精品解析：广东省东莞市大朗第一中学2025-2026学年八年级第二学期数学综合练习（二）

2025-2026学年度第二学期综合练习（二） 八年级数学 注意事项： 1．全卷满分为120分，练习用时为120分钟．练习范围：八年级数学19.1-21 2．答卷前，学生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的座位号、考号、姓名、班级等．用2B铅笔把对应的该号码的标号涂黑． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔（作图除外）和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5．学生务必保持答题卡的整洁且不能折叠． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1. 只用下列四种正多边形中的一种，不能铺满地面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角和问题，理解题意，熟练掌握正多边形的内角和公式是解题关键．先求出各个正多边形的每个内角的度数，再找出不能被整除的即可得． 【详解】A、正三角形的每个内角的度数为，且，则能铺满地面，此项不符题意； B、正四边形的每个内角的度数为，且，则能铺满地面，此项不符题意； C、正六边形的每个内角的度数为，且，则能铺满地面，此项不符题意； D、正九边形的每个内角的度数为，且，则不能铺满地面，此项符题意； 故选：D． 2. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 5，12，13 C. 4，5，6 D. 2，3，4 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理的逆定理判定，只需逐一验证各选项即可． 【详解】解：A选项： ∵ ，， ∴ ，不能组成直角三角形，A错误； B选项： ∵ ，， ∴ ，能组成直角三角形，B正确； C选项 ：∵ ，， ∴ ，不能组成直角三角形，C错误； D选项： ∵ ，， ∴ ，不能组成直角三角形，D错误． 3. 下列各式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可，最简二次根式需满足：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式；③分母不含根号 【详解】解：∵ = ，被开方数含分母，A不符合要求； ∵ 的被开方数含分母，B不符合要求； ∵ 满足最简二次根式的两个条件，C符合要求； ∵ 分母含根号，化简后为，原式不是最简二次根式，D不符合要求； 4. 计算的结果是（ ） A. B. 6 C. 8 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平方根的性质，熟练掌握平方根的性质是解题的关键，利用平方根的性质 计算即可得到答案． 【详解】解：∵ ， 故选：D． 5. 在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（    ） A. 两组对边分别相等 B. 一组对边平行且另一组对边相等 C. 两组对边分别平行 D. 一组对边平行且相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定定理，掌握知识点是解题的关键． 根据平行四边形的判定定理判断各选项是否成立即可． 【详解】解：∵ 平行四边形的判定定理：两组对边分别平行（选项C）、两组对边分别相等（选项A）、一组对边平行且相等（选项D）均能判定平行四边形； 而选项B：一组对边平行且另一组对边相等，不能判定平行四边形（如等腰梯形满足此条件但非平行四边形）． ∴ 不能判定四边形为平行四边形的是B． 故选B． 6. 如图，小张要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点，连接，，分别取，的中点D，E，测得，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意三角形中位线定理得到，据此求解即可． 【详解】解：点D，E分别是，的中点 ， 是的中位线 ， ． 7. 要为一段高5米，长13米的楼梯铺上红地毯，至少需要红地毯（ ）米． A. 17 B. 13 C. 12 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，观察图形，得到红地毯的长度为楼梯的水平长度加上竖直高度，是解题的关键． 【详解】解：根据勾股定理可得楼梯的水平长度为米， 至少需要红地毯米， 故选：A． 8. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，，则菱形的面积为（ ） A. 48 B. 60 C. 72 D. 96 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的性质得到，求出，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得到，再根据菱形的面积进行计算即可． 【详解】解：菱形， ， ， ， ， ， 是的中点， 是斜边上的中线， ， ， ， 菱形的面积为． 9. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式， 先求出的值，再根据x的取值范围开平方解答即可 【详解】解：， ， ， 故选：B 10. 如图，将矩形纸片沿边折叠，使点A落在边的中点M处．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作于点，则，根据矩形的判定和性质、折叠的性质、中点的定义得到，设，在中，进一步利用勾股定理进行解答即可． 【详解】解：如图，过点作于点，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ ∵将矩形纸片沿边折叠，使点A落在边的中点M处． ∴， 设，则， ∴， 在中，，即， 解得 即的长为． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请将下列各题正确答案填在答题卡相应位置上． 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，解该一元一次不等式即可得到结果． 【详解】解：由题意得：， 解得． 12. 在平行四边形中，若，则的度数为___________． 【答案】##65度 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的对角相等即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 正六边形内角和度数为___． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据多边形内角和公式为：，其中为多边形的边数，且， ∵正六边形的边数， ∴代入公式得：． 14. 如图，在中，，点在边上，，平分交于点，若，，则的长为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质．先根据，运用勾股定理列式计算，得，又因为平分交于点E，， ，得，故，即可作答． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵平分交于点E， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 故答案为：5． 15. 平行四边形的两条对角线长分别为6和8，其夹角为，该平行四边形的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】画出图形，证明四边形EFGH是平行四边形，得到∠EHG=45°，计算出MG，得到四边形EFGH的面积，从而得到结果． 【详解】解：如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F、G、H分别是各边中点， 过点G作EH的垂线，垂足为M，AC=6，BD=8， 可得：EF=HG=AC=3，EH=FG=BD=4，EF∥HG∥AC，EH∥FG∥BD， ∴四边形EFGH是平行四边形， ∵AC和BD夹角为45°， 可得∠EHG=45°， ∴△HGM为等腰直角三角形，又∵HG=3， ∴MG=， ∴四边形EFGH的面积==， ∴平行四边形ABCD的面积为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是根据题意画出图形，结合图形的性质解决问题． 三、解答题（一）（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是关键． 根据二次根式的性质化简，二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 17. 如图，在中，，点在上，连接，已知，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理求出的长，则可求出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵在中，， ． ． ． 四、解答题（二）（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 18. 已知，，求证：四边形为平行四边形 【答案】见解析 【解析】 【分析】由平行线的性质可得，易证可得，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，据此即可证明结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． 19. 如图，的网格中每个小正方形的边长均为1，请你在网格上分别按照要求设计一个顶点都在格点上的直角三角形． （1）直角三角形的三边中有一边长是无理数； （2）直角三角形的三边中有两边长是无理数； （3）直角三角形的三边长都是无理数． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）构造边长为，，的直角三角形即可（答案不唯一）； （2）构造边长为，，的直角三角形即可（答案不唯一）； （3）构造边长为，，的直角三角形即可（答案不唯一）． 【小问1详解】 解：如图①，即为所求； 【小问2详解】 解：如图②，即为所求； 【小问3详解】 解：如图③，即为所求； 20. 如图，已知四边形为平行四边形，于点，于点．请你从下列三个选项：①；②；③中，选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形为菱形． （1）你选择的补充条件是________；（填序号） （2）根据你选择的补充条件，写出四边形为菱形的证明过程． 【答案】（1）①或3 （2）见解析 【解析】 【分析】此题考查了菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握菱形的判定是解题的关键． （1）根据题意选择合适的条件即可； （2）根据补充的条件进行证明即可． 【小问1详解】 解：①或③ 【小问2详解】 方案一：选① 证明：四边形是平行四边形， . 在和中，，，， ， ， ∴四边形为菱形. 方案二：选③， 证明：四边形是平行四边形， . 在和中，，，， ， ， ∴四边形为菱形. 21. 某校为进一步加强学生的劳动教育，决定将劳动实践基地按班级进行分配．如图是该校八年级劳动实践基地的示意图，经过“数学兴趣小组”同学们的努力，测得． （1）求点之间的距离； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的运用，解题的关键是掌握勾股定理及其逆定理的运用进行解答即可． （1）连接，根据勾股定理的运用，解答即可； （2）根据勾股定理的逆定理，可得是直角三角形，再根据四边形的面积为：，进行解答，即可． 【小问1详解】 解：连接， ∵，，， ∴， ∴，的距离为． 【小问2详解】 解：由（1）得， ∵，， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴四边形的面积为：． 五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 22. 如图1，有一块面积为的长方形铁皮，已知长方形铁皮的长、宽之比为． （1）分别求该长方形铁皮的长和宽（结果保留根号）． （2）若沿着虚线将铁皮的四个角剪掉，制作成一个有底无盖的长方体铁皮盒子（如图2所示），剪掉的四个角都是边长为的正方形，求长方体铁皮盒子的体积． 【答案】（1）长为，宽为 （2） 【解析】 【分析】（1）设该长方形铁皮的长为，宽为．由题意得，求解即可得出结果； （2）根据长方体的体积公式计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵长方形铁皮的长、宽之比为， ∴设该长方形铁皮的长为，宽为． 由题意得， 解得或（不合题意，舍去）， ，， ∴该长方形铁皮的长为，宽为． 【小问2详解】 解： ， ∴长方体铁皮盒子的体积为． 23. 如图，已知射线表示一艘轮船东西方向的航行路线，在的北偏东方向上有一灯塔，灯塔到处的距离为100海里． （1）求灯塔到航线的距离； （2）在航线上有一点，且，若轮船的航速为50海里/时，求轮船从到处所用的时间为多少小时？（结果保留根号） 【答案】（1）50海里 （2）小时 【解析】 【分析】（1）由题意得到海里，求得，过点A作于T，根据直角三角形的性质即可得到结论； （2）根据三角形的外角的性质得到，求得海里，根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：由题意可得 ，海里， 过点作于， ， ， 答：灯塔到航线的距离是50海里； 【小问2详解】 解：， ， ， ∴为等腰直角三角形，且， （海里）， 在中，，根据勾股定理得， （海里）， 海里， 小时； 答：轮船从到处所用的时间为小时． 24. 如图，在四边形中，是对角线交点，，．是延长线上一点，连结，，若，． （1）求证：四边形是矩形． （2）当时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一得到，即可证得，从而根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，先判定为平行四边形，再由“有一个角是直角的平行四边形是矩形”即可证得结论； （2）作于点，根据矩形的性质可知，，可得为的中位线，从而得到和，即可根据勾股定理求解． 【小问1详解】 证明：，， ， ， ， ， 四边形为平行四边形． ， 平行四边形为矩形． 【小问2详解】 解：作于点， 矩形， ， ， ， ， ． 六、解答题（四）（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 25. 第届数学教育大会（）会标如图所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形． 【知识探索】（1）请用图验证勾股定理：； 【知识迁移】（2）如果满足等式的是三个正整数，我们称为勾股数．已知是正整数且．请证明，，是勾股数； 根据中的结论，写出一组符合条件的勾股数___________； 【知识应用】（3）鹿鸣社团计划在学校菜园上种青菜，使之构成如图所示的“弦图”，已知这四个直角三角形的三边是勾股数，最短的边长为米，种青菜要求：仅在三角形边上种青菜，每个三角形顶点处都种1棵青菜，各边上相邻两棵青菜之间的距离均为米，那么这块菜园最少需要种植多少棵青菜？（直接写出结果，不必说明理由）． 【答案】（）见解析；（）见解析；，，（答案不唯一）；（）这块菜园最少需要种植棵青菜． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理、以弦图为背景的计算题，完全平方公式，等面积法等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （）用两种方法求正方形面积即可求证； （）分别求出，，，则有，从而求证； 取，即可求解； （）由是正整数且，则要使勾股数最小则有，，得出最小勾股数为，，，又最短的边长为米，则直角三角形三边为米，米，米，所以这块菜园最少种植青菜（棵），从而求解． 【详解】解：（）∵正方形的面积为， 或 ， ∴； （）∵，，， ∴， ∴，，是勾股数； 取，， ∴，，， ∴勾股数为，，， 故答案为：，，（答案不唯一）； （）∵是正整数且， ∴要使勾股数最小则有，， ∴最小勾股数为，，， ∵最短的边长为米， ∴直角三角形三边为米，米，米， 则这块菜园最少种植青菜（棵）， 答：这块菜园最少需要种植棵青菜． 26. 完成以下问题 （1）正方形，分别在边上（不与端点重合），，与交于点． 如图（），若平分，直接写出线段，，之间等量关系； 如图（），若不平分，中线段，，之间等量关系还成立吗？若成立请证明；若不成立请说明理由 （2）如图（），矩形，，．点分别在边上，，，求的长度． 【答案】（1）；成立，证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）由四边形是正方形，得，，，证明，则，，所以，然后通过角平分线性质即可求解； 延长到点H，截取，连接，证明和即可求解； （）取，的中点，，连接，连接，证明四边形是正方形，由勾股定理得，由（）同理得：，设，则，，通过勾股定理求出，即，则，过作于点，再证明四边形是矩形，所以，然后证明，所以，再通过线段和差即可求解． 【小问1详解】 解：如图（）， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴，， ∴； ，中线段，，之间等量关系还成立：， 如图（），延长到点，截取，连接， 在与中， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， 在与中， ∵， ∴， ∴， 【小问2详解】 解：如图，取，的中点，，连接，连接， ∵，， ∴，， ∴四边形是正方形， 在中，，， ∴， ∴， ∵， 由（）同理得：， 设，则，， 在中，， ∴， ∴，即， ∴， 过作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，角平分线定义等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期综合练习（二） 八年级数学 注意事项： 1．全卷满分为120分，练习用时为120分钟．练习范围：八年级数学19.1-21 2．答卷前，学生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的座位号、考号、姓名、班级等．用2B铅笔把对应的该号码的标号涂黑． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔（作图除外）和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5．学生务必保持答题卡的整洁且不能折叠． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑． 1. 只用下列四种正多边形中的一种，不能铺满地面的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 5，12，13 C. 4，5，6 D. 2，3，4 3. 下列各式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 4. 计算的结果是（ ） A. B. 6 C. 8 D. 4 5. 在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（    ） A. 两组对边分别相等 B. 一组对边平行且另一组对边相等 C. 两组对边分别平行 D. 一组对边平行且相等 6. 如图，小张要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点，连接，，分别取，的中点D，E，测得，则的长是（ ） A. B. C. D. 7. 要为一段高5米，长13米的楼梯铺上红地毯，至少需要红地毯（ ）米． A. 17 B. 13 C. 12 D. 5 8. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，，则菱形的面积为（ ） A. 48 B. 60 C. 72 D. 96 9. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，将矩形纸片沿边折叠，使点A落在边的中点M处．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请将下列各题正确答案填在答题卡相应位置上． 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____________． 12. 在平行四边形中，若，则的度数为___________． 13. 正六边形内角和度数为___． 14. 如图，在中，，点在边上，，平分交于点，若，，则的长为__________． 15. 平行四边形的两条对角线长分别为6和8，其夹角为，该平行四边形的面积为_______． 三、解答题（一）（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 16. 计算：． 17. 如图，在中，，点在上，连接，已知，求的长． 四、解答题（二）（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 18. 已知，，求证：四边形为平行四边形 19. 如图，的网格中每个小正方形的边长均为1，请你在网格上分别按照要求设计一个顶点都在格点上的直角三角形． （1）直角三角形的三边中有一边长是无理数； （2）直角三角形的三边中有两边长是无理数； （3）直角三角形的三边长都是无理数． 20. 如图，已知四边形为平行四边形，于点，于点．请你从下列三个选项：①；②；③中，选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形为菱形． （1）你选择的补充条件是________；（填序号） （2）根据你选择的补充条件，写出四边形为菱形的证明过程． 21. 某校为进一步加强学生的劳动教育，决定将劳动实践基地按班级进行分配．如图是该校八年级劳动实践基地的示意图，经过“数学兴趣小组”同学们的努力，测得． （1）求点之间的距离； （2）求四边形的面积． 五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 22. 如图1，有一块面积为的长方形铁皮，已知长方形铁皮的长、宽之比为． （1）分别求该长方形铁皮的长和宽（结果保留根号）． （2）若沿着虚线将铁皮的四个角剪掉，制作成一个有底无盖的长方体铁皮盒子（如图2所示），剪掉的四个角都是边长为的正方形，求长方体铁皮盒子的体积． 23. 如图，已知射线表示一艘轮船东西方向的航行路线，在的北偏东方向上有一灯塔，灯塔到处的距离为100海里． （1）求灯塔到航线的距离； （2）在航线上有一点，且，若轮船的航速为50海里/时，求轮船从到处所用的时间为多少小时？（结果保留根号） 24. 如图，在四边形中，是对角线交点，，．是延长线上一点，连结，，若，． （1）求证：四边形是矩形． （2）当时，求的长． 六、解答题（四）（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 25. 第届数学教育大会（）会标如图所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形． 【知识探索】（1）请用图验证勾股定理：； 【知识迁移】（2）如果满足等式的是三个正整数，我们称为勾股数．已知是正整数且．请证明，，是勾股数； 根据中的结论，写出一组符合条件的勾股数___________； 【知识应用】（3）鹿鸣社团计划在学校菜园上种青菜，使之构成如图所示的“弦图”，已知这四个直角三角形的三边是勾股数，最短的边长为米，种青菜要求：仅在三角形边上种青菜，每个三角形顶点处都种1棵青菜，各边上相邻两棵青菜之间的距离均为米，那么这块菜园最少需要种植多少棵青菜？（直接写出结果，不必说明理由）． 26. 完成以下问题 （1）正方形，分别在边上（不与端点重合），，与交于点． 如图（），若平分，直接写出线段，，之间等量关系； 如图（），若不平分，中线段，，之间等量关系还成立吗？若成立请证明；若不成立请说明理由 （2）如图（），矩形，，．点分别在边上，，，求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $