专题03 分式方程（七大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年八年级数学下册《知识解读·题型专练》（苏科版）

**基本信息** 以七大题型构建分式方程专项训练，从概念识别到解法应用，再到解的情况分析及实际问题建模，知识逻辑层层递进，强化数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|4题|分式方程的识别|从定义出发，区分分式方程与整式方程，培养抽象能力| |解法应用|8小题|解分式方程|掌握去分母、验根步骤，强化转化思想与运算能力| |解的情况分析|4题|根据解的正负、增根、无解求参数|结合分式有意义条件，深化对解的理解，发展推理意识| |实际应用|14题|工程、行程、销售等问题建模|从实际情境抽象等量关系，培养模型意识与应用能力|

专题03 分式方程（七大题型） 【题型1 分式方程定义】...................................................................................................1 【题型2 解分式方程】........................................................................................................1 【题型3 根据分式方程解的情况求值】..........................................................................2 【题型4 分式方程应用－工程问题】.....................................................................................3 【题型5 分式方程应用－行程问题】.....................................................................................4 【题型6 分式方程应用－销售问题】.....................................................................................7 【题型7 分式方程应用－其他问题】.....................................................................................8 【题型1 分式方程定义】 1．下列方程不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 2．在下列各式中，属于分式方程的是（　　） A． B． C． D． 3．下列关于x的方程是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 4．下列方程：①；②；③；④．其中，分式方程有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【题型2 解分式方程】 5．解方程 (1) (2) 6．解方程： (1) (2) 7．解下列分式方程： (1)； (2)． 8．解方程 (1) (2) 【题型3 根据分式方程解的情况求值】 9．若关于的分式方程的解为正数，则实数的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D． 10．已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 11．若关于的分式方程有增根，则的值是（   ） A．0 B．2 C．2或3 D．0或2 12．若关于的分式方程无解，则的值是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【题型4 分式方程应用－工程问题】 13．智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一、某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作.在正常工作状态下，该机器人的每一个机械手平均秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用秒采摘苹果的个数比用秒采摘苹果的个数多个． (1)求的值； (2)现公司有个这样的机器人，每个机器人搭载个相同的机械手同时工作小时，将采摘的苹果全部进行加工，粗加工每个苹果利润元，精加工每个苹果利润元，且要求精加工数量不多于粗加工数量的倍，为获得最大利润，精加工数量应为多少个？最大利润是多少元？ 14．某工厂有A，B型机器人搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，A型机器人2小时搬运的化工原料和B型机器人3小时搬运的化工原料重量相同． (1)两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料？ (2)两种机器人系统升级优化后，A型机器人每小时增加的搬运化工原料重量是B型机器人每小时增加的搬运化工原料重量的1.5倍．工厂里有一批共480千克的化工原料需要搬运．升级后，A型机器人搬运了一半，另外一半由B型机器人搬运，两种类型的机器人一共用了5小时完成，求升级后A型机器人每小时可以搬运多少千克化工原料． 15．为助力云南乡村振兴，完善滇西乡村交通基础设施，甲，乙两个工程队共同修建一条乡村惠民公路，甲队每天比乙队多修米，甲队修建米所用的时间与乙队修建米所用的时间相等，求甲，乙两队每天各修多少米． 16．2025年第15届全运会闭幕式在深圳市举行，全运会举办期间，与吉祥物“喜洋洋”“乐融融”相关的文创产品深受大家喜爱．某公司接到首批订单，要生产文创产品共2400件．公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的倍．先由甲、乙两个车间共同完成1800件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用12天完成这批订单． (1)求甲、乙两个车间每天分别生产多少件产品； (2)首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？最大生产总量是多少？ 17．某科技公司生产服务和工业两种机器人，去年共生产2000台．今年生产线优化升级，服务机器人产量预计比去年增加，工业机器人产量预计比去年增加，则两种机器人总产量预计将比去年共增加380台． (1)求今年服务机器人和工业机器人的产量预计各是多少台？ (2)今年出厂检测时，实际产量与预计相同，公司安排两组工程师同时开始检测工作：A组负责检测服务机器人，B组负责检测工业机器人．已知A组每小时检测效率是B组的1.5倍，最终A组比B组提前30分钟完成任务．问B组每小时检测工业机器人多少台？ 【题型5 分式方程应用-行程问题】 18．春运期间，某列动车平均提速．该动车在提速前行驶和提速后行驶的时间相同，求提速前该动车的平均速度是多少？ 19．甲、乙两辆汽车分别从A、B两城同时沿高速公路驶向C城．已知A、C两城的路程为672千米，B、C两城的路程为400千米，甲车的速度是乙车的1.2倍，结果乙车比甲车提前2小时到达C城．求乙车的速度． 20．某中学组织八年级学生乘车前往科技场馆参加研学活动．现有两条路线可供选择：路线A的全程是，但交通比较拥堵；路线B比路线A的全程多，但平均速度比走路线A能提高，走路线B能比走路线A少用．求走路线A和路线B的平均速度分别是多少． 21．为响应东莞市教育局“每周半天计划”，东莞某校推出“山海课堂”，将课堂搬至山海之间，依托松山湖松湖烟雨徒步环湖路线展开活动．学校将初二年级分为20个组，化身“探路者”，每组独立完成一段路线任务，最终拼合出完整的50公里轨迹． 【信息收集】信息一： 路段 路程（千米） 计划平均速度（千米/时） 第11组 松湖烟雨3段（松湖烟雨入口至查理大桥） 12.5 第19组 松湖烟雨2段（柏林墙至康桥） 6 信息二：第11组和第19组计划用时相等． 【问题解决】 (1)求的值和计划用时； (2)第11组的同学前段的平均速度为3千米/时，后段由于体力下降，平均速度降为2千米/时．如果第11组的同学想要在计划的时间内到达终点，则至少需要保持平均速度为3千米/时多长时间？ 22．甲、乙两同学的家与学校的距离为3000米，甲同学先步行600米，然后乘公交车去学校，乙同学骑自行车上学校．已知甲步行速度是乙骑自行车速度的一半，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍．甲乙两人同时从家出发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟． (1)求乙骑自行车的速度； (2)出发几分钟后，两人与学校的距离相等？ 23．2025数字中国创新大赛–中小学生赛道，决赛是用电脑程序控制智能赛车进行30米比赛，“天元号”和“朝阳号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“天元号”到达终点时，“朝阳号”才行驶到全程的，“天元号”比“朝阳号”每秒多行0.8米． (1)求“朝阳号”的行驶速度； (2)如果将“天元号”的行驶路程增加，“朝阳号”的行驶路程不变，两辆赛车再次重新比赛，两车能同时到达吗？通过计算说明； (3)若按照（2）中的路程行驶，请你调整其中一辆赛车的行驶速度，使两车能同时到达终点． 【题型6 分式方程应用－销售问题】 24．今年端午节来临之际，某商场预测一品牌枣粽能够畅销．根据预测，每千克枣粽节前的进价比节后多2元，节前用2000元购进枣粽的数量与节后用1600元购进的数量相同．根据以上信息，解答下列问题： (1)该商场节前每千克枣粽的进价是多少元？ (2)如果该商场在节前和节后共准备购进枣粽500千克，且总费用不超过4800元，并按照节前每千克16元，节后每千克12元全部售出，那么该商场节前购进多少千克枣粽获得利润最大？最大利润是多少？ 25．春暖花开，新学期伊始，某中学为了给学生提供充足的体育运动器材，准备购买一批某品牌的足球和排球，每个足球的价格比每个排球的价格多40元，若用1000元购买的足球数量和600元购买的排球数量相等． (1)设每个足球的价格为元，求的值． (2)学校决定购买足球和排球共50个． ①求购买足球和排球的总费用（元）与购买足球数量（个）之间的函数关系式． ②若购买足球的数量不少于排球的数量，则购买足球___________个最合算，总费用为___________元． 26．冬天是流感高发的季节，在今年冬天来临之际，为了预防流感，某学校购买了一批消杀用品．其中，购买A品牌消毒液共花费9000元，购买B品牌消毒液共花费6000元，且购买A品牌消毒液的数量是B品牌消毒液的2倍．已知购买一瓶A品牌消毒液比购买一瓶B品牌消毒液少用5元． (1)求A，B两种品牌的消毒液每瓶各是多少元． (2)该校决定再购买A，B两种品牌的消毒液共600瓶，且B品牌消毒液的数量不低于A品牌消毒液数量的2倍，则学校应该怎样购买可以使花费最少，最少花费为多少元？ 27．2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩、雪容融深受人们的喜欢，为了抓住商机，乐购商场决定购进一批冰墩墩雪容融纪念品进行销售．已知每件冰墩墩比每件雪容融的进价高30元．用1000元购进冰墩墩的数量和用400元购进雪容融的数量相同． (1)求两种纪念品每件的进价分别是多少元？ (2)第一次乐购商场购进的货很快就脱销，于是计划再次购进冰墩墩、雪容融共200件，其中雪容融的数量不超过冰墩墩数量的，且购进的冰墩墩以每件60元，雪容融以每件35元的价格出售．这次如何进货商场利润最大？最大利润是多少？ 【题型7 分式方程应用－其他问题】 28．王明的爸爸近期准备换车，让王明提出参考建议．王明查阅资料，对于新能源汽车和燃油车的选择，根据爸爸的用车场景、结合经济条件和个人喜好进行分析．综合性价比看中了价格相同的两款国产汽车，最后根据收集的下列信息，请你和王明一起解答． 燃油车 油箱容积：40升 油价：9元／升 续航里程：2a千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：0.6元／千瓦时 续航里程：a千米 每千米行驶费用：______元 (1)用含a的代数式表示出新能源车每千米行驶费用______元； (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车的每千米行驶费用多0.48元．请你帮王明计算一下，这两款车的每千米行驶费用各是多少元？ 29．列方程解下列问题： 重庆市第十四届全民健身运动会参赛人数超万人，运动会设置了若干个大项目，下面又设了若干个小项目，已知小项目数量比大项目数量的7倍多14项，比大项目数量的8倍少10项． (1)求第十四届全民健身运动会设置的大、小项目各有多少个？ (2)其中的热门项目“骑跑两项”第十四届有120人参赛，第十五届参赛人数比第十四届增加了56人，其中第十五届参赛队伍比第十四届增加了4支，平均每支队伍的人数增了，求第十五届有多少支参赛队伍？ 30．综合与实践：探究奶茶甜度． 【阅读材料】奶茶甜度的计算方法：奶茶甜度．（注：所加入的糖均能完全溶解） 【问题背景】某奶茶店一杯克的奶茶含糖量克，称甜度为全糖；含糖量克，称甜度为七分糖；含糖量克，称甜度为五分糖；含糖量克，称甜度为三分糖．请结合奶茶甜度的计算方法解决以下问题． (1)当时，往一杯克的七分糖奶茶中再加入多少克的糖才能跟全糖奶茶的甜度一样？ (2)一天，小明到这家奶茶店点了一杯克的五分糖奶茶，由于店员疏忽，做成了一杯克的三分糖奶茶，店员往这杯奶茶中又加入了克糖．则店员最后做出来的奶茶与五分糖奶茶哪个甜度更大？ 31．某市高铁站将原来的检票系统换成了智能通道闸机系统，如图1所示是一个智能通道闸机，它的双翼成轴对称，当旅客通过时智能闸机时会自动识别旅客身份，识别成功后，双翼会收回到两侧闸机箱内，这时旅客即可通过．图②是双翼展开时的截面图，扇形和是闸机的圆弧翼，和均垂直于地面，双翼边缘的端点与点在同一水平线上，且它们之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机箱的夹角． (1)当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度为 ； (2)经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的倍，人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 分式方程（七大题型） 【题型1 分式方程定义】...................................................................................................1 【题型2 解分式方程】........................................................................................................5 【题型3 根据分式方程解的情况求值】..........................................................................7 【题型4 分式方程应用－工程问题】.....................................................................................12 【题型5 分式方程应用－行程问题】.....................................................................................15 【题型6 分式方程应用－销售问题】.....................................................................................16 【题型7 分式方程应用－其他问题】.....................................................................................21 【题型1 分式方程定义】 1．下列方程不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查分式方程的定义，理解并掌握分式方程的定义是解题关键．分母里含有字母的方程叫做分式方程．根据分式方程的定义判断即可． 【详解】解：A.是分式方程，不符合题意； B. 不是分式方程，符合题意； C. 是分式方程，不符合题意； D. 是分式方程，不符合题意． 故选：B． 2．在下列各式中，属于分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是分式方程的定义，熟知分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解答此题的关键． 【详解】解：A、是整式方程，不是分式方程，不符合题意； B、是整式方程，不是分式方程，不符合题意； C、不是方程，不是分式方程，不符合题意； D、是分式方程，符合题意； 故选：D． 3．下列关于x的方程是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程．根据定义结合选项即可求解． 【详解】解：选项A、B、D是整式方程，不符合题意； 选项C，是分式方程，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键． 4．下列方程：①；②；③；④．其中，分式方程有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】根据分式方程的定义对各小题进行逐一分析即可． 【详解】①的分母中含有未知数，是分式方程； ②是整式方程； ③是整式方程； ④的分母中含有未知数，是分式方程． 故选：C． 【点睛】本题考查的是分式方程的定义，熟知分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解答此题的关键． 【题型2 解分式方程】 5．解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 原方程无解 【详解】（1）解：， 去分母，得， 解得； 检验：当时，； ∴方程的解为； （2）解：， 去分母，得， 解得； 检验：当时，， ∴原方程无解. 6．解方程： (1) (2) 【答案】(1)； (2)无解． 【分析】（1）根据解分式方程的方法求解即可； （2）根据解分式方程的方法求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， 整理得：， 解得：， 经检验，是原方程的解； （2）解：， ∴， 整理得：， 解得：， 经检验，是增根， ∴原方程无解． 7．解下列分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 方程两边都乘以，得． 整理得：， 解得． 检验：把代入，得． ∴是原方程的解． （2）解： 方程两边都乘以得． 解这个整式方程，得． 检验：把代入，得． ∴是原方程的解． 8．解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：去分母得∶， 去括号得 移项、合并同类项得：， 解得：， 经检验是分式方程的解． （2）解∶， 去分母得， 整理得， 解得， 经检验，是原方程的解． 【题型3 根据分式方程解的情况求值】 9．若关于的分式方程的解为正数，则实数的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的解法，一元一次不等式组的解法，正确去分母是解题关键． 先把分式方程化为整式方程，解出，再根据“解为正数”和“分母不为”两个条件列不等式组，求出且． 【详解】解：原方程可化为， ， ， ， 解得， 由方程的解为正数，且分母不能为， 可得， 解得． 故选：． 10．已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的解，先将分式方程化为整式方程求解，再根据解为负数列不等式，同时保证原分式方程分母不为零，进而确定k的取值范围． 【详解】解：∵解分式方程， ∴两边同乘得：， 展开并化简：， ， 移项合并得：， ∴， ∵方程的解为负数， ∴， 解得， 又∵原分式方程分母不能为0，即且， 当时，，解得，故， 当时，，解得，但，此情况不存在， 综上，且， 故选：C． 11．若关于的分式方程有增根，则的值是（   ） A．0 B．2 C．2或3 D．0或2 【答案】C 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法及增根是解题的关键．有增根，即化为整式方程后解出的根会造成原方程分母为零．先解分式方程，再确定分母为零的值，再代入整式方程即可求出． 【详解】解：原方程：， 两边乘得：， 解得：， 原方程分母为零时， 或 . 当增根 时，代入 得：，解得， 当增根 时，代入 得：，解得， 故选C． 12．若关于的分式方程无解，则的值是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】此题考查了分式方程的增根，分式方程无解的可能情况是化简后的解为增根（使分母为零），分式方程去分母转化为整式方程，得到解，再令解等于分母为零的值（或），求出m． 【详解】解：， ， ， ， 当解为增根时无解，即或， 若，则； 若，则． ∴或时方程无解． 故选：A． 【题型4 分式方程应用－工程问题】 13．智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一、某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作.在正常工作状态下，该机器人的每一个机械手平均秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用秒采摘苹果的个数比用秒采摘苹果的个数多个． (1)求的值； (2)现公司有个这样的机器人，每个机器人搭载个相同的机械手同时工作小时，将采摘的苹果全部进行加工，粗加工每个苹果利润元，精加工每个苹果利润元，且要求精加工数量不多于粗加工数量的倍，为获得最大利润，精加工数量应为多少个？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)精加工数量应为个，最大利润是元 【分析】（1）根据“一个机械手用秒采摘苹果的个数比用秒采摘苹果的个数多25个”建立分式方程求解即可； （2）根据题意令粗加工个数为个，则精加工个数为个，得不等式，解出，再得出对应的利润与的函数关系，根据函数性质求最大值即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解． （2）解：共采摘苹果个数为个， 令粗加工个数为个，则精加工个数为个， 则， 解得， 总利润为， 故越小，利润越大， 最小为， ∴总利润最大为元， 对应精加工个数为个， 故精加工数量应为个，最大利润是元． 14．某工厂有A，B型机器人搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，A型机器人2小时搬运的化工原料和B型机器人3小时搬运的化工原料重量相同． (1)两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料？ (2)两种机器人系统升级优化后，A型机器人每小时增加的搬运化工原料重量是B型机器人每小时增加的搬运化工原料重量的1.5倍．工厂里有一批共480千克的化工原料需要搬运．升级后，A型机器人搬运了一半，另外一半由B型机器人搬运，两种类型的机器人一共用了5小时完成，求升级后A型机器人每小时可以搬运多少千克化工原料． 【答案】(1)A型机器人每小时搬运90千克化工原料，B型机器人每小时搬运60千克化工原料. (2)升级后A型机器人每小时可以搬运120千克化工原料． 【分析】（1）设B型机器人每小时搬运千克化工原料，则A型机器人每小时搬运千克化工原料，根据工作效率时间工作总量列出方程求解即可； （2）设B型机器人每小时增加千克，则A型机器人每小时增加千克，根据工作总量工作效率工作时间，两种类型的机器人一共用了5小时完成，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设B型机器人每小时搬运千克化工原料，则A型机器人每小时搬运千克化工原料， 由题意可得：， 解得：， ∴， 答：A型机器人每小时搬运90千克化工原料，B型机器人每小时搬运60千克化工原料． （2）解：设B型机器人每小时增加千克，则A型机器人每小时增加千克， 由题意可得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴A型机器人每小时可以搬运：（千克）， 答：升级后A型机器人每小时可以搬运120千克化工原料． 15．为助力云南乡村振兴，完善滇西乡村交通基础设施，甲，乙两个工程队共同修建一条乡村惠民公路，甲队每天比乙队多修米，甲队修建米所用的时间与乙队修建米所用的时间相等，求甲，乙两队每天各修多少米． 【答案】甲队每天修米，乙队每天修米 【分析】设甲队每天修米，则乙队每天修米，根据时间相等列出分式方程，并转化为一元一次方程求解即可． 【详解】解：设甲队每天修米，则乙队每天修米， 根据题意，可列方程：， 两边同乘以，得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴（米）． 答：甲队每天修米，乙队每天修米． 16．2025年第15届全运会闭幕式在深圳市举行，全运会举办期间，与吉祥物“喜洋洋”“乐融融”相关的文创产品深受大家喜爱．某公司接到首批订单，要生产文创产品共2400件．公司有甲、乙两个生产车间，甲车间每天生产的数量是乙车间的倍．先由甲、乙两个车间共同完成1800件，剩余产品再由乙车间单独完成，前后共用12天完成这批订单． (1)求甲、乙两个车间每天分别生产多少件产品； (2)首批订单完成后，公司将继续生产30天该产品，每天只安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍，要使这30天的生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？最大生产总量是多少？ 【答案】(1)甲车间每天生产165件产品，乙车间每天生产110件产品 (2)应安排甲车间生产20天，乙车间生产10天，最大生产总量为4400件 【分析】（1）设乙车间每天生产件产品，则甲车间每天生产件产品，根据题意列出分式方程，解方程，即可求解； （2）设安排甲车间生产天，乙车间生产天，这30天的生产总量为件，根据题意列出函数关系式，先求得，再根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设乙车间每天生产件产品，则甲车间每天生产件产品， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （件）． 答：甲车间每天生产165件产品，乙车间每天生产110件产品． （2）设安排甲车间生产天，乙车间生产天，这30天的生产总量为件， 根据题意得：， 安排甲车间生产的天数不多于乙车间的2倍， ， 解得：， ， 随的增大而增大， 又为正整数， 最大取20， 当时，取得最大值，为（件）， 此时（天）． 答：应安排甲车间生产20天，乙车间生产10天，最大生产总量为4400件． 17．某科技公司生产服务和工业两种机器人，去年共生产2000台．今年生产线优化升级，服务机器人产量预计比去年增加，工业机器人产量预计比去年增加，则两种机器人总产量预计将比去年共增加380台． (1)求今年服务机器人和工业机器人的产量预计各是多少台？ (2)今年出厂检测时，实际产量与预计相同，公司安排两组工程师同时开始检测工作：A组负责检测服务机器人，B组负责检测工业机器人．已知A组每小时检测效率是B组的1.5倍，最终A组比B组提前30分钟完成任务．问B组每小时检测工业机器人多少台？ 【答案】(1)今年服务机器人产量预计为1380台，工业机器人产量预计为1000台 (2)B组每小时检测工业机器人160台 【分析】（1）设去年服务机器人x台，工业机器人y台，根据题意列出二元一次方程组，据此求解即可； （2）设B组每小时检测a台，则A组每小时台，根据“A组比B组提前30分钟完成任务”列出分式方程，据此求解即可． 【详解】（1）解：设去年服务机器人x台，工业机器人y台， ， 解得，， 今年产量： 服务机器人：台， 工业机器人：台， 答：今年服务机器人产量预计为1380台，工业机器人产量预计为1000台； （2）解：设B组每小时检测a台，则A组每小时台， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 答：B组每小时检测工业机器人160台． 【题型5 分式方程应用-行程问题】 18．春运期间，某列动车平均提速．该动车在提速前行驶和提速后行驶的时间相同，求提速前该动车的平均速度是多少？ 【答案】 【分析】设提速前该动车的平均速度为，根据“该动车在提速前行驶和提速后行驶的时间相同”列分式方程求解． 【详解】解：设提速前该动车的平均速度为， 依题意，得：， 解得： 经检验：是原方程的解，且符合题意． 答：提速前该动车的平均速度为． 19．甲、乙两辆汽车分别从A、B两城同时沿高速公路驶向C城．已知A、C两城的路程为672千米，B、C两城的路程为400千米，甲车的速度是乙车的1.2倍，结果乙车比甲车提前2小时到达C城．求乙车的速度． 【答案】乙车的速度为80千米/时 【分析】设乙车的速度为千米/小时，则甲车速度为千米/小时，根据“乙车比甲车提前2小时到达C城”列分式方程即可求解 【详解】解：设乙车的速度为千米/小时，则甲车速度为千米/小时． 根据题意列方程：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：乙车的速度为80千米/小时． 20．某中学组织八年级学生乘车前往科技场馆参加研学活动．现有两条路线可供选择：路线A的全程是，但交通比较拥堵；路线B比路线A的全程多，但平均速度比走路线A能提高，走路线B能比走路线A少用．求走路线A和路线B的平均速度分别是多少． 【答案】走路线的平均速度是，走路线的平均速度是 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设走路线A的平均速度是x千米/小时，则走路线B的平均速度是千米/小时，利用时间路程速度，结合走路线B能比走路线A少用分钟，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即走路线A的平均速度），再将其代入中，即可求出走路线B的平均速度． 【详解】解：设走路线A的平均速度是，则走路线B的平均速度是． 根据题意，得， 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ． 答：走路线的平均速度是，走路线的平均速度是． 21．为响应东莞市教育局“每周半天计划”，东莞某校推出“山海课堂”，将课堂搬至山海之间，依托松山湖松湖烟雨徒步环湖路线展开活动．学校将初二年级分为20个组，化身“探路者”，每组独立完成一段路线任务，最终拼合出完整的50公里轨迹． 【信息收集】信息一： 路段 路程（千米） 计划平均速度（千米/时） 第11组 松湖烟雨3段（松湖烟雨入口至查理大桥） 12.5 第19组 松湖烟雨2段（柏林墙至康桥） 6 信息二：第11组和第19组计划用时相等． 【问题解决】 (1)求的值和计划用时； (2)第11组的同学前段的平均速度为3千米/时，后段由于体力下降，平均速度降为2千米/时．如果第11组的同学想要在计划的时间内到达终点，则至少需要保持平均速度为3千米/时多长时间？ 【答案】(1)，计划用时5小时 (2)第11组的同学至少需要保持平均速度为3千米/时2.5小时 【分析】此题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是正确列出分式方程和一元一次不等式． （1）根据题意列出分式方程求解即可； （2）设第11组同学保持平均速度为3千米/时的时间为小时，根据题意列出一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，第11组和第19组计划用时相等． 则 解得：， 经检验：是方程的解，且符合题意， 将代入第19组的用时公式，可得计划用时：小时； （2）解：设第11组同学保持平均速度为3千米/时的时间为小时．那么以2千米/时行驶的时间为小时． 根据总路程为12.5千米，可列出不等式： 解得： 答：第11组的同学至少需要保持平均速度为3千米/时2.5小时． 22．甲、乙两同学的家与学校的距离为3000米，甲同学先步行600米，然后乘公交车去学校，乙同学骑自行车上学校．已知甲步行速度是乙骑自行车速度的一半，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍．甲乙两人同时从家出发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟． (1)求乙骑自行车的速度； (2)出发几分钟后，两人与学校的距离相等？ 【答案】(1)乙骑自行车的速度为300米/分钟 (2)出发6分钟后，两人与学校的距离相等 【分析】本题考查了分式方程和一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系． （1）设乙骑自行车的速度为x（米/分钟），则甲步行速度是（米/分钟），公交车的速度是2x（米/分钟），根据题意列方程即可得到结论； （2）乙骑自行车的速度300米/分钟，甲步行速度150米/分钟，公交车速度600米/分钟，甲步行600米所需时间（分钟）设出发t分钟后，两人与学校的距离相等，乙与学校的距离为米，然后分类讨论列方程求解即可． 【详解】（1）解：设乙骑自行车的速度为x（米/分钟），则甲步行速度是（米/分钟），公交车的速度是2x（米/分钟）， 根据题意得 解得：， 经检验是方程的根，且符合题意 答：乙骑自行车的速度为300米/分钟； （2）解：由（1）可得，乙骑自行车的速度300米/分钟，甲步行速度150米/分钟，公交车速度600米/分钟 甲步行600米所需时间（分钟） 设出发t分钟后，两人与学校的距离相等，乙与学校的距离为米， 当时，甲与学校的距离为米， 设 解得（不合题意，舍去） 当时，甲与学校的距离为（米） 设 解得 ∴出发6分钟后，两人与学校的距离相等． 23．2025数字中国创新大赛–中小学生赛道，决赛是用电脑程序控制智能赛车进行30米比赛，“天元号”和“朝阳号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“天元号”到达终点时，“朝阳号”才行驶到全程的，“天元号”比“朝阳号”每秒多行0.8米． (1)求“朝阳号”的行驶速度； (2)如果将“天元号”的行驶路程增加，“朝阳号”的行驶路程不变，两辆赛车再次重新比赛，两车能同时到达吗？通过计算说明； (3)若按照（2）中的路程行驶，请你调整其中一辆赛车的行驶速度，使两车能同时到达终点． 【答案】(1)“朝阳号”的行驶速度是米/秒； (2)不能同时到达，理由见解析 (3)调整后“天元号”的平均速度为米/秒可使两车能同时到达终点（答案不唯一） 【分析】本题主要考查列分式方程解应用题、有理数的混合运算的应用等知识点，根据题意确定等量关系、列出方程是解题的关键． （1）根据“天元号”行全程的与 “朝阳号”行全程的所用时间相等作为等量关系列分式方程求解即可； （2）分别利用“时间=路程÷速度”求出二者时间，然后比较时间即可解答； （3）根据“朝阳号”行30米与“天元号”行36米所用时间相等作为等量关系、列分方程求解即可． 【详解】（1）解：设“朝阳号”的平均速度为米/秒，则“天元号”的平均速度为米/秒， 由题意得：， 解得：，经检验是原方程的解． 答：“朝阳号”的行驶速度是米/秒． （2）解：不能同时到达，理由如下： 设调整后“天元号”的行驶路程为（米）， “天元号”到达终点所用的时间为（秒）， “朝阳号”到达终点所用的时间为（秒）， 两车不能同时到达． （3）解：设调整后“天元号”的平均速度为米/秒． ，解得：． 经检验是原方程的解． 答：调整后“天元号”的平均速度为米/秒可使两车能同时到达终点（答案不唯一）． 【题型6 分式方程应用－销售问题】 24．今年端午节来临之际，某商场预测一品牌枣粽能够畅销．根据预测，每千克枣粽节前的进价比节后多2元，节前用2000元购进枣粽的数量与节后用1600元购进的数量相同．根据以上信息，解答下列问题： (1)该商场节前每千克枣粽的进价是多少元？ (2)如果该商场在节前和节后共准备购进枣粽500千克，且总费用不超过4800元，并按照节前每千克16元，节后每千克12元全部售出，那么该商场节前购进多少千克枣粽获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)该商场节前每千克枣粽的进价是10元 (2)该商场节前购进400千克枣粽获得利润最大，最大利润是2800元 【分析】（1）根据节前用2000元购进枣粽的数量与节后用1600元购进的数量相等这一等量关系，列出分式方程求解即可； （2）根据总费用不超过4800元列出不等式得到节前购进数量的取值范围，再列出利润关于购进数量的一次函数，根据一次函数的增减性即可求出最大利润． 【详解】（1）解：设该商场节后每千克枣粽的进价是元，则节前每千克枣粽的进价是元， 由题意得： 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 则节前进价为 （元）， 答：该商场节前每千克枣粽的进价是10元． （2）解：设该商场节前购进千克枣粽，则节后购进千克枣粽， 由题意得： 解得， 设总利润为元， 由题意得： ， 随着的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值为 （元）， 答：该商场节前购进400千克枣粽获得利润最大，最大利润是2800元． 25．春暖花开，新学期伊始，某中学为了给学生提供充足的体育运动器材，准备购买一批某品牌的足球和排球，每个足球的价格比每个排球的价格多40元，若用1000元购买的足球数量和600元购买的排球数量相等． (1)设每个足球的价格为元，求的值． (2)学校决定购买足球和排球共50个． ①求购买足球和排球的总费用（元）与购买足球数量（个）之间的函数关系式． ②若购买足球的数量不少于排球的数量，则购买足球___________个最合算，总费用为___________元． 【答案】(1)每个足球的价格为100元 (2)①；②25，4000 【分析】 （1）设每个足球的价格为元，则每个排球的价格为元．根据用1000元购买的足球数量和600元购买的排球数量相等，列出分式方程，解方程即可； （2）①设购买足球和排球的总费用（元），购买足球数量（个），则购买排球个，再结合足球和排球的价格列式计算，即可作答． ②根据购买足球的数量不少于排球的数量，求出，再由题意得，然后由一次函数的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：设每个足球的价格为元，则每个排球的价格为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：每个足球的价格为100元； （2）解：①由（1）得每个足球的价格为100元，则每个排球的价格为元 依题意，购买足球和排球的总费用（元），购买足球数量（个）， 则购买排球个． 由题意得：， ②∵购买足球的数量不少于排球的数量， ， 解得：， 由①得， ， 随x的增大而增大， 当时，有最小值，， ∴则购买足球25个最合算，总费用为4000元． 26．冬天是流感高发的季节，在今年冬天来临之际，为了预防流感，某学校购买了一批消杀用品．其中，购买A品牌消毒液共花费9000元，购买B品牌消毒液共花费6000元，且购买A品牌消毒液的数量是B品牌消毒液的2倍．已知购买一瓶A品牌消毒液比购买一瓶B品牌消毒液少用5元． (1)求A，B两种品牌的消毒液每瓶各是多少元． (2)该校决定再购买A，B两种品牌的消毒液共600瓶，且B品牌消毒液的数量不低于A品牌消毒液数量的2倍，则学校应该怎样购买可以使花费最少，最少花费为多少元？ 【答案】(1)A品牌消毒液每瓶15元，B品牌消毒液每瓶20元 (2)购买A品牌消毒液200瓶，B品牌消毒液400瓶时花费最少，最少花费为11000元 【分析】（1）设A品牌消毒液每瓶x元，则B品牌消毒液每瓶元，根据“购买A品牌消毒液的数量是B品牌消毒液的2倍”列分式方程求解； （2）设购买A品牌消毒液m瓶，则购买B品牌消毒液瓶，总花费为w元，根据“B品牌消毒液的数量不低于A品牌消毒液数量的2倍”列不等式求出，然后表示出w，利用一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设A品牌消毒液每瓶x元，则B品牌消毒液每瓶元， 根据题意得， 解得 经检验，是原分式方程的解， ∴（元） 答：A品牌消毒液每瓶15元，B品牌消毒液每瓶20元； （2）解：设购买A品牌消毒液m瓶，则购买B品牌消毒液瓶，总花费为w元， 根据题意得， 解得 ∴ ∵ ∴w随m的增大而减小 ∴当时，w取得最小值，最小值为（元） ∴（瓶） 答：购买A品牌消毒液200瓶，B品牌消毒液400瓶时花费最少，最少花费为11000元． 27．2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩、雪容融深受人们的喜欢，为了抓住商机，乐购商场决定购进一批冰墩墩雪容融纪念品进行销售．已知每件冰墩墩比每件雪容融的进价高30元．用1000元购进冰墩墩的数量和用400元购进雪容融的数量相同． (1)求两种纪念品每件的进价分别是多少元？ (2)第一次乐购商场购进的货很快就脱销，于是计划再次购进冰墩墩、雪容融共200件，其中雪容融的数量不超过冰墩墩数量的，且购进的冰墩墩以每件60元，雪容融以每件35元的价格出售．这次如何进货商场利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)冰墩墩每件的进价为50元，雪容融每件的进价为20元 (2)冰墩墩进货120件，雪容融进货80件时利润最大，最大为2400元 【分析】（1）设冰墩墩每件的进价为x元，则雪容融每件的进价为元，根据用1000元购进冰墩墩的数量和用400元购进雪容融的数量相同，列出方程进行求解即可； （2）设购进冰墩墩m件，利润为w，根据雪容融的数量不超过冰墩墩数量的，列出不等式求出的范围，根据总利润等于两种纪念品的利润之和，列出一次函数关系式，求最值即可． 【详解】（1）解：设冰墩墩每件的进价为x元，则雪容融每件的进价为元， 根据题意得:， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则， 答：冰墩墩每件的进价为50元，雪容融每件的进价为20元． （2）解：设购进冰墩墩m件，则购进雪容融件，利润为w，由题意， ， 解得， ，即， ∵， ∴随着的增大而减小， ∴当时，w取最大值，最大值为2400， 因此，冰墩墩进货120件，雪容融进货80件时利润最大，最大为2400元． 【题型7 分式方程应用－其他问题】 28．王明的爸爸近期准备换车，让王明提出参考建议．王明查阅资料，对于新能源汽车和燃油车的选择，根据爸爸的用车场景、结合经济条件和个人喜好进行分析．综合性价比看中了价格相同的两款国产汽车，最后根据收集的下列信息，请你和王明一起解答． 燃油车 油箱容积：40升 油价：9元／升 续航里程：2a千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：0.6元／千瓦时 续航里程：a千米 每千米行驶费用：______元 (1)用含a的代数式表示出新能源车每千米行驶费用______元； (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车的每千米行驶费用多0.48元．请你帮王明计算一下，这两款车的每千米行驶费用各是多少元？ 【答案】(1) (2) 燃油车每千米行驶费用为元，新能源车每千米行驶费用为元. 【分析】（1）参照题干中燃油车每千米行驶费用的计算方法，用总行驶费用除以续航里程即可得到代数式； （2）先化简燃油车每千米行驶费用的代数式，再根据题干给出的费用差列分式方程求解得到的值，再代入计算得到两款车的每千米行驶费用． 【详解】（1）解：由题意得，新能源车满电总费用为（元）， 续航里程为千米， 因此新能源车每千米行驶费用为元； （2）解：化简燃油车每千米行驶费用：， 根据题意列方程得：， 整理得， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， 燃油车每千米行驶费用为（元）， 新能源车每千米行驶费用为（元）， 答：燃油车每千米行驶费用是0.6元，新能源车每千米行驶费用是0.12元． 29．列方程解下列问题： 重庆市第十四届全民健身运动会参赛人数超万人，运动会设置了若干个大项目，下面又设了若干个小项目，已知小项目数量比大项目数量的7倍多14项，比大项目数量的8倍少10项． (1)求第十四届全民健身运动会设置的大、小项目各有多少个？ (2)其中的热门项目“骑跑两项”第十四届有120人参赛，第十五届参赛人数比第十四届增加了56人，其中第十五届参赛队伍比第十四届增加了4支，平均每支队伍的人数增了，求第十五届有多少支参赛队伍？ 【答案】(1)大项目有24个，小项目有182个． (2)第十五届有16支参赛队伍． 【分析】（1）设大项目的数量为个根据题意列方程求解即可； （2）设第十四届有支参赛队伍，根据题意列分式方程求解即可，注意要验根． 【详解】（1）解：设大项目的数量为个， 根据题意得， 解得， 则， 答：大项目有24个，小项目有182个． （2）解：设第十四届有支参赛队伍． 根据题意得， 化简得， ， 移项并求解： ， ， ， ， 经检验，是分式方程的根， ， 答：第十五届有16支参赛队伍． 30．综合与实践：探究奶茶甜度． 【阅读材料】奶茶甜度的计算方法：奶茶甜度．（注：所加入的糖均能完全溶解） 【问题背景】某奶茶店一杯克的奶茶含糖量克，称甜度为全糖；含糖量克，称甜度为七分糖；含糖量克，称甜度为五分糖；含糖量克，称甜度为三分糖．请结合奶茶甜度的计算方法解决以下问题． (1)当时，往一杯克的七分糖奶茶中再加入多少克的糖才能跟全糖奶茶的甜度一样？ (2)一天，小明到这家奶茶店点了一杯克的五分糖奶茶，由于店员疏忽，做成了一杯克的三分糖奶茶，店员往这杯奶茶中又加入了克糖．则店员最后做出来的奶茶与五分糖奶茶哪个甜度更大？ 【答案】(1)再加入克的糖才能跟全糖奶茶的甜度一样 (2)店员调整后的奶茶的甜度小于五分糖奶茶甜度 【分析】本题主要考查分式方程的应用，正确处理题中的数量关系是解答本题的关键． （1）先算出七分糖奶茶的初始甜度和全糖奶茶的甜度，然后设加入糖的质量为未知数，根据加入糖后两者甜度相等列方程求解； （2）分别计算出调整后奶茶的甜度和五分糖奶茶的甜度，再进行比较即可． 【详解】（1）解：当时，七分糖奶茶的含糖量为克； 全糖奶茶的甜度为， 设往七分糖奶茶中再加入x克糖能跟全糖奶茶甜度一样，此时七分糖奶茶加入糖后含糖量为克，奶茶总质量克，其甜度为， 根据甜度相等得： 解得， 经检验，是原方程的根， 答：再加入克的糖才能跟全糖奶茶的甜度一样； （2）解：五分糖奶茶的甜度为； 三分糖奶茶的含糖量为克，加入克糖后，含糖量变为克，奶茶总质量为克，此时甜度为； ∵， ∴， 所以，店员调整后的奶茶的甜度小于五分糖奶茶甜度． 31．某市高铁站将原来的检票系统换成了智能通道闸机系统，如图1所示是一个智能通道闸机，它的双翼成轴对称，当旅客通过时智能闸机时会自动识别旅客身份，识别成功后，双翼会收回到两侧闸机箱内，这时旅客即可通过．图②是双翼展开时的截面图，扇形和是闸机的圆弧翼，和均垂直于地面，双翼边缘的端点与点在同一水平线上，且它们之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机箱的夹角． (1)当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度为 ； (2)经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的倍，人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数． 【答案】(1) (2)人 【分析】本题考查了直角三角形的应用，分式方程的应用； （1）连接，并向两方延长，分别交于，根据题意得到，再根据直角三角形的性质得到，，代入计算即可； （2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：连接，并向两方延长，分别交于， 由点在同一条水平线上，均垂直于地面可知，， 所以的长度就是与之间的距离， 在中，，， ∴， 同理可得， ∴， ∴当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度； （2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人， 根据题意得，， 解得：， 经检验，是原方程的根， 当时，， 答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数约为人． 1 学科网（北京）股份有限公司 $