第01讲 二次根式及其性质（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年八年级数学下册《知识解读·题型专练》（苏科版）

本初中数学讲义聚焦二次根式及其性质核心知识点，构建从定义（形如√a的式子，被开方数非负）、有意义条件（单/多个二次根式及含分母情况）到双重非负性、四条核心性质（正向逆向运用）及化简的递进学习支架。 资料以“考点-知识点-题型”为框架，通过典例与变式题（如二次根式识别、含字母化简）强化数学思维中的推理能力与运算能力，结合数轴化简题渗透几何直观的数学眼光。课中助力教师系统授课，课后学生可通过分层练习巩固性质应用，弥补知识盲点。

第01讲 二次根式及其性质 考点1：二次根式的定义与有意义条件 考点2：双重非负性的应用 考点3：二次根式性质的正向与逆向运用 考点4：的化简 重点： （1） 双重非负性 （2）4条核心性质的灵活运用 （2） 与（的区别 难点： （1） 含的字母的化简 （2）非负性的综合应用 知识点1：二次根式的定义及有意义的条件 1.定义：一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式。 【总结】二次根式满足条件： （1） 必须含有二次根号 （2） 被开方数必须是非负数 2.有意义的条件 ①单个二次根式：被开方数a≥0。 ②多个二次根式：所有被开方数均≥0。 ③含分母：被开方数≥0且分母≠0 【题型1 二次根式的识别】 【典例1】下列式子：．其中一定是二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据被开方数为非负数，即可得出答案． 【详解】解：，不是二次根式； 是二次根式； 当时，不是二次根式； 当时，，不是二次根式； ，是二次根式； 不是二次根式． 综上，，是二次根式，一共2个． 故选：B． 【变式1】下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次根式的定义，把形如的式子叫做二次根式．根据二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、当时，不是二次根式； B、∵，∴不是二次根式； C、当时，，不是二次根式； D、∵，∴一定是二次根式． 故选：D． 【变式2】式子，，，中二次根式的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式．据此进行判断即可． 【详解】解：根据二次根式的定义可得，式子，是二次根式，中，的取值范围不确定，不能保证，故不一定是二次根式； 故选：B． 【变式3】小红说：“因为，所以不是二次根式．”小红的说法是__________的（填“对”或“错”）． 【答案】错 【分析】本题主要考查的是二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键． 根据二次根式的定义解答即可． 【详解】解：根据二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式．中被开方数为，满足，且含有根号，因此是二次根式，不能因为其运算结果为整数而否定其二次根式的本质． 故小红的说法是错误的． 故答案为：错． 【题型2 求二次根式的值】 【典例2】已知二次根式，当x＝1时，此二次根式的值为（　　） A．2 B．±2 C．4 D．±4 【答案】A 【分析】将x取值代入二次根式求值即可． 【详解】解：当x＝1时，原式＝， 故选：A． 【点睛】本题考查二次根式的计算，注意算术平方根开出来是正数，这一点是本题关键． 【变式1】当时，二次根式的值为（    ） A．4 B． C．6 D．2 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的定义，把代入求值即可． 【详解】解：当时，二次根式， 故选：D． 【变式2】当时，二次根式的值是______． 【答案】 【详解】解：当时，. 【变式3】已知，，且，则________ 【答案】3 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题的关键，根据可得的值，再根据可确定的值，代入即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：3． 【题型3 求二次根式中的参数】 【典例3】已知是整数，写出一个符合题意的自然数n的值：_______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据二次根式的定义，先确定被开方数的取值范围，再结合是整数，得到为不大于18的非负完全平方数，即可求出符合题意的自然数． 【详解】解：根据二次根式的定义，得， 解得， 是自然数，是整数， 为不大于18的完全平方数，到之间的完全平方数有， 当时，，符合题意． 【变式1】若是一个整数，则n可取的最小正整数是________． 【答案】3 【分析】本题先化简二次根式，再根据二次根式为整数的性质，确定的最小正整数值． 【详解】解：是一个整数，， 是一个整数，即是一个整数， 为完全平方数， 又是正整数， 可取的最小正整数为． 【变式2】若二次根式，则_______． 【答案】 【分析】将等式两边同时平方，转化为一元一次方程求解，再验证二次根式有意义的条件即可得到结果． 【详解】解：对两边同时平方， 得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得， 验证：当时，，满足二次根式有意义的条件． 【变式3】若实数x，y满足，则的值为__________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式的非负性、代数式求值、负整数次幂等知识点，掌握二次根式的非负性是解题的关键． 由二次根式的非负性可求得 x 的值；再代入求得 y的值，然后代入求值即可． 【详解】解：∵，且 ， ∴，即， 将代入，得，解得：． ∴． 故答案为：． 【题型4 二次根式有意义的条件】 【典例4】若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_____． 【答案】且 【分析】根据二次根式被开方数非负、分式分母不为0得到关于x的不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：式子在实数范围内有意义，则满足：， 解得：且． 【变式1】二次根式有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】二次根式有意义的条件是被开方数是非负数． 【详解】解：二次根式有意义， ， ． 【变式2】若，则______． 【答案】6 【详解】解：∵， ∴且， 解得， ∴． 【变式3】若和都是二次根式，则点在平面直角坐标系的（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，然后根据平面直角坐标系象限坐标特征求解． 【详解】解：由题意得：， ∴由二次根式有意义的条件可得， ， ∴x、y为异号． ， ， ， 即点在平面直角坐标系的第四象限． 知识点2：二次根式的性质 （1） 双重非负性≥0, a≥0: (主要用于字母的求值) （2）回归性: (主要用于二次根式的计算) （3）转化性： 【题型5 利用二次根式的性质化简】 【典例5】实数在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查了数轴、绝对值与二次根式的化简，解题的关键是根据数轴判断与的符号，再利用绝对值和二次根式的性质进行化简． 根据数轴可知，由此判断，，再根据绝对值和的性质化简式子，最后合并同类项． 【详解】解：由数轴可知，， ，． ∴ 故选：． 【变式1】把化简得（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再利用二次根式的性质化简即可得到结果． 【详解】解：∵ 二次根式中被开方数非负， ∴ ， 解得， ∴． 【变式2】当时，化简的正确结果是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质化简，然后化简带字母的绝对值． 【详解】解： ， ． 【变式3】若，则x的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题主要考查二次根式的性质，根据，可得到． 【详解】根据题意，可得 变形，得 解得 1．如果二次根式有意义，那么实数满足的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴ 解不等式得 2．下列是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义判断各选项的被开方数是否恒为非负数即可解答． 【详解】解：选项A中被开方数，即不是二次根式； 选项B中a的符号不确定，当时被开方数为负数，即不一定是二次根式； 选项C中，即，被开方数恒为非负数，符合二次根式定义，故 选项C是二次根式； 选项D中，当时，，被开方数为负数，故不一定是二次根式． 3．下列四个式子中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一般地，形如的式子叫做二次根式，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、，故不是二次根式，不符合题意； B、当时，不是二次根式，不符合题意； C、是二次根式，符合题意； D、不是二次根式，不符合题意． 4．已知，则的值为（   ） A． B． C．25 D．5 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的性质，解题的关键是掌握二次根式的性质． 利用这一性质将等式转化为绝对值方程，进而求解的值． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴， 故选：A． 5．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断出的正负，再根据非负数的性质计算即可． 【详解】解：由数轴可知， ∴， ∴ ． 6．若，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用完全平方公式对根号内的多项式变形，再根据二次根式的性质，结合的条件去掉绝对值符号，得到化简结果 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 7．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴可得，再根据二次根式的性质进行计算即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，， ∴ 8．化简：______． 【答案】 / 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，解题思路为利用二次根式的性质将原式转化为绝对值形式，再判断的符号，去绝对值得到化简结果. 【详解】根据二次根式的性质， 可得， ， ， 根据绝对值的性质，当时，，可得 故答案为 9．已知实数x，y满足，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件以及立方的计算． 【详解】解：要使和有意义，需满足： 解不等式组得， ， ． 10．由 我们可以归纳出结论；则由，，，我们可以归纳出的结论是________． 【答案】（且为整数） 【分析】本题主要考查了数字变化规律探索、二次根式的性质与化简，理解题意，找出变化规律是解题关键．利用已知条件，找出规律，写出结果即可． 【详解】解：∵， ， ， ∴我们可以归纳出的结论是． 故答案为：（且为整数）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 二次根式及其性质 考点1：二次根式的定义与有意义条件 考点2：双重非负性的应用 考点3：二次根式性质的正向与逆向运用 考点4：的化简 重点： （1） 双重非负性 （2）4条核心性质的灵活运用 （2） 与（的区别 难点： （1） 含的字母的化简 （2）非负性的综合应用 知识点1：二次根式的定义及有意义的条件 1.定义：一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式。 【总结】二次根式满足条件： （1） 必须含有二次根号 （2） 被开方数必须是非负数 2.有意义的条件 ①单个二次根式：被开方数a≥0。 ②多个二次根式：所有被开方数均≥0。 ③含分母：被开方数≥0且分母≠0 【题型1 二次根式的识别】 【典例1】下列式子：．其中一定是二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】式子，，，中二次根式的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】小红说：“因为，所以不是二次根式．”小红的说法是__________的（填“对”或“错”）． 【题型2 求二次根式的值】 【典例2】已知二次根式，当x＝1时，此二次根式的值为（　　） A．2 B．±2 C．4 D．±4 【变式1】当时，二次根式的值为（    ） A．4 B． C．6 D．2 【变式2】当时，二次根式的值是______． 【变式3】已知，，且，则________ 【题型3 求二次根式中的参数】 【典例3】已知是整数，写出一个符合题意的自然数n的值：_______． 【变式1】若是一个整数，则n可取的最小正整数是________． 【变式2】若二次根式，则_______． 【变式3】若实数x，y满足，则的值为__________． 【题型4 二次根式有意义的条件】 【典例4】若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_____． 【变式1】二次根式有意义，则的取值范围是______． 【变式2】若，则______． 【变式3】若和都是二次根式，则点在平面直角坐标系的（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 知识点2：二次根式的性质 （1） 双重非负性≥0, a≥0: (主要用于字母的求值) （2）回归性: (主要用于二次根式的计算) （3）转化性： 【题型5 利用二次根式的性质化简】 【典例5】实数在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（    ） A． B． C． D．1 【变式1】把化简得（   ） A． B． C． D． 【变式2】当时，化简的正确结果是（   ） A． B．1 C． D． 【变式3】若，则x的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 1．如果二次根式有意义，那么实数满足的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．下列是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 3．下列四个式子中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 4．已知，则的值为（   ） A． B． C．25 D．5 5．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：的结果是（    ） A． B． C． D． 6．若，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 7．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（       ） A． B． C． D． 8．化简：______． 9．已知实数x，y满足，则的值是______． 10．由 我们可以归纳出结论；则由，，，我们可以归纳出的结论是________． 学科网（北京）股份有限公司 $