专题02 二次根式的乘除法（七大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年八年级数学下册《知识解读·题型专练》（苏科版）

**基本信息** 以七大题型系统覆盖二次根式乘除法全考点，从运算到概念再到应用，逻辑递进，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次根式乘法运算|5道|基础运算、公式应用|先掌握乘法法则，为混合运算奠基| |二次根式除法运算|3道|基本除式、系数处理|与乘法并列，构建基本运算体系| |乘除法混合运算|5道|多步运算、符号处理|综合乘除法则，提升运算熟练度| |最简二次根式判定|3道|概念辨析、选项判断|建立最简标准，为化简作准备| |化为最简二次根式|4道|根式化简、系数化简|应用判定标准，落实化简操作| |已知最简求参数|2道|概念逆向、参数取值|深化最简概念理解，培养推理意识| |分母有理化|4道|基础化简、规律探究|拓展运算应用，提升数学表达能力|

专题02 二次根式的乘除法（七大题型） 【题型1 二次根式的乘法运算】............................................................................................1 【题型2 二次根式的除法运算】............................................................................................2 【题型3 二次根式的乘除法运算】...........................................................................................3 【题型4 最简二次根式的判定】............................................................................................4 【题型5 化为最简的二次根式】............................................................................................4 【题型6 已知最简二次根式求参数】.....................................................................................5 【题型7 分母有理化】...........................................................................................................5 【题型1 二次根式的乘法运算】 1．计算： (1)； (2)． 2．计算： (1) (2) (3) (4) 3．用乘法公式计算： (1)； (2)． 4．计算： (1)； (2)； (3)4； (4)3． 5．计算∶ (1)； (2)； (3)． 【题型2 二次根式的除法运算】 6．计算： （1）；     （2）；     （3）；     （4）． 7．计算： （1）；（2）；（3）；（4）． 8．计算： (1)； (2)4÷2． (3) (4)． 【题型3 二次根式的乘除法运算】 9．计算：． 10．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 11．计算： (1) (2)． 12．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 13．计算： (1)； (2)． 【题型4 最简二次根式的判定】 14．下列二次根式中，是最简二次根式的是(     ) A． B． C． D． 15．下列二次根式中，不是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 16．下列各式：①，②，③，④，⑤中，最简二次根式有____________个． 【题型5 化为最简的二次根式】 17．计算：________． 18．化简______； 19．化简下列二次根式： (1)． (2)． 20．化简： (1)； (2)； (3)． 【题型6 已知最简二次根式求参数】 21．已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的的整数值：______． 22．若与最简二次根式可以合并，则_________． 【题型7 分母有理化】 23．化简__________． 24．______． 25．阅读下面材料，并解决问题： ； ； ； … (1)填空：_________；_________； (2)用含n的代数式表示你所发现的规律：_________； (3)证明发现的规律． 26．阅读材料，解答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，这样的式子，我们可以将其进一步化简： ；； ． 以上这种化简的步骤叫作分母有理化． 还可以用另一种方法化简： ． (1)化简：． (2)比较与的大小． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次根式的乘除法（七大题型） 【题型1 二次根式的乘法运算】............................................................................................1 【题型2 二次根式的除法运算】............................................................................................5 【题型3 二次根式的乘除法运算】...........................................................................................7 【题型4 最简二次根式的判定】............................................................................................11 【题型5 化为最简的二次根式】............................................................................................12 【题型6 已知最简二次根式求参数】.....................................................................................13 【题型7 分母有理化】...........................................................................................................14 【题型1 二次根式的乘法运算】 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）根据二次根式的乘法运算法则计算即可； （2）根据二次根式的乘法运算法则计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查二次根式的乘法，二次根式的除法，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）按照二次根式的乘法运算法则计算即可； （2）按照二次根式的乘法运算法则计算即可； （3）按照二次根式的乘法运算法则计算即可； （4）按照二次根式的乘除混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 3．用乘法公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方差公式和完全平方公式，二次根式的运算，掌握公式的形式及数学思想是解题关键． （1）利用平方差公式，结合二次根式乘法即可求解； （2）利用完全平方公式，结合二次根式乘法即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 4．计算： (1)； (2)； (3)4； (4)3． 【答案】(1) (2)64 (3) (4) 【分析】本题主要考查二次根式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的乘法进行运算，再对所求结果进行化简即可； （2）根据二次根式的乘法进行运算，再对所求结果进行化简即可； （3）根据二次根式的乘法进行运算，再对所求结果进行化简即可； （4）根据二次根式的乘法进行运算，再对所求结果进行化简即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 5．计算∶ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的乘法： （1）根据二次根式的乘法法则进行计算即可； （2）根据二次根式的乘法法则进行计算即可； （3）根据二次根式的乘法法则进行计算即可； 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式． 【题型2 二次根式的除法运算】 6．计算： （1）；     （2）；     （3）；     （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】根据二次根式的除法法则，（a≥0，b＞0）可得答案． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的除法法则是解决本题的关键． 7．计算： （1）；（2）；（3）；（4）． 【答案】（1）3；（2）；（3）；（4） 【分析】分别利用二次根式的除法法则以及二次根式的性质计算即可． 【详解】解：（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 【点睛】本题考查了二次根式的除法运算，解决本题的关键是熟练掌握二次根式的除法法则以及二次根式的性质． 8．计算： (1)； (2)4÷2． (3) (4)． 【答案】(1)5 (2) (3) (4)6a 【分析】（1）根据二次根式的性质直接化简即可； （2）根据二次根式的除法运算法则直接化简即可； （3）根据二次根式的性质直接化简即可； （4）根据二次根式的除法运算法则直接化简即可． 【详解】（1）解： ＝5； （2） （3）原式 ； （4）原式 ． 【点睛】题目主要考查二次根式的除法运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 【题型3 二次根式的乘除法运算】 9．计算：． 【答案】 【分析】利用二次根式的乘除运算法则计算，再将结果化为最简二次根式即可． 【详解】解： ． 10．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除运算，熟练掌握二次根式乘除运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式乘法法则，将两个根式相乘转化为一个根式内的乘法运算，再化简得出结果． （2）利用二次根式的乘除法则，把分子中的根式相乘后与分母的根式进行运算，化简得到答案． （3）按照从左到右的顺序，先进行二次根式的乘法运算，再进行除法运算（转化为乘法），最后化简． （4）把每个根式先化简，然后将除法转化为乘法，依次进行乘法运算，最后化简得出结果． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 11．计算： (1) (2)． 【答案】(1)1 (2)15 【分析】此题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则并准确计算是解题的关键． （1）根据二次根式的乘除法则计算可得； （2）先化简二次根式，再先后计算乘除法即可． 【详解】（1）解： ； （2） . 12．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、二次根式的性质，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据二次根式的乘除法运算法则进行计算，并由二次根式的性质进行化简即可； （2）根据二次根式的乘除法运算法则进行计算，并由二次根式的性质进行化简即可； （3）根据二次根式的乘除法运算法则进行计算，并由二次根式的性质进行化简即可； （4）根据二次根式的乘除法运算法则进行计算，并由二次根式的性质进行化简即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 13．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算． （1）根据二次根式乘除混合运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式性质和乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： 【题型4 最简二次根式的判定】 14．下列二次根式中，是最简二次根式的是(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需要满足两个条件，被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，符合两个条件的即为所求． 【详解】解：A选项：的被开方数含分母，不是最简二次根式； B选项：满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式； C选项：，被开方数含分母，不是最简二次根式； D选项：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式． 15．下列二次根式中，不是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式满足两个条件，被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此判断各选项即可． 【详解】解：，，都是最简二次根式， ， 不是最简二次根式． 16．下列各式：①，②，③，④，⑤中，最简二次根式有____________个． 【答案】2 【分析】根据最简二次根式的定义，即被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断各二次根式是否符合条件即可． 【详解】①：被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数，为最简二次根式； ②，不是最简二次根式； ③，不是最简二次根式； ④，不是最简二次根式； ⑤：被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因式，故为最简二次根式． 综上，最简二次根式有个． 【题型5 化为最简的二次根式】 17．计算：________． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质，将被开方数分解为完全平方数与剩余因数的乘积，即可完成化简． 【详解】解：= ． 18．化简______； 【答案】 【详解】解：． 19．化简下列二次根式： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据二次根式的性质和乘除运算法则，化简计算即可． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解： ， ， ． 20．化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据进行计算即可求解； （2）根据进行计算即可求解； （3）根据进行计算即可求解． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． 【题型6 已知最简二次根式求参数】 21．已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的的整数值：______． 【答案】答案不唯一 【分析】本题主要考查了最简二次根式、二次根式有意义的条件等知识点，掌握二次根式的被开方数大于等于零是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件求出的取值范围，据此即可解答． 【详解】解：是最简二次根式， ∴，解得：， 整数的值可以是答案不唯一． 故答案为：答案不唯一． 22．若与最简二次根式可以合并，则_________． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式及最简二次根式，根据题意得，进而可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：依题意得：， 解得：， 故答案为：． 【题型7 分母有理化】 23．化简__________． 【答案】 【详解】解：． 24．______． 【答案】 【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的化简，把原式化为，再进一步求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 25．阅读下面材料，并解决问题： ； ； ； … (1)填空：_________；_________； (2)用含n的代数式表示你所发现的规律：_________； (3)证明发现的规律． 【答案】(1)； (2)，其中为正整数； (3)证明见解析 【分析】本题考查二次根式的分母有理化与规律探究，用到平方差公式计算，先根据题干给出的分母有理化方法计算，再归纳得到一般规律，最后利用平方差公式证明规律即可． 【详解】（1）解：； ； （2）解：观察式子变化可总结规律为：，其中为正整数； （3）证明：对于等式左边分子分母同乘得： 由于等式右边为， 则成立． 26．阅读材料，解答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，这样的式子，我们可以将其进一步化简： ；； ． 以上这种化简的步骤叫作分母有理化． 还可以用另一种方法化简： ． (1)化简：． (2)比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）可采用分母有理化的方法，利用平方差公式，消去分母中的根号；也可以将分子变形为平方差的形式，再约分； （2）先对两个式子分别进行有理化变形，转化为分子为的分数形式，再通过比较分母的大小来判断分数的大小． 【详解】（1）解：方法一：分母有理化 ． 方法二：平方差变形 ． （2）解：，． ， ． 【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化和实数的大小比较，解题关键是掌握分母有理化的两种常用方法（平方差公式变形、分子分母同乘有理化因式），以及利用倒数法比较两个根式差的大小． 1 学科网（北京）股份有限公司 $