第11章 二次根式能力提升自测卷-2025-2026学年八年级数学下册《知识解读·题型专练》（苏科版）

**基本信息** 第11章二次根式单元复习卷，通过基础巩固、能力提升与创新应用的分层设计，覆盖二次根式概念、运算及应用，融合几何直观与实际情境，提升运算能力、推理意识及应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10/30|最简二次根式、运算、数轴化简|结合几何图形（如拼图面积）考查直观想象| |填空|4/12|意义条件、规律探究|通过等式归纳培养推理意识（如第14题规律猜想）| |解答题|7/58|海伦公式应用、实际问题（长方形空地）、规律探究|以实际情境（种植草莓收入）和跨知识（勾股定理）综合题提升应用意识（如第19、21题）|

第11章 二次根式能力提升自测卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一．单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．是三次根式，不是二次根式，故A不符合题意； B．是二次根式，被开方数3不含分母，也不含能开得尽方的因数，故B符合题意； C．的被开方数含有分母，故C不符合题意； D．，被开方数含有分母，故D不符合题意． 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的化简，加减，乘法法则，逐一判断选项正误． 【详解】解：选项A：，故A错误； 选项B：与不是同类二次根式，不能直接合并得到B错误； 选项C：根据二次根式乘法法则，，故C正确. 选项D：与不是同类二次根式，不能直接合并得到，故D错误． 3．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解题思路是先将每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式得到结果． 【详解】解：原式 ． 4．如图，用四张一样大小的长方形纸片拼成的正方形的面积是75， ，图中空白的地方是一个正方形，则这个小正方形的面积为（　　） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】通过正方形的面积求出边长为，根据图形之间的联系求出空白小正方形的边长，即可求解． 【详解】解：∵正方形 的面积是 75， ∴， ∵， ∴， ∴空白小正方形的边长 ， ∴这个小正方形的面积为． 5．实数在数轴上的位置如图所示，化简：（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质化简，结合数轴得出，再进行化简二次根式以及绝对值，最后进行加减运算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 6．已知，则化简二次根式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x、y的正负，再化简二次根式即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．计算的值为（　　） A．﹣1 B． C． D． 【答案】C 【分析】先将分解为，然后根据积的乘方逆运算化简，最后利用平方差公式计算结果． 【详解】解： 8．将一组数按下列方式进行排列：若数2的位置记为，数的位置记为，则位置为的数是（　　） ．．． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题先将原数统一改写为二次根式形式，找出被开方数和排列的规律，再根据给定位置计算出对应数的序号，即可求出结果． 【详解】解：将原数组改写为二次根式形式可得： 可得规律：被开方数为从2开始的连续偶数，每一行有4个数， 位置为 表示第17行第2个数 前16行共有个数， 该数是总序列的第个数 该数的被开方数为 ， 该数为． 9．已知，，且，则的值为（　　） A．或 B．2或10 C．10 D． 【答案】B 【分析】先求出a，b的所有可能取值，再根据条件筛选出符合要求的取值，最后计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵时，无论a取4或，都不满足，故舍去， ∵时，和都满足， 当时，， 当时，， ∴的值为2或10． 10．已知，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】观察已知与所求式子的结构，利用平方差公式进行整体计算，即可得到结果． 【详解】解：设，， 则，， ∴， ∴， ∴． 二．填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分。） 11．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是__． 【答案】 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数可得关于x的不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴， 移项得， 系数化为得． 12．若．则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，二次根式的性质，解题的关键是正确求得关于的方程． 先移项得到，从而得到，求解即可． 【详解】解：由可得， 从而得到，解得． 13．如图，甲、乙两张纸条宽相同，长都是，甲的左端与数轴上的表示的点重合，乙的右端与数轴上的表示的点重合，则纸条重叠部分的长度为________． 【答案】 【分析】先求出甲的右端与数轴上表示的点重合，乙的左端与数轴上表示的点重合，进而求出距离即可得出结论． 【详解】解：∵甲的左端与数轴上表示的点重合，甲纸条长为， ∴甲的右端与数轴上表示的点重合， ∵乙的右端与数轴上表示的点重合，乙纸条长为， ∴乙的左端与数轴上表示的点重合， ∴纸条重叠部分的长度为． 14．小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是小丽的探究过程： 具体运算，发现规律． 等式1：． 等式2：． 等式3：． （1）观察、归纳，得出猜想． 为正整数，猜想等式可表示为______． （2）应用运算规律． 小丽写出一个等式（），若该等式符合上述规律，则的值为______． 【答案】 或 【分析】观察已知等式的数字变化特征，归纳得出第个等式的一般规律．再利用所得规律建立关于和的方程，求解后计算的值． 【详解】（1）观察已知等式： 等式：时，， 等式：时，， 等式：时，， 归纳可得，为正整数时，猜想等式为： （2）等式 符合上述规律， ， ， 对 变形得 ， 开平方得 ， 解得或， 当时， ， 当时， 综上所述：的值为或． 三．解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．（8分）计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)11 【分析】（1）先化为最简二次根式，再运算加减法，即可作答． （2）先结合完全平方公式和二次根式乘法法则进行展开，再运算加减法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16．（8分）已知，，分别求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平方差公式计算即可； （2）利用计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 17．（8分）观察下列一组等式，然后解答后面的问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；…… (1)观察以上规律，请写出第5个等式：______； (2)利用上面的规律，计算的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题干等式即可求解； （2）先进行分母有理化，然后再合并同类二次根式，解答即可． 【详解】（1）解：由题意得，第5个等式：； （2）解： ． 18．（8分）公式导入：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积可以表示为：   ① 这是古希腊的几何学家海伦最早提出的，这一公式称为海伦公式． 我国南宋时期数学家秦九韶也曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式： ② 海伦公式与秦九韶公式实质上是相通的，下面我们对公式②进行变形：      这说明海伦公式与秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦—秦九韶公式． 公式应用：如果已知的三边长分别为，请你从公式①和②中选择一个求出的面积S． 【答案】6 【分析】将代入求出，再代入公式求解即可． 【详解】解：选用①：∵， ∴ ∴ ； 选用②： ． 19．（8分）如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为．现要在空地中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为． (1)求长方形空地的周长． (2)已知李明家种植的草莓售价为8元/kg，且可产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查的是二次根式的应用，最简二次根式，熟练掌握上述知识点是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式列式计算即可； （2）先计算出种草莓的面积，再计算销售收入即可． 【详解】（1）解：长方形空地的周长为 ． 答：长方形空地的周长为． （2）解：由题意，得种草莓的面积为 ， ∴销售收入为（元）． 答：销售收入为元． 20．（8分）综合与实践 【项目主题】 八年级同学在学习《二次根式》和《勾股定理及其逆定理》两章时，会遇到这种复杂形式的二次根式化简问题，如化简，，等，班级数学兴趣小组通过适当的变形帮助他们化简． 【项目准备】 简单介绍数学兴趣小组的数学变形方法．例如： ， ． 【项目实施】 帮助八年级同学完成如下任务： (1)化简； (2)化简． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先对根号下数字变形为完全平方式，再利用二次根式的性质化简即可； （2）先对根号下数字变形为完全平方式，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 21．（10分）【问题初探】 小菲在学习有理数运算时，通过具体运算发现：，，，…，在学习二次根式运算时，小菲根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：；特例2：； 特例3：________________________（填写一个符合上述运算特征的式子） 【发现规律】 ______．（，且n为整数） 【应用规律】 （1）计算：； （2）如果（，且为整数）的小数部分是，求出整数部分． 【答案】问题初探： 发现规律： 应用规律：（1）；（2）9 【分析】问题初探：直接通过计算求解即可； 发现规律：通过计算，化去根号即可； 应用规律：（1）利用规律求解； （2）先利用规律化简，再根据小数部分求得，进而求出整数部分． 【详解】问题初探：解： 故答案为：； 发现规律：解： 故答案为：； 应用规律：（1）解： （2）解： 当小数部分是时， ， 解得：， 经检验是分式方程的根， ∴整数部分是． 【点睛】本题考查了数字类规律探索，分式加减混合运算，二次根式的混合运算，解分式方程（化为一元一次）等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11章 二次根式能力提升自测卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1． 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 4．如图，用四张一样大小的长方形纸片拼成的正方形的面积是75， ，图中空白的地方是一个正方形，则这个小正方形的面积为（　　） A． B． C． D．5 5．实数在数轴上的位置如图所示，化简：（   ） A． B． C． D．1 6．已知，则化简二次根式的结果是（    ） A． B． C． D． 7．计算的值为（　　） A．﹣1 B． C． D． 8．将一组数按下列方式进行排列：若数2的位置记为，数的位置记为，则位置为的数是（　　） ．．． A． B． C． D． 9．已知，，且，则的值为（　　） A．或 B．2或10 C．10 D． 10．已知，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2． 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分。） 11．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是__． 12．若．则的值为___________． 13．如图，甲、乙两张纸条宽相同，长都是，甲的左端与数轴上的表示的点重合，乙的右端与数轴上的表示的点重合，则纸条重叠部分的长度为________． 14．小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是小丽的探究过程： 具体运算，发现规律． 等式1：． 等式2：． 等式3：． （1）观察、归纳，得出猜想． 为正整数，猜想等式可表示为______． （2）应用运算规律． 小丽写出一个等式（），若该等式符合上述规律，则的值为______． 三．解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．（8分）计算． (1)； (2)． 16．（8分）已知，，分别求下列代数式的值： (1)； (2)． 17．（8分）观察下列一组等式，然后解答后面的问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：；…… (1)观察以上规律，请写出第5个等式：______； (2)利用上面的规律，计算的值； 18．（8分）公式导入：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积可以表示为：   ① 这是古希腊的几何学家海伦最早提出的，这一公式称为海伦公式． 我国南宋时期数学家秦九韶也曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式： ② 海伦公式与秦九韶公式实质上是相通的，下面我们对公式②进行变形：      这说明海伦公式与秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦—秦九韶公式． 公式应用：如果已知的三边长分别为，请你从公式①和②中选择一个求出的面积S． 19．（8分）如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为．现要在空地中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为． (1)求长方形空地的周长． (2)已知李明家种植的草莓售价为8元/kg，且可产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？ 20．（8分）综合与实践 【项目主题】 八年级同学在学习《二次根式》和《勾股定理及其逆定理》两章时，会遇到这种复杂形式的二次根式化简问题，如化简，，等，班级数学兴趣小组通过适当的变形帮助他们化简． 【项目准备】 简单介绍数学兴趣小组的数学变形方法．例如： ， ． 【项目实施】 帮助八年级同学完成如下任务： (1)化简； (2)化简． 21．（10分）【问题初探】 小菲在学习有理数运算时，通过具体运算发现：，，，…，在学习二次根式运算时，小菲根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：；特例2：； 特例3：________________________（填写一个符合上述运算特征的式子） 【发现规律】 ______．（，且n为整数） 【应用规律】 （1）计算：； （2）如果（，且为整数）的小数部分是，求出整数部分． 1 学科网（北京）股份有限公司 $