第01讲 认识概率（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年苏科版八年级数学下册《知识解读·题型专练》

本讲义聚焦初中数学“认识概率”核心内容，系统梳理事件分类（必然、不可能、随机事件）、概率定义、频率与概率关系及应用，构建从概念辨析到计算应用的学习支架，帮助学生逐步掌握概率知识脉络。 资料以“典例+变式”分层设计题型，通过事件类型判断培养抽象能力（数学眼光），结合频率计算与概率估计发展数据意识（数学语言）。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过变式训练查漏补缺，强化知识理解与应用能力。

第01讲 认识概率 考点1：事件的分类 考点2：概率的定义 考点3：频率与概率的关系 考点4：概率的应用 重点： （1）事件类型的判断 （2）频率与概率的有关计算 难点： （1）频率与概率的辨析 （2）频率与概率的综合 知识点1：事件类型 必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件. 不可能事件： 有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件. 不确定事件： 许多事情我们无法确定它会不会发生，称为不确定事件（又叫随机事件）. 说明： （1）必然事件、不可能事件都称为确定性事件. （2）事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1； ②不可能事件发生的概率为0,即P（不可能事件）=0； ③如果A为不确定事件，那么0<P(A)<1 【题型1 事件类型】 【典例1】下列事件中，是确定性事件的是（    ） A．任意画一个三角形，其外角和是 B．经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯 C．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中D．投掷一枚骰子，向上一面的点数大于 【答案】A 【分析】本题考查了确定性事件的判断，根据确定性事件的定义，必然发生或必然不发生的事件是确定性事件，选项中三角形的外角和恒为，是必然事件；选项都是随机事件，掌握相关知识的应用是解题的关键． 【详解】、∵任意多边形的外角和都是， ∴任意三角形的外角和一定是，是必然事件，符合题意； 、∵交通信号灯有红、黄、绿三种可能， ∴遇到绿灯是随机事件，不符合题意； 、∵投篮可能投中或未投中， ∴未投中是随机事件，不符合题意； 、∵骰子点数从到， ∴点数大于有三种可能，但不是必然发生，是随机事件，不符合题意； 故选：． 【变式1】下列事件中为必然事件的是（    ） A．明天晴天 B．天空出现3个太阳 C．射击运动员射击一次，命中靶心 D．三角形内角和为 【答案】D 【分析】本题考查的是随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断． 【详解】解：A、明天晴天，是随机事件，不符合题意； B、天空出现3个太阳，是不可能事件，不符合题意； C、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，不符合题意； D、三角形内角和为，是必然事件，符合题意； 故选：D． 【变式2】下列事件中，属于随机事件的是（ ） A．若是实数，则 B．任取两个无理数，其差是无理数 C．已知，则 D．若、互为倒数，则 【答案】B 【分析】本题考查事件的分类，实数的性质，根据实数的性质，无理数的含义逐一判断各选项属于必然事件、不可能事件还是随机事件即可． 【详解】解：选项A：实数的绝对值必定非负，故恒成立，属于必然事件． 选项B：任取两个无理数，其差可能是无理数（如与的差为），也可能是有理数（如与的差为）．结果具有不确定性，属于随机事件． 选项C：根据平方根的定义，存在的前提是，故必然成立，属于必然事件． 选项D：若、互为倒数，则，而显然矛盾，属于不可能事件． 综上，只有选项B是随机事件． 故选：B 【变式3】下列事件是不可能事件的是（   ） A．射击运动员射击一次，命中靶心 B．投一枚图钉，钉尖朝上 C．把一粒种子种在花盆中，种子发芽 D．水中捞月 【答案】D 【分析】本题考查了随机事件，掌握事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，可以有发生也可能不发生的事件叫随机事件是解题的关键． 根据不可能事件的定义判断即可． 【详解】解：A、“射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件，不符合题意； B、“投一枚图钉，钉尖朝上”是随机事件，不符合题意； C、“把一粒种子种在花盆中，种子发芽”是随机事件，不符合题意； D、“水中捞月”是不可能事件，符合题意； 故选：D． 【题型2 判断事件发生的可能性的大小】 【典例2】学校“爱昆虫”社团买回一些盲袋，每个盲袋里装一个琥珀昆虫吊坠．如图，这些琥珀昆虫吊坠中，蝴蝶10个，蝎子1个，瓢虫5个．菲菲随机领取一个盲袋，里面是什么昆虫呢？下面说法正确的是（   ） A．三种昆虫的可能性一样大 B．不可能是蝎子 C．瓢虫的可能性最小 D．蝴蝶的可能性最大 【答案】D 【分析】本题考查了可能性的大小，明确可能性的大小与数量的多少有关，数量多的可能性大一点，数量少的可能性小一点，据此即可解答． 【详解】解：，蝴蝶琥珀昆虫吊坠最多，蝎子琥珀昆虫吊坠最少， 菲菲随机领取一个盲袋，领取蝴蝶的可能性最大，蝎子的可能性最小， 故选：D． 【变式1】3个人站成一排，其中小亮“站在中间”与“站在两端”这两个事件发生的可能性是（   ）． A．一样大 B．“站在中间”的可能性大 C．“站在两端”的可能性大 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了可能性大小的判断，要求小亮“站在中间”与小亮“站在两端”这两个事件发生的可能性的大小，只需求出各自所占的比例大小即可得到相应的可能性，比较即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：3个人站成一排，小亮站在哪个位置都有可能，“小亮站在正中间”的可能性为，“小亮站在两端”的可能性有，这两个事件发生的可能性不相等， ∵ ∴“站在两端”的可能性大， 故选：C． 【变式2】有四个盒子，随机从盒子中摸出1个球，摸出红球可能性最大的是（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了可能性.我们知道可能性指的是事件发生的概率，掌握以上知识是解题的关键； 本题分别求出4个选项中摸出红球的概率，然后进行比较，即可求解； 【详解】解：A、摸出红球的概率为； B、摸出红球的概率为； C、摸出红球的概率为； D、摸出红球的概率为； ∵， ∴A选项摸出红球可能性最大， 故选：A； 【变式3】不透明的袋子中有2个红球、个黄球，这些小球除颜色外无其他差别．随机摸取1个小球后放回，连续摸取次，每次摸取到的都是黄球，下列说法正确的是（   ） A．第6次摸取到的一定是黄球 B．第6次摸取到的可能还是黄球 C．第6次摸取到的一定是红球 D．第6次摸取到红球的可能性更大 【答案】B 【分析】本题考查了随机事件以及事件发生可能性的大小，理解事件可能性大小是解题的关键； 根据不同颜色的球的数量确定摸到哪种球的可能性的大小后即可确定正确的选项，即可求解； 【详解】解：∵不透明的袋子中有2个红球、个黄球， ∴每次摸球摸到红球概率为，每次摸球摸到黄球概率为； A、第6次摸取到的一定是黄球，错误，第6次摸取到的不一定是黄球，也有可能是红球； B、第6次摸取到的可能还是黄球，正确； C、第6次摸取到的一定是红球，错误，第6次摸取到的不一定是红球，也有可能是黄球； D、第6次摸取到红球的可能性更大，错误，第6次摸取到黄球的可能性更大； 故选：B； 知识点2：概率 1.定义：一般地，对于一个随机事件 A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记为P(A) ． （1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。 （2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。 2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = ． 知识点3：频率与概率 1、频数：在多次试验中，某个事件出现的次数叫频数 2、频率：某个事件出现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的频率 3、一般地，在大量重复试验中，如果事件 A发生的频率 会稳定在某个常数p附近 ，那么，这个常数p就叫作事件A的概率 ，记为P（A）=P 知识点4：利用频率估计概率 在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。 【题型3 求事件的频率】 【典例3】某市抽取若干名中学生的作业进行检查，结果如下表所示： 抽取作业数量 优秀数量 优秀频率 (1)填空：_______，_______ (2)估计该市学生作业优秀的概率．（精确到） 【答案】(1)， (2)估计该市学生作业优秀的概率为 【分析】本题考查频数与频率的关系，用频率估计概率，理解“大量重复试验中，频率会稳定在概率附近”是解题关键． （1）根据“优秀频率优秀数量抽取作业数量”的关系式，代入已知的抽取数量、优秀频率计算；代入已知的优秀数量、抽取数量计算； （2）观察表格，可知当抽取作业数量增大时，优秀频率逐渐稳定在附近，利用“大量重复试验中，频率稳定在概率附近”的规律，可得出该市学生作业优秀的概率． 【详解】（1）解：优秀的频率公式为，当，频率为， ， ； 当时，， ． 答：，． （2）解：观察图表可知，当抽取作业的数量逐渐增大时，优秀频率稳定在附近，则可估计该市学生作业优秀的概率为． 答：估计该市学生作业优秀的概率为． 【变式1】今天的日期是：20240425，在这串数字中，0出现的频率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了频率的计算，掌握频率的计算方法成为解题的关键． 据日期“20240425”中，共有8个数字，其中数字“0”出现了2次，然后运用概率公式计算即可． 【详解】解：日期“20240425”中，共有8个数字，其中数字“0”出现了2次，数字“2”出现的频率是． 故答案为：． 【变式2】某数学兴趣小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次试验后获得如下数据： 重复试验次数 10 50 100 500 1000 2000 5000 钉尖朝上次数 5 15 36 200 403 801 2001 估计任意抛掷一枚图钉，钉尖朝上的概率约为 .（结果精确到） 【答案】 【分析】本题考查了求频率，用频率估计概率，随着试验次数的增加，频率稳定趋向一个固定的值，这个固定值即是概率；求出各个频率即可估计出概率． 【详解】解：表中从左往右，频率分别为， 钉尖朝上的概率约为； 故答案为：． 【变式3】两位同学进行投篮，甲同学投20次，投中15次；乙同学投15次，投中9次，命中率高的是 ． 【答案】甲同学 【分析】计算出两位同学的命中率并比较它们的大小即可判断谁的命中率高． 【详解】甲同学的命中率为， 乙同学的命中率为，且， 故甲同学的命中率高． 故答案为：甲同学． 【点睛】本题考查了用频率估计概率，掌握频率的求法是问题的关键． 【题型4 用频率估计概率】 【典例4】一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，则袋中约有红球的个数为（   ） A．8 B．10 C．12 D．20 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率．设红球有x个，利用摸到白球的频率估计其概率，即白球个数÷总球数，计算即可得出答案． 【详解】解：设红球有x个，由题意可得， ， 解得：， 经检验：是方程的解， 故选：C． 【变式1】如今我们生活在数字时代，很多场合都要用到二维码．小郑帮妈妈打印了一个收款二维码，如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码内随机掷点，经过大量的重复试验发现，点落在白色区域的频率稳定在0.4左右，则据此估计该二维码中黑色区域的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用频率估计概率的应用，先求出点落在该二维码中黑色区域的频率稳定在0.6，再用总面积乘以0.6即可求解． 【详解】解：∵经过大量的重复试验发现，点落在白色区域的频率稳定在0.4左右， ∴据此估计点落在该二维码中黑色区域的频率稳定在， ∴该二维码中黑色区域的面积为 ． 故答案为： 【变式2】投壶是中国古代一种宴饮游戏和礼仪活动．某小组统计了小新在同一条件下投壶投中的次数，绘制了如图所示的折线统计图： 据此估计小新投壶一次投中的概率为 （结果保留小数点后一位）． 【答案】 【分析】本题主要考查了模拟试验、由频率估计概率、近似数等知识点，掌握用频率估计概率是解题的关键． 根据图中的数据即可解答． 【详解】解：由图可知，随着试验次数的增加，投中的频率逐渐稳定在附近， ∴投中的概率约为，结果保留到小数点后1位为． 故答案为：． 【变式3】某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（   ） A．掷一枚一元硬币，落地后正面朝上 B．在红灯30秒、绿灯60秒、黄灯10秒的十字路口，一辆车经过时，遇到的恰好是红灯 C．掷一个正六面体骰子，向上一面的点数是3的倍数 D．一个不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从中任取1个球，取出的球是黄球 【答案】C 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案． 【详解】解：折线图显示概率约， 选项A：掷一枚一元硬币，落地后正面朝上的概率为，不符合题意； 选项B：在红灯30秒、绿灯60秒、黄灯10秒的十字路口，一辆车经过时，遇到的恰好是红灯，不符合题意； 选项C：掷一个正六面体骰子，向上一面的点数是3的倍数，其概率为，符合题意； 选项D：一个不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从中任取1个球，取出的球是黄球的概率为，不符合题意； 故选C． 【题型5 用频率估计概率的综合应用】 【典例5】某公园移植A种花卉前查阅资料得到该花卉移植的成活率如下图． (1)A种花卉成活的频率稳定在__________附近，估计成活概率为________；（精确到0.1） (2)该公园规划共需要成活A种花卉9000株，分两批采购，第一批购入2000株，估计第二批需购入多少株？ 【答案】(1)0.9，0.9 (2)8000株 【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量： （1）根据统计图，以及频率和概率之间的关系，进行作答即可； （2）利用需要成活的数量除以概率再减去已经移植的数量计算即可． 【详解】（1）解：由统计图可知：这种花卉成活的频率稳定在0.9附近，估计成活概率为0.9； 故答案为：0.9，0.9； （2）解：（株） 答：估计第二批需购入8000株． 【变式1】某市林业局要移植一种树苗．对附近地区去年这种树苗移植成活的情况进行调查统计，并绘制了如下折线统计图： (1)这种树苗成活概率的估计值为______． (2)若移植这种树苗50000棵，估计可以成活______棵． (3)若计划成活90000棵这种树苗，则需移植这种树苗大约多少棵？ 【答案】(1) (2)可以成活45000棵 (3)需移植这种树苗大约100000棵 【分析】本题主要考查了折线统计图和利用频率估计概率，能够正确将公式变形以及准确计算是解决本题的关键． （1）根据成活率的折线统计图可知，数据在上下浮动，所以可以确定答案； （2）将总共移植的50000棵树苗乘以成活率就能估算成活的树苗； （3）根据公式成活率成活的树苗移植的树苗可得，移植的树苗成活的树苗成活率，代入数据即可得到答案． 【详解】（1）解：根据图像可得，折线统计图在上下波动，故成活率为． （2）解：∵（棵） ∴可以成活45000棵． （3）解：∵（棵） ∴需移植这种树苗大约100000棵． 【变式2】【综合实践】如图，学校劳动基地有一个不规则的封闭菜地 ，为求得它的面积，学习小组设计了如下的一个方案： ①在此封闭图形内画出一个半径为 1米的圆． ②在此封闭图形外闭上眼睛向封闭图形内掷小石子(可把小石子近似地看成点) ，记录如下： 掷小石子落在不规则图形内的总次数(含外沿) 100 200 500 1000 …… 小石子落在圆内(含圆上)的次数 m 32 63 153 305 …… 小石子落在圆外的阴影部分(含外沿)的次数 n 68 137 347 695 …… 小石子落在圆内(含圆上)的频率 0.320 0.315 0.306 x …… 【数学发现】（1）若以小石子所落的有效区域为总数(即 )，则表格中的数据x = ； 随着投掷次数增大，小石子落在圆内(含圆上)的频率值稳定在 附近(结果精确到 )； 【结论应用】（2）请你利用（1）中所得的频率值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？(结果保留) 【答案】（1）0.305，0.3；（2）估计整个封闭图形的面积是平方米 【分析】本题考查了利用频率估计概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）根据概率公式计算即可； （2）根据圆的面积公式得到圆的面积（平方米），利用圆的面积频率值圆的面积即可得到结论． 【详解】解：（1）， 随着投掷次数增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在0.3附近， 故答案为：0.305，0.3； （2）∵圆的面积（平方米）， ∴整个封闭图形的面积（平方米）， 答：估计整个封闭图形的面积是平方米． 【变式3】工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 50 100 200 300 500 1000 合格频数 49 94 192 285 m 950 合格频率 0.98 0.94 0.96 0.95 0.95 n (1)表格中m的值为 ，n的值为 ． (2)估计任抽一件该产品是不合格品的概率． (3)该工厂规定，若每被抽检出一件不合格产品，需在相应员工奖金中扣除给工厂2元的材料损失费，今天甲员工被抽检了460件产品，估计要在他奖金中扣除多少材料损失费？ 【答案】(1)475，0.95 (2)估计任抽一件该产品是不合格品的概率为0.05 (3)46元 【分析】本题考查了利用频率估计概率的方法： （1）根据频数等于总数乘以频率，即可求解； （2）根据6次次衬衫从50件增加到1000件时，衬衣合格的频率趋近于0.95，所以估计衬衣合格的概率为0.95，即可； （3）用2乘以被抽检出一件不合格产品的数量，即可求解． 【详解】（1）解：，； 故答案为：475，0.95 （2）解：∵抽取件数为1000时，合格的频率趋近于0.95， ∴估计衬衣合格的概率为0.95， ∴估计衬衣不合格的概率为 故答案为0.05． （3）解：（元）， 即估计要在他奖金中扣除46元材料损失费． 1．下列事件中，是随机事件的是（　　） A．向空中抛一枚硬币，不向地面掉落 B．温度降到以下，纯净的水结冰 C．度量多边形的外角和，结果是 D．射击运动员射击一次，命中10环 【答案】D 【分析】本题主要考查了随机事件以及必然事件、不可能事件的定义，正确把握相关定义是解题关键．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，可得答案． 【详解】解：A、硬币受重力必然掉落，为不可能事件，故A错误，不符合题意； B、水在以下必然结冰，为必然事件，故B错误，不符合题意； C、多边形外角和恒为，不可能，为不可能事件，故C错误，不符合题意； D、射击命中10环可能发生也可能不发生，是随机事件，故D正确，符合题意； 故选：D． 2．掷一枚质地均匀的硬币10次，则下列说法正确的是（    ） A．每2次必有1次正面向上 B．可能有5次正面向上 C．必有5次正面向上 D．不可能有10次正面向上 【答案】B 【分析】本题考查了随机事件的可能性，掌握随机事件的结果具有不确定性，可能出现多种情况是解题的关键． 掷一枚质地均匀的硬币，每次结果是随机的，正面向上的次数可在0到10之间任意取值，据此判断每个选项中说法的确定性或可能性是否正确． 【详解】解：A、每2次必有1次正面向上，掷硬币结果随机，可能连续反面，故错误，不符合题意； B、可能有5次正面向上，正面向上次数可在0到10之间任意取值，5次是其中一种可能，故正确，符合题意； C、必有5次正面向上，正面次数是随机的，不一定恰好为5次，故错误，不符合题意； D、不可能有10次正面向上，虽然概率低，但掷硬币结果是随机的，10次正面向上有发生的可能，故错误，不符合题意． 故选：B． 3．刘家峡大红枣果实色泽鲜红、皮薄、肉厚、核小、清脆、质地细嫩、香甜可口．现跟踪调查了刘家峡大红枣树苗的移植成活率，将调查数据绘制成统计图，则可估计刘家峡大红枣树苗移植成活的概率是（   ） A．0.80 B．0.85 C．0.90 D．0.95 【答案】C 【分析】本题考查了利用频率估计概率．由于树苗数量巨大，故其成活的概率与频率可认为近似相等． 由图可知，成活概率在上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在，成活的概率估计值为． 【详解】解：这种树苗成活的频率稳定在，成活的概率估计值约是． 故选． 4．某植物科学研究院为研究一类新品种脐橙树的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示： 移植总数n 50 200 400 750 1500 3500 7000 10000 14000 成活总数m 47 185 369 690 1374 3234 6454 9220 12894 成活率 估计这一类新品种脐橙树成活的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用频率估计概率，熟知在大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值是解题的关键． 根据用频率估计概率的原理，当试验次数很大时，事件发生的频率会稳定在概率附近，再结合表格数据即可得出答案． 【详解】解：由表格数据可知，随着移植总数的增加，成活率逐渐稳定在左右， 因此估计这一类新品种脐橙树成活的概率为． 故选：D． 5．在一个不透明袋子中装有12个只有颜色不同的球，其中1个红球、5个黄球、2个蓝球和4个绿球，从中随机摸出一个球，某种颜色的球出现的频率约为0.3，则该球的颜色最有可能是（    ） A．红色 B．黄色 C．蓝色 D．绿色 【答案】D 【分析】此题考查了频率估计概率，根据“频率频数总次数”计算求解即可估算概率，熟练掌握知识点的应用是解题的关键； 通过计算每种颜色球的概率，并与给定频率比较，概率最接近的颜色即为答案． 【详解】解：∵一共有12个球， ∴摸到红球概率为， 摸到黄球概率为， 摸到蓝球概率为， 摸到绿球概率为， ∵某种颜色的球出现的频率约为0.3， ∴绿球概率最接近， ∴该球的颜色最有可能是绿色， 故选：D． 6．综合与实践课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．10位同学每人随机收集核桃树、枇杷树的树叶各1片，通过测量得到这些树叶长，宽（单位：）的数据后，计算每片叶子的长宽比，绘制出折线统计图如下： 根据以上信息，下列说法错误的是（ ） A．枇杷树叶长宽比为2的频率最大 B．核桃树叶的长宽比大约为 C．小明测量一片核桃叶的长为，小明断定它的宽一定为 D．小亮同学收集到一片长、宽的树叶，判断它是一片枇杷树叶 【答案】C 【分析】此题考查用样本估计总体、频率等知识，根据题目给出的数据判断即可． 【详解】解：A、10片枇杷树叶的长宽比中出现次数最多的是2，故枇杷树叶长宽比为2的频率最大，故选项正确，不符合题意； B、∵， ∴核桃树叶的长宽比大约为，故选项正确，不符合题意； C、核桃树叶的长宽比大约为，是个估计值， 不是准确值， 小明测量一片核桃叶的长为，它的宽不一定为，故选项错误，符合题意； D、∵枇杷树叶长宽比约为：，小亮同学收集到一片长、宽的树叶，判断它是一片枇杷树叶， 又∵， ∴该树叶更有可能是枇杷树树叶．故选项正确，不符合题意； 故选：C． 7．篮球运动是一项有益于身体健康的运动，某校篮球队进行篮球投篮训练，下面是该篮球队的队员张辰投篮的统计结果： 投篮次数/次                          命中次数/次                         命中率                          根据上表，估计张辰一次投篮命中的概率是（精确到） ． 【答案】 【分析】本题考查根据频率估计概率，掌握相关知识是解决问题的关键．当试验次数较大时，频率稳定于概率，由统计表中命中率数据可知，命中率在附近波动，且随着投篮次数增加，命中率趋于稳定，因此估计概率为． 【详解】解：观察统计表，投篮次数分别为次、次、次、次、次时， 对应的命中率分别为、、、、， 这些命中率在附近波动，且当投篮次数达到次时，命中率为， 根据频率的稳定性，可估计张辰一次投篮命中的概率为． 故答案为． 8．一个不透明的口袋中装有n个白球，妙妙为了估计白球的个数，向口袋中加入4个红球，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则n的值为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了频率估计概率，利用频率估计概率，摸到红球的频率稳定在，即概率为，根据概率公式计算总球数，再求白球数n，即可作答． 【详解】解：由题意知，摸到红球的概率为，红球有4个， 因此袋中球的总个数约为（个）， ∴袋中白球的个数． 故答案为：16． 9.如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．（注：） 下面有四个推断： ①当投掷次数是时，计算机记录“钉尖向上”的次数是，所以“钉尖向上”的概率是； ②随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是； ③若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为时，“钉尖向上”的概率一定是； ④若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为时，“钉尖向上”的情况一定高于次． 其中合理的是 ． 【答案】② 【分析】本题考查了利用频率估计概率．根据图象和各个推断的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：当投掷次数是时，计算机记录“钉尖向上”的次数是，所以此时“钉尖向上”的频率是：，但“钉尖向上”的概率不一定是，故①错误； 随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是．故②正确； 若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为时，“钉尖向上”的概率可能是0.620，但不一定是，故③错误； 由图可知，用计算机模拟实验，当投掷次数为时，则“钉尖向上”的频率是，由此可得当投掷次数为时，则“钉尖向上”的频率在左右，但不代表一定是，则“钉尖向上”的情况不一定高于次，故④错误，不符合题意． 故答案为：②． 10．为全面提高旅游服务质量，旅游管理部门随机抽取了100名游客进行满意度调查，并绘制成如下不完整的频率分布表． 满意度 非常满意 满意 一般 不满意 合计 频率 0.5 0.3 0.05 1 根据统计图表提供的信息，解答下列问题： (1)_____________． (2)若某日共有10000名游客，请你估计其中满意度表现为“一般”和“不满意”的总人数． 【答案】(1) (2)名 【分析】本题主要考查了统计图表的相关知识，解决问题的关键是读懂图表，弄清题意. （1）利用频率之和等于1求出未知频率. （2）利用样本估计总体的方法计算相应的人数. 【详解】（1） 解： 故答案为：. （2）解：（名）． 故估计满意度表现为“一般”和“不满意”的总人数为． 11．某市林业局积极响应“绿水青山就是金山银山”的号召，特地考察一种花卉移植的成活率，对本市这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如下图所示的统计图．请你根据统计图提供的信息，回答下列问题： (1)估计这种花卉成活概率为______（结果精确到）． (2)该林业局已经移植这种花卉200000棵，估计这批花卉成活的棵数． 【答案】(1) (2)估计这批花卉成活的棵数为 【分析】（1）根据统计图可得频率，根据频率与概率的关系可得概率； （2）用乘成活概率即可． 【详解】（1）解：由图可知，这种花卉成活率稳定在附近，估计成活概率为． 故答案为：． （2）解：（棵） 答：估计这批花卉成活棵． 【点睛】本题考查了用频率估计概率，已知概率求数量，理解概率的意义是解题关键． 12．在“世界读书日”来临之际，某学校开展了“我因阅读而成长”的赠书活动，如图，设置了一个可以自由转动的转盘，并规定每位学生可获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得一本相应的书籍，下表是活动中的一组统计数据． 转动转盘的次数 落在《红星照耀中国》区域的次数 落在《红星照耀中国》区域的频率 (1)上述表格中 ， ． (2)画出获得《红星照耀中国》频率的折线统计图． (3)假如你去转动该转盘一次，你获得《红星照耀中国》的概率约是 （结果保留到小数点后两位）． (4)在转盘中，表示《海底两万里》区域的扇形圆心角是，则表示《西游记》区域的扇形圆心角约是多少度？ 【答案】(1)0.44；450 (2)见解析 (3) (4) 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，还考查了求圆心角的度数． （1）根据表中数据，结合频率、频数的关系求解即可； （2）根据表格数据画折线统计图即可； （3）从表中频率的变化，可得到估计当n很大时，频率将会接近，然后根据利用频率估计概率可得答案； （4）先求得表示《红星照耀中国》区域的扇形圆心角的度数，进而可求解． 【详解】（1）解：由题意，，， 故答案为：0.44；450； （2）解：如图： （3）解：从表中频率的变化，可估计当n很大时，频率将会接近， 故获得《红星照耀中国》的概率约为， 故答案为：； （4）解：表示《红星照耀中国》区域的扇形圆心角的度数约为， 则表示《西游记》区域的扇形圆心角约是． 13．下表是某芯片生产厂质检部门对该厂生产的一批芯片质量检测的情况． 抽取的芯片数 500 1000 1500 2000 4000 合格数 472 948 1425 3804 合格品的频率 0.948 0.950 0.949 0.951 (1)求出表中______，______； (2)从这批芯片中任意抽取一个，是合格品的概率约是______；（精确到0.01） (3)如果要生产4750个合格的芯片，那么该厂估计要生产多少个芯片？ 【答案】(1)0.944，1898 (2)0.95 (3)5000个 【分析】本题考查的是利用频率估计概率，熟知当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率是解题的关键． （1）根据表中数据计算即可； （2）利用频数估算出概率即可； （3）根据概率计算即可． 【详解】（1），． 故答案为：0.944，1898； （2）由题意知，从这批芯片中任意抽取一个，是合格品的概率约是0.95； 故答案为：0.95； （3）（个）． 答：估计该厂生产5000个． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 认识概率 考点1：事件的分类 考点2：概率的定义 考点3：频率与概率的关系 考点4：概率的应用 重点： （1）事件类型的判断 （2）频率与概率的有关计算 难点： （1）频率与概率的辨析 （2）频率与概率的综合 知识点1：事件类型 必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件. 不可能事件： 有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件. 不确定事件： 许多事情我们无法确定它会不会发生，称为不确定事件（又叫随机事件）. 说明： （1）必然事件、不可能事件都称为确定性事件. （2）事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1； ②不可能事件发生的概率为0,即P（不可能事件）=0； ③如果A为不确定事件，那么0<P(A)<1 【题型1 事件类型】 【典例1】下列事件中，是确定性事件的是（    ） A．任意画一个三角形，其外角和是 B．经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯 C．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中D．投掷一枚骰子，向上一面的点数大于 【变式1】下列事件中为必然事件的是（    ） A．明天晴天 B．天空出现3个太阳 C．射击运动员射击一次，命中靶心 D．三角形内角和为 【变式2】下列事件中，属于随机事件的是（ ） A．若是实数，则 B．任取两个无理数，其差是无理数 C．已知，则 D．若、互为倒数，则 【变式3】下列事件是不可能事件的是（   ） A．射击运动员射击一次，命中靶心 B．投一枚图钉，钉尖朝上 C．把一粒种子种在花盆中，种子发芽 D．水中捞月 【题型2 判断事件发生的可能性的大小】 【典例2】学校“爱昆虫”社团买回一些盲袋，每个盲袋里装一个琥珀昆虫吊坠．如图，这些琥珀昆虫吊坠中，蝴蝶10个，蝎子1个，瓢虫5个．菲菲随机领取一个盲袋，里面是什么昆虫呢？下面说法正确的是（   ） A．三种昆虫的可能性一样大 B．不可能是蝎子 C．瓢虫的可能性最小 D．蝴蝶的可能性最大 【变式1】3个人站成一排，其中小亮“站在中间”与“站在两端”这两个事件发生的可能性是（   ）． A．一样大 B．“站在中间”的可能性大 C．“站在两端”的可能性大 D．无法确定 【变式2】有四个盒子，随机从盒子中摸出1个球，摸出红球可能性最大的是（   ） A．B．C．D． 【变式3】不透明的袋子中有2个红球、个黄球，这些小球除颜色外无其他差别．随机摸取1个小球后放回，连续摸取次，每次摸取到的都是黄球，下列说法正确的是（   ） A．第6次摸取到的一定是黄球 B．第6次摸取到的可能还是黄球 C．第6次摸取到的一定是红球 D．第6次摸取到红球的可能性更大 知识点2：概率 1.定义：一般地，对于一个随机事件 A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记为P(A) ． （1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。 （2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。 2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = ． 知识点3：频率与概率 1、频数：在多次试验中，某个事件出现的次数叫频数 2、频率：某个事件出现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的频率 3、一般地，在大量重复试验中，如果事件 A发生的频率 会稳定在某个常数p附近 ，那么，这个常数p就叫作事件A的概率 ，记为P（A）=P 知识点4：利用频率估计概率 在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。 【题型3 求事件的频率】 【典例3】某市抽取若干名中学生的作业进行检查，结果如下表所示： 抽取作业数量 优秀数量 优秀频率 (1)填空：_______，_______ (2)估计该市学生作业优秀的概率．（精确到） 【变式1】今天的日期是：20240425，在这串数字中，0出现的频率是 ． 【变式2】某数学兴趣小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次试验后获得如下数据： 重复试验次数 10 50 100 500 1000 2000 5000 钉尖朝上次数 5 15 36 200 403 801 2001 估计任意抛掷一枚图钉，钉尖朝上的概率约为 .（结果精确到） 【变式3】两位同学进行投篮，甲同学投20次，投中15次；乙同学投15次，投中9次，命中率高的是 ． 【题型4 用频率估计概率】 【典例4】一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，则袋中约有红球的个数为（   ） A．8 B．10 C．12 D．20 【变式1】如今我们生活在数字时代，很多场合都要用到二维码．小郑帮妈妈打印了一个收款二维码，如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码内随机掷点，经过大量的重复试验发现，点落在白色区域的频率稳定在0.4左右，则据此估计该二维码中黑色区域的面积为 ． 【变式2】投壶是中国古代一种宴饮游戏和礼仪活动．某小组统计了小新在同一条件下投壶投中的次数，绘制了如图所示的折线统计图： 据此估计小新投壶一次投中的概率为 （结果保留小数点后一位）． 【变式3】某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（   ） A．掷一枚一元硬币，落地后正面朝上 B．在红灯30秒、绿灯60秒、黄灯10秒的十字路口，一辆车经过时，遇到的恰好是红灯 C．掷一个正六面体骰子，向上一面的点数是3的倍数 D．一个不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从中任取1个球，取出的球是黄球 【题型5 用频率估计概率的综合应用】 【典例5】某公园移植A种花卉前查阅资料得到该花卉移植的成活率如下图． (1)A种花卉成活的频率稳定在__________附近，估计成活概率为________；（精确到0.1） (2)该公园规划共需要成活A种花卉9000株，分两批采购，第一批购入2000株，估计第二批需购入多少株？ 【变式1】某市林业局要移植一种树苗．对附近地区去年这种树苗移植成活的情况进行调查统计，并绘制了如下折线统计图： (1)这种树苗成活概率的估计值为______． (2)若移植这种树苗50000棵，估计可以成活______棵． (3)若计划成活90000棵这种树苗，则需移植这种树苗大约多少棵？ 【变式2】【综合实践】如图，学校劳动基地有一个不规则的封闭菜地 ，为求得它的面积，学习小组设计了如下的一个方案： ①在此封闭图形内画出一个半径为 1米的圆． ②在此封闭图形外闭上眼睛向封闭图形内掷小石子(可把小石子近似地看成点) ，记录如下： 掷小石子落在不规则图形内的总次数(含外沿) 100 200 500 1000 …… 小石子落在圆内(含圆上)的次数 m 32 63 153 305 …… 小石子落在圆外的阴影部分(含外沿)的次数 n 68 137 347 695 …… 小石子落在圆内(含圆上)的频率 0.320 0.315 0.306 x …… 【数学发现】（1）若以小石子所落的有效区域为总数(即 )，则表格中的数据x = ； 随着投掷次数增大，小石子落在圆内(含圆上)的频率值稳定在 附近(结果精确到 )； 【结论应用】（2）请你利用（1）中所得的频率值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？(结果保留) 【变式3】工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 50 100 200 300 500 1000 合格频数 49 94 192 285 m 950 合格频率 0.98 0.94 0.96 0.95 0.95 n (1)表格中m的值为 ，n的值为 ． (2)估计任抽一件该产品是不合格品的概率． (3)该工厂规定，若每被抽检出一件不合格产品，需在相应员工奖金中扣除给工厂2元的材料损失费，今天甲员工被抽检了460件产品，估计要在他奖金中扣除多少材料损失费？ 1．下列事件中，是随机事件的是（　　） A．向空中抛一枚硬币，不向地面掉落 B．温度降到以下，纯净的水结冰 C．度量多边形的外角和，结果是 D．射击运动员射击一次，命中10环 2．掷一枚质地均匀的硬币10次，则下列说法正确的是（    ） A．每2次必有1次正面向上 B．可能有5次正面向上 C．必有5次正面向上 D．不可能有10次正面向上 3．刘家峡大红枣果实色泽鲜红、皮薄、肉厚、核小、清脆、质地细嫩、香甜可口．现跟踪调查了刘家峡大红枣树苗的移植成活率，将调查数据绘制成统计图，则可估计刘家峡大红枣树苗移植成活的概率是（   ） A．0.80 B．0.85 C．0.90 D．0.95 4．某植物科学研究院为研究一类新品种脐橙树的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示： 移植总数n 50 200 400 750 1500 3500 7000 10000 14000 成活总数m 47 185 369 690 1374 3234 6454 9220 12894 成活率 估计这一类新品种脐橙树成活的概率为（   ） A． B． C． D． 5．在一个不透明袋子中装有12个只有颜色不同的球，其中1个红球、5个黄球、2个蓝球和4个绿球，从中随机摸出一个球，某种颜色的球出现的频率约为0.3，则该球的颜色最有可能是（    ） A．红色 B．黄色 C．蓝色 D．绿色 6．综合与实践课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．10位同学每人随机收集核桃树、枇杷树的树叶各1片，通过测量得到这些树叶长，宽（单位：）的数据后，计算每片叶子的长宽比，绘制出折线统计图如下： 根据以上信息，下列说法错误的是（ ） A．枇杷树叶长宽比为2的频率最大 B．核桃树叶的长宽比大约为 C．小明测量一片核桃叶的长为，小明断定它的宽一定为 D．小亮同学收集到一片长、宽的树叶，判断它是一片枇杷树叶 7．篮球运动是一项有益于身体健康的运动，某校篮球队进行篮球投篮训练，下面是该篮球队的队员张辰投篮的统计结果： 投篮次数/次                          命中次数/次                         命中率                          根据上表，估计张辰一次投篮命中的概率是（精确到） ． 8．一个不透明的口袋中装有n个白球，妙妙为了估计白球的个数，向口袋中加入4个红球，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则n的值为 ． 9.如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．（注：） 下面有四个推断： ①当投掷次数是时，计算机记录“钉尖向上”的次数是，所以“钉尖向上”的概率是； ②随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是； ③若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为时，“钉尖向上”的概率一定是； ④若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为时，“钉尖向上”的情况一定高于次． 其中合理的是 ． 10．为全面提高旅游服务质量，旅游管理部门随机抽取了100名游客进行满意度调查，并绘制成如下不完整的频率分布表． 满意度 非常满意 满意 一般 不满意 合计 频率 0.5 0.3 0.05 1 根据统计图表提供的信息，解答下列问题： (1)_____________． (2)若某日共有10000名游客，请你估计其中满意度表现为“一般”和“不满意”的总人数． 11．某市林业局积极响应“绿水青山就是金山银山”的号召，特地考察一种花卉移植的成活率，对本市这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如下图所示的统计图．请你根据统计图提供的信息，回答下列问题： (1)估计这种花卉成活概率为______（结果精确到）． (2)该林业局已经移植这种花卉200000棵，估计这批花卉成活的棵数． 12．在“世界读书日”来临之际，某学校开展了“我因阅读而成长”的赠书活动，如图，设置了一个可以自由转动的转盘，并规定每位学生可获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得一本相应的书籍，下表是活动中的一组统计数据． 转动转盘的次数 落在《红星照耀中国》区域的次数 落在《红星照耀中国》区域的频率 (1)上述表格中 ， ． (2)画出获得《红星照耀中国》频率的折线统计图． (3)假如你去转动该转盘一次，你获得《红星照耀中国》的概率约是 （结果保留到小数点后两位）． (4)在转盘中，表示《海底两万里》区域的扇形圆心角是，则表示《西游记》区域的扇形圆心角约是多少度？ 13．下表是某芯片生产厂质检部门对该厂生产的一批芯片质量检测的情况． 抽取的芯片数 500 1000 1500 2000 4000 合格数 472 948 1425 3804 合格品的频率 0.948 0.950 0.949 0.951 (1)求出表中______，______； (2)从这批芯片中任意抽取一个，是合格品的概率约是______；（精确到0.01） (3)如果要生产4750个合格的芯片，那么该厂估计要生产多少个芯片？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $