专题04 二次根式56道计算题专项训练（7大题型）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升讲练（苏科版2024）

**基本信息** 聚焦二次根式7大核心题型，以56道分层计算题构建“概念-运算-应用”逻辑链，融合错误分析与方法提炼，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |加减计算|8题|先化简再合并同类二次根式|从最简根式概念延伸至加减法则| |乘除计算|8题|运用积商算术平方根法则|承接乘除法则，强化符号运算| |混合运算|8题|结合四则运算顺序，分步化简|综合加减乘除，培养运算逻辑| |同类二次根式|8题|被开方数相同的化简判断|概念应用，链接加减运算前提| |化简求值|8题|先代数变形再代入计算|运算能力与代数推理结合| |最简二次根式|8题|被开方数不含分母及开方因数|概念生成，为运算奠基| |分母有理化|8题|平方差公式去分母根号|概念拓展，提升运算技巧|

第04讲 二次根式56道计算题专项训练（7大题型） 题型一 二次根式的加减计算 题型二 二次根式的乘除计算 题型三 二次根式的混合运算 题型四 同类二次根式 题型五 二次根式的化简求值 题型六 最简二次根式 题型七 分母有理化 【经典计算题一 二次根式的加减计算】 1．（25-26八年级下·广东东莞·期中）计算： 【答案】 【详解】解： ． 2．（25-26八年级下·北京·月考）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 3．（2025八年级下·辽宁·专题练习）（1）计算： （2）化简： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的加减运算，掌握运算法则是解本题的关键； （1）先化简各二次根式，再合并即可； （2）先化简各二次根式，再合并即可； 【详解】解：（1） ； （2） ； 4．（2026八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，熟知二次根式的加减运算法则是解题的关键． （1）（2）（3）先化简二次根式，再根据二次根式的加减运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算，解题的关键是正确化简二次根式． （1）先化简二次根式，再去括号进行加减运算； （2）先化简二次根式，再去括号进行加减运算． 【详解】（1）解： （2）解： 7．（24-25八年级下·全国·单元测试）运算能力计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算， 对于（1），先化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可； 对于（2），先化简成最简二次根式，同时去括号，再合并同类二次根式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．（2025九年级上·全国·专题练习）根据所给的方法，完成下列问题： 分母有理化：． 解：． (1)计算：； (2)已知，，求的值． 【答案】(1)9 (2)1 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）仿照例题对二次根式进行分母有理化，合并即可； （2）对、进行分母有理化，分别求出和，利用完全平方公式的变形，代入求值即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：，， ，， ． 【经典计算题二 二次根式的乘除计算】 9．（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）计算：． 【答案】0 【分析】先进行乘除运算，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握相关运算法则，正确的计算． 10．（24-25八年级下·福建莆田·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是关键． 根据二次根式的性质化简，二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 11．（24-25八年级下·全国·单元测试）运算能力计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式乘除混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据二次根式乘除混合运算法则，进行计算即可； （2）根据二次根式乘除混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 12．（25-26八年级下·山东潍坊·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用二次根式乘法法则，将被开方数相乘，再化简结果为最简二次根式． （2）类比单项式乘单项式法则，系数相乘、被开方数相乘，再化简结果． （3）运用二次根式除法法则，被开方数相除，再进行分母有理化化简． （4）遵循二次根式乘除混合运算顺序，从左至右计算，被开方数依次乘除后化简． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 13．（24-25九年级上·全国·课后作业）若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，能够理解平方数的非负性，并利用法则准确的计算化简是解决本题的关键． 先利用平方数的非负性及两个非负数的和为0，那么这两个非负数都必须为0的特点求出、的值，再将其代入二次根式求值即可． 【详解】解：． ，， ，． 当，时， 原式 ． 14．（25-26八年级下·上海·期中）化简： 【答案】 【详解】 解 ∵， ∴原式 15．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）根据二次根式的乘除法运算法则进行计算即可； （2）先根据二次根式有意义的条件得出，再根据二次根式的混合运算法则和二次根式性质化简求解即可． 【详解】（1）解：∵，有意义， ∴， ∴ ； （2）解：∵有意义， ∴， ． 16．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据二次根式的除法运算法则，分母有理化计算即可； （2）利用乘法分配律计算，利用分数的性质和二次根式的性质化简； （3）根据二次根式除法和运算法则和分母有理化化简，再计算与5的和即可； （4）先利用完全平方公式、平方差公式分别进行计算，再求和即可． 【详解】（1） （2） （3） （4） 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【经典计算题三 二次根式的混合运算】 17．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式混合运算以及零次幂，熟记二次根式的性质是解题的关键． 根据二次根式性质以及零次幂化简，再计算即可． 【详解】解：原式． 18．（24-25八年级下·北京东城·月考）计算： 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键，先计算算术平方根与二次根式的乘法运算，再合并即可． 【详解】解： 19．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．（25-26八年级下·陕西商洛·月考）已知，．求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算，再根据，代入求值即可； （2）根据，代入求值即可． 【详解】（1）解：，， ， ． （2）解：，， ， ， ； 21．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键： （1）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答； （2）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2） ． 22．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）按要求完成下列各题： (1)计算：． (2)化简：当时，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）把代入中， 原式 ． 23．（25-26八年级下·山东聊城·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 24．（25-26八年级下·甘肃陇南·月考）在计算的值时，小陇的解题过程如下： 解： (1)老师认为小陇的解法有错，请你指出：小陇是从第________步开始出错的； (2)请你给出正确的解题过程． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据二次根式的运算法则进行判断即可，同类二次根式可以直接合并，不是同类二次根式的不能合并； （2）先计算二次根式的乘法和除法，再化简二次根式，最后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：小陇是从第步开始出错的． （2）解：原式 ． 【经典计算题四 同类二次根式】 25．（24-25八年级下·浙江舟山·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简为最简根式，再合并同类二次根式即可； （2）先去括号再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 26．（24-25八年级上·全国·单元测试）如果最简二次根式与是同类二次根式，求的值． 【答案】． 【分析】本题考查同类二次根式，根据两个最简二次根式的被开方数相同，则这两个最简二次根式为同类二次根式，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：． 27．（24-25八年级下·江西赣州·期中）（1）计算：； （2）已知最简二次根式与可以合并，求的值． 【答案】（1）   （2） 【分析】本题考查同类二次根式和二次根式和加减： （1）先化简二次根式，然后合并解题即可； （2）根据同类二次根式的定义得到，从而可确定a的值． 【详解】解：（1） ； （2）∵最简二次根式与可以合并， ∴， 解得． 28．（24-25八年级下·河北石家庄·月考）已知最简二次根式和可以合并，你能求出使有意义的的取值范围吗？ 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解二元一次方程组，最简二次根式，理解最简二次根式和二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：根据已知可得， 解得， 有意义， 则，解得． 29．（24-25八年级上·福建福州·期末）如果最简二次根式与能进行合并．且，化简：． 【答案】 【分析】根据同类二次根式的定义列出方程求解，然后根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：∵最简二次根式与能进行合并 ∴， 解得． ∵， ∴， 【点睛】本题考查了二次根式的化简和同类二次根式，解题关键是熟记，准确进行计算求解． 30．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)化简：_______；______． (2)若最简二次根式与是同类二次根式，求a的值． 【答案】(1)， (2)． 【分析】本题主要考查最简二次根 及二次根式的化简，数轴，解答的关键是对相应的知识的掌握． （1）由数轴可得，再根据二次根式的性质进行求解即可； （2）根据最简二次根式和同类二次根式的定义列方程求解即可． 【详解】（1）由数轴得：， ， ． 故答案为：，； （2） 解：最简二次根式与是同类二次根式， ， 解得：（不合题意，舍去）或． ∴ 31．（24-25八年级下·安徽安庆·月考）如果最简二次根式与是同类二次根式． (1)求出a的值； (2)若a≤x≤2a，化简： 【答案】(1)3 (2)4 【分析】(1)根据同类二次根式的被开方数相等可列出方程，解出即可； (2)根据(1)可得3≤x≤6，再根据完全平方公式及去绝对值符号法则进行运算，即可求得结果． 【详解】（1）解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴4a-5=13-2a， 解得a=3； （2）解：∵a≤x≤2a，a=3， ∴3≤x≤6， ∴ =4． 【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，利用二次根式的性质化简，去绝对值符合号法则，熟练掌握和运用各定义和法则是解决本题的关键． 32．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）已知二次根式． (1)求使得该二次根式有意义的的取值范围； (2)已知是最简二次根式，且与可以合并， 求的值； 求与的乘积． 【答案】(1)； (2)；． 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于进行求解即可； （2）根据最简根式和同类二次根式的定义可得，解方程即可得到答案； 根据所求利用二次根式的乘法计算法则求解即可； 本题主要考查了二次根式有意义的条件，最简二次根式和同类二次根式的定义，二次根式的乘法等等，熟知二次根式的相关知识是解题的关键． 【详解】（1）∵二次根式有意义， ∴， 解得：； （2）， ∵与可以合并， ∴， 解得：； 由得：， ， ． 【经典计算题五 二次根式的化简求值】 33．（24-25八年级下·新疆喀什·月考）已知，，求的值． 【答案】20 【分析】先求得的值，然后根据完全平方公式将代数式变形即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ． 34．（24-25八年级上·上海·月考）先化简，再求值，其中，． 【答案】， 【分析】根据分母有理化和完全平方公式可以化简题目中的式子，然后将、的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【点睛】本题考查二次根式的化简求值、分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法． 35．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）化简求值：，其中． 【答案】， 【分析】先利用二次根式的性质化简各项，再进行加减运算，然后把代入， 即可求解． 【详解】解：原式 当时， 原式． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，熟练掌握利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． 36．（2025·吉林长春·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先利用完全平方公式和单项式乘以多项式法则化简，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 37．（25-26八年级上·四川成都·月考）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)4 (2)13 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先进行分母有理化，得，，故，，然后代入进行计算，即可作答． （2）把，代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，，， 则，． ∴． （2）解：由（1）得，， ∴． 38．（24-25八年级下·山东烟台·期末）先化简，再求值：已知y=，求的值． 【答案】-，- 【分析】根据二次根式性质得到x=，y=，再根据完全平方差公式和二次根式的性质化简原式，最后将x，y的值代入求解即可． 【详解】解：根据已知，得1-3x≥0且3x-1≥0， ∴x=，y=， ∵ =2x-+y-（2x+y） =2x-+y-2x-y = - ∴当x=，y=，原式= -=-2． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质：是解题的关键． 39．（25-26八年级上·上海静安·期中）先化简，后求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的化简求值是解题的关键． 把原式化简，分母有理化得，通分化简后，把代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 40．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）化简求值： (1)化简求值：，其中，． (2)若代数式，求的值 【答案】(1)； (2)；3 【分析】本题主要考查了整式化简求值，二次根式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）先根据整式混合运算法则，结合完全平方公式和平方差公式进行化简，然后代入数据求值即可； （2）先根据完全平方公式和平方差公式进行化简，然后整体代入求值即可． 【详解】（1）解： ， 把，代入得：原式； （2）解： ， 把代入得：原式． 【经典计算题六 最简二次根式】 41．（2025八年级上·北京·专题练习）化简． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，掌握其运算规则是解题的关键． 先将被开方数化简，再开方，即可求解． 【详解】解：． 42．（24-25八年级下·全国·课后作业）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）利用二次根式的性质化简即可； （2）利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 43．（24-25九年级上·甘肃天水·月考）把下列二次根式化简最简二次根式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)4 (2) (3) (4) 【分析】利用二次根式化简即可． 【详解】（1）解：==4 ； （2）解：===； （3）解：==； （4）解：． 【点睛】本题主要考查化简二次根式，掌握化简二次根式的方法是解题的关键． 44．（25-26八年级下·全国·单元复习）把下列各式化成最简二次根式： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先将写成，然后利用进行化简即可； （2）先将写成，然后利用进行化简即可； （3）先将写成，然后利用进行化简即可； 本题主要考查了二次根式化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 45．（24-25八年级下·全国·课后作业）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）利用二次根式的性质化简即可； （2）利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 46．（24-25八年级下·北京朝阳·月考）把下列二次根式化为最简二次根式： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的性质，最简二次根式，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质化简即可． （2）根据二次根式的性质化简即可． （3）根据二次根式的性质化简即可． （4）根据二次根式的性质化简即可． 【详解】（1） （2） （3） （4） 47．（25-26八年级下·全国·周测）请观察式子：，． 仿照上面的方法解决下列问题： (1)化简：①；②；③． (2)把中根号外的因式移到根号内，求化简后的结果． 【答案】(1)①  ②  ③ (2) 【分析】（1）仿照例子，将根号外的数平方后移入根号内，再结合二次根式的性质化简； （2）先根据二次根式有意义的条件确定的范围，再将根号外的因式变形后移入根号内化简． 【详解】（1）解：①． ②． ③． （2）解：把中根号外的因式移到根号内： 由有意义，得，即． 将变形为，再平方移入根号内： 原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简（根号外因式移入根号内），解题关键是先根据二次根式有意义的条件确定字母的取值范围，再将根号外的因式平方后（注意符号）移入根号内化简． 48．（24-25八年级下·安徽芜湖·期中）阅读下面的化简过程，仿做后面的各小题： 化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将变形为，然后得出，求出结果即可； （2）将变形为，然后得出，求出结果即可； （3）将变形为，然后得出，求出结果即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【点睛】本题主要考查了利用二次根式性质化简，解题的关键是熟练掌握二次根式性质，理解题意． 【经典计算题七 分母有理化】 49．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，．试比较a与b的大小． 【答案】 【分析】本题主要考查了分母有理化，先将a分母有理化，即分子和分母都乘以，再根据平方差公式计算，并比较． 【详解】解：，， 所以． 50．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）化简并求值：已知，，求的值． 【答案】，4 【分析】先将原式分母有理化得，再把a，b的值代入计算可得答案． 【详解】解： 当时，原式= 【点睛】本题主要考查了二次化简求值，正确进行分母有理化是解答本题的关键． 51．（24-25八年级下·山东淄博·期中）先观察下列等式的计算过程，再完成习题： ； ； ． 请计算：． 【答案】，． 【分析】利用例题的规律化简各个式子即可得到结果． 【详解】解：， ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，弄清阅读材料中的解题方法是解题的关键． 52．（24-25八年级上·广东佛山·月考）阅读材料：，用上述类似的方法解决问题： (1)化简：； (2)若是的小数部分，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接找出分母有理化因式进而化简求出答案； （2）直接表示出a的值，进而化简求出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴的整数部分是2，则的小数部分是， ∴， ∴ ． 【点睛】此题主要考查了分母有理化，正确表示出有理化因式是解题关键． 53．（24-25八年级下·北京密云·期末）阅读材料，并回答问题： 小君在学习二次根式时，化简的过程如下： 解：     ……第①步     ……第②步     ……第③步     ……第④步 (1)上述解答过程中，从第______步开始出现了错误（填序号）； (2)在下面的空白处，写出正确的解答过程． 【答案】(1)② (2) 【分析】（1）利用分母有理化进行计算，逐一判断即可解答； （2）利用分母有理化进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：上述解答过程中，从第②步开始出现了错误， 故答案为：②； （2）正确的解答过程如下： 【点睛】本题考查了分母有理化，二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 54．（24-25八年级下·山西大同·期中）在进行二次根式的化简时，我们有时会遇到形如的式子，对于这类式子我们可以进一步将其化简，使其分母转化为有理数，这一过程叫做分母有理化． 例如： (1)用上述方法化简； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据例题的方法，分母有理化即可求解； （2）将每一项都分母有理化，继而即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： ． 【点睛】本题考查了分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 55．（24-25八年级上·山东枣庄·月考）阅读下面计算过程． ； ； ． 请解决下列问题 （1）根据上面的规律，请直接写出＝　 　． （2）利用上面的解法，请化简：． （3）你能根据上面的知识化简吗？若能，请写出化简过程． 【答案】（1）；（2）；（3）能， 【分析】（1）根据规律，分子、分母同时乘分母的有理化因式即可； （2）将每个式子都分母有理化即可发现规律； （3）分子、分母同时乘分母的有理化因式即可． 【详解】解：（1） 故答案为 （2） （3） 故答案为 【点睛】此题考查的是分母有理化，掌握含根号的式子的有理化因式是解决此题的关键. 56．（25-26八年级上·山西晋中·期中）【阅读材料】 在二次根式的计算中，，，，它们的积不含根号，我们称这样的两个二次根式互为“有理化因式”．例如，与，与，与等都是互为“有理化因式”．于是我们可以利用这样的两个二次根式，进行分母有理化（通过分子、分母同乘一个式子，把分母中的根号化去转化为有理数的过程）．例如： ，． 【解决问题】 (1)化简：①______， ②______； (2)已知，，化简，得______，______，直接写出的值． 【答案】(1)①  ② (2)；；56 【分析】本题主要考查分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用分母有理化进行计算，即可解答； （2）先进行分母有理化，然后再进行计算即可解答． 【详解】（1）解：①； ②； 故答案为：①② （2）解：， ， ∴， ∴． 故答案为：；． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 二次根式56道计算题专项训练（7大题型） 题型一 二次根式的加减计算 题型二 二次根式的乘除计算 题型三 二次根式的混合运算 题型四 同类二次根式 题型五 二次根式的化简求值 题型六 最简二次根式 题型七 分母有理化 【经典计算题一 二次根式的加减计算】 1．（25-26八年级下·广东东莞·期中）计算： 2．（25-26八年级下·北京·月考）计算：． 3．（2025八年级下·辽宁·专题练习）（1）计算： （2）化简： 4．（2026八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)． 7．（24-25八年级下·全国·单元测试）运算能力计算： (1)； (2)． 8．（2025九年级上·全国·专题练习）根据所给的方法，完成下列问题： 分母有理化：． 解：． (1)计算：； (2)已知，，求的值． 【经典计算题二 二次根式的乘除计算】 9．（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）计算：． 10．（24-25八年级下·福建莆田·期中）计算：． 11．（24-25八年级下·全国·单元测试）运算能力计算： (1)； (2)． 12．（25-26八年级下·山东潍坊·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 13．（24-25九年级上·全国·课后作业）若，求的值． 14．（25-26八年级下·上海·期中）化简： 15．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)． (2)． 16．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【经典计算题三 二次根式的混合运算】 17．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）计算： 18．（24-25八年级下·北京东城·月考）计算： 19．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）计算： (1)； (2)． 20．（25-26八年级下·陕西商洛·月考）已知，．求： (1)的值； (2)的值． 21．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 22．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）按要求完成下列各题： (1)计算：． (2)化简：当时，求代数式的值． 23．（25-26八年级下·山东聊城·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 24．（25-26八年级下·甘肃陇南·月考）在计算的值时，小陇的解题过程如下： 解： (1)老师认为小陇的解法有错，请你指出：小陇是从第________步开始出错的； (2)请你给出正确的解题过程． 【经典计算题四 同类二次根式】 25．（24-25八年级下·浙江舟山·期末）计算 (1) (2) 26．（24-25八年级上·全国·单元测试）如果最简二次根式与是同类二次根式，求的值． 27．（24-25八年级下·江西赣州·期中）（1）计算：； （2）已知最简二次根式与可以合并，求的值． 28．（24-25八年级下·河北石家庄·月考）已知最简二次根式和可以合并，你能求出使有意义的的取值范围吗？ 29．（24-25八年级上·福建福州·期末）如果最简二次根式与能进行合并．且，化简：． 30．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)化简：_______；______． (2)若最简二次根式与是同类二次根式，求a的值． 31．（24-25八年级下·安徽安庆·月考）如果最简二次根式与是同类二次根式． (1)求出a的值； (2)若a≤x≤2a，化简： 32．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）已知二次根式． (1)求使得该二次根式有意义的的取值范围； (2)已知是最简二次根式，且与可以合并， 求的值； 求与的乘积． 【经典计算题五 二次根式的化简求值】 33．（24-25八年级下·新疆喀什·月考）已知，，求的值． 34．（24-25八年级上·上海·月考）先化简，再求值，其中，． 35．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）化简求值：，其中． 36．（2025·吉林长春·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 37．（25-26八年级上·四川成都·月考）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 38．（24-25八年级下·山东烟台·期末）先化简，再求值：已知y=，求的值． 39．（25-26八年级上·上海静安·期中）先化简，后求值：，其中． 40．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）化简求值： (1)化简求值：，其中，． (2)若代数式，求的值 【经典计算题六 最简二次根式】 41．（2025八年级上·北京·专题练习）化简． 42．（24-25八年级下·全国·课后作业）化简： (1)； (2)． 43．（24-25九年级上·甘肃天水·月考）把下列二次根式化简最简二次根式： (1)； (2)； (3)； (4)． 44．（25-26八年级下·全国·单元复习）把下列各式化成最简二次根式： (1) (2) (3) 45．（24-25八年级下·全国·课后作业）化简： (1)； (2)． 46．（24-25八年级下·北京朝阳·月考）把下列二次根式化为最简二次根式： (1) (2) (3) (4) 47．（25-26八年级下·全国·周测）请观察式子：，． 仿照上面的方法解决下列问题： (1)化简：①；②；③． (2)把中根号外的因式移到根号内，求化简后的结果． 48．（24-25八年级下·安徽芜湖·期中）阅读下面的化简过程，仿做后面的各小题： 化简： (1)； (2)； (3)． 【经典计算题七 分母有理化】 49．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，．试比较a与b的大小． 50．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）化简并求值：已知，，求的值． 51．（24-25八年级下·山东淄博·期中）先观察下列等式的计算过程，再完成习题： ； ； ． 请计算：． 52．（24-25八年级上·广东佛山·月考）阅读材料：，用上述类似的方法解决问题： (1)化简：； (2)若是的小数部分，求的值． 53．（24-25八年级下·北京密云·期末）阅读材料，并回答问题： 小君在学习二次根式时，化简的过程如下： 解：     ……第①步     ……第②步     ……第③步     ……第④步 (1)上述解答过程中，从第______步开始出现了错误（填序号）； (2)在下面的空白处，写出正确的解答过程． 54．（24-25八年级下·山西大同·期中）在进行二次根式的化简时，我们有时会遇到形如的式子，对于这类式子我们可以进一步将其化简，使其分母转化为有理数，这一过程叫做分母有理化． 例如： (1)用上述方法化简； (2)计算：． 55．（24-25八年级上·山东枣庄·月考）阅读下面计算过程． ； ； ． 请解决下列问题 （1）根据上面的规律，请直接写出＝　 　． （2）利用上面的解法，请化简：． （3）你能根据上面的知识化简吗？若能，请写出化简过程． 56．（25-26八年级上·山西晋中·期中）【阅读材料】 在二次根式的计算中，，，，它们的积不含根号，我们称这样的两个二次根式互为“有理化因式”．例如，与，与，与等都是互为“有理化因式”．于是我们可以利用这样的两个二次根式，进行分母有理化（通过分子、分母同乘一个式子，把分母中的根号化去转化为有理数的过程）．例如： ，． 【解决问题】 (1)化简：①______， ②______； (2)已知，，化简，得______，______，直接写出的值． 学科网（北京）股份有限公司 $