第9章 因式分解能力提升自测卷2025-2026学年八年级数学下册《知识解读·题型专练》（苏科版）

**基本信息** 本卷为初中数学第9章因式分解单元复习卷，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，融合生活情境（如密码生成、里程数问题）与数学思维，适配单元知识检测与核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10/30|平方差公式、公因式、因式分解正误判断|结合几何图形（卡片拼正方形）考查代数运算，培养几何直观| |填空|4/12|分解因式、代数式求值|引入分组分解法（如第14题），强化推理意识| |解答|7/58|综合分解、实际应用|通过整体思想（第19题）、生活情境（密码生成、里程数问题），发展模型意识与应用意识|

第9章 因式分解能力提升自测卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1． 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列各式中，能用平方差公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据能用平方差公式因式分解的多项式的条件判断，条件为：多项式共两项，两项都可写成平方的形式，且两项符号相反． 【详解】解： A、∵是两项，两项均为平方项，且符号相反，符合平方差公式因式分解的要求，可分解为，∴A正确； B、∵中不是平方项，不符合要求，∴B错误； C、∵中不是平方项，且两项符号相同，不符合要求，∴C错误； D、∵是三项多项式，不符合要求，∴D错误． 2．已知下列各组多项式：和；②和；③和，上述各组中有相同公因式的有（    ） A．1组 B．2组 C．3组 D．0组 【答案】C 【分析】每组中两个多项式分别因式分解，再判断是否有相同公因式，统计符合要求的组数即可． 【详解】解：① ， 本组有相同公因式，符合要求； ② ， 本组有相同公因式，符合要求； ③ ，另一多项式为 本组有相同公因式，符合要求； 综上，共有3组有相同公因式． 3．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的概念与计算，对各选项逐一验证即可得到正确答案． 【详解】A．，错误，不符合题意； B． 不是整式乘积的形式，不符合因式分解定义，错误，不符合题意； C．是分式，不是整式，结果不符合要求，错误，不符合题意； D．，符合因式分解要求，符合题意． 4．分解因式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次三项式的因式分解，利用十字相乘法分解二次三项式，需找到两个数，使其和为一次项系数、积为常数项，再完成因式分解即可． 【详解】解：∵要分解，需找两个数满足和为，积为， ∴这两个数是和， ∴． 故选：D． 5．在中，它的三边长分别为、、，若、、满足等式：，则的形状一定是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解和三角形的三边关系，等腰三角形的定义．利用因式分解，把原式变形为，再结合三角形的三边关系，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∵在中，它的三边长分别为、、， ∴， ∴， ∴，即， ∴是等腰三角形． 故选：A 6．下面是甲、乙两位同学因式分解的结果，下列判断正确的是（    ） 甲同学：原式； 乙同学：原式． A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙均对 D．甲乙均错 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，利用提公因式法进行因式分解，进行判断即可．熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键． 【详解】解：甲同学：∵ 原式 ， ∴ 正确； 乙同学：原式 ， ∴ 正确． 故甲乙均对． 故选：C． 7．若将多项式因式分解得，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先展开因式分解后的多项式，利用多项式相等时对应项系数相等求出和的值，再计算． 【详解】解： ， ， ，解得， ． 8．如图，有A、B、C三种不同规格型号的卡片若干张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长为a、宽为b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，其中．从这些卡片中取出m张卡片（每种卡片至少取一张），无缝隙、无重叠地拼成一个正方形，则m的值可以是（    ） A．20 B．24 C．25 D．28 【答案】C 【分析】设取A型卡片张，B型卡片张，C型卡片张，根据题意可得为完全平方式，据此即可解答． 【详解】解：设取A型卡片张，B型卡片张，C型卡片张， 则组成的图形面积为， 无缝隙、无重叠地拼成一个正方形， 为完全平方式， 可取，，， 即，符合要求， m的值可以是． 9．如图，正方形与正方形的边长分别为，连接、，若阴影部分的面积为10．当的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据用含a、b的式子表示出阴影部分的面积即可得到答案． 【详解】解： ， ∵阴影部分的面积为10， ∴． ∴的值不变． 10．在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如将因式分解的结果为，取个人年龄作为的值，当时，，由此可以得到数字密码1016．小旭按这种方式将因式分解后，取自己的年龄14设置了一个密码，他设置的密码可能是（    ） A．141414 B．141315 C．131413 D．151415 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的应用，涉及提公因式法和平方差公式，理解新定义，正确因式分解，是解答的关键． 对多项式先进行因式分解，再代值求出各因式的值，然后组合成密码． 【详解】， 当时，，，， 密码可能为14、13、15的组合，即141315． 故选：B． 二．填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分。） 11．分解因式：______． 【答案】 【分析】先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解． 【详解】解： ． 12．若实数，满足，，则_______． 【答案】 【分析】将所求多项式因式分解，再整体代入已知的与的值计算即可． 【详解】解：对因式分解， 先提公因式得， 再由平方差公式因式分解得， 把，代入得， 原式 13．若，，则的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查的是因式分解的应用，求解代数式的值，把化为，再整体代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 代入和， 得 ． 故答案为：． 14．在对多项式进行因式分解时，我们可以把它先分组再分解： 原式，这种方法叫做分组分解法．请你运用分组分解法，把分解因式的结果为___________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用分组分解法，将多项式分组为完全平方式与平方差形式，然后应用平方差公式进行因式分解． 【详解】解： ． 故答案为：． 三．解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．（8分）因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）提取公因式解答即可； （2）提取公因式，再用完全平方公式解答即可； 【详解】（1）解：； （2）解： 16．（8分）已知等腰的三边a、b、c为整数，且满足，求的周长． 【答案】7或8 【分析】此题考查因式分解的实际运用．根据已知可求出，的值，再根据等腰三角形的定义和三角形三边的关系，再求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ，， 当腰为2时，2，2，3能构成三角形，等腰三角形的周长为， 当腰为3时，2，3，3能构成三角形，等腰三角形的周长为， 故的周长为7或8． 17．（8分）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成． (1)求原来的二次三项式； (2)将（1）中的二次三项式分解因式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式和分解因式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则和几种常见的分解因式的方法． （1）先根据多项式乘多项式法则计算和，再根据两个同学的计算结果，确定原多项式即可； （2）根据（1）中所求原多项式，利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】（1）解： ， ， ∴原来的二次三项式为：； （2）解：． 18．（8分）仔细阅读下面的例题，解答问题： 例：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得，， 则， ， 解得， 另一个因式为，的值为． 仿照以上方法解答问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值； (2)若二次三项式可分解为，求的值； (3)若二次三项式可分解为，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查因式分解的意义． （1）设另一个因式为，得，可知，，继而求出t和k的值及另一个因式． （2）将展开，根据所给出的二次三项式即可求出a的值； （3）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b的值． 【详解】（1）解：设另一个因式为，得， ， ， 解得， 另一个因式为，的值为； （2）解：， ∴， 解得； （3）解： ． 19．（8分）【阅读材料】因式分解： 解：，将看成整体，令，则原式，将M还原，则原式．上述解题过程用到的是“整体思想”，请用“整体思想”解决以下问题： 【数学理解】（1）因式分解：； 【拓展探索】（2）证明：无论a，b取何值时，的值一定是非负数． 【答案】（1）；（2）见详解 【分析】（1）令，根据题中所给方法进行求解即可； （2）令，然后去括号，再根据题中所给方法进行因式分解，然后根据平方的非负性即可得证． 【详解】（1）解：将看成整体，令， 则原式， 将A还原，则原式． （2）证明：将看成整体，令， 则原式， 将B还原，则原式， ∵， ∴无论a，b取何值时，的值一定是非负数． 20．（10分）阅读材料： 因式分解：． 解：令， 则， ． 材料中的解题过程用到的是“整体思想”，这是数学解题过程中常用的一种思想方法．请你运用这种思想方法解答下列问题： (1)因式分解：____________． (2)因式分解：． (3)求证：若为正整数，则式子的值一定是某个整数的平方． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了整体思想在因式分解中的应用、完全平方公式等知识点，掌握将复杂代数式中的某一部分视为整体，再利用完全平方公式进行化简或证明的方法是解题的关键． （1）将视为一个整体，利用完全平方公式进行因式分解； （2）将视为一个整体，先将式子展开，再利用完全平方公式进行因式分解； （3）先将与建立联系，再将视为整体，通过完全平方公式变形，最后证明结果为整数的平方． 【详解】（1）解： 令，则原式变为 故． （2）解：令，则， ． （3）证明： 令，则上式 为正整数， 也为正整数， ∴式子的值一定是某个整数的平方． 21．（10分）【阅读发现】 人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，然后将因式码按从小到大的顺序排列，就可以形成密码．例如，多项式，将其分解因式为，取，则有．其中，12，17，13分别为因式码，将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然，也可取另外一些适当的数字，得出其它的密码． 【问题解决】 （1）已知多项式，当取时，用上述方法生成的密码是__________； （2）已知多项式，用上述方法生成的密码是242526，若密码的每个因式码都是两位数，求的值； 【拓展延伸】 （3）国庆假期，小亮全家外出自驾游，在行驶途中小亮发现此时汽车仪表盘上的里程数比一个完全平方数大1，若再行驶后的里程数还是完全平方数，问此时汽车仪表盘上的里程数是多少？ 【答案】（1）816160；（2），或，或，；（3）此时汽车仪表盘上的里程数是． 【分析】本题考查了因式分解的应用． （1）先利用平方差公式对多项式逐步分解因式，再代入数值计算各因式的值，最后排序得到密码； （2）先对多项式提取公因式，结合密码的三个因式码分析x的可能取值，再通过因式分解与多项式展开对比系数求出p和q的值； （3）设里程数为x，根据题意列方程，利用因式分解转化为因数对问题，进而求出x的值，判断是否符合题意即可． 【详解】（1）解： ， 当，时， ，，， 将160、16、8按从小到大排列得8、16、160，故生成的密码是816160． 故答案为：816160； （2）解：， ∵生成的密码是242526，密码的每个因式码都是两位数， ∴三个因式码为24、25、26， 即三个因式的值分别为24、25、26， 分三种情况： ①当时，另外两个因式的值为25、26，即，， 则， 可知，； ②当时，另外两个因式的值为24、26，即，， 则， 可知，； ③当时，另外两个因式的值为24、25，即，， 则， 可知，； 综上所述，，或，或，； （3）解：设此时汽车仪表盘上的里程数为（为正整数，且） 根据题意得（，为正整数，且） 将代入得 即 因式分解得 将91分解为正整数因数对：、， 当时， 解得， 此时里程数，符合题意； 当时， 解得， 此时里程数，不符合题意，舍去． 故此时汽车仪表盘上的里程数是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9章 因式分解能力提升自测卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1． 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列各式中，能用平方差公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．已知下列各组多项式：和；②和；③和，上述各组中有相同公因式的有（    ） A．1组 B．2组 C．3组 D．0组 3．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 4．分解因式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 5．在中，它的三边长分别为、、，若、、满足等式：，则的形状一定是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 6．下面是甲、乙两位同学因式分解的结果，下列判断正确的是（    ） 甲同学：原式； 乙同学：原式． A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙均对 D．甲乙均错 7．若将多项式因式分解得，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．如图，有A、B、C三种不同规格型号的卡片若干张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长为a、宽为b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，其中．从这些卡片中取出m张卡片（每种卡片至少取一张），无缝隙、无重叠地拼成一个正方形，则m的值可以是（    ） A．20 B．24 C．25 D．28 9．如图，正方形与正方形的边长分别为，连接、，若阴影部分的面积为10．当的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 10．在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如将因式分解的结果为，取个人年龄作为的值，当时，，由此可以得到数字密码1016．小旭按这种方式将因式分解后，取自己的年龄14设置了一个密码，他设置的密码可能是（    ） A．141414 B．141315 C．131413 D．151415 二．填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分。） 11．分解因式：______． 12．若实数，满足，，则_______． 13．若，，则的值为_________． 14．在对多项式进行因式分解时，我们可以把它先分组再分解： 原式，这种方法叫做分组分解法．请你运用分组分解法，把分解因式的结果为___________． 三．解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．（8分）因式分解 (1) (2) 16．（8分）已知等腰的三边a、b、c为整数，且满足，求的周长． 17．（8分）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成． (1)求原来的二次三项式； (2)将（1）中的二次三项式分解因式． 18．（8分）仔细阅读下面的例题，解答问题： 例：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得，， 则， ， 解得， 另一个因式为，的值为． 仿照以上方法解答问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值； (2)若二次三项式可分解为，求的值； (3)若二次三项式可分解为，求的值． 19．（8分）【阅读材料】因式分解： 解：，将看成整体，令，则原式，将M还原，则原式．上述解题过程用到的是“整体思想”，请用“整体思想”解决以下问题： 【数学理解】（1）因式分解：； 【拓展探索】（2）证明：无论a，b取何值时，的值一定是非负数． 20．（8分）阅读材料： 因式分解：． 解：令， 则， ． 材料中的解题过程用到的是“整体思想”，这是数学解题过程中常用的一种思想方法．请你运用这种思想方法解答下列问题： (1)因式分解：____________． (2)因式分解：． (3)求证：若为正整数，则式子的值一定是某个整数的平方． 21．（10分）【阅读发现】 人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，然后将因式码按从小到大的顺序排列，就可以形成密码．例如，多项式，将其分解因式为，取，则有．其中，12，17，13分别为因式码，将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然，也可取另外一些适当的数字，得出其它的密码． 【问题解决】 （1）已知多项式，当取时，用上述方法生成的密码是__________； （2）已知多项式，用上述方法生成的密码是242526，若密码的每个因式码都是两位数，求的值； 【拓展延伸】 （3）国庆假期，小亮全家外出自驾游，在行驶途中小亮发现此时汽车仪表盘上的里程数比一个完全平方数大1，若再行驶后的里程数还是完全平方数，问此时汽车仪表盘上的里程数是多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $