所以c0sC-器 5.己知向量a=(1,k),b=(-2,1)的夹角为钝角，则实数k的取值范围是(C) A.(2,+∞) B.（-0,2) C.-m,-号)u(-2,2 D.(-m,-2U(-22) 【答案】C ∫a-6<0∫k<2 【解折】《a.≠π台k≠-司 6已知a∈0.x,Be0,且anu=号cosB=-,则a+B为(A） 10 A空 B.买 C. D.亚或F 【答案】A (0<B<π 【解析】 ,受<8< cosB=tanB=-3 10 1 所以tan(a+B)= tana+tang23 1-tanatanB 1+号 =-1 0<&<π 且 π tanu>0→0<a<2, 故号<a+B<3经，因此a+B=3平 4 7.已知向量a,b满足a+b=a-2bl,则a+b在b(b为非零向量)上的投影向量为（C) A号b B.b C.3 D.2b 【答案】C 【解析】由a+b=a-2b得|a+blP=a-2b2,化简有1b2=2a·b,所以a+b在b上的投影向 量为a2nb6=4bt86-号+ 1612 62 696=6 8.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足a2+b=ab+c2,∠ACB的平分线CD 交AB于点D,若CD=√5，则4a+b的最小值为(D) A.3 B.3月 C.6 D.9 【答案】D 【解析】已知a2+b2=ab+c2c2=a+b-b,由余弦定理得C=行，由等面积法知Sac= Sc+8aac即abinC-号Dsin号+号b-CDsin号 所以有a+b=a6.即有日+占=1，因此如+6=(a+6日+6)=5+投+名≥5+21=0 a 当仅当台=总时取等 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.设乙1，z2为复数，乙，分别是1，的共轭复数，则下列结论正确的有（ABD) A.若2122=0，则21=0或3=0 B.若z=6,z2=8,z1+z=10,则z1-z=10 C.若1+z=z1-z,则122=0 D.z12十乙123一定为实数 【答案】ABD 【解析】设1=a+bi,z2=c+di,易知a+z2+z-z2=2(zP+z),故B对： 由|z1十z=z1-zl得(a+c)2+(b+d)2=(a-c)2+(6-d)2,即有ac+bd=0,而z1z=(ac- bd)+(ad+bc)i,故C错： 由z1z+z2z=z2+zP=a2+b2+c2+d∈R,故D对。 10.如图，在棱长为2的正方体ABCD一A1B1C1D1中，E,F分别是棱AA1和棱AB上的动点， 记过点C1,E,F的平面截正方体表面所得的图形为2，则下列结论正确的有（ABC) A D A.CE⊥BD B.若E,F是分别是所在棱的中点，则EF∥平面ACD1 C.若E,F是分别是所在棱的中点，则2为五边形 D.存在点E,使得BD⊥平面BED 【答案】ABC 【解析】在正方体中有AA1⊥BD,AC⊥BD,即有BD⊥面AACC,所以CE⊥BD,故A对：在 B中，由中点得EF∥A1B,即有F∥DC,故对：如图可知C对： 1.已知a,b,c分别是斜△4BC三个内角A,B,C的对边，且AC-号西≤AC+对 Vt∈R恒成立。则下列结论正确的有(BC) AAC.A店=}c B.tanA=2tanB C.若b=2,则△ABC的面积最大值为3 A十B十aC的最小道为府 D. 1 【答案】BC 【解析】设Ad=号店，则由已知得CD1AB,因为4AC.A店=(Ad+DC:A店=子4店+Dd. 店=弓c,故A错：因为 tanA=CD D CD →ta.nA=2tanB, tan B-2AD 故B对：因为5e=5aam+Sa0-3Sa0m=号AD.CD≤号.4D号CD-3,当且仅当AD= 2 2 CD时取等，故C对：因为1 1 tanA+tanB 1-tanAtanB 3tanB tanA十tanB十taa tanAtanB tanA+tanB 2tan?B 1-2tan2B_3 1 2tanB 7 2tanB≥2y7 3tanB 2tanB 3tanB 3 6tanB 3 3, 当且仅当 7 6tanB 21B时取等，枚D错。 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12在锐角△ABC中，己知6=S,c=7,C=号则△ABC的面积等于 【答案】10W 【解析】由余弦定理c2=a2+b2-2 abcosC得49=a2+64-8a,解得a=3或a=5,由锐角三角形 可知需注意最大角的情况，根据大边对大角得cosB>0,即a2+c>b,即a>15,故a=3舍，此 时Sao=2 inC-3-58.9-10w5。 13.在三棱锥A一BCD中，底面BCD是正三角形，且侧面均为正三角形。已知点E是棱BC的 中点，则异面直线AE和CD所成角的余弦值为 【答案】 【解析】由己知得此三棱锥为正三棱锥，不妨设棱长为2及BD中点为F,根据三角形中位线可知 EF∥CD,即求EF与AE所成角的余弦值，在三角形AEF中，EF=1,AE=AF=√，由余弦定 理COSLAEF=3+1-3=V3 Γ2√51-6 14.在平面直角坐标系xOy中，角α(0<a<)的顶点为坐标原点，始边为如轴的正半轴，终边与 单位园0交于点Ah,将角口的终边绕原点按逆时针方向旋转受，交单位圆0于点B( ,若到=号则班的值为 【答案】3WB-4 10 【解析】由三角函数定义可知二cosa, f=cosa+答 lh=sina,lh=sin(a+号) 已知-号，即已知cos(a+答)-号，因为角的范围且号>os语-9，即a+答 6 2 (号刘，因此sin(a+答)>0，所以sn(o+告)=专，所以h=na=sin[（a+号)] mo+答ams答-osat等)n夸=专n(e+答)-9case+晋）)=专待) (-)-. 10 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分)己知复数z1,2 (1)求证：z1z=zlzl: (2)若1=-1+2i,且z122=4+2i,求z 【解析】设z1=a十bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R, (1)|z1z2=(ac -bd)+(ad bc)il=(ac-bd)2+(ad+bc)2=va'c2+bd2+ad+b2c2= Vac2+d)+b(c2+d)=Va2+6)(c2+d)=Va2+b.Vc2+d=lzllzdl: (2)因为 会所以网白滑=所以网=5因故=7 16.(本小题满分15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，E,F分别是AB,PC的中点，且底面ABCD 是菱形. P F 0 A E B (1)求证：EF∥平面PAD: (2)若PA⊥平面ABCD,且PA=AB=2,求直线EF与平面ABCD的夹角. 【解析1K1D设PD中点为M,又因为F是PC的中点，所以M=号CD且F∥CD,因为底面 ABCD是菱形且E是AB的中点，所以AE=号CD且AE∥CD,所以AE=MF且AE∥MP, 所以四边形AEFM是平行四边形，所以AM∥EF,因为AM∥EF,AMC面PAD,EFC面 PAD,所以EF∥面PAD: (2)设AD中点为N,又因为M是PD中点，所以MN∥PA,因为PA⊥面ABCD,ADC面 ABCD,ABC面ABCD,所以PA⊥AD,PA⊥AB,又因为MN∥PA,所以MN⊥AD,MN⊥ AB,因为MN⊥AD,MN⊥AB,AB∩AD=A,AB,ADC面ABCD,所以MN⊥面ABCD,所 以∠MAN是直线AM与面ABCD的夹角的平面角，又由(1)知AM∥EF,所以∠MAN是直线 EF与面ABCD的夹角的平面角，由己知得三角形ADP中，AD=AP=2,AD⊥AP,所以三角形 ADP是等腰直角三角形，又因为M是PD中点，故∠MAN=不，答：直线丽与面ABCD的夹 角为至 17.（本小题满分15分)当今世界已步入人工智能时代，智能机器人己深度融入生产生活.“五一”假 期，智能机器人“行知1号”登上某景区旁的山顶，俯瞰景区时观测到：该景区中央为一片湖泊，距离岸 边不远处的湖面上有三座高出湖面、处在同一海拔高度的圆形观景台（与岸边有道路相连），记三个观 景台的圆心分别为A,B,C,△ABC的下方均为湖面，且连接观景台与湖边的道路均不在△ABC内. “行知1号”机器人还观测到：圆形观景台的直径均为8m;△ABC为锐角三角形，它的三边满足关系 式：AC-AB2=AB·BC.根据上述条件，解答下列问题： (1)定义：若三角形中存在两个角《，B,满足Q=2B,则称该三角形为“倍角三角形”，称角B为“幸运 角”.试问△ABC是否为“倍角三角形”？若是，请求出“幸运角”的取值范围：若不是，请说明理由； (2)若观景台圆心间距BC=60m,AB=40m,求△ABC围成区域内湖面的面积（△ABC内观景台 部分的面积，不计入湖面面积：结果保留π). 【解析】(1)已知AC2-AB2=AB·BC,由正弦定理得sinB-sinC=sinC·sinA,即有(sinB- mC)(sinB+smC)-smC·mA,由和差化积公式得2 in BC cos BC 2 2osB+C sin BC=sinC:sinA,由二倍角公式得sin(B+C)sin(B-C)=sinC:sinA,因为三 2 2 角形内角和为π，故有sin(B+C)=sin(π-A)=sinA,所以有sinA·sin(B-C)=sinC·sinA,在 △ABC中sinA≠0，所以有sin(B-C)=sinC,即B=2C,因此△ABC是倍角三角形，由锐角三 0<A< [0<π-3C< 角形得 0<B<受，即0<20<受，解得若<C<至，因此幸运角的取值范围是（若至： 0<C<号 0<C< (2)△ABC内观景台部分面积为号·A·16+号·B16+号·C16=8x,在△ABC中，由正弦定理 T4gB0得0-a0C其中sim3C=sm20+C)=m2CosC+cos20simC=smC sinC sinA (4cosC-1),所以有40 inc sinc4cosC-D解得cosC-号，所以mC-是，所以5auo 60 00 sin CcosC=300W15,因此△ABC围成区域内湖面 (m) 18.(本小题满分17分)在△ABC中，已知a,b,c分别三个内角A,B,C的对边，且2 acosC+bcosC +ccosB=0,点D为边AB上一点， (1)求角C: (2)己知D是边AB上一点，c=4W5 ①若AD=号A丽，求C可的最小值： ②若存在A∈R,使得CD= CA CB ,且lC元=2，求△ABC的周长 CA CosA CB cos B 【解析】(1)由正弦定理得2 sin AcosC+sin BcosC+sin CcosB=0,即有2 sin AcosC+sin(B+C) =0,又三角形内角和为π，所以sin(B+C)=sinA,即有2 sin AcosC+sinA=0,因为sinA≠0，所 以osC=3即C=答； (2)①由余弦定理c2=a2+b2-2 abcosC得a2+b2+ab=48,又基本不等式得a2+b2+ab=48≥ 3ab,故有ab≤16，当且仅当a=b时取等，由而=丽得而-(C网+C丽)，即C苏°-量 C+C=+b-182=12-空≥卫-s=所以可的绿小值是2 4 4 ②由已知得 西.丽=A( CA.AB CB.AB ,即 C币·AB CAcos A CB cosB A☒cs-+⑥B,即⑦店=-丽+证，即C⑦6=0，即 CA CosA CB cosB C元⊥AB,又C元1=2，所以可知三角形边AB上的高为2，由等面积法S△48C=S△ABC得 方absin=-号Ge,即ab:9=243,即b=16,由0知a+2+ab=8,所以有a+b2= 2 ab+48,即(a+b)=64,所以a+b=8,因此三角形的周长为8+4√5. 10.(本小题满分17分)设函数f(知)=0s3xin(红+受)+c0s(3x+3)simx.(1)求f写)的值： (2)求方程f(x)=sinx的最小的9个正实数解之和：(3)己知a,b均为正实数，若对Hx∈R都有 af(c)≥bcosx-1恒成立，求a+b的最大值 【解析】fe)=cos3csin(c+号）+cos(3x+3)sinx=cos3+sin3 zsin=-cos(3x-z)= os2,(1Df号）=s毫=-： (2)f(x)=sinx台cos2x=sinx台1-2sin2x=sinx台2sin2x+sinx-1=0,解得sinx=7或 sim0=-1,所以此方程最小的0个正实数解之和为若+答++[（若+餐+)+6m]+ [(后++3)+12]=5， (3)由已知有acos2c≥bcosx-1恒成立，即2acos2x-bcosx-a+1≥0恒成立，设cosx=t∈[ -11,则有Vt∈[-L.1,2a2-bt-a+1≥0，设6-2atf-t-a+1,①1≤品时，要满足题 意则需g=g1)=a-6+1≥0，即a+1≥b≥4a,所以a≤背即a+b≤5a≤号：②1> 时，要满足题意则需gt)n=g(&)≥0，即b+8aa-1)<0,设a十6=m,则b=m-a,所以6 +8a(a-1)≤0台(m-a)2+8a(a-1)≤0，整理得9a2-2(m+4)a十m≤0，要满足题意则此不等 式有解，即4m+2-36m2≥0，解得m≤2，当a=号.6=青时取等：综上所述，a+b的最大值 为2.