第11章 二次根式基础过关自测卷-2025-2026学年八年级数学下册《知识解读·题型专练》（苏科版）

**基本信息** 第11章二次根式基础过关自测卷，涵盖选择、填空、解答题型，注重基础巩固与能力提升，融入秦九韶公式等数学文化及电视塔信号传播等实际应用，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次根式意义、最简、运算、几何应用|结合数轴化简（题7）、秦九韶公式（题8）体现数学文化| |填空题|4/12|二次根式求值、整数部分、代数式化简|题12考查无理数整数部分，培养数感| |解答题|7/58|规律探究（题17）、实际应用（题18）、分母有理化（题21）|题17由特殊到一般探究规律发展创新意识；题18电视塔传播半径问题体现模型意识|

第11章 二次根式基础过关自测卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1． 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，利用二次根式的被开方数为非负数，列不等式求解即可得到结果． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义． ∴被开方数满足． 解得． 2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的两个判定条件判断：最简二次根式需满足被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数，对各选项化简后即可得到结果． 【详解】解：选项A：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 选项B：不含分母，也不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； 选项C：=，开方数中含有分母，不是最简二次根式； 选项D：，被开方数8含能开得尽方的因数，不是最简二次根式． 3．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A：∵ ， ∴ A计算正确； 选项B：∵ ， ∴ B计算错误； 选项C：∵ ∴ C计算错误； 选项D：∵ ∴ D计算错误． 4．对于式子，计算结果正确的是（    ） A．5 B． C．25 D． 【答案】A 【详解】解：． 5．计算 的结果是（    ） A． B．3 C． D．15 【答案】A 【详解】解： ． 6．若最简二次根式能与合并，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】先化简，再根据可合并的最简二次根式是同类二次根式求解． 【详解】解：， ∵最简二次根式能与合并， ∴． 7．实数在数轴上的位置如图所示，则化简的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的性质进行化简解答即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴ ∴． 8．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为，则该三角形的面积为．若的三边长分别为6，8，10，则的面积为（    ） A． B． C．12 D．24 【答案】D 【分析】将三角形三边长代入公式，按二次根式的运算法则计算即可得到面积. 【详解】解：∵三角形面积公式为，三边长为，，， ∴将三边长代入公式得 ∴的面积为． 9．已知，则代数式的值为（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】先利用完全平方公式对所求代数式因式分解，再代入x的值计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 10．如图，长方形内两个正方形的面积分别为，．则图中两块阴影部分的面积和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由长方形内两个正方形的面积分别为，可知：它们的边长分别为，， ∴阴影部分的面积为． 2． 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分。） 11．已知，则______． 【答案】 【分析】根据二次根式的乘法运算法则：，先计算等式左侧，再对比等式右侧求出的值． 【详解】解：，故． 12．已知实数，则的整数部分为________． 【答案】 【分析】先根据二次根式的乘法进行计算得出，再估算的大小，即可求解． 【详解】解：， ∵ ∴， ∴， ∴的整数部分为． 13．当a＝2时，二次根式的值是________． 【答案】 【分析】把a的值代入计算即可． 【详解】解：当a＝2时， ． 14．已知，则代数式的值是___________． 【答案】2 【分析】利用完全平方公式把代数式变形后把已知条件整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ 三．解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．（8分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16．（8分）已知，，求下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1)1 (2)9 【分析】（1）直接代入，利用平方差公式求解； （2）先求出，再根据求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ （2）解：， ∴ ． 17．（8分）小强根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小强的探究过程． 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： … 根据上述探究过程，解答下列问题： (1)仿照第3个等式，写出第4个等式______； (2)观察、归纳，得出猜想，若为正整数，用含的式子表示第个等式：______； (3)应用上述运算规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据材料提示计算即可； （2）由材料提示，归纳总结；运用二次根式的性质，二次根式的混合运算法则证明即可； （3）根据材料提示的方法把，再根据二次根式的乘法运算计算即可． 【详解】（1）解：第4个等式为：； （2）解：由上述计算可得，如果n为正整数，上述的运算规律为：； （3）解： ． 18．（8分）广播电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能接收到电视节目信号的区域就越广．已知广播电视塔的高h（单位：）与电视节目信号的传播半径r（单位：）之间存在近似关系，其中R是地球半径，．已知某地电视塔的高约为，求该广播电视塔发射电视节目信号的传播半径．（结果保留最简二次根式） 【答案】该广播电视塔发射电视节目信号的传播半径约为 【分析】把代入计算即可. 【详解】解：由题意，得， ∴当时，                            ． ∴该广播电视塔发射电视节目信号的传播半径约为． 19．（8分）如图1，有一块面积为的长方形铁皮，已知长方形铁皮的长、宽之比为． (1)分别求该长方形铁皮的长和宽（结果保留根号）． (2)若沿着虚线将铁皮的四个角剪掉，制作成一个有底无盖的长方体铁皮盒子（如图2所示），剪掉的四个角都是边长为的正方形，求长方体铁皮盒子的体积． 【答案】(1)长为，宽为 (2) 【分析】（1）设该长方形铁皮的长为，宽为．由题意得，求解即可得出结果； （2）根据长方体的体积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵长方形铁皮的长、宽之比为， ∴设该长方形铁皮的长为，宽为． 由题意得， 解得或（不合题意，舍去）， ，， ∴该长方形铁皮的长为，宽为． （2）解： ， ∴长方体铁皮盒子的体积为． 20．（8分）我们可以用“平方法”比较二次根式和的大小，先把和分别平方，得，因为，所以，请结合上述材料解决下列问题： (1)比较的大小； (2)比较和的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，实数的大小比较，完全平方公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先分别算出，再进行比较大小，即可作答． （2）先根据，，得出，再进行比较大小，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， ∵， ∴ 即． （2）解：由题意得，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 21．（10分）阅读下列材料，然后解答下列问题．在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （一）； （二） 以上这种化简的方法叫分母有理化． (1)化简_______；______． (2)化简_______．（） (3)化简：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）按照题干方法化简即可； （2）按照题干方法化简即可； （3）先分母有理化，再进行二次根式的加减运算． 【详解】（1）解：；； （2）解：； （3）解： ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11章 二次根式基础过关自测卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1． 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是(   ) A． B． C． D． 2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．对于式子，计算结果正确的是（    ） A．5 B． C．25 D． 5．计算 的结果是（    ） A． B．3 C． D．15 6．若最简二次根式能与合并，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 7．实数在数轴上的位置如图所示，则化简的值为（    ） A． B． C． D． 8．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为，则该三角形的面积为．若的三边长分别为6，8，10，则的面积为（    ） A． B． C．12 D．24 9．已知，则代数式的值为（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 10．如图，长方形内两个正方形的面积分别为，．则图中两块阴影部分的面积和为（    ） A． B． C． D． 2． 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分。） 11．已知，则______． 12．已知实数，则的整数部分为________． 13．当a＝2时，二次根式的值是________． 14．已知，则代数式的值是___________． 三．解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．（8分）计算： (1)； (2)． 16．（8分）已知，，求下列各式的值： (1) (2) 17．（8分）小强根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小强的探究过程． 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： … 根据上述探究过程，解答下列问题： (1)仿照第3个等式，写出第4个等式______； (2)观察、归纳，得出猜想，若为正整数，用含的式子表示第个等式：______； (3)应用上述运算规律计算：． 18．（8分）广播电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能接收到电视节目信号的区域就越广．已知广播电视塔的高h（单位：）与电视节目信号的传播半径r（单位：）之间存在近似关系，其中R是地球半径，．已知某地电视塔的高约为，求该广播电视塔发射电视节目信号的传播半径．（结果保留最简二次根式） 19．（8分）如图1，有一块面积为的长方形铁皮，已知长方形铁皮的长、宽之比为． (1)分别求该长方形铁皮的长和宽（结果保留根号）． (2)若沿着虚线将铁皮的四个角剪掉，制作成一个有底无盖的长方体铁皮盒子（如图2所示），剪掉的四个角都是边长为的正方形，求长方体铁皮盒子的体积． 20．（8分）我们可以用“平方法”比较二次根式和的大小，先把和分别平方，得，因为，所以，请结合上述材料解决下列问题： (1)比较的大小； (2)比较和的大小． 21．（10分）阅读下列材料，然后解答下列问题．在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （一）； （二） 以上这种化简的方法叫分母有理化． (1)化简_______；______． (2)化简_______．（） (3)化简：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $