命题大赛 山西大学附属中学校2025-2026学年高三下学期数学5月测试

**基本信息** 本试卷为高三数学5月测试卷，以原创题（如复数虚部题）、文化情境（祖暅原理应用题）及科技素材（航天知识竞赛统计题）为载体，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模等核心素养，适配高三复习阶段能力评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|复数、集合、数列、三角函数|第3题结合数列单调性考查充要条件，体现逻辑推理| |多选题|3/18|统计、等比数列、曲线方程|第11题以“∞”形曲线为背景，考查图形性质与面积，发展几何直观| |填空题|3/15|向量投影、正态分布、祖暅原理|第14题融入祖暅原理求旋转体体积，渗透文化传承| |解答题|5/77|解三角形、概率统计、椭圆、导数、球面几何|第16题以航天竞赛为情境考查统计与分布列，第19题结合高斯-博内公式考查球面几何，体现数学应用与创新意识|

山西省太原市山西大学附中高三年级2025-2026学年第二学期数学5月测试 1、 选择题（本小题8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） （原创）1．若，则的虚部是（   ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知等差数列的前项和为，对任意，“数列为递增数列”是“数列为递增数列”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．曲线的对称轴方程为（   ） A． B． C． D． 5．如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数的平面图形，图中四边形的对角线相交于点，已知，则（    ） A．1 B．-1 C．0 D． 6．将椭圆的长轴分成6等份，过每个分点作轴的垂线，交椭圆的上半部分于五点，是椭圆的右焦点．若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，若且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．不等式对任意恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 二、多选题（本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．下列说法中，正确的是（   ） A．数据的第百分位数为 B．已知随机变量，若，则 C．样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则 D．，，，和，，，的方差分别为和，若且，则 10．若公比为的等比数列的前项积为，，，，则（   ） A． B． C．中最小 D．使成立的最小正整数的值是4050 11．数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，其形状酷似数学符号“”（如图），对于此曲线，下列说法正确的是（ ） A．曲线与直线有3个公共点； B．的最大值为4 C．曲线所围成的图形的面积为 D．的最大值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．已知向量，，则在方向上的投影向量的模为__________． 13．已知某场考试考生人数为10000人，考试的成绩服从正态分布，若录取分数线为350分，则录取人数约为______．（结果四舍五入取整数）(参考数据：若服从正态分布,则) 14．祖暅，南北朝时期的伟大科学家，于5世纪末提出了体积计算原理：“幂势既同，则积不容异”，这就是“祖暅原理”.“势”即是高，“幂”是面积，意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.已知双曲线：，若直线与在第一象限内与双曲线及其渐近线围成图形（如图1），则它绕轴旋转一周所得几何体的体积为__________；由双曲线和两直线围成的封闭图形绕轴旋转一周后得到几何体（如图2），则的体积为__________.    四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） (原创)15.中,角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知 Ⅰ求C的大小 (Ⅱ若，求周长的最大值． 16．为普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了名，统计他们的成绩（满分分），其中成绩不低于分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)估计参加这次竞赛的学生成绩的第百分位数和平均数； (2)若在抽取的名学生中，利用等比例分层随机抽样的方法从成绩不低于分的学生中随机抽取8人，再从8人中随机选择3人作为学生代表，设被选中的“航天达人”人数为随机变量，求的分布列． 18．已知椭圆的离心率为，且过点，其左、右顶点分别为，为椭圆上异于的两点． (1)求椭圆的方程． (2)设直线的斜率分别为，且直线过定点． ①设和的面积分别为，求的最大值； ②证明为定值，并求出该定值． 18．已知函数. (1)若，求的值域； (2)若，求在上的所有零点； (3)若对于满足的所有，都存在使得，求正实数的最小值. 19．高斯-博内公式是大范围微分几何学的一个经典公式，是关于曲面的图形（由曲率表征）和拓扑（由欧拉示性数表征）间联系的一个重要表述，建立了空间的局部性质和整体性质之间的联系．其特例是球面三角形总曲率与球面三角形的面积满足，其中为球的半径．如图1，把球面上的三个点用三个大圆（以球心为圆心的圆）的圆弧连接起来，所围成的图形叫做球面三角形，若平面，平面，平面两两所成的二面角的平面角分别为，，，则球面三角形的面积，已知． (1)若图1中，求劣弧的长； (2)若图1中球面三角形中的劣弧，，的长均为，求球面三角形的总曲率； (3)由图1截出三棱锥，并延长使，得到图2所示的三棱锥，若，，，为线段上的一个动点，为中点，为中点，设平面与平面的夹角为，直线与平面所成的角为，求的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省太原市山西大学附中高三年级2025-2026学年第二学期数学5月测试 双向细目表 考查范围：复数、不等式选讲、集合与常用逻辑用语、等式与不等式、数列、三角函数与解三角形、平面向量、平面解析几何、函数与导数、计数原理与概率统计、空间向量与立体几何 题号 难度 知识点 一、单选题 1 容易 复数的除法运算,求复数的实部与虚部 2 容易 公式法解绝对值不等式,交集的概念及运算,分式不等式 3 容易 判断数列的增减性,判断命题的充分不必要条件,判断命题的必要不充分条件,求等差数列前n项和 4 容易 正切函数对称性的应用 5 容易 数量积的运算律,向量加法的法则,用定义求向量的数量积 6 适中 求椭圆的长轴、短轴,求椭圆的离心率或离心率的取值范围,求椭圆中的弦长,求椭圆的焦点、焦距 7 适中 已知分段函数的值求参数或自变量,由导数求函数的最值（不含参）,对数函数图象的应用 8 困难 函数不等式恒成立问题,基本不等式求和的最小值 二、多选题 9 适中 指定区间的概率,总体百分位数的估计,计算几个数据的极差、方差、标准差 10 适中 等比数列通项公式的基本量计算,等比数列下标和性质及应用 11 困难 直线与圆的位置关系求距离的最值,用两点间的距离公式求函数最值,由直线与圆的位置关系求参数,由方程研究曲线的性质 三、填空题 12 容易 平面向量的模,求投影向量 13 适中 正态分布的实际应用 14 困难 柱体体积的有关计算,锥体体积的有关计算 四、解答题 15 适中 解三角形，求周长的最值 16 适中 由频率分布直方图估计平均数,总体百分位数的估计,写出简单离散型随机变量分布列,由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 17 困难 椭圆中三角形（四边形）的面积,根据a、b、c求椭圆标准方程,求椭圆中的最值问题,椭圆中的定值问题 18 困难 辅助角公式,求含sinx(型)函数的值域和最值,由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 19 困难 弧长的有关计算,面面角的向量求法,余弦定理解三角形,证明线面垂直 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省太原市山西大学附中高三年级2025-2026学年第二学期数学5月测试 1、 选择题（本小题8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．若，则的虚部是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的除法法则求出，即可得解. 【详解】由，得，则，则,所以的虚部为.故选：C. 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求解. 【详解】集合， ， 所以. 故选：C 3．已知等差数列的前项和为，对任意，“数列为递增数列”是“数列为递增数列”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分必要的定义判断． 【详解】对于充分性：当时，单调递增，但不是单调递增的， 所以“数列为递增数列”不能推出“数列为递增数列”，充分性不成立； 对于必要性：当时，单调递增， 但不是单调递增的， 所以“数列为递增数列”不能推出“数列为递增数列”，必要性不成立； 所以“数列为递增数列”是“数列为递增数列”的既不充分也不必要条件．故选：． 4．曲线的对称轴方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正切函数图象性质得出对称轴表达式即可. 【详解】根据函数的图象可知曲线的图象如下图： 因此对称轴方程满足，即可得，所以对称轴方程为. 故选：A 5．如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数的平面图形，图中四边形的对角线相交于点，已知，则（    ） A．1 B．-1 C．0 D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理，可证、，根据向量运算法则及数量积公式，整理计算，即可得答案. 【详解】因为，所以，即， 所以为等腰直角三角形，则， 因为，所以，即，则， 则. 6．将椭圆的长轴分成6等份，过每个分点作轴的垂线，交椭圆的上半部分于五点，是椭圆的右焦点．若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆的对称性转化焦半径之和，结合已知条件构造关系，进而求出椭圆的离心率． 【详解】椭圆的长轴为，分成6等份时5个分点的横坐标依次是： ， 对应点和，和关于轴对称，右焦点，左焦点， 由椭圆定义可知，由对称性可得， ， 已知，，故， ，故，． 7．已知函数，若且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数解析式画出函数图象得，再根据将转化为，再构造函数，，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值，即可得. 【详解】由，可得函数图象如下所示： 因为且， 所以，且， 所以， 令，， 则， 当时，当时， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以. 8．不等式对任意恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】易知方程有两个异号实根，不妨令，对于，若对任意有意义，则，即．然后分，，讨论求解. 【详解】易知方程有两个异号实根，不妨令，对于，若对任意有意义，则，即．当时，若对任意恒成立，则；当时，对于恒成立，则当时，，与已知矛盾；当时，在上单调递增，则要使得在时恒成立，必有成立．所以，且，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．故选：B． 二、多选题（本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．下列说法中，正确的是（   ） A．数据的第百分位数为 B．已知随机变量，若，则 C．样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则 D．，，，和，，，的方差分别为和，若且，则 【答案】BC 【分析】对于A，利用百分位数的求法，直接求出第百分位数，即可求解；对于B，利用正态分布的对称性，结合条件，即可求解；对于C，根据条件，利用残差的定义，即可求解；对于D，根据条件，利用方差的定义，即可求解. 【详解】对于选项A，将数据从小排到大得到， 又，数据的第百分位数为，故选项A错误， 对于选项B，因为，则，所以选项B正确， 对于选项C，由题知，得到，所以选项C正确， 对于选项D，设，，，的平均数为，，，，的平均数为， 因为，则，又， ， 所以，故选D错误，故选：BC. 10．若公比为的等比数列的前项积为，，，，则（   ） A． B． C．中最小 D．使成立的最小正整数的值是4050 【答案】ABD 【分析】由等比数列通项公式，确定，再结合等比数列下标和的性质逐个判断即可. 【详解】因为，所以， 所以，又，所以，所以，A对， 由，，可知单调递增， 又，所以，所以，B对， 当时，，当时，，所以最小，故C错， 因为为正项递增数列，且， 所以使成立的最小正整数的值是4050，D对，故选：ABD 11．数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，其形状酷似数学符号“”（如图），对于此曲线，下列说法正确的是（ ） A．曲线与直线有3个公共点； B．的最大值为4 C．曲线所围成的图形的面积为 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】对于A，联立，根据解的个数即可判断；对于B，作出曲线的图形，令，则，确定该直线与相切时直线与轴的截距最大，利用直线与圆的位置关系计算即可判断；对于C，求出一个弓形的面，则可求出曲线所围成的图形的面积，即可判断；对于D，确定可表示为曲线上的点与定点的距离的平方，利用两点距公式计算即可判断. 【详解】对于A，由，得， 所以，即， 解得或，所以或或， 即曲线与直线有3个公共点，故A正确； 对于B，， 如图所示： 由图可知，所在圆的圆心为，半径为2，. 令，则，即， 如图，当该直线与相切时，直线与轴的截距最大， 由，得，解得，即的最大值为4，故B正确； 对于C，由选项B知，曲线所围成的图形的面积为四个全等弓形的面积之和， 设弓形的面积为， 在中，， 所以， 所以扇形的面积， ，所以， 所以曲线所围成的图形的面积为，故C错误； 对于D，可表示为曲线上的点与定点的距离的平方， 由图可知，最大距离为定点到圆心的距离与半径之和， 即， 所以的最大值为，故D正确. 故选：ABD 【点睛】：本题的难点是对C选项的判断，求出一个弓形的面积. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．已知向量，，则在方向上的投影向量的模为__________． 【答案】/ 【详解】在方向上的投影向量为. 所以在方向上的投影向量的模为. 13．已知某场考试考生人数为10000人，考试的成绩服从正态分布，若录取分数线为350分，则录取人数约为______．（结果四舍五入取整数）(参考数据：若服从正态分布,则) 【答案】1587 【分析】首先确定正态分布的参数，然后计算分数线对应的标准分数，利用已知的概率数据求出超过分数线的概率，最后用总人数乘以该概率得到录取人数. 【详解】因为考试成绩服从正态分布， 故， 所以录取人数为人.故答案为：1587 14．祖暅，南北朝时期的伟大科学家，于5世纪末提出了体积计算原理：“幂势既同，则积不容异”，这就是“祖暅原理”.“势”即是高，“幂”是面积，意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.已知双曲线：，若直线与在第一象限内与双曲线及其渐近线围成图形（如图1），则它绕轴旋转一周所得几何体的体积为__________；由双曲线和两直线围成的封闭图形绕轴旋转一周后得到几何体（如图2），则的体积为__________.    【答案】 【分析】设直线与轴的交点为，在第一象限与双曲线及其渐近线的交点为，得到，结合祖暅原理即可求解第一空，由第一空，再结合直角绕轴旋转一周所得圆锥体积，即可求第二空. 【详解】由，可得渐近线方程：， 在第一象限内与渐近线的交点N的坐标为， 与双曲线在第一象限交点B的坐标为，易得，    如图所示，设直线与轴的交点为，在第一象限与双曲线及其渐近线的交点为， 则，所以， 则， 根据祖晅原理，它绕y轴旋转一圈所得几何体的体积等于， 又直角绕轴旋转一周所得圆锥体积为：， 所以的体积为，故答案为：；. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） (原创)15.中,角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知 Ⅰ求C的大小 (Ⅱ若，求周长的最大值． 解：Ⅰ中，角A，B，C的对边分别是a，b，c， 由已知可得 2分 即，因为，所以 4分 由，． 6分 (Ⅱ 方法一  正弦定理与辅助角公式相结合 ， 7 分 ，．设周长为l， 则 8分 ，， 10分 12分 周长的最大值为． 13分 方法二：余弦定理基本不等式相结合 由余弦定理可得，， 7分 即，， 9分 由基本不等式可得，解之，得， 11分 所以，周长的最大值为． 13分 16．为普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了名，统计他们的成绩（满分分），其中成绩不低于分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)估计参加这次竞赛的学生成绩的第百分位数和平均数； (2)若在抽取的名学生中，利用等比例分层随机抽样的方法从成绩不低于分的学生中随机抽取8人，再从8人中随机选择3人作为学生代表，设被选中的“航天达人”人数为随机变量，求的分布列． 【答案】(1) 0 1 2 3 (2) 【分析】（1）利用频率分布直方图计算百分位数及平均数； （2）计算分层抽样人数及抽样比，进而计算出各层抽样人数，计算概率并求出分布列． 【详解】（1）由频率分布直方图可知：的频率为：； 1分 的频率为：；的频率为：； 2分 的频率为：；的频率为：； 3分 的频率为：；第百分位数位于区间，设百分位数为， 则，解得； 5分 平均数 ． 7分 （2）成绩不低于分的学生总人数：， 8分 “航天达人”总数量为：，非“航天达人”总数量为：，9分 抽样比为，故抽取的8人中，“航天达人”数量为：， 非“航天达人”数量为， 10分 表示选中的航天达人数，取值为， 则；； 11分 ；； 13分 分布列为： 0 1 2 3 15分 17．已知椭圆的离心率为，且过点，其左、右顶点分别为，为椭圆上异于的两点． (1)求椭圆的方程． (2)设直线的斜率分别为，且直线过定点． ①设和的面积分别为，求的最大值； ②证明为定值，并求出该定值． 【答案】(1) (2)①；②证明见解析， 【分析】（1）根据椭圆的几何性质，利用待定系数法即可求出椭圆的方程； （2）①设直线的方程为：并与椭圆C联立方程组，解得，分别表示面积，可得，再用换元法，令，构造新函数并利用函数的单调性以及基本不等式即可求解. ②由①知可得表达式，根据韦达定理，代入化简即可求证. 【解】（1）依题意知：，解得， 2分 所以椭圆C的方程为： 4分 （2）①依题意由（1）知，直线的斜率不为0． 5分 设其方程为：，并与椭圆C联立方程组： ，得， 7分 则， 8分 ，同理：， 所以． 9分 令，则，所以， 10分 因为，则， 所以，结合函数单调性定义知，在时单调递增． 所以，则. 所以的最大值是. 11分 ②证明：由①知. 13分 所以. 15分 18．已知函数. (1)若，求的值域； (2)若，求在上的所有零点； (3)若对于满足的所有，都存在使得，求正实数的最小值. 【答案】(1)； (2)唯一一个零点； (3)的最小值为. 【分析】（1）利用特殊值代入将原函数化简为常数与正弦型函数的复合，通过分析内层函数的值域及外层正弦函数的值域确定整体值域； （2）利用诱导公式将方程转化为余弦相等，再结合自变量范围化去余弦得到三角方程，运用辅助角公式与三角函数的值域求解零点； （3）通过反证法取特殊值证明下界，再借助辅助角公式与三角函数的有界性说明当参数满足条件时存在零点，从而确定参数的最小值. 【解】（1）代入得： 2分 由，得，故， 4分 从而，故的值域为 5分 （2）当，时， 令，得 7 分 因为所以 8分 当时，有且， 因为余弦函数在上单调递减，所以化简得 9分 又所以即 由于，所以，故解得 10分 因此在上的唯一零点为. 11分 （3）当时，取， 12分 取，不满足条件，故； 13分 当时，∵，而， 14分 ∴，使得， 15分 ∴，满足条件； 16分 综上，正实数的最小值为. 17分 19．高斯-博内公式是大范围微分几何学的一个经典公式，是关于曲面的图形（由曲率表征）和拓扑（由欧拉示性数表征）间联系的一个重要表述，建立了空间的局部性质和整体性质之间的联系．其特例是球面三角形总曲率与球面三角形的面积满足，其中为球的半径．如图1，把球面上的三个点用三个大圆（以球心为圆心的圆）的圆弧连接起来，所围成的图形叫做球面三角形，若平面，平面，平面两两所成的二面角的平面角分别为，，，则球面三角形的面积，已知． (1)若图1中，求劣弧的长； (2)若图1中球面三角形中的劣弧，，的长均为，求球面三角形的总曲率； (3)由图1截出三棱锥，并延长使，得到图2所示的三棱锥，若，，，为线段上的一个动点，为中点，为中点，设平面与平面的夹角为，直线与平面所成的角为，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)根据弧长公式计算即可； (2)根据弧长公式计算出，通过垂直关系得出，再计算球面三角形的面积，根据公式求出球面三角形的总曲率即可； (3)根据余弦定理，线面垂直的判定定理和性质定理得出，，两两垂直，以此建系，分别求出平面法向量和平面法向量，通过重要不等式计算即可. 【解】（1）设劣弧的长度为，因为，，所以； 2分 （2）设，，的长度为，， 3分 则，且，所以，，， 4分 故平面，平面，平面两两垂直，得， 所以球面三角形的面积， 5分 故球面三角形的总曲率； （3）由余弦定理知：，所以， ，所以， 6分 因为，所以，因为，故， 由题知，是球的直径，则，， 7分 因为，，且，平面，所以平面， 又平面，则， 因为，，且，平面，所以平面， 因为，所以为等腰直角三角形， 所以． 8分 因为，，两两垂直， 以为坐标原点，以，所在直线为，轴，过点作的平行线为轴， 建立如图空间直角坐标系，设，，则， ，，，，， ，， 9分 则，，，， 设平面法向量，则， 取，则，，可得， 10分 设平面法向量，则， 取，则，，可得， 11分 要使取最大值，则取最小值，取最大值， 因为 13分 令，，则，， 可得， 15分 当且仅当，即时等号成立． 则取最大值，为最小值，所以． 17分 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $