第05讲 三角形的中位线和等腰梯形（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年八年级数学下册《知识解读·题型专练》（苏科版）

本讲义聚焦三角形中位线与等腰梯形核心知识点，系统梳理中位线定理（平行且等于第三边一半）、等腰梯形性质（两底平行、两腰相等、同一底上两角相等）及判定，构建与平行四边形、坐标系、勾股定理的知识网络，形成阶梯式学习支架。 资料通过典例+变式分层设计题型，涵盖角度、边长、周长、面积、最值等应用，结合实际测量问题（如池塘距离测量）培养应用意识，规律探究题提升抽象能力与推理意识，助力教师课堂教学，方便学生课后查漏补缺，强化数学思维与表达能力。

第05讲 三角形的中位线和等腰梯形 考点1：利用三角形的中位线求边长、证平行、倍半关系 考点2：利用等腰梯形的性质求解 重点： （1）熟记并会用定理：中位线 ∥ 第三边，且等于第三边的一半 （2）会用它求边长、求周长、证平行 （3）掌握等腰梯形的性质与判定 难点： （1）题目没直接给中点时，会找中点、构造中位线 （2）与平行四边形、坐标系中点坐标综合运用 （3）分清：同一底上的角相等，不是任意角 （4）与三角形、平行四边形、勾股定理综合解题 知识点1：三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 注意： （1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 【题型1:利用三角形的中位线求角度】 【典例1】在中，已知、分别是边、的中点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，边的垂直平分线交于点，连接、若是的中位线，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，，为的中位线，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，的对角线相交于点，点是的中点，连结．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【题型2:利用三角形的中位线求线段的长度】 【典例2】如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且，连接．若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式1】如图，在中，，点分别是的中点，则等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】如图，在矩形中，点E是边上靠近点B的三等分点，点F是边上靠近点C的三等分点，连接，，M，N分别是，的中点，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D．2 【变式3】如图，是的中位线，的角平分线交于点，若，则的长为（   ） A． B．1 C． D．2 【题型3:利用三角形的中位线求周长】 【典例3】如图，在中，，，点、、分别是、、的中点，连接，，则四边形的周长是（   ） A．5 B．7 C．8 D．10 【变式1】如图，在中，，，，点，，分别为边，，的中点．则的周长为（   ） A．9 B． C． D． 【变式2】如图，在矩形中，M为上一点，且，点P，Q分别为，的中点，连接．若，则四边形的周长为（    ） A．24 B．12 C．17 D．22 【变式3】如图，是内一点，，7，，，，，，分别是，，，的中点，则四边形的周长是（   ） A．12 B．14 C．24 D．21 【题型4:利用三角形的中位线求面积】 【典例4】如图，点D，E，F分别是三角形的三条边的中点，若的面积是1，则的面积是(   ) A．4 B．3 C．2 D．1 【变式1】如图，在中，，点D，E，F分别是三边的中点，，，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在菱形中，E，F分别为边的中点，已知，则菱形的面积是（   ） A．18 B．24 C．27 D．54 【变式3】如图，在中，分别是的中点，F是边上的一个动点，连结．若的面积为20，则的面积是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【题型5:利用三角形的中位线求最值】 【典例5】如图，在中，，，，点在边上，点为边上的动点，点、分别为的中点，则的最小值是（　　） A．2 B．2.5 C．2.4 D．1.2 【变式1】如图，在中，，，D，E分别是边，上的动点，连接，F，M分别是，的中点，则长的最小值为（    ） A．4 B．8 C．4.8 D．9.6 【变式2】如图，在中，，，，点是边上一点，点为边上的动点，点，分别为，的中点，则的最小值为（   ） A．1 B．1.2 C．1.5 D．1.8 【变式3】如图，在矩形中，，，点是边上一动点，连结，将沿折叠得，连结，点是线段的中点，连接，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D． 【题型6:与三角形中位线有关的规律探究】 【典例6】如图，依次连接周长为1的等边三角形各边的中点，得到第二个等边三角形，再依次连接第二个等边三角形各边的中点，得到第三个等边三角形按这样的规律，第2024个等边三角形的周长为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图所示，在中，，点，分别是，边的中点，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点按这样的规律下去，的长为__________为正整数． 【变式2】如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，…，按此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为_______请用含的式子写出你猜想的规律． 【变式3】如图，在菱形中，边长为10，．顺次连结菱形各边中点，可得四边形；顺次连结四边形各边中点，可得四边形；顺次连结四边形各边中点，可得四边形；按此规律继续下去…．则四边形的周长是____________；四边形的周长是______ 【题型7:三角形中位线的实际应用】 【典例7】【综合与实践】 任务 如图1， 测出水池A， B两点间的距离（水池有障碍物不能直接测量）．    测量工具 皮尺    皮尺的功能： 直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度，长度单位：m）； 测角仪    测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P， Q两点，可测得的大小．    小明的测量及求解过程 测量过程 （1）如图2， 水池外选点 C， 用皮尺测得； （2）分别在上用皮尺测得，测得．    求解过程 由测量可知： ∵，， ∴点M是的中点， 点N是的中点， ∴是的______ ∵， ∴______． (1)把小明的求解过程补充完整； (2)小明测出水池A，B两点间的距离，依据是 ； (3)请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用直角三角形的知识求水池A，B两点间的距离，请你画出示意图并写出测量及求解过程（要求测量得到的线段长度用字母a，b，c，…表示，测量次数不超过3次）．         【变式1】如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接，，分别取，的中点D，E，测得米，则的长是_______米． 【变式2】阅读与思考 问题情境： 如图1，某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端A，B两点间的距离． 可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪． 方法分析： “圆周率”小组的操作过程如下：如图2，取能直接到达A和B的点C，量出的长和的度数；作；在射线上找一点D，使；测出的长度，就可得到A，B两点间的距离． “智慧”小组的操作过程如下：如图3，取能直接到达A和B的点C，连接，；分别取，的中点D，E，测出的长度，乘以2就可得到A，B两点间的距离． 说明：以上各点都在同一水平面内． （1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是 ．“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是 ． 迁移应用： （2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求： ①在图1中画出可操作的方案图； ②简要说明你的操作步骤； ③测量方案中，得到A，B两点间的距离的主要依据是 ． 【变式3】如图，在四边形中，．依次是的中点．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的周长． 知识点2：中点四边形 1.定义：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形。 2.核心依据：三角形中位线定理（中位线平行且等于第三边的一半）。 3.形状规律（由原四边形对角线决定） ①任意四边形→中点四边形是平行四边形 ②对角线相等→中点四边形是菱形 ③对角线垂直→中点四边形是矩形 ④对角线相等且垂直→中点四边形是正方形 【关键结论】 ①所有中点四边形至少是平行四边形 ②周长=原四边形两条对角线长度之和 ③面积=原四边形面积的 【题型8 中点四边形】 【典例8】如图，在四边形中，E、F分别是、的中点，G、H分别是、的中点．    (1)请判断四边形的形状，并说明理由． (2)四边形满足什么条件时，四边形是菱形，请说明理由． (3)四边形满足什么条件时，四边形是矩形，请说明理由． 【变式1】如图，点，，，分别为四边形的边，，，的中点，下列说法中不正确的是(   ) A．四边形一定是平行四边形 B．若，则四边形是菱形 C．若，则四边形是矩形 D．若四边形是矩形，则四边形是正方形 【变式2】如图，在四边形中，对角线互相垂直，点E、F、G、H分别是边的中点，依次连接这四个中点得到四边形． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的周长． 【变式3】已知四边形， (1)如图（1），若，点、、、分别为、、、的中点，判断四边形的形状，并说明理由． (2)如图（2），若于，，，求的值． 知识点3：等腰梯形 1. 定义 一组对边平行，另一组对边不平行且相等的四边形。 2. 性质（必考点） ① 两底平行，两腰相等② 同一底上的两个角相等③ 对角线相等④ 是轴对称图形（1 条对称轴） 3. 判定（怎么证等腰梯形） ① 两腰相等的梯形② 同一底上两角相等的梯形③ 对角线相等的梯形 4. 常用辅助线（重难点） ① 作双高 → 构造成矩形 + 两个全等直角三角形② 平移一腰 → 构造成平行四边形 + 三角形③ 平移对角线 → 构造成平行四边形 + 三角形④ 延长两腰交于一点 → 构造成等腰三角形 【题型9 等腰梯形的性质定理】 【典例9】如图，在等腰梯形中，，对角线相交于点，那么以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】如图，已知等腰梯形中，，，，，则此等腰梯形的周长为（　　） A． B． C． D． 【变式2】等腰梯形的腰长为，两底差为，则高为（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图四边形是一个等腰梯形，在边上作一个三角形，使四边形成为一个平行四边形，若，，则下面所给的量中可以求的是（   ） A．的周长 B．的长 C．等腰梯形与周长的差 D．与的差 1．如图，在中，，分别是边，的中点，，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．四边形的中点四边形是矩形，那么四边形一定满足条件（    ） A．矩形 B．菱形 C．对角线相等 D．对角线互相垂直 3．两组对边中只有一组平行的四边形是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．正方形 4．一块长方形菜地分成甲、乙、丙三个部分（乙是平行四边形），如图（单位：）．下面结论不正确的是（　　） A．甲的面积是 B．乙的面积是 C．丙的面积是 D．长方形菜地的面积是 5．如图1，在中，，点D是斜边的中点，点P从点D出发，沿的方向以的速度运动到点B．图2是点P运动时，的面积随时间变化的图象，则a的值为（   ） A．2 B． C． D． 6．如图，在四边形中，E，F，G，H分别是边，，，的中点，对角线，，则四边形的周长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 7．如图，点D、F分别为的边的中点，连接，平分交于点P．若，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．在平面直角坐标系中的位置如图所示，若M，N分别是边，的中点，且点M，N的横坐标分别是1，4，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 9．如图所示，在中，为三角形中位线，过点P作，垂足为Q，将分割后拼接成矩形．若，则矩形的面积是（   ） A．48 B．24 C．72 D．96 10．如图，在等腰梯形中，，，对角线、相交于点，那么下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 11．如图，梯形中，，，，，则______． 12．如图，在中，E，F，D分别是，，的中点，连接，．若，则______． 13．如图，在四边形中，，，，、分别是边、上的动点（含端点，但点不与点重合），、分别是线段、的中点，则的最大值为_____________． 14．如图，在中，已知，平分，E为的中点． (1)求的长； (2)求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 三角形的中位线和等腰梯形 考点1：利用三角形的中位线求边长、证平行、倍半关系 考点2：利用等腰梯形的性质求解 重点： （1）熟记并会用定理：中位线 ∥ 第三边，且等于第三边的一半 （2）会用它求边长、求周长、证平行 （3）掌握等腰梯形的性质与判定 难点： （1）题目没直接给中点时，会找中点、构造中位线 （2）与平行四边形、坐标系中点坐标综合运用 （3）分清：同一底上的角相等，不是任意角 （4）与三角形、平行四边形、勾股定理综合解题 知识点1：三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 注意： （1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 【题型1:利用三角形的中位线求角度】 【典例1】在中，已知、分别是边、的中点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据、是、中点，判定为的中位线，由中位线定理得出，再依据平行线的同位角相等，得出与相等，从而求出的度数． 【详解】解：∵、分别是边、的中点， ∴是的中位线， ∴， 又∵， ∴． 【变式1】如图，在中，边的垂直平分线交于点，连接、若是的中位线，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，三角形的中位线和等腰三角形的性质，由可得，由是的垂直平分线可得出，推出，从而可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的中位线， ∴， ∴； ∵是的垂直平分线， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴， 故选：C． 【变式2】如图，在中，，为的中位线，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形中位线的性质定理，平行线的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 根据条件得出为等腰三角形和顶角的度数，再根据三角形中位线的性质得出和，最后利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴为等腰三角形，， ∵为的中位线， ，且， ， 故选：C． 【变式3】如图，的对角线相交于点，点是的中点，连结．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理，熟记平行四边形的性质、三角形中位线定理是解题的关键． 根据平行四边形的性质求出，再根据三角形中位线的判定与性质、平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵的对角线相交于点， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 故选：A． 【题型2:利用三角形的中位线求线段的长度】 【典例2】如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且，连接．若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据矩形的性质，三角形的中位线定理，得到，即可得出结果. 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴. 【变式1】如图，在中，，点分别是的中点，则等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先根据平行四边形的性质得到，再证明是的中位线，则． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E，F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴． 【变式2】如图，在矩形中，点E是边上靠近点B的三等分点，点F是边上靠近点C的三等分点，连接，，M，N分别是，的中点，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】连接并延长交于点G，连接，根据中点定义，矩形的性质得到，，再证，得到，根据三角形的中位线定理和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图，连接并延长交于点G，连接 ． ∵M，N分别是，的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ， ∴， ，即N是的中点． ∴是的中位线． ． ∵点E是边上靠近点B的三等分点，点F是边上靠近点C的三等分点，，， ∴，，． 在中， ． ． 【变式3】如图，是的中位线，的角平分线交于点，若，则的长为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查三角形中位线定理、等腰三角形的判定与性质．关键是通过中位线的平行关系，结合角平分线的定义推导出等腰三角形，进而计算线段长度．首先根据三角形中位线定理，确定的长度、与的平行关系及的长度；接着利用平行线的内错角相等和角平分线的定义，证明为等腰三角形，得到；最后通过减去的长度，求出的长． 【详解】解：∵是的中位线，，， ∴，，； ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 【题型3:利用三角形的中位线求周长】 【典例3】如图，在中，，，点、、分别是、、的中点，连接，，则四边形的周长是（   ） A．5 B．7 C．8 D．10 【答案】D 【分析】利用三角形的中位线，得到，，即可求解． 【详解】解：∵点、、分别是、、的中点，，， ∴，是的中位线，，， ∴，， ∴四边形的周长为． 【变式1】如图，在中，，，，点，，分别为边，，的中点．则的周长为（   ） A．9 B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用中位线定理分别求出的三条边长，再将三边长度相加得到周长，从而选出正确选项． 【详解】解：∵点，分别为边，的中点， ∴是的中位线， ∴． 同理，，． ∴的周长为． 【变式2】如图，在矩形中，M为上一点，且，点P，Q分别为，的中点，连接．若，则四边形的周长为（    ） A．24 B．12 C．17 D．22 【答案】D 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵点P，Q分别为，的中点， ∴，， ∵， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴四边形的周长为． 【变式3】如图，是内一点，，7，，，，，，分别是，，，的中点，则四边形的周长是（   ） A．12 B．14 C．24 D．21 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中位线定理和勾股定理的应用，掌握三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键． 先在中用勾股定理求出的长度，再根据三角形中位线定理求出四边形各边的长度，最后求和得到周长． 【详解】解：∵ ∴在中， ∵分别为的中点 ∴是的中位线， ∵分别为的中点 ∴是的中位线， ∵分别为的中点 ∴是的中位线， ∵分别为的中点 ∴是的中位线， ∴四边形的周长= 故选：A． 【题型4:利用三角形的中位线求面积】 【典例4】如图，点D，E，F分别是三角形的三条边的中点，若的面积是1，则的面积是(   ) A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据三角形中位线定理可证得四边形ADEF是平行四边形，从而可得，同理，，即． 【详解】解：∵点D，E，F分别是三角形的三条边的中点， ∴DEAF，且DE=AF， ∴四边形ADEF是平行四边形， ∴， 同理，， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查三角形中位线定理及平行四边形的判定与性质，解题关键是掌握三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半． 【变式1】如图，在中，，点D，E，F分别是三边的中点，，，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了与三角形中位线有关的求解问题，根据矩形的性质与判定求线段长，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先证明四边形是矩形，再根据矩形面积公式求解即可． 【详解】解：∵在中，点D，E，F分别是三边的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴，， ∴四边形的面积是()， 故选：B． 【变式2】如图，在菱形中，E，F分别为边的中点，已知，则菱形的面积是（   ） A．18 B．24 C．27 D．54 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，菱形的性质，熟练掌握中位线的性质是解题的关键． 根据中位线的性质得出，进而利用菱形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 连接，如图所示： ∵在菱形中，、分别是的中点， ∴， ∴菱形的面积为， 故选：C． 【变式3】如图，在中，分别是的中点，F是边上的一个动点，连结．若的面积为20，则的面积是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、三角形的面积计算，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 连接，根据三角形的面积公式求出的面积，根据三角形中位线定理得到，得到的面积的面积，得到答案． 【详解】解：连接， ∵点E是的中点，的面积的为20， ∴的面积的面积， ∵点D是的中点， ∴的面积的面积， ∵D，E分别是的中点， ， ∴的面积的面积， 故选：C． 【题型5:利用三角形的中位线求最值】 【典例5】如图，在中，，，，点在边上，点为边上的动点，点、分别为的中点，则的最小值是（　　） A．2 B．2.5 C．2.4 D．1.2 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的面积，勾股定理，三角形中位线，垂线段最短等知识点，根据垂线段最短确定出的位置是解答本题的关键． 根据已知条件判断出是的中位线，得到，当时，的值最小，根据勾股定理和等面积法求出，即可得解． 【详解】如图，连接， 点、分别是、的中点， 是的中位线， ， 当时，的值最小，此时的值也就最小， 由勾股定理得：， ， ， ． 故选:． 【变式1】如图，在中，，，D，E分别是边，上的动点，连接，F，M分别是，的中点，则长的最小值为（    ） A．4 B．8 C．4.8 D．9.6 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．过点B作于G，连接，由三线合一定理和勾股定理求出，进而求出，证明是的中位线，得到，则当时，最小，即此时最小，利用面积法求出，则． 【详解】解：如图所示，过点B作于G，连接， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵F，M分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当时，最小，即此时最小， ∵当时，， ∴， ∴， ∴最小值为4.8， 故答案为：4.8． 【变式2】如图，在中，，，，点是边上一点，点为边上的动点，点，分别为，的中点，则的最小值为（   ） A．1 B．1.2 C．1.5 D．1.8 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的面积、勾股定理、三角形的中位线等知识点，掌握三角形的中位线等于第三边的一半成为解题的关键．如图：连接，根据三角形的中位线可得，当时，的值最小，此时的值也最小，根据勾股定理求出，根据三角形的面积求出即可解答． 【详解】解：如图，连接， ∵点，分别为，的中点， ∴， 当时，的值最小，此时的值也最小， ∵，，， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式3】如图，在矩形中，，，点是边上一动点，连结，将沿折叠得，连结，点是线段的中点，连接，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形与翻折，三角形中位线定理，勾股定理，通过构造三角形中位线得到是解决问题的关键．结合矩形的性质，由折叠可知，，取中点，连接，，则，可得，，由三角形三边关系可知，，当在上时取等号，即可求解． 【详解】解：在矩形中，，，， 由折叠可知，， 取中点，连接，，则， ∴， 又∵点是线段的中点， ∴是的中位线， ∴， 由三角形三边关系可知，，当在上时取等号， ∴的最小值为， 故选：D． 【题型6:与三角形中位线有关的规律探究】 【典例6】如图，依次连接周长为1的等边三角形各边的中点，得到第二个等边三角形，再依次连接第二个等边三角形各边的中点，得到第三个等边三角形按这样的规律，第2024个等边三角形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中位线定理及应用，熟练掌握三角形中位线定理，得出相应的规律是解题的关键． 由题意可得第二个三角形的周长为，同理可得，第三个三角形的周长是，即可得到规律，从而可得第2024个小等边三角形的周长． 【详解】解：如图所示： ，、、分别为、、的中点， 、、分别为的中位线， ，，， 的周长， 第二个三角形的周长为， 同理可得，第三个三角形的周长是， 第n个小等边三角形的周长为 第2024个小等边三角形的周长为． 故选：A． 【变式1】如图所示，在中，，点，分别是，边的中点，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点按这样的规律下去，的长为__________为正整数． 【答案】 【分析】本题考查三角形中位线定理，关键是根据中位线得出规律进行解答．根据中位线的定理得出规律解答即可． 【详解】解：在中，，由点分别是边的中点，点分别是的中点，， 点分别是的中点， 可得， 故． 故答案为：． 【变式2】如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，…，按此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为_______请用含的式子写出你猜想的规律． 【答案】 【分析】本题考查图形类规律探索，中点四边形，解题的关键是总结规律． 根据图形变化引起的面积变化，总结规律即可． 【详解】解： ∵第个矩形的面积为， 第个矩形的面积为， 第个矩形的面积为 …… 第个矩形的面积为， 故答案为：． 【变式3】如图，在菱形中，边长为10，．顺次连结菱形各边中点，可得四边形；顺次连结四边形各边中点，可得四边形；顺次连结四边形各边中点，可得四边形；按此规律继续下去…．则四边形的周长是____________；四边形的周长是______ 【答案】 20 【分析】先证明四边形是菱形，求出， ，，求出周长，同理可得四边形、、……为菱形，且对应的边长：，，…… ，进而求出四边形的周长即可． 【详解】解：连接，，，，如图所示： ∵菱形中，边长为10， ∴，，，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵顺次连结菱形各边中点，得到四边形， ∴，，，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵顺次连结四边形各边中点，可得四边形， ∴，，，， ∴， ∴四边形为菱形， ∴， ∴是等边三角形，四边形是菱形， ∴的周长为； 同理可得：四边形、、……为菱形， 且对应的边长：， ， …… ∴四边形为菱形，边长为， ∴四边形的周长为： ． 故答案为：20；． 【点睛】本题考查了中点四边形，三角形中位线的性质，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，根据题意发现中点四边形性质，分别求出菱形矩形边长并发现规律进行推理是解题关键． 【题型7:三角形中位线的实际应用】 【典例7】【综合与实践】 任务 如图1， 测出水池A， B两点间的距离（水池有障碍物不能直接测量）．    测量工具 皮尺    皮尺的功能： 直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度，长度单位：m）； 测角仪    测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P， Q两点，可测得的大小．    小明的测量及求解过程 测量过程 （1）如图2， 水池外选点 C， 用皮尺测得； （2）分别在上用皮尺测得，测得．    求解过程 由测量可知： ∵，， ∴点M是的中点， 点N是的中点， ∴是的______ ∵， ∴______． (1)把小明的求解过程补充完整； (2)小明测出水池A，B两点间的距离，依据是 ； (3)请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用直角三角形的知识求水池A，B两点间的距离，请你画出示意图并写出测量及求解过程（要求测量得到的线段长度用字母a，b，c，…表示，测量次数不超过3次）．         【答案】(1)见解析 (2)三角形的中位线等于第三边的一半 (3)示意图见解析， 【分析】本题考查三角形中位线的判定与性质，含30度直角三角的特征． （1）根据三角形中位线的性质即可解答； （2）三角形的中位线等于第三边的一半； （3）用测角仪在点A处测出，在射线上找一点G，用测角仪测出，然后用皮尺测量出，利用含30度直角三角的特征即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴点M是的中点， 点N是的中点， ∴是的中位线， ∵， ∴． （2）解：由（1）可知小明测出水池A，B两点间的距离， 依据是：三角形的中位线等于第三边的一半； （3）解：如图，   ， ． 【变式1】如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接，，分别取，的中点D，E，测得米，则的长是_______米． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． 根据题意可知是的中位线，再根据三角形中位线的性质得出，进而得出答案即可． 【详解】解：点，分别是，的中点， 是的中位线， 米． 故答案为：． 【变式2】阅读与思考 问题情境： 如图1，某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端A，B两点间的距离． 可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪． 方法分析： “圆周率”小组的操作过程如下：如图2，取能直接到达A和B的点C，量出的长和的度数；作；在射线上找一点D，使；测出的长度，就可得到A，B两点间的距离． “智慧”小组的操作过程如下：如图3，取能直接到达A和B的点C，连接，；分别取，的中点D，E，测出的长度，乘以2就可得到A，B两点间的距离． 说明：以上各点都在同一水平面内． （1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是 ．“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是 ． 迁移应用： （2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求： ①在图1中画出可操作的方案图； ②简要说明你的操作步骤； ③测量方案中，得到A，B两点间的距离的主要依据是 ． 【答案】（1）平行四边形对边相等；三角形的中位线等于第三边的一半；（2）①作图见解析；②步骤见解析；③全等三角形对应边相等 【分析】（1）根据平行四边形的性质和三角形的中位线性质进行解答即可； （2）构造全等三角形，画出图形，利用全等三角形的对应边进行解答即可． 【详解】解：（1）“圆周率”小组：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是平行四边形对边相等； “智慧”小组：∵D，E分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是三角形的中位线等于第三边的一半； （2）①如图， ②先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接，并分别延长至点D，至点E，使， ，最后量出的距离就是的距离； ③在和中， ， ∴， ∴， ∴得到A，B两点间的距离的主要依据是全等三角形对应边相等． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质的应用，三角形中位线的应用，三角形全等的应用，平行线的判定，解题的关键是理解题意熟练掌握相关的判定和性质． 【变式3】如图，在四边形中，．依次是的中点．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的周长． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) 【分析】（1）根据三角形的中位线的性质，菱形的判定方法即可求证； （2）由（1）可得四边形是菱形，且，根据菱形周长的计算方法即可求解． 【详解】（1）证明：在中，点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， 同理，在中，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 在中，是的中点， ∴，， ∵， ∴，即， ∴平行四边形是菱形． （2）解：由（1）可知，，， ∴菱形中，， ∴四边形的周长为． 【点睛】本题主要考查三角形的中位线的性质，菱形的判定和性质，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 知识点2：中点四边形 1.定义：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形。 2.核心依据：三角形中位线定理（中位线平行且等于第三边的一半）。 3.形状规律（由原四边形对角线决定） ①任意四边形→中点四边形是平行四边形 ②对角线相等→中点四边形是菱形 ③对角线垂直→中点四边形是矩形 ④对角线相等且垂直→中点四边形是正方形 【关键结论】 ①所有中点四边形至少是平行四边形 ②周长=原四边形两条对角线长度之和 ③面积=原四边形面积的 【题型8 中点四边形】 【典例8】如图，在四边形中，E、F分别是、的中点，G、H分别是、的中点．    (1)请判断四边形的形状，并说明理由． (2)四边形满足什么条件时，四边形是菱形，请说明理由． (3)四边形满足什么条件时，四边形是矩形，请说明理由． 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据三角形的中位线定理，进行判断即可； （2）根据邻边相等的平行四边形是菱形，进行判断即可； （3）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，进行判断即可． 【详解】（1）解：∵E、F分别是、的中点，G、H分别是、的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）当四边形满足时，四边形是菱形，理由如下： ∵，， ∴， ∴平行四边形是菱形； （3）当四边形满足时，四边形是矩形，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题考查中点四边形．解题的关键是掌握三角形的中位线定理，以及菱形和矩形的判定定理． 【变式1】如图，点，，，分别为四边形的边，，，的中点，下列说法中不正确的是(   ) A．四边形一定是平行四边形 B．若，则四边形是菱形 C．若，则四边形是矩形 D．若四边形是矩形，则四边形是正方形 【答案】D 【分析】本题考查了中点四边形，中位线的性质，特殊四边形的判定，根据平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定定理逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：点，，，分别为四边形的边，，，的中点， 、、分别为、、的中位线， ，，，，，， ，， 四边形为平行四边形， 当时，，则平行四边形为菱形， 当时，，则平行四边形是矩形， 若四边形是矩形，则四边形是菱形，不一定是正方形， 故不正确的选项是D， 故选：D． 【变式2】如图，在四边形中，对角线互相垂直，点E、F、G、H分别是边的中点，依次连接这四个中点得到四边形． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了中点四边形，三角形中位线的性质，矩形的性质与判定． （1）设交于点，交于点，先根据三角形的中位线定理，得到，证明四边形是平行四边形，再根据可得，即可证明四边形是矩形； （2）由（1）得，结合，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，设交于点，交于点， 点E、F、G、H分别是边的中点， 是的中位线，即， 同理，是的中位线，即， 是的中位线，即， 是的中位线，即， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是矩形； （2）解：由（1）知四边形是矩形， ， ， ， 四边形的周长为：． 【变式3】已知四边形， (1)如图（1），若，点、、、分别为、、、的中点，判断四边形的形状，并说明理由． (2)如图（2），若于，，，求的值． 【答案】(1)四边形是菱形，证明见解析 (2)52 【分析】本题考查的是中点四边形、勾股定理、三角形中位线定理，熟记四条边相等的四边形是菱形是解题的关键． （1）根据三角形中位线定理得到，，，，得到，根据菱形的判定定理证明； （2）根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：四边形是菱形， 理由如下：点、、、分别为、、、的中点， 、、、分别为、、、的中位线， ，，，， ， ， 四边形是菱形； （2）解：， ， 在中，， 由勾股定理得：， 在中，， 由勾股定理得：， ． 知识点3：等腰梯形 1. 定义 一组对边平行，另一组对边不平行且相等的四边形。 2. 性质（必考点） ① 两底平行，两腰相等② 同一底上的两个角相等③ 对角线相等④ 是轴对称图形（1 条对称轴） 3. 判定（怎么证等腰梯形） ① 两腰相等的梯形② 同一底上两角相等的梯形③ 对角线相等的梯形 4. 常用辅助线（重难点） ① 作双高 → 构造成矩形 + 两个全等直角三角形② 平移一腰 → 构造成平行四边形 + 三角形③ 平移对角线 → 构造成平行四边形 + 三角形④ 延长两腰交于一点 → 构造成等腰三角形 【题型9 等腰梯形的性质定理】 【典例9】如图，在等腰梯形中，，对角线相交于点，那么以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了等腰梯形的性质，全等三角形的性质和判定，等角对等边，根据等腰梯形的性质得到，，，证明出，得到，，进而求解即可． 【详解】解析：∵等腰梯形中，，对角线相交于点 ∴，①正确； ∵， ∴ ∴， ∴， ∴，即，②正确； 和不一定相等，故③错误； ∵ ∴ ∴ ∴，④正确； 故选：C． 【变式1】如图，已知等腰梯形中，，，，，则此等腰梯形的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，等腰梯形的性质，全等三角形的判定与性质，所对直角边是斜边的一半，作，，证明四边形是矩形，从而有，，根据等腰梯形的性质得，证明，根据所对直角边是斜边的一半得出即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，作，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是等腰梯形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴等腰梯形的周长为， 故选：． 【变式2】等腰梯形的腰长为，两底差为，则高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰梯形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，要求学生掌握等腰梯形的性质，知道先过上底的一个顶点作下底的垂线，组成一个直角三角形，再解这个直角三角形． 【详解】解：如图，四边形是等腰梯形，，两底差为， 过点A和点D作的垂线，垂足为点E和点F， ∵四边形是等腰梯形，， ∴四边形是矩形， ∵两底差为， ∴，则， 根据勾股定理可得：， 故选：B． 【变式3】如图四边形是一个等腰梯形，在边上作一个三角形，使四边形成为一个平行四边形，若，，则下面所给的量中可以求的是（   ） A．的周长 B．的长 C．等腰梯形与周长的差 D．与的差 【答案】A 【分析】求出，，得到的周长即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，（平行四边形的对边平行且相等），（平行四边形的对角相等）， ， 四边形是一个等腰梯形， ， ， ， ， 的周长为， 无法求出边上的高、等腰梯形与周长的差、与的差， 故选：． 1．如图，在中，，分别是边，的中点，，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，熟练掌握“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”是解题的关键． 根据三角形中位线的判定，确定是的中位线，再利用中位线定理求的长度． 【详解】解：∵，分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 2．四边形的中点四边形是矩形，那么四边形一定满足条件（    ） A．矩形 B．菱形 C．对角线相等 D．对角线互相垂直 【答案】D 【分析】本题考查判断一个四边形的中点四边形的形状．如果中点四边形是矩形，那么原四边形的对角线必然互相垂直． 【详解】解：四边形的中点四边形是一个矩形， 四边形的对角线一定互相垂直，只要符合此条件即可， 故选：D． 3．两组对边中只有一组平行的四边形是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．正方形 【答案】C 【分析】本题可根据各类四边形对边平行的数量特征，逐一分析选项，从而选出符合“只有一组对边平行”条件的四边形． 【详解】解：平行四边形：两组对边分别平行． 矩形：两组对边分别平行（矩形是特殊的平行四边形）． 梯形：只有一组对边平行．（符合题意） 正方形：两组对边分别平行（正方形是特殊的平行四边形）． 4．一块长方形菜地分成甲、乙、丙三个部分（乙是平行四边形），如图（单位：）．下面结论不正确的是（　　） A．甲的面积是 B．乙的面积是 C．丙的面积是 D．长方形菜地的面积是 【答案】C 【分析】本题考查了三角形，平行四边形，直角梯形以及长方形的面积求解，熟练掌握面积公式是解决本题的关键． 根据图示可知甲乙丙三个部分的各个边长，再由对应面积公式分别求解面积判断选项即可． 【详解】解：由图示可知， 长方形的长为，宽为， ∴长方形菜地的面积是，D正确； 甲的部分为直角三角形，两条直角边分别为2和4， ∴甲的面积是，A正确； 乙的部分为平行四边形，底边和高都为4， ∴乙的面积是，B正确； 丙的部分为直角梯形，上底为，高为， ∵长方形的长为，乙是平行四边形， ∴直角梯形的下底为， ∴丙的面积是，C错误 ． 故选：C ． 5．如图1，在中，，点D是斜边的中点，点P从点D出发，沿的方向以的速度运动到点B．图2是点P运动时，的面积随时间变化的图象，则a的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】由点的运动可知，，，且当点运动到点时，的面积为，过点作于点，得，则，最后根据勾股定理可知，进而即可求解． 【详解】解：由点的运动可知，，，且当点运动到点时，的面积为， 过点作于点，如图， ，即． ，即点是的中点， ， ， 是的中位线， ， ． 在中，由勾股定理可知，， ． 【点睛】本题以动点函数图像为载体，结合直角三角形斜边中线、中位线性质与面积公式，将图像信息转化为几何线段长度，通过勾股定理求解，凸显了“数形结合”与“转化化归”的解题核心思想． 6．如图，在四边形中，E，F，G，H分别是边，，，的中点，对角线，，则四边形的周长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理分别求出、、、的长，根据四边形的周长公式计算即可． 【详解】、、、分别是、、、的中点， 、、、分别是、、、的中位线， ，，，， 四边形的周长； 7．如图，点D、F分别为的边的中点，连接，平分交于点P．若，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查三角形的中位线定理，等腰三角形的判定和性质，因为为的中位线，进而得到，根据平行线的性质和角平分线的定义，推出，即可得出结论． 【详解】解：∵点D、F分别为的边的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∵平分， ∴ ∴， ∴； 故选：A． 8．在平面直角坐标系中的位置如图所示，若M，N分别是边，的中点，且点M，N的横坐标分别是1，4，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形，三角形中位线的判定和性质，掌握中位线的性质是关键．根据题意得到，且是的中位线，则，进而求解即可． 【详解】解：∵M，N分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵点M，N的横坐标分别是1，4， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 9．如图所示，在中，为三角形中位线，过点P作，垂足为Q，将分割后拼接成矩形．若，则矩形的面积是（   ） A．48 B．24 C．72 D．96 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，矩形的面积公式，全等三角形的判定和性质，正确理解题意，根据三角形中位线定理求出是解决问题的关键．利用全等三角形的性质证明，再利用三角形中位线定理求出可得结论． 【详解】解：四边形是矩形， ， 在△中，为三角形中位线， ，， ， ， ， ， ， 矩形的面积． 故选D． 10．如图，在等腰梯形中，，，对角线、相交于点，那么下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等腰梯形的性质证明，进而可以解决问题． 【详解】解：四边形是等腰梯形，， ，， 在和中， ∵， ， ， 结论一定成立的是． 故选D． 【点睛】本题考查了等腰梯形的性质和全等三角形判定和性质，熟练掌握等腰梯形的性质、全等三角形的判定和性质证明线段或角相等是解题的关键． 11．如图，梯形中，，，，，则______． 【答案】11 【分析】本题考查了平行四边形性质，等腰三角形性质，解题的关键在于作辅助线构造平行四边形． 作交于点E，证明四边形是平行四边形，结合平行四边形性质推出，，进而得到，再根据求解，即可解题． 【详解】解：作交于点E，则， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：11． 12．如图，在中，E，F，D分别是，，的中点，连接，．若，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查直角三角形斜边中线定理以及三角形中位线定理，熟练掌握直角三角形斜边中线定理是解题的关键．根据直角三角形斜边中线定理求出，再根据是的中位线，得到． 【详解】解：在中，D是的中点，， 则， E，F是，的中点， 是的中位线， ． 故答案为：． 13．如图，在四边形中，，，，、分别是边、上的动点（含端点，但点不与点重合），、分别是线段、的中点，则的最大值为_____________． 【答案】1 【分析】本题考查中位线的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 连接，根据中位线的性质得到，进而得到最大时，最大，根据勾股定理求出的最大值，据此解答即可． 【详解】解：如图，连接， 、分别是线段、的中点， ， 最大时，最大， 当点与重合时，最大，此时， ， 的最大值为1． 14．如图，在中，已知，平分，E为的中点． (1)求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，中位线的性质，掌握中位线的性质是解决本题的关键． （1）根据等腰三角形的判定和性质可得，点D是的中点，再根据点E为的中点可得，是的中位线，进而即可求解； （2）根据中位线的性质即可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴是等腰三角形， ∵平分， ∴是边上的中线， ∴点D是的中点， 又∵点E为的中点， ∴是的中位线， ∴； （2）证明：由（1）可得，是的中位线， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $