专题03 二次根式的加减法（七大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年八年级数学下册《知识解读·题型专练》（苏科版）

**基本信息** 以七大题型系统覆盖二次根式加减法，从概念辨析到实际应用，构建“概念-运算-变形-应用”完整知识链，培养运算能力与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |同类二次根式|4题|辨析最简二次根式及同类条件|概念基础，抽象二次根式本质属性| |加减运算|5题|化简后合并同类二次根式|运算核心，训练基本技能| |混合运算|6题|结合乘除、括号的综合运算|技能提升，强化运算逻辑| |已知字母值求值|2题|代入化简代数式|代数变形，培养推理意识| |已知条件式求值|6题|利用条件转化代数式|综合应用，发展数学思维| |比较大小|5题|平方法、构造法等策略|方法拓展，提升问题解决能力| |应用|5题|结合几何、实际问题建模|联系现实，强化应用意识|

专题03 二次根式的加减法（七大题型） 【题型1 同类二次根式】.......................................................................................................1 【题型2 二次根式的加减运算】............................................................................................3 【题型3 二次根式的混合运算】............................................................................................5 【题型4 已知字母的值，化简求值】.....................................................................................8 【题型5 已知条件式，化简求值】.........................................................................................9 【题型6 比较二次根式的大小】...........................................................................................12 【题型7 二次根式的应用】...................................................................................................16 【题型1 同类二次根式】 1．与是同类二次根式的为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同类二次根式的定义，先将各选项化为最简二次根式，再比较被开方数，被开方数和的被开方数相同的即为所求 【详解】解：A、，化简后被开方数为，与的被开方数相同， 与是同类二次根式； B、是最简二次根式，被开方数为，与被开方数不同，不是同类二次根式； C、，化简后被开方数为，与被开方数不同，不是同类二次根式； D、是最简二次根式，被开方数为，与被开方数不同，不是同类二次根式 2．若和最简二次根式是同类二次根式，则的值为（    ） A．2 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，化简二次根式，先化简，再根据被开方数相同的两个最简二次根式是同类二次根式得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：， ∵和最简二次根式是同类二次根式， ∴， ∴， 故选：A． 3．下列二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式. 判断二次根式是否为同类，需化简为最简二次根式后，比较根号内的被开方数是否相同. 【详解】解：A.与根号内的被开方数不同，不是同类二次根式； B.与根号内的被开方数相同，是同类二次根式； C.与根号内的被开方数不同，不是同类二次根式； D.与根号内的被开方数不同，不是同类二次根式； 故选：B. 4．若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则__________． 【答案】4 【分析】本题考查同类二次根式的定义，二元一次方程，掌握知识点是解题的关键． 根据同类二次根式的定义，被开方数必须相等，列出方程求解得到x与y的关系，得到的值即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴被开方数相等，即， ． 故答案为4． 【题型2 二次根式的加减运算】 5．计算：． 【答案】 【详解】解：． ． 6．计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 7．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 8．计算： 【答案】 【详解】解： ． 9．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先运用二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式即可； （2）先运用二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式即可； （3）先运用二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式即可； （4）先运用二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【题型3 二次根式的混合运算】 10．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 11．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 12．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算．先将非最简二次根式化为最简形式，再根据二次根式的混合运算法则进行运算即可解答． 【详解】（1）解： （2） 13．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 14．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的知识，解题的关键是掌握二次根式的乘除运算和加减运算法则． （1）根据平方差公式，完全平方公式，先计算小括号，然后根据二次根式的加减运算法则，即可； （2）先计算小括号，二次根式的除法，然后根据二次根式的加减运算法则，即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 15．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ；       （2）解：原式 . 【题型4 已知字母的值，化简求值】 16．已知：，，求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的运算与乘法公式，先计算出，和的值，再利用完全平方公式和平方差公式对所求式子变形，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，． ∴ ． （2）解：，由完全平方公式可得：． （3）解：，由平方差公式可得：． 17．计算：先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为， 【分析】先对原式中的分子分母进行因式分解，再根据分式的运算法则进行化简，最后将a的值代入化简后的式子求值． 【详解】解：原式 ， 当时，． 【题型5 已知条件式，化简求值】 18．已知，，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过已知条件求出的值，再计算，最后根据二次根式的性质开方得到结果. 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴. 19．已知，则_________． 【答案】 【分析】利用完全平方公式对所求代数式变形，得到，结合已知条件求出平方后的结果，最后开方取正根即可得到答案． 【详解】解： 将代入得： ， ∵， ∴． 20．已知，，则的值为______． 【答案】 3 【详解】解：根据题意，， ∴，整理得，， ∴，化简得， ∴． 21．已知，，求的值． 【答案】 【分析】根据、可知，再根据二次根式的性质化简可得，最后将代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ． 22．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式化简求值，熟练掌握平方差公式，二次根式性质，是解题的关键． 计算，把条件式代入，即得结果式的值． 【详解】解：∵ ， 且， ∴． 23．【问题背景】 已知 ，求 的值． 【问题解决】 （1）小颖通过思考，形成如下解题思路：先将等式两边都除以x，得到 的值，再利用完全平方公式求出的值．请按照该思路，写出上述题目完整的求解过程； 【拓展应用】 （2）已知 ，求 的值； （3）已知，求 的值． 【答案】（1），见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查了完全平方公式的变形，二次根式的运算等知识．熟练掌握完全平方公式的变形，二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据题意可得，根据，代值求解即可； （2）同理（1）计算求解即可； （3）同理（1）可得，进而可求 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ， ∴的值为． （2）解： ， ∴， ∴的值为； （3）解：， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 【题型6 比较二次根式的大小】 24．比较大小：_______，_______2，_______． 【答案】 < < > 【分析】实数的大小比较方法： 比较带二次根号的正数，可通过比较被开方数的大小判断结果；比较两个负数，先比较两个数的绝对值，再根据负数大小比较法则判断． 【详解】解：①比较和， ， ； ②比较和， ， ，即； ③比较和， ，， ， ，即， ． 25．观察下列一组等式，然后解答后面的问题 (1)观察以上规律，请写出第个等式：_____（n为正整数）． (2)利用上面的规律，计算： (3)请利用上面的规律，比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据所给式子，可得出第个等式为； （2）根据题目中材料，可以先将所求式子分母有理化，再化简即可解答本题； （3）根据上面的规律可以比较和的大小． 【详解】（1）解：（为正整数）. （2）解： . （3）解：，， 而， . 26．比较大小： (1)与 (2)与 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据立方根的定义得到，且，即可比较； （2）由，，且，即可比较． 【详解】（1）解： ， ， ， ，即； （2）解： ，，且， ，即． 27．已知： ，比较m、 n 的大小（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】解：， ∵， ∴， ∴. 28．素材1：在进行二次根式比较大小时，“平方法”是非常有效的方法．例如，比较和的大小时，我们可以将和分别平方． ∵，，，∴． 素材2：我们可以用在方格纸中构造线段的方法来比较无理数的大小．如在图1的方格纸中，，，显然，∴． 根据以上素材，解决下面问题： (1)比较大小：______8； (2)小明在比较与的大小时，想出了以下两种方法： ①从“数”的角度：利用平方法，证明“”； ②从“形”的角度”：在图2的方格纸中画出图形，证明“”． 【答案】(1)＞； (2)①见解析；②见解析． 【分析】本题考查二次根式的大小比较，实数的乘方，三角形的三边关系，掌握知识点是解题的关键． （1）分别求出两个数的平方，再比较大小即可； （2）①根据平方法比较大小的步骤，逐步求解即可；②画出三角形，再比较大小即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． 故答案为：>． （2）解：①证明：∵， ，而， ∴， ∴． ②如图，，，． ∵， ∴． 【题型7 二次根式的应用】 29．电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能收听、收看到广播电视节目的区域就越广．已知电视塔的高度h（单位：m）与电视节目的信号传播半径r（单位：m）之间满足，其中R是地球半径，． (1)已知广州塔的高度约，求广州塔发射节目信号的传播半径．（） (2)记电视塔A的高度为，电视塔B的高度为，求电视塔A与电视塔B发射节目信号的传播半径之比． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意代入求解即可； （2）根据题意列出，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵电视塔的高度h（单位：m）与电视节目的信号传播半径r（单位：m）之间满足， ∴当时，， ∵， （m）， 则广州塔发射节目信号的传播半径为， （2）解：电视塔A的高度为，电视塔B的高度为， 则，， 则电视塔A与电视塔B发射节目信号的传播半径之比为：． 30．2024版新教材八下阅读与思考，介绍了海伦-秦九韶公式． ①，其中（海伦公式）； ②（秦九韶公式）． 两个公式都可以利用三角形的三边长求三角形的面积． 已知一个三角形的三边a，b，c分别为2，，，选用一个公式求这个三角形的面积． 【答案】 【详解】解：海伦公式： ∴ ； 秦九韶公式： ∵a，b，c分别为2，，， ∴， ∴． 31．如图，从一个大正方形纸片中裁去面积分别为和的两个小正方形． (1)求大正方形的周长； (2)求剩下部分的面积． 【答案】(1)大正方形的周长为 (2)剩余图形的面积为 【分析】（1）先利用算术平方根的意义和二次根式的性质求得两正方形的边长，然后求和即可； （2）用大正方形的面积减去阴影部分的面积即可． 【详解】（1）解：两个正方形的面积分别为和， 正方形的边长分别为，， 大正方形的周长为； （2）解：． 32．如图，小明家有一块长方形空地，长为 宽为 现要在空地中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为 宽为 (1)求长方形空地的周长； (2)求小明家种草莓的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据长方形的周长公式求解即可； （2）小明家种草莓的面积等于长方形的面积减去长方形水池的面积，据此列式求解即可． 【详解】（1）解： ， 答：长方形空地的周长为； （2）解： ， 答：小明家种草莓的面积为． 33．某居民小区有一块长方形空地，空地的长为，宽为，现要在空地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），花坛的长为，宽为． (1)求空地的周长． (2)除修建花坛的地方，其余地方全修建成通道，通道要铺设造价为50元的地砖，要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由长方形的周长等于相邻两边和的2倍，再计算二次根式的加法，后计算乘法即可； （2）先求解通道的面积，再乘以单价即可得到答案． 【详解】（1） ， 答：长方形的周长是； （2） ， ， 答：购买地砖需要花费元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次根式的加减法（七大题型） 【题型1 同类二次根式】.......................................................................................................1 【题型2 二次根式的加减运算】............................................................................................1 【题型3 二次根式的混合运算】...........................................................................................2 【题型4 已知字母的值，化简求值】.....................................................................................4 【题型5 已知条件式，化简求值】.......................................................................................4 【题型6 比较二次根式的大小】...........................................................................................5 【题型7 二次根式的应用】...................................................................................................7 【题型1 同类二次根式】 1．与是同类二次根式的为（   ） A． B． C． D． 2．若和最简二次根式是同类二次根式，则的值为（    ） A．2 B． C．6 D． 3．下列二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则__________． 【题型2 二次根式的加减运算】 5． 计算：． 6．计算： 7．计算： (1)； (2)． 8．计算： 9．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型3 二次根式的混合运算】 10．计算 (1) (2) 11．计算： (1)； (2)． 12．计算： (1)； (2)． 13．计算： (1) (2) (3) (4) 14．计算 (1) (2) 15．计算： (1)； (2)． 【题型4 已知字母的值，化简求值】 16．已知：，，求下列各式的值． (1)； (2)； (3)． 17．计算：先化简，再求值：，其中． 【题型5 已知条件式，化简求值】 18．已知，，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 19．已知，则_________． 20．已知，，则的值为______． 21．已知，，求的值． 22.已知，求的值． 23．【问题背景】 已知 ，求 的值． 【问题解决】 （1）小颖通过思考，形成如下解题思路：先将等式两边都除以x，得到 的值，再利用完全平方公式求出的值．请按照该思路，写出上述题目完整的求解过程； 【拓展应用】 （2）已知 ，求 的值； （3）已知，求 的值． 【题型6 比较二次根式的大小】 24．比较大小：_______，_______2，_______． 25．观察下列一组等式，然后解答后面的问题 (1)观察以上规律，请写出第个等式：_____（n为正整数）． (2)利用上面的规律，计算： (3)请利用上面的规律，比较与的大小． 26．比较大小： (1)与 (2)与 27．已知： ，比较m、 n 的大小（    ） A． B． C． D．无法确定 28．素材1：在进行二次根式比较大小时，“平方法”是非常有效的方法．例如，比较和的大小时，我们可以将和分别平方． ∵，，，∴． 素材2：我们可以用在方格纸中构造线段的方法来比较无理数的大小．如在图1的方格纸中，，，显然，∴． 根据以上素材，解决下面问题： (1)比较大小：______8； (2)小明在比较与的大小时，想出了以下两种方法： ①从“数”的角度：利用平方法，证明“”； ②从“形”的角度”：在图2的方格纸中画出图形，证明“”． 【题型7 二次根式的应用】 29．电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能收听、收看到广播电视节目的区域就越广．已知电视塔的高度h（单位：m）与电视节目的信号传播半径r（单位：m）之间满足，其中R是地球半径，． (1)已知广州塔的高度约，求广州塔发射节目信号的传播半径．（） (2)记电视塔A的高度为，电视塔B的高度为，求电视塔A与电视塔B发射节目信号的传播半径之比． 30．2024版新教材八下阅读与思考，介绍了海伦-秦九韶公式． ①，其中（海伦公式）； ②（秦九韶公式）． 两个公式都可以利用三角形的三边长求三角形的面积． 已知一个三角形的三边a，b，c分别为2，，，选用一个公式求这个三角形的面积． 31．如图，从一个大正方形纸片中裁去面积分别为和的两个小正方形． (1)求大正方形的周长； (2)求剩下部分的面积． 32．如图，小明家有一块长方形空地，长为 宽为 现要在空地中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为 宽为 (1)求长方形空地的周长； (2)求小明家种草莓的面积． 33．某居民小区有一块长方形空地，空地的长为，宽为，现要在空地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），花坛的长为，宽为． (1)求空地的周长． (2)除修建花坛的地方，其余地方全修建成通道，通道要铺设造价为50元的地砖，要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 1 学科网（北京）股份有限公司 $