专题16 解三角形(选择题篇)-2026届高考三轮冲刺专项训练

**基本信息** 聚焦解三角形核心素养，以6大题型系统覆盖正余弦定理应用、面积计算、形状判断等，形成从基础到综合的知识逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |正余弦定理互换|10题|边角互化与条件转化|定理基础应用，构建边与角的量化关系| |三角面积公式|10题|面积与边角关系综合|面积公式与正余弦定理结合，强化几何直观| |判断三角个数|5题|多解性分析与条件限制|利用定理推导三角形存在性，培养推理能力| |判断三角形状|5题|边角关系与图形属性|通过边或角的关系推断形状，发展空间观念| |正余弦定理应用|8题|实际测量与模型构建|将现实问题抽象为三角形模型，提升应用意识| |解三角形的最值和范围|12题|函数思想与不等式应用|结合函数与不等式求范围，培养运算能力与创新意识|

专题16 解三角形 题型1：正余弦定理互换的应用 题型2：三角面积公式应用 题型3：判断三角个数的问题 题型4：判断三角形状的问题 题型5：正余弦定理的应用 题型6：解三角形的最值和范围 题型1：正余弦定理互换的应用 1．（2026·甘肃酒泉·二模）在中，内角所对的边分别为.若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】在中，由正弦定理可得. 已知，变形得，且， 将其代入正弦定理公式得：. 由余弦定理，代入，，得： . 因为边长，所以. 2．（2026·河南周口·模拟预测）已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理边化角计算即可. 【详解】由正弦定理， 由边化角得. 3．（2026·北京房山·二模）在中，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用正余弦函数的单调性以及大边对大角判断即可得出结论． 【详解】判断： 根据正弦定理，则， 因为，等价于； 根据大边对大角，可得：； 因为，余弦函数在上单调递减， 故；充分性得证； 判断： 因为余弦函数在上单调递减，， 故，根据大角对大边可知； 根据正弦定理，故； 必要性得证； 综上，“”是“”的充要条件． 4．（2026·贵州六盘水·一模）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦定理的推论将化成边的关系，化简整理，再根据余弦定理的推论得，从而求得. 【详解】由余弦定理的推论，结合， 得， 整理得，所以. 所以. 因为，所以. 5．（2026·湖北十堰·一模）在中，内角，，的对边分别为，，.若，，，则（   ） A． B．20 C．16 D． 【答案】D 【分析】根据正弦定理、余弦定理求解即可. 【详解】因为，，所以. 由正弦定理可知，，所以，， 又，所以，所以. 由余弦定理知，，所以，即. 又， 所以，所以. 故选：D. 6．（2026·西藏林芝·二模）在中，若，则角________． 【答案】 【详解】由题知， 根据正弦定理可得， 由余弦定理可知，将上述等式代入，得， 又，故. 7．（2026·北京顺义·二模）在中，. ①若，则__________. ②若为锐角三角形，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】①由正弦定理求解即可；②由余弦定理求解即可. 【详解】①由正弦定理: ,代入数据得 解得：. ② 构成三角形，必有，所以 若为锐角三角形，则，即 ，， 所以，，， 代入数据得，因为，所以， 综上所述，的取值范围是. 8．（2026·广东肇庆·二模）设的内角所对边的长分别为. 若，，则__________. 【答案】/ 【详解】，由正弦定理得，即， 因为，所以， 所以. 9．（2026·陕西商洛·二模）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则______． 【答案】2 【详解】由余弦定理知：，则： ， 由余弦定理得：， 即，解得或（舍）， ． 10．（2026·陕西·模拟预测）在中，内角，，的对边分别为，，，若，则______. 【答案】/ 【分析】先根据正弦定理化简题干条件可得，进而结合余弦定理即可求解. 【详解】在中，对于， 由正弦定理得， 即， 由余弦定理得， 又，所以. ，故. 题型2：三角面积公式应用 11．（2026·湖南岳阳·三模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且，若的面积为，则的值为（    ） A．6 B．8 C． D． 【答案】B 【详解】由面积公式，解得． 由余弦定理，代入，得，即． 于是，所以． 12．（2026·北京·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，若，的面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式及正弦定理列式求解. 【详解】在中，由及的面积为， 得，即，解得， 由正弦定理，得， 因此，所以. 13．（2026·西藏林芝·二模）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，的面积，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知得，的面积， 所以. 由余弦定理得，， 所以. 因为，所以， 化简得，， 即， 解得，或. 因为，所以，所以. 14．（2026·山东烟台·二模）在中，角A，B，C所对的边分别为，且，若的面积为，则的值为（   ） A．10 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】利用二倍角正弦公式得，从而得或，结合分析得，故，最后利用三角形面积公式、诱导公式列方程求边长. 【详解】由，结合二倍角正弦公式得， 又，且，则或， 所以或， 当，则，此时，且，显然不存在， 当，则，且且，则， 由， 又， 所以，则，故（负值舍去）. 15．（2026·北京石景山·二模）在中，，，D为BC边上的中点，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦定理及向量数量积的运算律求出，再利用三角形面积公式求解. 【详解】在中，由余弦定理得， 而，则， 两式联立解得，所以的面积为. 16．（2026·重庆·二模）已知中，，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用两角和的正弦公式，求得，得到为直角三角形，结合直角三角形的面积公式，即可求解. 【详解】在中，因为，所以均为锐角， 可得，， 所以， 又因为，所以，所以为直角三角形， 因为，可得， 所以的面积为. 17．（2026·陕西西安·三模）在中，角的对边分别为，已知，，，则的面积为___________，___________． 【答案】 【分析】先由同角三角函数关系，求出的值，再代入三角形面积公式，求出三角形的面积；最后用余弦定理求出，进而求得. 【详解】因为，所以． 因为，，所以的面积为． 在中，由余弦定理得， 所以． 18．（2026·浙江·三模）在中，角，，所对的边分别是，，，且，，，则的面积为___________. 【答案】 【分析】首先根据正弦定理及二倍角公式求出的值，再求出，，的值，利用诱导公式及和角公式得到的值，最后根据的面积公式进行求解. 【详解】因为，，， 由正弦定理得， 即， 即， 因为， 所以， 即， 因为，所以， ， ， ， 所以的面积. 19．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）在中，角的对边分别为，若，，的面积为，则______． 【答案】 【分析】利用三角形的面积公式和余弦定理求解即可. 【详解】因为，代入得，化简得. 由余弦定理， 结合， 得. 因为为边长，故. 20．（2026·山西·二模）记的内角，，所对的边分别为，，.已知，且，则的面积为________. 【答案】 【详解】由正弦定理得，. 则. ， 的面积是. 题型3：判断三角个数的问题 21．（2026·河北邯郸·二模）（多选）在中，角，，的对边分别为，，，若，为的中点，则下列结论正确的是（   ） A． B．当，时，仅有一解 C．当时，为等边三角形 D．当时，的最大值为 【答案】BCD 【分析】A利用辅助角公式化简，求出三角函数值域；B根据判断；C利用余弦定理得出，根据取等条件即可求出；D设外接圆圆心为，求出的外接圆半径，利用求最值. 【详解】因为， 所以， 因为，所以，则， 故，故A错误； 因为，所以为锐角，则三角唯一确定，故仅有一解，故B正确； 由余弦定理得，等号成立时， 因为，故为等边三角形，故C正确； 当时，由正弦定理可知，的外接圆半径， 设外接圆圆心为，则， 则， 等号成立时三点共线且在直线同侧， 故的最大值为，故D正确. 22．（2026·湖北随州·三模）（多选）在中，角，，所对的边分别为，，，下列各组条件中，能使得存在且唯一的是（   ） A．，，外接圆的半径为1 B．，， C．，， D．，， 【答案】AD 【分析】对A：借助正弦定理及三角形内角和可得该三角形存在且唯一；对B：由可得，结合可得不存在这样的；对C：利用正弦定理计算可得有两解，故C不符合题意；对D：借助余弦定理可得唯一确定，即可得该三角形存在且唯一. 【详解】对A：由正弦定理可得，则， ，，则， 故存在且唯一，故A正确； 对B：由，故，又，则， 故不存在这样的，故B错误； 对C：由正弦定理可得，， 又，则，此时有两解，故C错误； 对D：由余弦定理可得， 故唯一确定，即该三角形三边确定，故存在且唯一，故D正确. 23．（2026·河北雄安·模拟预测）（多选）在中，角所对的边分别为，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则符合条件的三角形有两个 C． D．， 【答案】ACD 【分析】代入余弦定理计算判断A；利用正弦定理判断B；利用余弦定理及基本不等式判断C；先利用两角和余弦公式得，然后利用正切函数性质求解即可判断D. 【详解】A，由余弦定理，得，故A正确. B，由正弦定理得，，解得，故符合条件的三角形不存在，故B错误. C，由余弦定理得，即， ，当且仅当时，等号成立，故C正确. D，. 且， ， ， 即，故D正确. 24．（2026·河北邯郸·模拟预测）（多选）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列说法正确的是（　　） A． B．若b＝4，则△ABC外接圆半径 C．若a＝2，c＝3，则△ABC的面积为 D．若c＝2，△ABC有两解，则 【答案】ABD 【分析】选项，利用正弦定理将边化为角，结合两角差的余弦公式展开化简，即可求出角； 选项，根据正弦定理代入计算即可； 选项，由面积公式代入计算即可； 选项，先根据三角形只有一个解的特殊情况，即三角形为直角或等边三角形时，求出的值，最后可根据几何图形，确定三角形有两解时的取值范围. 【详解】解：选项，由，根据正弦定理可得， 在△ABC中，，所以，即， 化简得，所以， 又因为，所以，正确； 选项，由选项知，根据正弦定理，代入得，解得，正确； 选项，由，错误； 选项，由三角形内角和可知， 当时，则，此时三角形只有唯一解，不合题意； 当时，因为，，所以此时三角形为等边三角形，也只有唯一解，不合题意； 当时，无法构成三角形；时，三角形只有一个解，均不合题意， 因此，当c＝2，△ABC有两解时，即，正确. 25．（2026·山东东营·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，，则的解的个数为______. 【答案】2 【分析】利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦及正弦定理求解判断. 【详解】在中，由及正弦定理，得, 即，整理得，而， 则，又，解得，由，，得，则， 由正弦定理得，因此角可以为锐角，也可以为钝角， 所以的解的个数为2. 题型4：判断三角形状的问题 26．（2026·湖北·二模）在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，若且，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【详解】在中，， 又可得，从而； 利用余弦定理和面积公式可将化为， 所以，从而，故是等边三角形. 27．（2026·辽宁抚顺·二模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定的 【答案】B 【分析】通过正弦定理将角化为边得，再结合余弦定理即可得结果. 【详解】由，可得，则， 则，则A为钝角， 故的形状是钝角三角形. 28．（2026·湖南怀化·一模）在中，内角的对边分别为，则一定为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】先利用二倍角的余弦公式对等式进行化简，消去半角形式，化简后等式中含有边和角的混合形式，所以考虑利用正弦定理将边转化为角的正弦形式，再结合诱导公式对等式中的角进行转化，整理后得到角之间的关系，进而判断三角形的形状. 【详解】在中， , 则，即， 则，即得, 由于，故，结合，可得， 即一定为直角三角形， 29．（2026·河北邯郸·三模）（多选）已知的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是（   ） A．若，则不是锐角三角形 B．若，则是锐角三角形 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【详解】选项A：由，可得，则 或 ，由于为三角形的内角， 故或， 为直角三角形或钝角三角形，故A正确； 选项B：当时，，对于任意，， 恒成立，为钝角三角形，故B错误； 选项C：由 ，得， 由余弦定理得：， ， ，故C正确； 选项D：由正弦定理，则，即， ， ，故D正确． 30．（2026·新疆·二模）（多选）设的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则一定是锐角三角形 B．若，则一定是钝角三角形 C．若，则一定是等边三角形 D．若，则一定是等腰三角形 【答案】BCD 【分析】利用正弦定理、余弦定理边角互化逐项判断即可. 【详解】A，由余弦定理可得为锐角， 但角度不确定，可为钝角三角形或直角三角形，A错误； B，由余弦定理可得到为钝角，故一定是钝角三角形，B正确； C，因为，由正弦定理可得，即， 又均为的内角，所以，一定为等边三角形，C正确； D，因为，由正弦定理可得，即， 所以，又均为的内角，所以，即一定为等腰三角形，D正确； 故选：BCD 题型5：正余弦定理的应用 31．（2026·广东珠海·模拟预测）龙辰塔，萧县“龙城”文化地标，矗立于岱湖中心，是一座仿唐宋形制的八角仿古景观塔．某中学社会实践小组为探究这座古塔的高度，开展了一次实地测量的活动，他们在塔底B所在的水平地面上选取C，D两点，测得米，， ，在点处测得塔顶的仰角为，则龙辰塔的高度约为（   ）（参考数据：取，） A．46米 B．48米 C．50米 D．52米 【答案】D 【分析】利用正弦定理求出，再由直角三角形边角关系求解. 【详解】依题意，， 在中，由正弦定理得， 即， 在中，， 所以（米）. 32．（2026·辽宁锦州·二模）《海岛算经》问题一：今有望海岛，立两表齐高三丈（五步），前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目著地取望海峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目著地取望海峰，亦与表末参合．问岛高几何大意为：现在有人观测海岛，立两根竿（表）皆高3丈（5步），前后相距步，令后表与前表及岛峰三者在同一平面内，从前表退行步，人目着地观测岛峰，与竿顶端重合，从后表退行步，人目着地观测岛峰，也与竿顶端重合，则岛高为（    ） A．步 B．步 C．步 D．步 【答案】C 【详解】设海岛到前表水平距离为，岛高为， 则，解得， 岛高为步． 33．（2026·甘肃张掖·模拟预测）某船行驶到甲地看1号灯塔时，在甲地的北偏东方向上，两地相距n mile；在甲地看2号灯塔时，在甲地的南偏西方向上，两地相距4n mile．该船由甲地向正南航行到乙地时，再看1号灯塔，则1号灯塔在乙地的北偏东方向上，则2号灯塔与乙地之间的距离是（    ） A．6n mile B．7n mile C．n mile D．n mile 【答案】D 【分析】先在中，利用正弦定理求得AC，再在中，利用余弦定理求解BC即可. 【详解】在中，， 由正弦定理得 n mile， 在中，， 由余弦定理得， 所以 n mile. 34．（2026·福建漳州·三模）为了测量某古塔的高度，设点为塔顶，点为在地平面上的投影，小张遥控无人机（将无人机视为质点）从地平面上的处竖直向上飞行6米后到达处，在处测得塔顶的仰角为，然后继续竖直向上飞行10米后到达处，在处测得塔顶的仰角为，则该古塔的高度为（    ） A．21米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】作出平面图，作于于，由题意可得，，由求解即可. 【详解】如图，作于于， 则为矩形，， 则， 所以， 所以，， 所以（米）. 35．（2026·重庆万州·三模）重庆市南山文峰塔坐落于黄桷垭之巅，是重庆市的一座名塔，据《巴县志》记载：文峰塔峭立山巅，凡七级，高逾十丈，万松围护，攒天一碧.某中学社会实践小组为测量重庆市南山文峰塔的高度，开展了一次实地测量活动，他们在塔底所在的水平地面上选取两点，测得米，，在点处测得塔顶的仰角为，则文峰塔的高度约为（   ）(参考数据：取） A．26米 B．28米 C．30米 D．32米 【答案】B 【分析】先在中用正弦定理求出，再在中利用仰角的正切值即可求出塔高. 【详解】在中，因为，所以， 又因为，根据正弦定理：，即， 所以， 在中，， 所以米. 36．（2026·广东东莞·二模）（多选）某数学建模活动小组为了测量山脚下两点间的距离，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中与水平面垂直.在已知山高的情况下，在山顶处测得下列四组角中的一组角的度数，其中能唯一确定两点间距离的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】四个选项可分两大类AD与BC，对A先解两个直角三角形、得，进而在中用余弦定理可得；对B选项，通过举反例判断可得， C选项与B同理判断可得，D选项与A选判断项相同. 【详解】因为（山高已知），平面，平面， 因此，所以、均为直角三角形，下面逐个分析选项： 选项A ：若测得，在直角三角形中可得： ，； 同理，，在中，长度已计算得到，夹角已测量， 由余弦定理可唯一计算出，因此A符合要求. 选项B： 举反例，若假设已测量， 所以直角三角形中有：， 设，则在直角三角形中，. 在中：①； 在中：②. 联立①②消去后，得,, 得，解得或. 当时，代入①得； 当时，代入①得，即. 因此测得，不能确定有唯一的长度，故B错误. 选项C： 与选项B同理：只需把角换成，所以不能确定有唯一的长度，故C错误； 选项D ：若已测量，可直接算出，，长度都确定， 又已测得夹角，在中由余弦定理可唯一计算出，因此D符合要求. 37．（2026·河北石家庄·三模）如图，要在相距200 km的A，B两地各放置一个地动仪，B在A的东偏北60°方向.若A地正东方向的铜丸落下，B地东南方向的铜丸落下，则地震的位置C在A地正东________km. 【答案】 【分析】根据正弦定理解三角形即可得到答案. 【详解】由题意可得，，，，则， 根据正弦定理可得，又，所以，所以地震的位置C在A地正东处. 38．（2026·上海奉贤·二模）如图所示，A，B，C为山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得三点的俯角分别为，，．计划沿直线AC开通穿山隧道，为了求出隧道DE的长度，还测得米，米，米，则根据以上数据，隧道DE的长度约为________米．（结果精确到1米） 【答案】 【详解】在中，，，； 由正弦定理可得，整理可得. 在中，， 由正弦定理， 整理可得. 所以 . 题型6：解三角形的最值和范围 39．（2026·河南许昌·模拟预测）的内角，，的对边分别为，，.已知，，若是的中点，则的最小值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】利用三角恒等变换先化简，进而得，再由余弦定理即可求解. 【详解】由 ， 所以， 又，所以， 所以， 所以， 又，， 所以，所以， 又是的中点，所以， 由余弦定理有：， 又， 所以， 当时，，即. 40．（2026·湖南浙江·模拟预测）制造一个三角形支架（如图），要求，的长度大于2米，且比长1米，为了增加稳定性，要求尽可能短，则最短为（    ） A．米 B．4米 C．米 D．米 【答案】D 【详解】设的长度为米，的长度为米，则的长度为米， 因为， 根据余弦定理可得， 代入可得， 化简可得，即， 设函数，求导可得， 令，可得，即，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因此的极小值为， 即最短为米. 41．（2026·广东广州·二模）在锐角中，角所对的边分别为且，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二倍角公式可得，根据一元二次方程有解，可由判别式，结合三角函数的性质可得，，即可根据正弦定理求解. 【详解】由可得， 因此， 由于， 故，即，又，故， 结合为锐角，则，故,且，此时， 因此且，故， 又，则， 故， 由于，则，， 故. 42．（2026高三上·陕西咸阳·专题练习）在中，内角所对的边分别为若，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理角化边，再结合余弦定理求解，再利用正弦定理边化角，结合辅助角公式，可求最大值. 【详解】由正弦定理，原等式可化为， 若，整理得， 故，因为，所以. 由正弦定理，， 则 ，其中为锐角，， 因为，故当时，取得最大值为. 故选：A. 43．（2026·湖南湘潭·二模）在中，角，，的对边分别为，，．已知，且，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由余弦定理和均值不等式运算，再通过三角形面积公式计算即可. 【详解】因为，所以， 所以．因为，所以， 当且仅当时，等号成立， 则的面积， 则面积的最大值为． 故选：A. 44．（2026·山东菏泽·一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积的最大值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由条件根据余弦定理求的表达式，利用基本不等式求的最小值，再由同角关系求的最大值，利用三角形面积公式求结论. 【详解】由余弦定理可得，又，， 所以， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 所以，又， 所以，， 所以的面积， 所以当时，的面积取最大值，最大值为. 45．（2026·浙江绍兴·模拟预测）（多选）设的内角的对边分别为，若，且，则（    ） A． B． C．的面积可以是1 D．的周长可以是3 【答案】BD 【分析】对于A、B选项，由正弦定理结合两角和的正弦定理可求出角C即可； 对于C，利用基本不等式可得，结合三角形面积公式可求解； 对于D，利用余弦定理可得的最小值，从而得到周长的最小值. 【详解】已知， 由正弦定理可得， ， ， ，，， 即.所以B正确；根据已知条件无法得出，所以A错误； 对于C：，又，，当且仅当时等号成立， ，所以C错误； 对于D：由余弦定理 ，，即，当且仅当等号成立. 此时，，所以的周长范围为. 当，即时，，则存在实数解. 所以D正确. 46．（2026·湖南衡阳·二模）（多选）在三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则（   ） A． B．若，则 C．若三角形ABC为锐角三角形，则的取值范围是 D．若，则三角形ABC为直角三角形 【答案】ABD 【分析】对题干信息利用正弦定理和余弦定理即可判断AB选项；根据题意结合三角函数值域可判断C选项；利用正弦定理和三角恒等变换可判断D选项. 【详解】对于A：因为，所以或，又， 故，若，又，则，与矛盾，所以，故A正确； 对于B：因为，所以，由正弦定理将上述等式化简为， 根据余弦定理代入可得，将代入得，解得或（舍），故B正确； 对于C：由选项A可知，所以， 又，因为为锐角三角形， 所以， 即，解得， 因为在上单调递减，所以，故C错误； 对于D：因为，由正弦定理及得， 所以， 又， 所以，又， 所以， 即，又，所以为锐角，可得， 所以，所以，所以，故D正确． 47．（2026·湖北武汉·二模）在三棱锥中，直线平面，，.设直线与平面所成的角为，则的最小值为______. 【答案】 【分析】根据线面角的定义，转化为求的最大值，利用正弦定理求的最大值. 【详解】因为平面，所以为直线与平面所成的角， 中，，，外接圆的半径为， 所以， 不妨设点为定点，点在以为弦，半径为的圆上运动， 所以的最大值为直径， ，当时，的最小值为. 48．（2026·四川·模拟预测）在中，角所对的边分别为，且为的中点，则的最大值为__________. 【答案】 【分析】由正弦定理边化角，结合角A、B的范围，可得角A，根据余弦定理及基本不等式，可得的最大值，根据条件，可得，两边同时求模，化简整理，即可得答案. 【详解】因为，由正弦定理得， 即. 因为，所以，即. 又，所以. 由余弦定理，得， 所以，即，当且仅当时等号成立. 因为为的中点，所以， 所以 ，所以的最大值为. 49．（2026·湖南郴州·三模）在锐角三角形中，内角所对的边分别为，若，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】借助正弦定理与三角形内角和可将、用角表示，再借助三角恒等变换公式可用表示出，最后求出的范围即可得解. 【详解】由正弦定理可得、， 则 ， 由三角形为锐角三角形，则，即， 则，故， 即，即的取值范围为. 50．（2026·福建漳州·二模）在凸四边形中，，，，，则AC的最大值为______． 【答案】 【详解】由题意如图所示： 在中，设，由，则，又， 根据余弦定理有：， 即，解得：， 所以，所以， 设，则， 在中，， 根据余弦定理有：， 化简得：， 在中，由正弦定理得：， 在中，由余弦定理得： ， 当时，有最大值，所以的最大值为：. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16 解三角形 题型1：正余弦定理互换的应用 题型2：三角面积公式应用 题型3：判断三角个数的问题 题型4：判断三角形状的问题 题型5：正余弦定理的应用 题型6：解三角形的最值和范围 题型1：正余弦定理互换的应用 1．（2026·甘肃酒泉·二模）在中，内角所对的边分别为.若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2026·河南周口·模拟预测）已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·北京房山·二模）在中，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2026·贵州六盘水·一模）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则（   ） A． B． C． D． 5．（2026·湖北十堰·一模）在中，内角，，的对边分别为，，.若，，，则（   ） A． B．20 C．16 D． 6．（2026·西藏林芝·二模）在中，若，则角________． 7．（2026·北京顺义·二模）在中，. ①若，则__________. ②若为锐角三角形，则的取值范围是__________. 8．（2026·广东肇庆·二模）设的内角所对边的长分别为. 若，，则__________. 9．（2026·陕西商洛·二模）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则______． 10．（2026·陕西·模拟预测）在中，内角，，的对边分别为，，，若，则______. 题型2：三角面积公式应用 11．（2026·湖南岳阳·三模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且，若的面积为，则的值为（    ） A．6 B．8 C． D． 12．（2026·北京·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，若，的面积为，则（    ） A． B． C． D． 13．（2026·西藏林芝·二模）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，的面积，则（     ） A． B． C． D． 14．（2026·山东烟台·二模）在中，角A，B，C所对的边分别为，且，若的面积为，则的值为（   ） A．10 B．5 C． D． 15．（2026·北京石景山·二模）在中，，，D为BC边上的中点，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 16．（2026·重庆·二模）已知中，，则的面积为（ ） A． B． C． D． 17．（2026·陕西西安·三模）在中，角的对边分别为，已知，，，则的面积为___________，___________． 18．（2026·浙江·三模）在中，角，，所对的边分别是，，，且，，，则的面积为___________. 19．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）在中，角的对边分别为，若，，的面积为，则______． 20．（2026·山西·二模）记的内角，，所对的边分别为，，.已知，且，则的面积为________. 题型3：判断三角个数的问题 21．（2026·河北邯郸·二模）（多选）在中，角，，的对边分别为，，，若，为的中点，则下列结论正确的是（   ） A． B．当，时，仅有一解 C．当时，为等边三角形 D．当时，的最大值为 22．（2026·湖北随州·三模）（多选）在中，角，，所对的边分别为，，，下列各组条件中，能使得存在且唯一的是（   ） A．，，外接圆的半径为1 B．，， C．，， D．，， 23．（2026·河北雄安·模拟预测）（多选）在中，角所对的边分别为，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则符合条件的三角形有两个 C． D．， 24．（2026·河北邯郸·模拟预测）（多选）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列说法正确的是（　　） A． B．若b＝4，则△ABC外接圆半径 C．若a＝2，c＝3，则△ABC的面积为 D．若c＝2，△ABC有两解，则 25．（2026·山东东营·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，，则的解的个数为______. 题型4：判断三角形状的问题 26．（2026·湖北·二模）在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，若且，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 27．（2026·辽宁抚顺·二模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定的 28．（2026·湖南怀化·一模）在中，内角的对边分别为，则一定为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 29．（2026·河北邯郸·三模）（多选）已知的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是（   ） A．若，则不是锐角三角形 B．若，则是锐角三角形 C．若，则 D．若，则 30．（2026·新疆·二模）（多选）设的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则一定是锐角三角形 B．若，则一定是钝角三角形 C．若，则一定是等边三角形 D．若，则一定是等腰三角形 题型5：正余弦定理的应用 31．（2026·广东珠海·模拟预测）龙辰塔，萧县“龙城”文化地标，矗立于岱湖中心，是一座仿唐宋形制的八角仿古景观塔．某中学社会实践小组为探究这座古塔的高度，开展了一次实地测量的活动，他们在塔底B所在的水平地面上选取C，D两点，测得米，， ，在点处测得塔顶的仰角为，则龙辰塔的高度约为（   ）（参考数据：取，） A．46米 B．48米 C．50米 D．52米 32．（2026·辽宁锦州·二模）《海岛算经》问题一：今有望海岛，立两表齐高三丈（五步），前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目著地取望海峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目著地取望海峰，亦与表末参合．问岛高几何大意为：现在有人观测海岛，立两根竿（表）皆高3丈（5步），前后相距步，令后表与前表及岛峰三者在同一平面内，从前表退行步，人目着地观测岛峰，与竿顶端重合，从后表退行步，人目着地观测岛峰，也与竿顶端重合，则岛高为（    ） A．步 B．步 C．步 D．步 33．（2026·甘肃张掖·模拟预测）某船行驶到甲地看1号灯塔时，在甲地的北偏东方向上，两地相距n mile；在甲地看2号灯塔时，在甲地的南偏西方向上，两地相距4n mile．该船由甲地向正南航行到乙地时，再看1号灯塔，则1号灯塔在乙地的北偏东方向上，则2号灯塔与乙地之间的距离是（    ） A．6n mile B．7n mile C．n mile D．n mile 34．（2026·福建漳州·三模）为了测量某古塔的高度，设点为塔顶，点为在地平面上的投影，小张遥控无人机（将无人机视为质点）从地平面上的处竖直向上飞行6米后到达处，在处测得塔顶的仰角为，然后继续竖直向上飞行10米后到达处，在处测得塔顶的仰角为，则该古塔的高度为（    ） A．21米 B．米 C．米 D．米 35．（2026·重庆万州·三模）重庆市南山文峰塔坐落于黄桷垭之巅，是重庆市的一座名塔，据《巴县志》记载：文峰塔峭立山巅，凡七级，高逾十丈，万松围护，攒天一碧.某中学社会实践小组为测量重庆市南山文峰塔的高度，开展了一次实地测量活动，他们在塔底所在的水平地面上选取两点，测得米，，在点处测得塔顶的仰角为，则文峰塔的高度约为（   ）(参考数据：取） A．26米 B．28米 C．30米 D．32米 36．（2026·广东东莞·二模）（多选）某数学建模活动小组为了测量山脚下两点间的距离，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中与水平面垂直.在已知山高的情况下，在山顶处测得下列四组角中的一组角的度数，其中能唯一确定两点间距离的是（   ） A． B． C． D． 37．（2026·河北石家庄·三模）如图，要在相距200 km的A，B两地各放置一个地动仪，B在A的东偏北60°方向.若A地正东方向的铜丸落下，B地东南方向的铜丸落下，则地震的位置C在A地正东________km. 38．（2026·上海奉贤·二模）如图所示，A，B，C为山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得三点的俯角分别为，，．计划沿直线AC开通穿山隧道，为了求出隧道DE的长度，还测得米，米，米，则根据以上数据，隧道DE的长度约为________米．（结果精确到1米） 题型6：解三角形的最值和范围 39．（2026·河南许昌·模拟预测）的内角，，的对边分别为，，.已知，，若是的中点，则的最小值为（   ） A． B．1 C． D．2 40．（2026·湖南浙江·模拟预测）制造一个三角形支架（如图），要求，的长度大于2米，且比长1米，为了增加稳定性，要求尽可能短，则最短为（    ） A．米 B．4米 C．米 D．米 41．（2026·广东广州·二模）在锐角中，角所对的边分别为且，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 42．（2026高三上·陕西咸阳·专题练习）在中，内角所对的边分别为若，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 43．（2026·湖南湘潭·二模）在中，角，，的对边分别为，，．已知，且，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 44．（2026·山东菏泽·一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积的最大值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 45．（2026·浙江绍兴·模拟预测）（多选）设的内角的对边分别为，若，且，则（    ） A． B． C．的面积可以是1 D．的周长可以是3 46．（2026·湖南衡阳·二模）（多选）在三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则（   ） A． B．若，则 C．若三角形ABC为锐角三角形，则的取值范围是 D．若，则三角形ABC为直角三角形 47．（2026·湖北武汉·二模）在三棱锥中，直线平面，，.设直线与平面所成的角为，则的最小值为______. 48．（2026·四川·模拟预测）在中，角所对的边分别为，且为的中点，则的最大值为__________. 49．（2026·湖南郴州·三模）在锐角三角形中，内角所对的边分别为，若，则的取值范围为__________. 50．（2026·福建漳州·二模）在凸四边形中，，，，，则AC的最大值为______． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $