精品解析：2026年辽宁省营口市二模数学试题

2026年营口市初中学业水平考试第二次模拟考试 数学试卷 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：抛物线的顶点坐标是 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 我国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，若气温升高时，气温变化记作，那么气温下降时，气温变化记作（ ） A. B. C. D. 2. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 联合国教科文组织将每年3月14日定为“国际数学日”．某校在今年三月策划“玩转魔方”，“我爱数独”，“巧解鲁班锁”，“走出华容道”，“百变插拼积木”五项数学活动，若小王和小李每人随机参加其中一项活动，那么他们恰好选到同一项活动的概率是( ) A. B. C. D. 5. 如图，，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，入射光线平行于主光轴，经凸透镜折射后，其折射光线为，光线经过光心，其折射光线为（此时，，三点共线），与光线交于点，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将边长相等的正方形和正六边形拼在一起，其中正方形的面积为，以公共顶点为圆心，正六边形边长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，点为的中点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，，于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，连接，则的长是（ ）． A. B. C. D. 9. 某段旋律由若干个四分音符和八分音符构成，每个四分音符的时值为1拍，八分音符的时值为拍．若该段旋律的总拍数为16拍，其中四分音符的个数比八分音符的个数多1．设该段旋律中四分音符的个数为，八分音符的个数为，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转至，点，的对应点分别为点，，的延长线与边相交于点，连接．若，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 随着微电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占，将用科学记数法表示为________． 12. 若分式方程的解为正数，则的取值范围是__________． 13. 如图，点是正方形外一点，且，连接，，交于点，连接．若，则的度数是________． 14. 如图是一座截面为抛物线形的拱形桥，当拱顶离水面2米高时，水面宽度为4米，则当水面下降2米时，水面的宽度为________米． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在反比例函数（，）的图象上，，点、分别在坐标轴上，且，若，，则的值为______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 化简及计算 （1）计算： （2）化简： 17. 为庆祝中国航天事业成立70周年，某航天科普基地推出了一款运载火箭纪念品，深受青少年喜爱． （1）该纪念品今年1月份的销售量为600件，3月份的销售量为864件．若1月份到3月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率． （2）该纪念品的进价为每件50元，据市场调查发现，若售价为每件90元，每天能销售30件；售价每降价1元，每天可多售出2件．为推广航天知识，基地决定降价促销，同时尽快减少库存．若使销售该纪念品每天获利1400元，则售价应降低多少元？ 18. 为了解甲，乙两款智能学习笔使用效果，数学兴趣小组从甲，乙两款学习笔的使用者中各随机抽取20名用户，记录使用者对两款产品的相关评价，并进行整理，描述和分析如下： c．续航能力和信息识别准确率得分统计表 智能学习笔 续航能力得分 信息识别准确率得分 平均数 中位数 众数 平均数 甲 7 乙 7 根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中________，________． （2）经过调查发现，用户对续航能力和信息识别准确率的关注度占比为，现按照该占比，根据这两项的平均数计算两款产品的综合得分，结合数据分析哪款智能学习笔更受欢迎． （3）若用户对该产品评分大于6分视为高分，否则视为低分．甲款学习笔厂商计划加大研发投入来提升用户对信息识别准确率的满意度．该公司邀请这20名用户做进一步的测试，并针对低分组用户优化信息识别准确率功能，低分组每位用户的评分将提升2分，高分组不变．采用该方案后，用户对甲款智能学习笔信息识别准确率评分数据的平均数将________，方差将________．（填“增大”，“减小”或“不变”） 19. 桥梁是交通的重要组成部分，试验监测可保障其安全运行．某实践小组对自制桥梁模型承重开展探究，方案如下： 项目主题 桥梁模型的承重试验 活动目标 学生完整参与项目化学习，在真实情境中主动发现问题，并能将实际问题转化为规范、合理的数学问题． 驱动问题 当桥梁模型发生不同程度的形变时，水桶下降的高度． 方案设计 工具 桥梁模型，量角器，卷尺，水桶，水杯，绳子，挂钩等． 实物图展示 示意图 状态一（空水桶） 状态二（水桶内加一定量的水） 说明：为的中点． … … 请你参与该项目化学习活动，并完成下列问题： （1）该实践小组在搭建桥梁模型时，选用了三角形结构作为设计单元，这样设计依据的数学原理是________． A．三角形具有稳定性 B．两点确定一条直线 C．两点之间线段最短 （2）在水桶内加入一定量的水后，桥梁发生了如图2所示的形变．若其他因素忽略不计，测得，，，请计算此时水桶下降的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，与经过点，的直线相交于点． （1）求点的坐标． （2）若点在线段上，点在直线上，求的最小值． 21. 如图，是四边形的外接圆，是的直径，，过点作的切线交的延长线于点． （1）求证：平分． （2）已知的半径为5，，求的长． 22. 【问题初探】 数学活动课上，老师给出如下问题：如图1，已知等腰三角形中，，，在三角形内取一点，使得，，求的度数． 同学们通过挖掘已知条件，获得，线段，根据图形特征，果断地在上截取，构造出全等三角形，从而问题便得以解决． （1）请按照上述的思路完成解答，求出的度数． 【类比分析】 老师发现同学们都用了构造法，将边角关系转化到新构造的三角形中进行求解．为了能帮助学生更好地掌握构造转化思想，老师又提出下面的问题，请你解答． （2）如图2，在中，，，射线于点．若点分别是射线，边上的动点，且，连接，，当取得最小值时，求与的面积之和． 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，，点是边上一点，且满足，连接．若，，当图中存在时，求的长度． 23. 在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的3倍，我们称这个点为“映射点”，例如：就是“映射点”；若二次函数图象的顶点为“映射点”，则称这个二次函数为“映射二次函数”，例如：二次函数就是“映射二次函数”． （1）求直线上的“映射点”坐标． （2）若二次函数是“映射二次函数”，点，是平面直角坐标系中的两点，连接，抛物线的对称轴与交于点； ①当时，点在线段上，且不与点重合，设点的横坐标为，过点作轴的平行线，与函数的图象相交于点，以，为邻边构造矩形，设矩形的周长为，求关于的函数表达式； ②当线段与这个“映射二次函数”的图象有且只有一个公共点时，直接写出的值或取值范围； ③当时，这个“映射二次函数”的最大值和最小值的差为5，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年营口市初中学业水平考试第二次模拟考试 数学试卷 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：抛物线的顶点坐标是 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 我国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，若气温升高时，气温变化记作，那么气温下降时，气温变化记作（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正负数在现实生活的应用，熟练掌握正负数的意义是解答本题的关键．在一对具有相反意义的量中，规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：∵气温升高时，气温变化记作， ∴气温下降时，气温变化记作． 故选B． 2. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数轴上a、b的位置确定其取值范围，再据此分析各选项即可． 【详解】解： A、， 两数相加，符号由绝对值较大的数决定，a离原点远， ∴， ∵， ∴，本项错误； B、， 则， 数轴上右边的数大于左边的数， ∵a在的右边， ∴，本项错误； C、， 两数相乘，同号为正，异号为负， ∵， ∴，本项错误： D、， 绝对值指表示的数与原点的距离，离原点越远，绝对值越大，本项正确，符合题意． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据完全平方公式、同底数幂乘法、积的乘方、合并同类项法则逐一判断选项． 【详解】解：选项A，由完全平方公式可得 ，∴A错误． 选项B，由同底数幂乘法法则可得 ，∴B错误． 选项C，由积的乘方法则可得 ，∴C错误． 选项D，根据合并同类项法则，，运算正确． 4. 联合国教科文组织将每年3月14日定为“国际数学日”．某校在今年三月策划“玩转魔方”，“我爱数独”，“巧解鲁班锁”，“走出华容道”，“百变插拼积木”五项数学活动，若小王和小李每人随机参加其中一项活动，那么他们恰好选到同一项活动的概率是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查古典概型的概率计算，利用分步计数原理得到所有等可能结果数，再找出符合条件的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：设“玩转魔方”，“我爱数独”，“巧解鲁班锁”，“走出华容道”，“百变插拼积木”五项数学活动，分别记为，，，，， 根据表格可得两人选择活动的所有等可能结果总数为，两人恰好选到同一项活动的结果共有5种，∴根据概率公式，得 ∴他们恰好选到同一项活动的概率是． 5. 如图，，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 6. 如图，入射光线平行于主光轴，经凸透镜折射后，其折射光线为，光线经过光心，其折射光线为（此时，，三点共线），与光线交于点，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作 ，则 ，利用平行线的性质求出 ，即可解答． 【详解】解：过点作 ，则 ， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， ∴ ． 7. 如图，将边长相等的正方形和正六边形拼在一起，其中正方形的面积为，以公共顶点为圆心，正六边形边长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出阴影部分扇形的圆心角度数及圆的半径，再根据扇形的面积公式计算即可求解 【详解】解：∵正方形的每个内角为，正六边形的每个内角为， ∴阴影部分扇形的圆心角度数为， 又∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为， ∴圆的半径为， ∴图中阴影部分的面积为． 8. 如图，中，，点为的中点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，，于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，连接，则的长是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查角平分线的尺规作图，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线定理． 根据作图可知平分，根据等腰三角形三线合一得到，继而根据直角三角形斜边中线定理得到． 【详解】解：由作图可知平分， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴． 9. 某段旋律由若干个四分音符和八分音符构成，每个四分音符的时值为1拍，八分音符的时值为拍．若该段旋律的总拍数为16拍，其中四分音符的个数比八分音符的个数多1．设该段旋律中四分音符的个数为，八分音符的个数为，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：设四分音符的个数为x，八分音符的个数为y． 由题意得． 10. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转至，点，的对应点分别为点，，的延长线与边相交于点，连接．若，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接交于点，根据旋转的性质得出，，根据勾股定理求出，证明，得出，证明垂直平分，得出，根据三角形面积得出，求出，再由求解即可． 【详解】解：连接交于点，如图所示： 根据旋转可得：，， ∴， 根据勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 随着微电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占，将用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 若分式方程的解为正数，则的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】先解分式方程，根据解为正数且分母不为，得出不等式，解不等式，即可求解． 【详解】解： 去分母得， 解得： 依题意，，且 ∴且 13. 如图，点是正方形外一点，且，连接，，交于点，连接．若，则的度数是________． 【答案】##69度 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质．根据正方形的性质和已知可得，求出，由三角形外角的性质可得，通过证明得到． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴． 14. 如图是一座截面为抛物线形的拱形桥，当拱顶离水面2米高时，水面宽度为4米，则当水面下降2米时，水面的宽度为________米． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意建立坐标系，然后得出抛物线的解析式，进而令进行求解即可． 【详解】解：由题意可建立坐标系如图所示： ∴抛物线与x轴的交点坐标为， 设抛物线的解析式为，则把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∴当时，则有， 解得：， ∴当水面下降2米时，水面的宽度为米． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在反比例函数（，）的图象上，，点、分别在坐标轴上，且，若，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】作轴，轴，根据题意证明，然后根据正方形的性质列方程求解即可． 【详解】解：如图所示，作轴，轴，垂足分别为，． 又∵， ∴四边形是矩形． ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形． ∴设，，， ∵， ∴， 解得：． ∴， ∴A点坐标为， 将代入， 得． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 化简及计算 （1）计算： （2）化简： 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式. 【小问2详解】 解：原式. 17. 为庆祝中国航天事业成立70周年，某航天科普基地推出了一款运载火箭纪念品，深受青少年喜爱． （1）该纪念品今年1月份的销售量为600件，3月份的销售量为864件．若1月份到3月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率． （2）该纪念品的进价为每件50元，据市场调查发现，若售价为每件90元，每天能销售30件；售价每降价1元，每天可多售出2件．为推广航天知识，基地决定降价促销，同时尽快减少库存．若使销售该纪念品每天获利1400元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1）月平均增长率为 （2）售价应降低20元 【解析】 【分析】（1）设月平均增长率为，因为1月销售量为600件，月平均增长率相同，所以3月销售量满足，直接求解该一元二次方程即可。 （2）设售价应降低元，因为每降价1元多售2件，所以降价后每天销售量为件，每件利润为元，根据总利润=单件利润×销售量，列方程，求解后结合“尽快减少库存”的条件选取符合要求的解。 【小问1详解】 解：设月平均增长率为x 根据题意得：， 解得（不符合题意，舍去） 答：月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设售价应降价y元． 根据题意可得： 整理可得： 解得： 为了尽快减少库存，应降价20元 答：售价应降低20元． 18. 为了解甲，乙两款智能学习笔使用效果，数学兴趣小组从甲，乙两款学习笔的使用者中各随机抽取20名用户，记录使用者对两款产品的相关评价，并进行整理，描述和分析如下： c．续航能力和信息识别准确率得分统计表 智能学习笔 续航能力得分 信息识别准确率得分 平均数 中位数 众数 平均数 甲 7 乙 7 根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中________，________． （2）经过调查发现，用户对续航能力和信息识别准确率的关注度占比为，现按照该占比，根据这两项的平均数计算两款产品的综合得分，结合数据分析哪款智能学习笔更受欢迎． （3）若用户对该产品评分大于6分视为高分，否则视为低分．甲款学习笔厂商计划加大研发投入来提升用户对信息识别准确率的满意度．该公司邀请这20名用户做进一步的测试，并针对低分组用户优化信息识别准确率功能，低分组每位用户的评分将提升2分，高分组不变．采用该方案后，用户对甲款智能学习笔信息识别准确率评分数据的平均数将________，方差将________．（填“增大”，“减小”或“不变”） 【答案】（1）， （2）甲款智能学习笔更受欢迎 （3）增大；减小 【解析】 【分析】（1）根据续航能力得分统计图中的数据进行计算即可； （2）根据加权平均数进行计算即可； （3）根据平均数和方差的计算方法和定义分析即可． 【小问1详解】 解：根据题意得，甲款学习笔得9分的人数最多，有5人，故； 根据题意得，乙款学习笔的中位数是第10、11个数据的平均数，第10个是7分，第11个是8分， ∴； 【小问2详解】 解：甲：， 乙：， ， 故甲款学习笔胜出； 【小问3详解】 解：低分组用户加分后，总分增加、数据个数不变，故平均数增大； 低分组用户加分后，低分数据向平均数靠近，波动程度降低，方差减小． 19. 桥梁是交通的重要组成部分，试验监测可保障其安全运行．某实践小组对自制桥梁模型承重开展探究，方案如下： 项目主题 桥梁模型的承重试验 活动目标 学生完整参与项目化学习，在真实情境中主动发现问题，并能将实际问题转化为规范、合理的数学问题． 驱动问题 当桥梁模型发生不同程度的形变时，水桶下降的高度． 方案设计 工具 桥梁模型，量角器，卷尺，水桶，水杯，绳子，挂钩等． 实物图展示 示意图 状态一（空水桶） 状态二（水桶内加一定量的水） 说明：为的中点． … … 请你参与该项目化学习活动，并完成下列问题： （1）该实践小组在搭建桥梁模型时，选用了三角形结构作为设计单元，这样设计依据的数学原理是________． A．三角形具有稳定性 B．两点确定一条直线 C．两点之间线段最短 （2）在水桶内加入一定量的水后，桥梁发生了如图2所示的形变．若其他因素忽略不计，测得，，，请计算此时水桶下降的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】（1）A （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）设，由题意得，，然后根据三角函数可进行求解． 【小问1详解】 解：选用了三角形结构作为设计单元，这样设计依据的数学原理是三角形具有稳定性；A； 【小问2详解】 解：如图： 根据题意知，， ∵， ∴， ∴， 设， 则， 在中，， ， 即， 解得， ∴此时水桶下降的高度约为． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，与经过点，的直线相交于点． （1）求点的坐标． （2）若点在线段上，点在直线上，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，将、代入，求得直线解析式为；联立两直线方程，解方程组得交点坐标为； （2）由点在线段上，得；根据点在直线上，分别表示，，化简得．根据，可得随着m的增大而增大，故时取最小值． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为， 将，代入得，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得， ∴E点坐标为； 【小问2详解】 解：当时，代入得， ∴B点坐标为， ∵点在线段上， ， ∵点在直线上， ∴， ∴ ， ∵， ∴的值随着m的增大而增大， ∵， ∴当时，取得最小值， 的最小值为． 21. 如图，是四边形的外接圆，是的直径，，过点作的切线交的延长线于点． （1）求证：平分． （2）已知的半径为5，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由外接圆的性质可得，则．再由．由圆周角定理可得，即平分． （2）连接，先证，由，设，，则，结合的半径为5，可得，．证明．可得，可得． 【小问1详解】 证明：是四边形的外接圆， ． ， ． ， ． ， ． 即平分． 【小问2详解】 解：连接， 与相切于点C， ． ， ． 由（1）得， ． ． ． 为的直径， ． 在中， ， ∴设，，， ∵的半径为5， ，即． ． ，． ，， ． ∴，即． ∴． 22. 【问题初探】 数学活动课上，老师给出如下问题：如图1，已知等腰三角形中，，，在三角形内取一点，使得，，求的度数． 同学们通过挖掘已知条件，获得，线段，根据图形特征，果断地在上截取，构造出全等三角形，从而问题便得以解决． （1）请按照上述的思路完成解答，求出的度数． 【类比分析】 老师发现同学们都用了构造法，将边角关系转化到新构造的三角形中进行求解．为了能帮助学生更好地掌握构造转化思想，老师又提出下面的问题，请你解答． （2）如图2，在中，，，射线于点．若点分别是射线，边上的动点，且，连接，，当取得最小值时，求与的面积之和． 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，，点是边上一点，且满足，连接．若，，当图中存在时，求的长度． 【答案】（1） （2） （3）4 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角求出，，则可判断，在上取一点E，使，连接，证明，得出，，则，设，则，∠，根据可求出，即可求解； （2）过点C作直线，在直线l上截取，连接，，证明得出，则，故最小值为，然后在中，根据勾股定理求出，最后结合求解即可； （3）延长到点M，使，连接，证明，得出，延长到点N，使，连接，证明，得出，设设，则， ，在中，由勾股定理得，求出，即可求解． 【小问1详解】 解：，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在上取一点E，使，连接， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， 设，则，∠， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图：过点C作直线，在直线l上截取，连接， ∴ ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴最小值为 在中， ∵ 此时． 【小问3详解】 解：延长到点M，使，连接， ∴ 设 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 延长到点N，使，连接 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵，， 设 ∴ 在中，由勾股定理得， 即 ∴，（不合题意，舍去） ∴的长为4． 23. 在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的3倍，我们称这个点为“映射点”，例如：就是“映射点”；若二次函数图象的顶点为“映射点”，则称这个二次函数为“映射二次函数”，例如：二次函数就是“映射二次函数”． （1）求直线上的“映射点”坐标． （2）若二次函数是“映射二次函数”，点，是平面直角坐标系中的两点，连接，抛物线的对称轴与交于点； ①当时，点在线段上，且不与点重合，设点的横坐标为，过点作轴的平行线，与函数的图象相交于点，以，为邻边构造矩形，设矩形的周长为，求关于的函数表达式； ②当线段与这个“映射二次函数”的图象有且只有一个公共点时，直接写出的值或取值范围； ③当时，这个“映射二次函数”的最大值和最小值的差为5，求的值． 【答案】（1）(1,3) （2）①；②或；③或 【解析】 【分析】（1）设直线的“映射点”坐标为，代入解析式，即可求解； （2）①根据新定义可得顶点坐标为 ，依据“映射点”的定义得，根据解析式求得顶点，设 ，且 ，则，分别求得，根据，分类讨论表示出，即可求解； ②分两种情况讨论，当在上时，可得；分别计算，时的函数值，即可得出的范围； ③分三种情况讨论，(Ⅰ)当时；(Ⅱ)当时；(Ⅲ)当 时，根据最大值和最小值的差为5，列出方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：设直线的“映射点”坐标为 把代入中，得 “映射点”坐标为； 【小问2详解】 解：二次函数是“映射二次函数”，且顶点坐标为 ， 依据“映射点”的定义得： ，解得：， ∴该二次函数的表达式为， ①点，，当时，得：，， 抛物线 的对称轴为直线与交于点； ， 设 ，且 ，则， ，， ， 当时，； 当时，； 综上所述，； ②依题意，为：，， ∵ ， ∴抛物线的顶点为， 情形一：当在上时，，此时线段与这个“映射二次函数”的图象有且只有一个公共点 情形二：当时，，当时，， ∴当线段与这个“映射二次函数”的图象有且只有一个公共点时， ． 综上所述，或 ． ③∵“映射二次函数”，图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，， 当时，， (Ⅰ)当时， 时，取得最小值，时，取得最大值， ∴ ， ∴符合题意； (Ⅱ)当时， 时，取得最大值，时，取得最小值， ， 符合题意， (Ⅲ)当 时， 最小值， 若 ，时，取得最大值， ∴， ， (两个值均不合题意，舍去)， 若 ，时，取得最大值， ∴， ， (两个值均不合题意，舍去)， 综上所述，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $