第02讲 二次根式的乘除（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年八年级数学下册《知识解读·题型专练》（苏科版）

本讲义聚焦二次根式的乘除运算、最简二次根式化简及分母有理化核心知识点，先通过乘除法则（含推广与逆用）搭建运算基础，再结合最简二次根式判定与化简深化性质理解，最后以分母有理化实现技能综合应用，形成递进式学习支架。 该资料以“典例引领-变式训练-综合拓展”设计，通过复合二次根式化简、参数求解等题型培养运算能力与推理意识，结合实际问题（如地砖面积计算）发展应用意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过基础与拓展题查漏补缺，强化知识内化。

第02讲 二次根式的乘除 考点1：二次根式的乘除运算 考点2： 考点3：分母有理化 重点： （1）掌握二次根式乘除运算法则 （2）熟练化简二次根式 （3）掌握简单分母有理化 难点： （1）牢记式子中字母取值范围 （2）复杂根式彻底化简 （3）两项根式分母有理化 知识点1：二次根式的乘法法则 1. 二次根式的乘法法则： （二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变） 2.二次根式的乘法法则的推广 （1） （2） ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。 3.二次根式的乘法法则的逆用 （二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） 4.二次根式的乘法法则的逆用的推广 【题型1 二次根式的乘法运算】 【典例1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)8 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据二次根式的乘法法则，（，）计算即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 【变式2】计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘法，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）（2）根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式3】计算下列各式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算． （1）根据二次根式的乘法法则计算即可； （2）先化简，再根据二次根式的乘法法则计算即可； （3）先化简，再根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 知识点2：二次根式的除法法则 1.二次根式的除法法则 （二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） 2.二次根式的除法法则的推广 注意： （1） a≥0，b＞0时，才有意义； （2） 如果被开方数时带分数，应先化成假分数 【题型2 二次根式的除法运算】 【典例2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据二次根式除法运算及逐题计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式1】计算下列各式： (1) (2) (3) 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的除法运算． （1）直接计算二次根式的除法即可； （2）直接计算二次根式的除法即可； （3）直接计算二次根式的除法即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3； (2)； (3)3； (4) 【分析】本题考查的是二次根式的除法运算； （1）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （2）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （3）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （4）根据二次根式的除法运算法则计算即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： ． 【变式3】计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)2 (3) (4) 【分析】根据二次根式的除法计算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【点睛】此题考查了二次根式的除法，正确掌握二次根式的除法计算法则是解题的关键． 【题型3 二次根式的乘除法运算】 【典例3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先化为最简二次根式，再运算乘除法，即可作答． （2）先化为最简二次根式，再运算乘除法，即可作答． （3）先把带分数化为假分数，把除法化为乘法，最后运算乘法，即可作答． （4）先把除法化为乘法，化为最简二次根式，最后运算乘法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； 【变式1】运算能力计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式乘除混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据二次根式乘除混合运算法则，进行计算即可； （2）根据二次根式乘除混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式根据二次根式的除法法则进行计算即可； （2）原式根据二次根式乘除法法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)6 (2)5 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则． （1）根据二次根式的混合运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式的混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 知识点3：最简二次根式 1. 最简二次根式的概念 （1） 被开方数不含分母 （2） 被开方数中不含能开方开得尽的因数或因式 2. 化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数 若被开方数中含有小数，先将小数化成分数 若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算 (a＞0，b＞0，c＞0） 被开方数时多项式的要先因式分解 （x≥0，y≥0） 3.分母有理化 （1） 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。 【题型4 最简二次根式的判定】 【典例4】下面各式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式，据此逐一判断即可． 【详解】A、，被开方数含分母，因此不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B、=，被开方数含分母，因此不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、，被开方数含能开得尽方的因数，因此不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、是最简二次根式，故此选项符合题意． 【变式1】下列式子是最简二次根式的是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需满足两个条件：一是根指数为2，属于二次根式；二是被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此逐一判断选项即可． 【详解】∵最简二次根式需满足是二次根式，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式， A选项中3不是二次根式，不符合要求， B选项中是二次根式，且被开方数不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的定义， C选项中，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式， D选项中是三次根式，不是二次根式，不符合要求． 【变式2】在，，，，，中，最简二次根式的个数是（  ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】最简二次根式是指：满足被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，逐个判断即可． 【详解】解：∵的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因式， ∴是最简二次根式； ∵的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式， ∴是最简二次根式； ∵ ，含能开得尽方的因式， ∴不是最简二次根式； ∵中的被开方数是能开得尽方的平方数， ∴不是最简二次根式； ∵ ，含能开得尽方的因数， ∴不是最简二次根式； ∵的被开方数含分母， ∴不是最简二次根式； 综上，符合条件的最简二次根式共个． 【变式3】下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】最简二次根式需满足：被开方数的因数是整数，字母因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B．∵， ∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C．∵， ∴不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D．∵满足最简二次根式的两个条件， ∴是最简二次根式，故此选项符合题意． 【题型5 化为最简的二次根式】 【典例5】把下列各式化为最简二次根式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】计算：________，________，________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简，利用二次根式的性质，将被开方数分解为含完全平方因数的形式，再开方化简，最终化为最简二次根式即可． 【详解】解：①， ②， ③∵， ∴． 【变式2】化简:____． 【答案】 【分析】由二次根式有意义的条件，结合已知，确定，保证开方结果符合算术平方根的非负性，再将被开方数拆分为可开尽的与最简根式部分的乘积，把平方因式开方后移出根号即可． 【详解】解：二次根式有意义的条件是被开方数非负，即， ∵， ∴， 又， ∴，即， ∴． 故答案为： ． 【变式3】化简成最简二次根式：____；__． 【答案】 / 【详解】直接根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．进行计算即可． 【解答】解：；． 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，正确计算是解题的关键． 【题型6 已知最简二次根式求参数】 【典例6】二次根式是最简二次根式，请写出一个符合条件的m的值：______． 【答案】1 【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含平方因子，因此 需无平方因子，故 不能是3的倍数且自身无平方因子， 【详解】解：当，则，3无平方因子，故是最简二次根式 故答案为：1（答案不唯一）． 【变式1】若是最简二次根式，则整数的最小值为______． 【答案】3 【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义，被开方数不含能开方开的尽的因式或因数，不含分母，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是最简二次根式，且为整数， ∴当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 故答案为：3． 【变式2】如果两个最简二次根式与的被开方数相同，那么_____________． 【答案】1 【分析】本题考查了最简二次根式的概念，根据最简二次根式的被开方数相同列方程是解题的关键． 【详解】解：由题意得， 解得， 故答案为：1． 【变式3】若最简二次根式与可以合并，则a的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，熟练掌握这两个知识点是解题的关键．根据题意得出最简二次根式与是同类二次根式，由此得出，即可求出的值． 【详解】解：依题意，， 解得：， 且，符合题意， 故答案为：． 【题型7 复合二次根式的化简】 【典例7】形如的化简，只要我们找到两个数，使，使得，那么． 例如：．根据上述材料中例题的方法，化简：___________． 【答案】/ 【分析】把化为，再进行化简即可． 【详解】解：． 【变式1】阅读材料：一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：，，等都是复合二次根式．其中有一些特殊的复合二次根式可以进行化简，例如：．请利用上述运算法则化简：_____． 【答案】 【分析】将被开方数变形凑成完全平方公式的形式，再利用二次根式的性质化简即可. 【详解】解： . 【变式2】已知，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先判断出，再利用二次根式的性质进行化简，然后将代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【变式3】有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且 ，则将变成，即变成，从而使得得以化简． 例如： (1)请仿照上例化简：= ， ． (2)请运用上述方法化简．（写出计算过程） (3)若，且、、均为整数，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)a的值为8或16． 【分析】（1）对于形如的式子，可尝试将拆分为两个数的和，且，则原式可化为． （2）对于形如的式子，可尝试将拆分为两个数的和，且，则原式可化为． （3）将等式右边展开，根据对应项系数相等，结合、为整数的条件，求出、的值，进而求出的值． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ； （3）解：∵，， ， ∵、均为整数，且， ∴当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， ∴或． 【题型8 分母有理化】 【典例8】材料阅读题： 把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫作分母有理化． 例如：， 观察上面的解题过程，并解答下列问题： (1)____，的倒数是____． (2)若是的小数部分，化简． (3)利用上面的解法，请化简：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据分母有理化化简即可解答； （2）估算出的整数部分，即可求得a的值，然后把值代入并化简即可； （3）利用分母有理化的方法化简每个二次根式，最后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：， 的倒数是； （2）解：∵， ∴， 即的整数部分为2， ∴． 当时，； （3）解：原式 ． 【变式1】阅读材料，并计算． 【材料一】我们规定：如果两个含有二次根式的式子的积中不含有二次根式，我们就称这两个含有二次根式的式子互为有理化因式，其中一个式子叫作另一个式子的有理化因式． 【材料二】我们在进行二次根式的化简时，需要把分母中的二次根式进行有理化，此时，需要将分子和分母同时乘上分母的有理化因式，从而去掉分母中的根号，这个过程就是分母有理化． 如：． 请利用分母有理化的知识，化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式的性质、平方差公式，将分母有理化即可； （2）根据二次根式的性质、平方差公式，将分母有理化即可． 【详解】（1） ， ， ， ， ． （2） ， ， ， ， ． 【变式2】化简： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，平方差公式等知识点，熟练掌握以上运算法则并能准确计算是解决此题的关键， （1）分子分母同乘，进行分母有理化即可； （2）分子分母同乘，进行分母有理化即可； （3）分子分母同乘，利用平方差公式进行分母有理化即可； （4）分子分母同乘，利用平方差公式进行分母有理化即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式3】请阅读下列解题过程： ， ． 解答下列问题： (1) ； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平方差公式，将含根式的分式转化为两个根式的差，归纳出通项公式； （2）先利用（1）的结论，将每一项裂成两个根式的差，抵消中间项后，最后计算首尾两项的差得到结果． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的两个判定条件判断：最简二次根式需满足被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数，对各选项化简后即可得到结果． 【详解】解：选项A：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 选项B：不含分母，也不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； 选项C：=，开方数中含有分母，不是最简二次根式； 选项D：，被开方数8含能开得尽方的因数，不是最简二次根式． 2．为打造“阅读校园”，计划在阅览室铺设正方形地砖，已知正方形地砖的边长为米，则该地砖的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形面积等于边长的平方，代入已知边长计算即可得到结果． 【详解】解：∵正方形地砖边长， ∴该地砖的面积为． 3．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的性质、乘除运算法则逐一计算即可判断正误． 【详解】解：A、，此选项正确，符合题意； B、，此选项错误，不符合题意； C、，此选项错误，不符合题意； D、此选项错误，不符合题意． 4．下列各式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同类二次根式的定义：几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则它们是同类二次根式；先将各选项二次根式化为最简二次根式后，比较被开方数，被开方数与相同的即为所求. 【详解】解：同类二次根式的定义为：化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式. A、，被开方数为，与被开方数不同，不是同类二次根式； B、，被开方数为，与被开方数不同，不是同类二次根式； C、，被开方数为，与被开方数相同，是同类二次根式； D、，被开方数为，与被开方数不同，不是同类二次根式． 5．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】先化简，根据二次根式的性质，若为整数，则被开方数必须是完全平方数，结合完全平方数的质因数特征即可求出最小的正整数． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ 是整数，是正整数， ∴ 必须是整数，即是完全平方数， ∵ ，要使为完全平方数，需要补充质因数和，使所有质因数的指数均为偶数， ∴ 正整数的最小值为． 6．__________． 【答案】 【详解】解：． 7．比较大小：______（填，或）． 【答案】 【分析】通过作差法，将两个数通分后比较分子的大小，从而判断两个数的大小关系． 【详解】解： ，， ， ， ， ， ． 8．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用二次根式乘法法则，将被开方数相乘，再化简结果为最简二次根式． （2）类比单项式乘单项式法则，系数相乘、被开方数相乘，再化简结果． （3）运用二次根式除法法则，被开方数相除，再进行分母有理化化简． （4）遵循二次根式乘除混合运算顺序，从左至右计算，被开方数依次乘除后化简． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 9．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)根据上述等式的规律，写出第4个等式：______； (2)用含n的等式表示上述规律，并证明； (3)利用这一规律计算：． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）通过分析已知等式中被开方数的分子、分母与等式序号的关系，推导第4个等式的形式； （2）归纳每个等式中被开方数的分子、分母及结果与正整数的关联，得出第个等式的通用表达式； （3）利用总结的规律将每个根号内的式子转化为分数形式，通过约分简化根号内的乘积，最终计算出结果． 【详解】（1）解：由上述等式的规律得，第4个等式：； （2）解：由上述等式的规律得，第个等式为； 证明： ； （3）解： ． 10．我们已学习完全平方公式，也知道所有非负数都可看作是一个数的平方，如 ，，利用以上知识我们可以解决下面的问题： 例1，求的算术平方根． 解：．则． 例2．求的算术平方根． 解：． 请根据上面的方法化简： (1)_________； (2)______；（直接写出化简结果） (3)化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先理解题意，模仿题干解题过程，则，即可作答． （2）先理解题意，模仿题干解题过程，则，即可作答． （3）同理得，，再分别代入原式进行化简，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， 即； （2）解：依题意，， ∴； （3）解：依题意，， ∴； 依题意，， 则 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 二次根式的乘除 考点1：二次根式的乘除运算 考点2： 考点3：分母有理化 重点： （1）掌握二次根式乘除运算法则 （2）熟练化简二次根式 （3）掌握简单分母有理化 难点： （1）牢记式子中字母取值范围 （2）复杂根式彻底化简 （3）两项根式分母有理化 知识点1：二次根式的乘法法则 1. 二次根式的乘法法则： （二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变） 2.二次根式的乘法法则的推广 （1） （2） ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。 3.二次根式的乘法法则的逆用 （二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） 4.二次根式的乘法法则的逆用的推广 【题型1 二次根式的乘法运算】 【典例1】计算： (1)； (2)． 【变式1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】计算： (1)． (2)． 【变式3】计算下列各式： (1)； (2)； (3)． 知识点2：二次根式的除法法则 1.二次根式的除法法则 （二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） 2.二次根式的除法法则的推广 注意： （1） a≥0，b＞0时，才有意义； （2） 如果被开方数时带分数，应先化成假分数 【题型2 二次根式的除法运算】 【典例2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】计算下列各式： (1) (2) (3) 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】计算： (1) (2) (3) (4) 【题型3 二次根式的乘除法运算】 【典例3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 【变式1】运算能力计算： (1)； (2)． 【变式2】计算： (1)； (2)． 【变式3】计算： (1)； (2)． 知识点3：最简二次根式 1. 最简二次根式的概念 （1） 被开方数不含分母 （2） 被开方数中不含能开方开得尽的因数或因式 2. 化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数 若被开方数中含有小数，先将小数化成分数 若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算 (a＞0，b＞0，c＞0） 被开方数时多项式的要先因式分解 （x≥0，y≥0） 3.分母有理化 （1） 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。 【题型4 最简二次根式的判定】 【典例4】下面各式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列式子是最简二次根式的是（   ） A．3 B． C． D． 【变式2】在，，，，，中，最简二次根式的个数是（  ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式3】下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【题型5 化为最简的二次根式】 【典例5】把下列各式化为最简二次根式． (1)； (2)． 【变式1】计算：________，________，________． 【变式2】化简:____． 【变式3】化简成最简二次根式：____；__． 【题型6 已知最简二次根式求参数】 【典例6】二次根式是最简二次根式，请写出一个符合条件的m的值：______． 【变式1】若是最简二次根式，则整数的最小值为______． 【变式2】如果两个最简二次根式与的被开方数相同，那么_____________． 【变式3】若最简二次根式与可以合并，则a的值为___________． 【题型7 复合二次根式的化简】 【典例7】形如的化简，只要我们找到两个数，使，使得，那么． 例如：．根据上述材料中例题的方法，化简：___________． 【变式1】阅读材料：一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：，，等都是复合二次根式．其中有一些特殊的复合二次根式可以进行化简，例如：．请利用上述运算法则化简：_____． 【变式2】已知，则的值为________． 【变式3】有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且 ，则将变成，即变成，从而使得得以化简． 例如： (1)请仿照上例化简：= ， ． (2)请运用上述方法化简．（写出计算过程） (3)若，且、、均为整数，求的值． 【题型8 分母有理化】 【典例8】材料阅读题： 把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫作分母有理化． 例如：， 观察上面的解题过程，并解答下列问题： (1)____，的倒数是____． (2)若是的小数部分，化简． (3)利用上面的解法，请化简：． 【变式1】阅读材料，并计算． 【材料一】我们规定：如果两个含有二次根式的式子的积中不含有二次根式，我们就称这两个含有二次根式的式子互为有理化因式，其中一个式子叫作另一个式子的有理化因式． 【材料二】我们在进行二次根式的化简时，需要把分母中的二次根式进行有理化，此时，需要将分子和分母同时乘上分母的有理化因式，从而去掉分母中的根号，这个过程就是分母有理化． 如：． 请利用分母有理化的知识，化简： (1)； (2)． 【变式2】化简： (1) (2) (3) (4) 【变式3】请阅读下列解题过程： ， ． 解答下列问题： (1) ； (2)化简：． 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．为打造“阅读校园”，计划在阅览室铺设正方形地砖，已知正方形地砖的边长为米，则该地砖的面积为（    ） A． B． C． D． 3．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列各式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 5．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 6．__________． 7．比较大小：______（填，或）． 8．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 9．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)根据上述等式的规律，写出第4个等式：______； (2)用含n的等式表示上述规律，并证明； (3)利用这一规律计算：． 10．我们已学习完全平方公式，也知道所有非负数都可看作是一个数的平方，如 ，，利用以上知识我们可以解决下面的问题： 例1，求的算术平方根． 解：．则． 例2．求的算术平方根． 解：． 请根据上面的方法化简： (1)_________； (2)______；（直接写出化简结果） (3)化简：． 学科网（北京）股份有限公司 $