专题27 平面解析几何（压轴）(选择题篇)专项训练 -2026届高考数学三轮冲刺

**基本信息** 聚焦解析几何核心内容，以圆、椭圆、双曲线、抛物线及新定义题型为模块，通过分层训练构建从基础到综合的知识逻辑链，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |圆的方程|10题|切线、公切线、弦长、距离范围|以圆的标准方程为基础，结合几何性质与代数运算，构建解析几何入门逻辑| |椭圆|18题|离心率、焦点三角形、切线、面积最值|从椭圆定义出发，关联焦点、离心率等核心概念，强化代数化几何问题的思维| |双曲线|18题|离心率、渐近线、焦点三角形|类比椭圆，突出双曲线定义与渐近线特性，深化数形结合应用| |抛物线|17题|焦点弦、切线、最值、轨迹|以抛物线定义为核心，聚焦焦点与准线关系，培养动态几何问题分析能力| |新定义|4题|创新情境下概念迁移|综合应用前三类曲线知识，提升数学抽象与模型构建能力|

专题27平面解析几何（压轴） 题型汇总 题型1：圆的方程的相关问题 题型2：椭圆的相关问题 题型3：双曲线的相关问题 题型4：抛物线的相关问题 题型5：圆锥曲线的新定义 模拟题型 题型1：圆的方程的相关问题 1.(2026山东泰安模拟预测)已知圆C与直线x+y-1=0相切于点(2，-1)，与圆M:x2+y2-8x-2y+9=0有三 条公切线，若圆心C的横坐标为自然数，则满足条件的所有圆的面积之和为() A.2π B.8π C.9元 D.10元 2.(2026云南曲靖二模)若曲线C:y=V-x2+4x+5上存在两点到直线1：x-V3y-n=0(n>0)的距离为6，则n 的取值范围为() A.(5,8] B.[5,8] C.(8,11] D.(8,12] 3.(2026青海西宁.二模)已知曲线C:x2+y2-2x-1=0,过点P2, 作该曲线的5条弦，这些弦的长度构 成一个递增的等差数列，则该数列公差d的取值范围是() A B 4 C. 0. 5 4.(2026浙江·三模)设O为坐标原点，动点A,B分别在圆C:(x+1)2+(y-3)=1和曲线x2=4y+4上，则 OAOB的取值范围为() A.【-4,+∞） B.4劉 c.)D. 1/13 5.(2026山东泰安·二模)已知M,N为圆C:x2+y2-2x-4y=0上的两个动点，且MN=4,点P为直线 :x+y+1=0上的动点，则PM.PN的最小值为() A.22-V5B.2W2+5 C.5-42 D.5+4v2 6.(2026河北保定·模拟预测)（多选）已知圆C的圆心坐标为1,0)，圆C被x轴、y轴截得的弦长之比为2：√5， 点P在直线：x-y+t=O(t∈N*)上，则下列说法正确的是() A.圆C的标准方程为(（x-1)+y2=4 B.若圆C上有且仅有2个点到直线1的距离为1，则t∈{1,2,3,4 C.当t=3时，以线段PC为直径的圆与圆C交于M,N两点，则PC.PM的最小值为4 D.若Q为平面内一个动点，PQ=(3,),则点Q到直线1的距离为定值 7.(2026山东聊城模拟预测)（多选)已知点P是圆C:(x-1)+(y-3)2=9上的动点，点0(3,4,0为坐标原 点，则下列结论正确的有() A.过点Q的直线被圆C截得的最短弦长为4 B.OP的最大值为7 C.10-3V10≤0C.0P≤10+3V10 D.对任意实数1，OC-tOg的最小值为2 8.(2026广东广州模拟预测)（多选)在平面直角坐标系xOy中，M为直线kx-2y-2=0上的动点，点P,Q分 别在⊙4：x2+(y-2)=1,⊙B:x-3+(y-3=1上，连接PM,下列说法正确的有() A.过点M作0A的一条切线，切点为C,则CM的取值范围为[3，+0) B.直线3+2W6)x-5y+8-3V6=0是0A和0B的一条公切线 C.PM的最小值为65-1 5 D.连接OM,则PM+QM的最小值为√34-1 9.(2026内蒙古鄂尔多斯二模)已知直线(2m+1)x+(1-m)y+2m-2=0(m∈R)恒过定点A,圆O:x2+y2=5上 的两点P(x,),Q(x2,y)满足PA=AO(2∈R),则k+2y+8+x,+2y2+8的最小值为· 10.（2026广东深圳二模)已知圆0：x2+y2=1,A是圆0上的一动点，B(2,0).若存在一个半径为r的圆与直线 AB相切于点B,且与圆x2+y2=16内切，则r的最小值为 2/13 题型2：椭圆的相关问题 1.(225究州资阳二核)已知辆国C号+若-a6>0的左、右能点分别为5,5，货回FF-2疗，点 B在椭圆上且满足AE,=3F,B.若AF·AF,=0,则椭圆C的长轴长为() A.√6 B.2W6 C.2 D.4 2.(2026安微合肥夜拟预测)已知椭圆C+号-1的左、右焦点分别为R,R.P是C上一点，记，G分 129 别为△PFF2的内心和重心，则G引的取值范围是() 3 0, B 3 0 C. 3 2 D.[0,3 13.226云南昆明二装)技辆国C号+茶=a>60,点420)和B10l均为题C的顶点，直线 y2 2x+m与椭圆C交于M,N两点.当四边形ABMN面积取最大值时，实数m的值为() 1 y=- A.0 B. C.、3 D.-1 2 2 14、2s山东游行二资)已椭圆C吾+二一a>)的左、右货点分别为，B,P为第一象内一定 且在椭圆C上，PF交y轴于点M,若FM=2MP,∠FFM=∠PF,M,则C的离心率为() A. B.或 C.V5-1 D.√3-1或√2-1 15、226河北雄安三快)已知椭圆若+芳=口>6>0的左、右顶点4,4和左、右焦点5,5分别尾双曲线 m京1(m>0,”>0)的左、右焦点和左、右顶点，P是两曲线在第一象限的公共点，椭圆和双曲线的离心率分 x2 y2 1 1 马，g+ek:和s分别为直线PF和PE的斜率，则k【 -=() A B. c. 8 3 D.v6 2 16.226安微模拟顾测》已如，B分别为流丽C:三+芳=1a>b>0的左、右合点，过5的直线与脑题交 于A,B两点，且2丽-丽，若配--丽，椭图C的腐心率为号，则A=（) B C.2 D.3 17.2026四川资阳模拟预测）己知椭圆C5+y +京=1(a>b>0)上不同两点A,B,如果以线段4B为直径的圆过 原点O,且0到直线AB的距离是)5，则() A.25<h<20 B.0<b< 2V10 5 5 5 3/13 C.a2+b2s16 D.点M(1,在椭圆C上 18.(2026浙江绍兴·模拟预测)（多选）如图，圆柱被平面α所截而得的几何体的截面是椭圆，则将其侧面展开 后得到的曲线恰好是函数y=Asin(ox+p),(A,o>0)在一个周期内的图象，则() A.圆柱底面的直径为2 0 B.圆柱底面和平面a所成角为O,则tan0=Ao C.椭圆的焦距长为2Ao D.椭圆的离心率为√o+ Ao 19.(2026湖南邵阳三模)（多选）数学家加斯帕尔蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆+片 a+分=1(a>b>0)任意 两条互相垂直的切线的交点都在以原点0为圆心，√a2+b2为半径的圆上，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆.已知椭 i6+石=1(0<b<4)可以与边长为5V2的正方形的四条边均相切，则() A.椭圆C的离心率为 4 B.若一个矩形的四条边均与椭圆C相切，则该矩形面积的最大值为50 -5115V11 C.若A(-6,0),M为椭圆C的蒙日圆上任意一点，则直线AM的斜率的取值范围为 11’11 D.若P为椭圆C的蒙日圆上任意一点，且点P到直线l:2x-y+6V5=0与到直线l2:2x-y+m=0的距离之和 与点P的位置无关，则m的取值范围是(-，-5V5] 20.(2026安微合肥三模)（多选）已知椭圆C:+上=1>0)的左、右焦点分别为R,R,过点乃且斜率不为 零的直线1交椭圆于A,B两点，当直线1垂直于x轴时，△ABF为等边三角形，则下列说法正确的是（) A.C的离心率为 3 B.存在四个点A使得△AFF为直角三角形 C.记∠AEB=a,∠A,R=B,则sina+snB的最大值为2N5 3 4/13 D.记△AFE,的外接圆和内切圆半径分别为R,”,则的最小值为(N5+) 4 2引.（226辽宁锅阳三健）（多选)已稀圆C兰+若-a>6>0,其右、右能查分别为5,5，离心丰为e 过左焦点E的直线与C交于A,B两点，若点A在x轴上方，且AF·AF=0,则下列说法正确的是() B.S40=b(0为坐标原点) C.若点A在第一象限，则 AF >3 BF D.若E为C的下顶点，则川AE22b 2.(226L山西晋巾恢银预测)（多选)已知，B是椭国C:+片=侧>0的两个焦点，点传月)在精 圆C上，B是椭圆C上的动点，BN⊥x轴，垂足为N,且点P为BN的中点，则() A.AF+AF2 =4 B.椭圆C的离心率为③ 2 C.AP的最小值为 2 D.áPOA面积的最大值为3 4 23.（226河北沧州二核)已知端国C后+若-川ab>0的左、右合点分别为R,5,过5的直线交c于P Q两点，△PQF的内切圆分别与PQ,PF相切于点M,N,若FN:WP=3:2,PQ=a,则C的离心率为 4,(2026山东济南三模)已知F,下分别为椭圆C名+=@>6>0)的无、右焦点，C上两点P,Q满足 2FD=3F0,且∠RP明+∠FQR-5则C的离心率为— 25.(2026上海浦东新·三模)如图，F、E是椭圆C与双曲线C,的公共焦点，点A、B是椭圆C与双曲线C,的 两个交点，其中A在第一象限，B在第三象限。者乙4F8=经，则C与C,的离心率之积的最小值为 62026广西累左二）已知圆0：2+=产经过椭圆C:。+片1a>6>0)的焦点，P为椭圆C上的 过点P作圆O的切线，切点为A,B,若存在点P,使得四边形OAPB为矩形，则椭圆C的离心率的取值范围是 27.(2026山东德州模拟预测)已知6，￡分别为椭圆C:云+y=1的左，右焦点，位于第三象限的点P在C上 4 5/13 PF⊥PF,.将C沿其短轴翻折，使得C的左半部分所在平面与右半部分所在平面互相垂直，则翻折后P与F之间的 距离为 8.2026福建三明一模)设椭凰E子+a>6>0长箱的两个顶点分别为4，B,点C为椭圆E上不面 A,B的一点，若ABC的三个内角A,B,C满足2tanA+2tanB+tanC=0,则椭圆E的离心率为 题型3：双曲线的相关问题 29.(2026陕西榆林模拟预测)已知双曲线C,x-y :云=1(a>0.b>0)的左、右焦点分别为F,5,P是双曲线 C在第一象限内的一点，Q为y轴上的点，PQ垂直于y轴，PQ=FF,且A为平面直角坐标系内一点，满足 QF=4AF,,F2⊥AP,则双曲线C的离心率为() A. B.2 C.√3 D.V6 2 30.(2026河北保定·三模)已知0为坐标原点，双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点分别为F,F,,点P为C右支上 一点，则PF+PF,-2OP的最大值为() A.22-2 B.2W2-1 C.2 D.2V2+2 3引.《26浙江宁泼三模)已如双情线C:号若1的左右焦点分别为，5，直线：=3与双自线的右支交于点P 且∠FPR-号，PK的中点记为Q,且o0-3,则双曲线C的离心率为(） A.3 B.3+5 C.2√5 2 D.V3+1 2.,(2026陕西渭南模拟预测)已知双曲线C:。-=ū>0，b>0,6,E分别为左、右焦点，过F且倾斜角为 60的直线1与C在第一象限的交点为P,∠PFF,的平分线与线段PF,交于点？若PQ=3QF,,则该双曲线的离心 率是() A.4+V万 B.3+V万 2 C.2+5 D.3+V3 2 民2026河品三已知双曲线C(a>0,>0)肉左，石焦点分别为，，点P在c的右支 上，且∠FPF=6O°，若PF的中点在C的第一、三象限内的渐近线上，则C的渐近线方程为() A.y=tV3xB.y=±2x C.y=±2V3x D.y=±3x 34《2026河南安用稷拟预D知双曲线C名片Q>0,b>0的左，右焦点分别为，乃，点1在C的左支 上，且AF=2a,线段AF,的中垂线与C在第一象限内交于点B,O为坐标原点，若△ABF的面积是△AOF的面积 6/13 的4倍，则C的离心率为() A.√5 B.√6 c.万 D.2W2 x2 y2 35.（2026重庆渝中模拟预测)已知双曲线E:。一方=1(a>0,b>0的左、右焦点分别为F、B,过B的直线 交E的右支于P、Q两点，满足QF,=2F,P,若△PFF2、△QFF的重心分别为G、G2,且G,G,=2a,则E的离 心率为() A. B.33 C.vi D.V22 3 3 2 2 0202院西深商三候)（多选）设、B是双曲线C:号若=1(a>0,b>0)的、右点：P是C上 4 第一象限内的一点，P听与C的一条渐近线垂直，垂足为H,ta☑FP5=行，0为坐标原点且OH川=2，则下列说 法正确的是() A.双曲线C的南近线方程为，=号 B.双曲线C的离心率为V图 3 C.△HFF的面积为6 D.点P的横坐标为143 13 37.(2026山东泰安模拟预测)（多选）双曲线r-上=1的左，右焦点分别为R,5,渐近线为4,4，过5作 3 圆O:x2+y2=1的切线FT,T为切点，直线FT交双曲线右支于点P、M为线段PF的中点，则下列选项正确的是 () A.直线PF的倾斜角为30°或150° B.以PF,为直径的圆与圆O相交 C.OM-MT=3-1 D.动点N到的距离为4，N到2的距离为4，d,=元d(2≠1)，则动点N的轨迹为两条直线，且这两条直 线的斜率之积为3 38.2026候西西安三模)（多选)已知双曲线C:等芳=a>06>0的左、右袋点分别为5，人，东、右顶 点分别为A,A.点P是双曲线C上位于第一象限的动点，当PF,⊥x轴时，△PA,E为等腰直角三角形，直线 1:y=kx+V3c(c为双曲线C的半焦距)，则下列说法正确的是() A.双曲线C的离心率为2 B.仅存在两个k的值，使得直线1与双曲线C仅有一个交点 C.若直线1与双曲线C相交于点M,N,则直线MA,MA,,NA,NA,的斜率之积为定值 7/13 D.设直线1与y轴的交点为T,则△PFT的面积小于3√5a2 39.(2026安微合肥模拟预测)（多选)已知在平面直角坐标系xOy中，将点(x,y)绕原点O逆时针旋转角O后 的坐标为xcos0-ysin0,xsin0+ycos0).则下面说法正确的是() A.点(x,y)绕原点O顺时针旋转角O后的坐标为xcos0+ysin0,xsin0-ycos0) B.双曲线x2-y2=2绕原点逆时针旋转T和曲线xy=1重合 C.曲线x2-y+y=1是离心率为6的椭圆 D.曲线y=x+是离心率为√4-2N2的双曲线 0。(②26候两成阳陕拟预测》（多选)已知级曲线C:若茶=a>0,6>0的右焦点为R,左、右质点分别为 A,A,双曲线C上的点B满足|BF=√3且BF与x轴垂直.直线BA,的斜率是直线BA的斜率的3倍，点PO,2) ,点Q在C的左支上，则() A.双曲线C的方程为3x2-y2=1B.双曲线C的渐近线方程为y=±√5x C.1PQ1+QF1的最小值为25 D.IPQ的最小值为 ,(2026东庆渝中三模)（多法）已知双曲线C名，」（口>0，>0）的左、右焦点分别是F, 过F的直线与双曲线的左、右两支分别交于A,B两点，A,B两点均在x轴上方，∠E,B那=灭，则下列说法正确 4 的是() A.若F,A=F,B,则F,B=4a B.若F,A=F,B,则双曲线C的渐近线方程为y=±√2x C.若△BEE,是钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是L,1+√2） D.若△BFF2是钝角三角形，直线BF,BE的斜率分别是k,k,则k2-8k的最小值是-1 42.(2026江西南昌三模)已知双曲线C:士- =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,E,过点F的 a2 b2 直线I与C在第一、四象限的交点分别为A,B,若AF2=3BF,=3a,则直线BE的斜率为 8。(2s江西极拟预则》设议曲战C等若-口>06>0的无、右有点分别为，，过5且斜车为的 直线I与C的左、右两支分别交于A,B两点，D为AB的中点且DF⊥AB,则C的离心率为 8/13 4.②26周训图L横拟预测》已划点W是双通线C:号若-a>06>0右支上的-点。斤，5分别是C的左 、右焦点，且∠FMF2=60°，点N在∠FMF的平分线上，O为原点， ON1/M,ON=,其中c=后+，则C的离心率为 45。CO26演北我汉三模)已知双曲线C号若=a>06>0:腐心半为2，左、右货点分5列为5,5，者点 AB A为双曲线上一点，满足AE⊥FF,过点E作AF的垂线，垂足为B,则 BF 6.（2026河北保定模拟预》已知双曲线C:答茶=1(a>0b>0)的左、右焦点分别为斤，月，点P是C上 一点且位于第一象限，若∠PF,R=行∠RPE,的平分线所在直线的斜率与∠PF5的平分线所在直线的斜率分别为 k,k2,且kk2=1,则C的离心率为 题型4：抛物线的相关问题 47.(2026江西模拟预测)设函数=N-x+1+5(x+r+1,则(） 2 A.f(x的最小值为1 B.f(x的最小值为√2 C.(x)=1有一个实根 D.f(x)=V2有两个实根 48.(2026安徽合肥模拟预测)已知抛物线C:y2=4x的准线与x轴交于点P,过焦点F的直线与抛物线C交于A ,B两点，若∠APB=骨则48F（) A.12 B.2√5 C.6 D.8 49.(2026贵州毕节·三模)己知点P是抛物线C:x2=4y上一动点，过点P作圆x2+(y-4)=4的切线，切点分 别为M,N,则cos∠MPN的最小值为() A.3 2 B. 1 C.3 D. 2 50.(2026贵州安顺模拟预测)在平面直角坐标系x0y中，定点F(1,0),P为动点，线段PF的中点到y轴的距离 等于PF,直线x=-1交x轴于点M,LFPM的平分线交x轴于点N(Na,0),则实数a的最大值为() A.3-2√2 B.17-12√2 C.17+12W2 D.3+2W2 51.(2026安徽合肥·模拟预测)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且不与坐标轴垂直的直线1与C交于A, 9/13 B两点，M为线段AB的中点，过M作C的准线的垂线，垂足为N,若△FMN为等腰三角形，则直线I的斜率的绝 对值为() A.② B.√2 C.1 D.3 52.(2026安微阜阳二模)已知抛物线y=x2和y=-x+5所围成的封闭曲线如图所示，点40，a),若在此 1 4 16 封闭曲线上至少存在两对不同的点，满足每一对点关于点A对称，则实数α的取值范围是() A.[2,41 B. c. D.[2,4) 53.(2026辽宁.模拟预测)如图，画在纸面上的抛物线y2=8x过焦点F的弦AB长为9，则沿x轴将纸面折成平面 角为60的二面角后，空间中线段AB的长度为() A.V30 B.√33 C.45 D.613 54.(2026陕西铜川一模)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点，C的准线和x轴交于点P,点M在抛物线C上， 若FM⊥PM,则sin∠MPF=() A.号 B.5-1 C.② D.5+1 2 2 4 55. (2026山东济宁.三模)（多选）已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,圆F:(x-2)2+y2=1,直线1与 圆F相切于点M,且1与抛物线C相交于S,T两点，O为坐标原点，则() A.p=4 B.SF+SM的最小值为2+5 C.存在直线1使得圆F内切于△OST D.存在直线1使得0S⊥0T 56.(2026陕西榆林模拟预测)（多选)已知抛物线C:x2=mym>0)的焦点为F(0,1,点Ax,,),B(x2,y2)在 抛物线上，0为坐标原点，下列说法正确的是() 10/13 A.若P(O,3,AP1FP,则∠FAP= 3 B.若E(3,5),则△AEF周长的最小值为11 C.若A,F,B三点共线，且Saoa=2V2,则AFBF=8 D.若直线AB过G(0,-1),且x2=3x,+4,则sin∠AFB=sin2∠AFG 57.(2026湖南一模)（多选）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C:x2=2pyp>0)的焦点为F,准线为 1.过F的直线与C交于A,B两点，连接BO并延长与准线I相交于点P,PF与x轴交于Q点，准线I与y轴交于点 G,则() A.AP=AF B.∠AOB为锐角 C.PF⊥AQ GA AF D. GB FB 58.(2026河南南阳·一模)（多选）已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为1，O为坐标原点，过点F的直线 与抛物线C交于A,B两点，分别过点A,B作1的垂线，垂足分别为M,N,若△AMF为等边三角形，则() A.直线AB的斜率为√ p. C.△AMF的周长为12 D.B,O,M三点共线 59.(2026河北张家口·三模)（多选）已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为1，过点F的直线与C 交于A,B两点(A在第一象限)，与I交于点M,过点A,B分别作1的垂线，垂足为A,B,则下列说法正确的 是() A.若4F=30F(0为原点)，则Sao= 2 B.以线段MF为直径的圆恒过1与x轴的交点 C.若AM=2BM,则直线AB的斜率为2√2 D.原点O到直线AB的距离与到直线AB的距离之比为定值 60.(2026河南·三模)（多选）己知抛物线C:y2=8x,过抛物线C的焦点F的直线1与C交于A,B两点，若 以线段AB为直径的圆与y轴交于D,E两点，则() A.AB 28 B.以线段AB为直径的圆与直线x=-2相切 1 丽B丽1 DE C.T D 的取值范围是0， AB 2 61.(2026安徽安庆·三模)已知抛物线y2=2px(p>0)的顶点为0，焦点为F,过点F的直线交抛物线于A,B两 11/13 点，若AF=2BF,，则sin∠OAF= 62.(2026河北邯郸·二模)用一个平面去截圆锥，则截面交线为圆锥曲线.2000多年前，古希腊数学家最先开始 研究圆锥曲线，并获得了大量的成果.当平面倾斜到“与且仅与”圆锥的一条母线平行时，可以得到抛物线.已知圆 锥0，的轴裁面为正三角形(00，>5)，其底面圆上存在两点R,Q满足0，R10Q,点P,Q分别在OR, OQ,上，且OP=OQ=1,则过点P,Q的平面截圆锥OO,得到的抛物线的焦点和准线之间的距离为 P 63.(2026山西运城模拟预测)如图，抛物线C的方程为y2=2px(p>0),焦点是F,圆心在x轴上的圆E与抛 物线C在第四象限有且只有一个公共点M,且它们在点M处的切线是同一条直线若点M的横坐标为3， ∠FWE-名，则实数P的值为 题型5：圆锥曲线的新定义 64.(2026北京石景山一模)在平面直角坐标系中，当P(x,y)不是原点时，定义P的“对应点”为 当P是原点时，定义P的“对应点”为它自身：将曲线C上所有点的“对应点”构成的曲线C定 义为曲线C的“对应曲线”现有下列命题： ①若点A的“对应点”是点A,则点A的“对应点”是点A; ②单位圆的“对应曲线”是它自身； ③直线的“对应曲线”一定是直线 其中正确命题的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 65.(2026浙江温州·二模)（多选）若曲线Γ满足条件：存在正数a和点PE「，对于任意点A∈『，总存在点 12/13 B∈T,使得PAPB=a,则称该曲线是“a-封闭曲线”，则下列曲线是“a-封闭曲线”的是() A.2x2+y2=1 B.x2+xy=1 C.x2+y2 sin'x+cos2y D.sin(x+2y)=2x-y 66.(2026贵州毕节一模)（多选）设计一条美丽的丝带，其造型α可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐 标原点0，且C上的点满足：横坐标小于4，到点F(-4,0)的距离与到定直线x=1>0)的距离之积为16，则下列 选项中正确的有() A.t=4 B.点-4V3,0在C上 C.C在第三象限的点的纵坐标的最小值为-2 D.当点（在C上时，⅓≤16 4-x0 67.(2026湖北鄂州模拟预测)类比圆的标准方程，我们很容易知道：在空间直角坐标系中，以坐标原点为球心， R为半径的球面方程为：x2+y2+z2=R.现有一个底面半径为2，高为3的圆锥，以底面圆圆心为坐标原点，顶点 在z轴上，则圆锥侧面的方程为 ,现用一个与z轴平行的平面截这个圆锥，截面与圆锥表面交线为双曲 线的一部分，则该双曲线的离心率为 13/13 专题27 平面解析几何（压轴） 题型1：圆的方程的相关问题 题型2：椭圆的相关问题 题型3：双曲线的相关问题 题型4：抛物线的相关问题 题型5：圆锥曲线的新定义 题型1：圆的方程的相关问题 1．（2026·山东泰安·模拟预测）已知圆与直线相切于点，与圆有三条公切线，若圆心的横坐标为自然数，则满足条件的所有圆的面积之和为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由切线垂直于半径得圆心纵坐标与横坐标满足，整理已知圆方程得出圆心与半径，依据三条公切线推出两圆外切，利用点到直线距离表示圆半径，结合两点距离公式建立等式化简得到，结合为自然数且半径不为零确定取值，再代入面积公式求出面积相加得到结果. 【详解】圆与直线相切于点，切线斜率为. 故圆心与连线垂直于切线，斜率为. 设圆心，则，得，即. 圆：化为标准式. 圆心，半径. 两圆有三条公切线，故两圆外切，即. 设圆半径为，由相切得.. 由外切得，约去得. 圆心横坐标为自然数，分情况讨论： 时，，无解； 时，，得，舍去； 时，，恒成立. 结合，为自然数，得. 圆面积，时，；时，. 故满足条件的所有圆的面积之和为. 2．（2026·云南曲靖·二模）若曲线上存在两点到直线的距离为6，则n的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知确定曲线的图形，数形结合并应用直线与圆的位置关系及已知条件分析临界情况，即可求范围. 【详解】由，可得， 即表示圆的上半部分（包含与x轴交点）， 当圆心到直线的距离为3时， 此时曲线C上恰有一点到直线l的距离为6， 由点到直线距离公式，可得， 结合图形位置关系知，点到直线l的距离为6， 此时为曲线C上存在两点到直线的距离为6的另一临界情形， 所以，可得， 故n的取值范围为． 3．（2026·青海西宁·二模）已知曲线：，过点作该曲线的条弦，这些弦的长度构成一个递增的等差数列，则该数列公差的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线与圆的位置关系求出最短弦长和最长弦长，然后利用等差数列基本量运算求解即可． 【详解】曲线：，即， 所以曲线是以为圆心，为半径的圆， 因为， 所以在圆内，且， 所以过点的最短弦，最长弦， 从而公差， 又因为数列是递增的，所以， 所以公差的取值范围是． 4．（2026·浙江·三模）设O为坐标原点，动点A，B分别在圆和曲线上，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，则，根据题意得，再结合，，进一步转化为，再根据二次函数性质求解即可. 【详解】设，则．即， 则． 因为A在圆C上移动， 所以，当且仅当与反向时等号成立． 又． 则 ，当且仅当，时等号成立． 所以的取值范围为.    5．（2026·山东泰安·二模）已知为圆上的两个动点，且，点为直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点， 利用平面向量的基本定理和数量积得到，要求的最小值就是求的最小值，求出，从而得到点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，由点为直线上的动点，可知的最小值为圆心到直线的距离减去半径，利用点到直线的距离公式来求出，从而得到. 【详解】取的中点，则， ， 要求的最小值，就是求的最小值， 圆的圆心为，半径为， ， 点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆， 点为直线上的动点， 的最小值为圆心到直线的距离减去半径， ， ，故选项C正确. 6．（2026·河北保定·模拟预测）（多选）已知圆的圆心坐标为，圆被轴、轴截得的弦长之比为 点P在直线 上，则下列说法正确的是（    ） A．圆的标准方程为( B．若圆上有且仅有2个点到直线l的距离为1，则 C．当时，以线段为直径的圆与圆交于两点，则 的最小值为 D．若为平面内一个动点， 则点到直线l的距离为定值 【答案】ACD 【分析】利用圆的弦长公式，设圆的半径为，分别求出被轴、轴截得的弦长，结合比例关系求出，判断选项A；计算圆心到直线的距离，根据圆的性质，当时满足条件，结合确定的取值集合，判断选项B；将向量数量积进行转化，结合以为直径的圆与圆$C$的交点性质，将其转化为与相关的表达式，再利用点到直线的距离公式求出的最小值，进而得到数量积的最小值，判断选项C；可设出、的坐标，得到的坐标与的坐标关系，再结合在直线上，代入到直线的距离公式，判断是否为定值，以此分析选项D. 【详解】选项A，已知圆心，设半径为，圆心到轴的距离，故被轴截得的弦长， 圆心到轴的距离，故被轴截得的弦长， 由题意，代入得：， 化简得，即， 因此圆的标准方程为，选项A正确； 选项B，圆心到直线的距离， 圆上到直线距离为的点的个数满足： 当，即时，有且仅有个点， 代入得不等式：， 因，故，去掉绝对值得：， 正整数解为时，圆上无满足条件的点，选项B错误； 选项C，当时，直线， 因在以为直径的圆上，故，即， 向量分解：，因此：， 在中，由勾股定理：， 因，故，即， 的最小值为点到直线的距离：， 因此的最小值为，选项C正确； 选项D，设，因，故， 又在直线上，故， 点到直线的距离： 距离为定值，选项D正确. 7．（2026·山东聊城·模拟预测）（多选）已知点是圆上的动点，点，为坐标原点，则下列结论正确的有（    ） A．过点的直线被圆截得的最短弦长为4 B．的最大值为7 C． D．对任意实数的最小值为2 【答案】AC 【分析】根据过点的直线与直线垂直时，被圆截得的弦最短，结合弦长公式，可判定A正确；根据圆的性质，可判定B错误；作向量在上的投影向量，利用向量数量积的定义，结合圆的性质求解，或采用向量的数量积的坐标表示，结合直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，列出不等式或方程，也可判定C正确，D不正确. 【详解】由圆的方程，可得圆心，半径． 对于A，因为，可得 所以点在圆内，且， 当过点的直线与直线垂直时，被圆截得的弦最短， 则被截得的最短弦长为，所以A正确． 对于B，因为，可得点在圆外，且， 由圆的性质，可得的最大值为，所以B错误； 对于C，方法一：如图，作向量在上的投影向量， 则， 因为，即， 所以，所以C正确． 方法二：设，则，因为，可得． 设，则直线与圆有公共点， 则满足，解得，所以C正确． 对于D，方法一：对任意实数，向量与共线， 设，则点在直线上，， 则的最小值为圆心到直线的距离， 因为点，所以直线的方程为， 所以圆心到直线的距离为，所以D错误． 方法二：因为，可得， 所以， 当时，，所以D错误． 8．（2026·广东广州·模拟预测）（多选）在平面直角坐标系中，为直线上的动点，点分别在上，连接，下列说法正确的有（   ） A．过点作的一条切线，切点为，则的取值范围为 B．直线是和的一条公切线 C．的最小值为 D．连接，则的最小值为 【答案】BC 【分析】求出和的圆心和半径，求出到直线的距离，选项A，过点作的一条切线，切点为，则，则利用求出的取值范围；选项B，求出点到直线的距离，求出点到直线的距离，从而得到结论；选项C，的最小值为点到直线的距离减去，从而得到结论；选项D，求出关于直线的对称点为，求出，连接，线段与直线的交点就是使得取最小值的点，从而得到的最小值. 【详解】，，的半径为， ，，的半径为， 设到直线的距离为， 选项A，过点作的一条切线，切点为， 则， 则， 故的取值范围为，故选项A错误； 选项B，， 点到直线的距离为 ， ， 点到直线的距离为 ， ， 故直线是和的一条公切线，故选项B正确； 选项C，的最小值为点到直线的距离减去， 点到直线的距离为， 则的最小值为，故选项C正确； 选项D，设关于直线的对称点为， 则，解得，故， 连接，， 设为直线上的任意一点， , 则线段与直线的交点就是使得取最小值的点， 则的最小值为，故选项D错误. 9．（2026·内蒙古鄂尔多斯·二模）已知直线恒过定点A，圆O：上的两点，满足，则的最小值为________． 【答案】 【分析】先求出直线恒过的定点A，再找出弦的中点的轨迹方程，最后数形结合求出的最小值. 【详解】已知直线恒过定点A， 即对任意恒成立， 则，解得，所以定点A的坐标为. 由，可知P、A、Q三点共线， 设弦的中点为，连接，如图，则，即， 所以 ，由此可得E的轨迹方程为， 即的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 设直线l为，则到l的最小距离为， 过P、E、Q分别作直线的垂线，垂足分别为M、R、N，则R是的中点， 所以 ，即， 则 10．（2026·广东深圳·二模）已知圆是圆上的一动点，．若存在一个半径为的圆与直线相切于点，且与圆内切，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】设所求圆的圆心为，由相切条件得，故的轨迹为以为焦点的椭圆，结合直线与圆相切的几何关系，得到倾斜角的范围，再用椭圆焦半径公式求的最小值. 【详解】 如图，设所求圆的圆心为，连接，设点， 由于，则， 于是点的轨迹是以为焦点的椭圆，从而椭圆的中心为， 于是设点的轨迹方程为：， 其中，则，椭圆方程为. 由于直线始终与有公共点， 不妨在轴下方或在轴上，设的倾斜角为，如图，才能取到最小值. 当时，由于直线与圆相切，即，则. 设直线与圆相切，由，，则，从而. 由焦半径公式可知． 题型2：椭圆的相关问题 11．（2026·贵州贵阳·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距，点A，B在椭圆上且满足．若，则椭圆的长轴长为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】设，，根据，列式，联立即可求解. 【详解】根据，设，， 则，， 因为，所以， 在中，因为，所以， 即，① 在中，， 即，② 联立①②解得，， 所以椭圆的长轴长为. 12．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知椭圆C: 的左、右焦点分别为F1，F2 ， P是C上一点，记I，G分别为△PF1F2​的内心和重心，则∣IG∣的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，由三角形重心坐标公式可得，由椭圆第二定义，结合圆的切线性质，等面积法可得，据此可得答案. 【详解】由题可得，，准线方程为：. 设，三角形重心坐标公式可得：，则. 如下图作出椭圆的两条准线，过向两条准线做垂线，垂足为. 由椭圆第二定义可得：， 从而， ，则. 如图，作出的内切圆，与各边切点为. 由圆的切线性质可得：， 则， 又注意到，则， 结合，可得. 因表示三角形内心到的距离， 则，其中为三角形内切圆半径. 注意到， 因在x轴同侧，从而，则，注意到， 则 13．（2026·云南昆明·二模）设椭圆，点和均为椭圆的顶点，直线与椭圆交于两点．当四边形面积取最大值时，实数的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据顶点得出椭圆，再联立得出韦达定理，最后表示面积应用三角换元得出面积最大时参数值. 【详解】由和可得，所以椭圆方程为， 因直线的斜率为，可得其方程为， 又因为直线，将其与联立消去，可得， 由解得， 由韦达定理得，所以， 因为，所以四边形为梯形，而直线的方程即， 则梯形的高也即点到直线的距离为， 故梯形的面积为， 由图知面积最大值不在时（此时在上方）取得，故只需考虑， 令，则，则，则， 再令，则，， 故， 故当时，取得最大值为. 此时，所以，故当四边形面积取最大值时，此时的值为. 14．（2026·山东济宁·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为第一象限内一点且在椭圆上，交轴于点，若，，则的离心率为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】根据方程可得，根据题意可得为的角平分线，结合角平分线性质可得，设，可得，代入椭圆方程可得，进而可得和离心率. 【详解】由题意可知：，则，， 因为，，则为的角平分线， 则，可得， 设，，，则，， 因为，则，解得，即， 则，解得，即， 则，则，即， 所以椭圆C的离心率. 15．（2026·河北雄安·三模）已知椭圆的左、右顶点，和左、右焦点，分别是双曲线的左、右焦点和左、右顶点，是两曲线在第一象限的公共点，椭圆和双曲线的离心率分别为，，，和分别为直线和的斜率，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合椭圆与双曲线定义，利用离心率可用表示出、、，即可表示出点坐标，再利用斜率公式计算即可得解. 【详解】由题意可得、，、，   ，， 则，整理得， 由，故，故， 则，，解得， 设，则有、， 即、，解得，， 则. 16．（2026·安徽·模拟预测）已知，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于A，B两点，且，若，椭圆C的离心率为，则（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】由椭圆定义结合勾股定理求解. 【详解】由，可知，即， ，， 因为，所以，， 设，则，由椭圆定义可得，， 在中，，所以， 即，化简得，即， 所以，， 在中，，可得， 即，解得. 17．（2026·四川资阳·模拟预测）已知椭圆上不同两点A，B，如果以线段AB为直径的圆过原点O，且O到直线AB的距离是，则（   ） A． B． C． D．点在椭圆C上 【答案】A 【分析】由题意知，设点，根据在已知椭圆上，即结合到直线的距离，可得，利用其可判断各个选项. 【详解】根据题意易知，故设点， 由于均在已知椭圆上，则， 所以， 同理可得， 所以，即， 又由于到直线的距离是，所以， 即，所以， 由于，故点在椭圆外，故D错误； 由于，所以，所以， 即，故C错误； 由于，可得，又，则，即得， 即，解得，故A正确，B错误． 18．（2026·浙江绍兴·模拟预测）（多选）如图，圆柱被平面所截而得的几何体的截面是椭圆，则将其侧面展开后得到的曲线恰好是函数在一个周期内的图象，则（    ） A．圆柱底面的直径为 B．圆柱底面和平面所成角为，则 C．椭圆的焦距长为 D．椭圆的离心率为 【答案】ABD 【分析】当截面椭圆上的点在正弦曲线上移动时，它在底面的投影点在正弦曲线下方的直线上移动，所以底面周长就等于正弦函数的一个周期，可判断A；椭圆的长轴两端对应正弦曲线的波谷和波峰，可得两端的高度差，又因为长轴在底面的投影为底面直径，故可得截面和底面的夹角正切，可判断B；由B选项可得椭圆的长轴，而椭圆的短轴即为底面直径，于是可求出焦距和离心率，可判断C和D. 【详解】设圆柱底面直径为，依题意可知圆柱底面周长等于正弦函数的一个周期， 即，得，A正确； 设截面椭圆的左右端点分别为，当椭圆上的点经过半周从移动到时， 它在展开曲线上经过半个周期从波谷移动到波峰，所以的高度差为， 而在圆柱底面上的投影即为底面直径，可知 ，B正确； 截面椭圆的短轴即为底面直径，长轴， 则椭圆的焦距长 ，C错误； 由前述结论可知，D正确. 19．（2026·湖南邵阳·三模）（多选）数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆任意两条互相垂直的切线的交点都在以原点为圆心，为半径的圆上，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆可以与边长为的正方形的四条边均相切，则（   ） A．椭圆的离心率为 B．若一个矩形的四条边均与椭圆相切，则该矩形面积的最大值为50 C．若为椭圆的蒙日圆上任意一点，则直线的斜率的取值范围为 D．若为椭圆的蒙日圆上任意一点，且点到直线与到直线的距离之和与点的位置无关，则的取值范围是 【答案】BCD 【分析】根据蒙日圆的定义，求得，得到椭圆的离心率，可判定A不正确；设矩形的边长分别为，结合基本不等式，求得，可判定B正确；根据直线与圆的位置关系，列出不等式，可判定C正确；根据直线与平行，并且分别位于蒙日圆的两侧，结合临界状态，结合点到直线的距离公式，可判定D正确. 【详解】对于A，由题意知，正方形的对角线的长度等于蒙日圆的直径， 即，所以，所以椭圆的离心率，所以A不正确； 对于B，设矩形的边长分别为，则， 由不等式，所以，可得， 所以矩形的面积的最大值为50，所以B正确； 对于C，设直线的方程为，且蒙日圆方程为， 由，解得，所以C正确； 对于D，如果点到两条直线的距离之和与点的位置无关， 可得直线与平行，并且分别位于蒙日圆的两侧， 临界状态就是与蒙日圆相切，且蒙日圆的方程为， 此时满足，且，解得， 所以的取值范围是，所以D正确． 20．（2026·安徽合肥·三模）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且斜率不为零的直线l交椭圆于A，B两点，当直线l垂直于x轴时，为等边三角形，则下列说法正确的是（   ） A．C的离心率为 B．存在四个点A使得为直角三角形 C．记，，则的最大值为 D．记的外接圆和内切圆半径分别为R，r，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】对于A，选取直线垂直于轴的特殊位置（即通径），直接求出未知参数进而计算离心率，对于B，先通过椭圆性质得该椭圆中最大的角不超过，由此可得直角只能是或，进而可证有4个点使得为直角三角形，对于C，利用正余弦定理将待求的三角函数式转化为关于焦半径的代数关系，最后借助基本不等式求最大值，对于D，运用正弦定理与面积公式分别表示出外接圆与内切圆的半径，将其比值转化为关于边角的函数进而求解最小值. 【详解】记． 对于A：直线l垂直于x轴时，不妨设，则， 因此离心率，故A正确； 对于B，当位于短轴顶点时，，即椭圆上任意一点都有， 所以若为直角三角形，直角只能是或， 当时，点在过点且垂直于轴的直线上，该直线与椭圆有2个交点， 当时，点在过点且垂直于轴的直线上，该直线与椭圆有2个交点， 所以椭圆上存在四个点使得为直角三角形，故B正确； 对于C：由上知，，且，则， 在中，由正弦定理得， 根据等比性质，有，其中， 则有，即， ，， 又， 其中，所以， 当且仅当取等号，此时， 所以，故C错误； 对于D：由，即， 的周长为， 由得， 因此，又，则， 当且仅当取等号，故D正确． 21．（2026·辽宁朝阳·三模）（多选）已知椭圆，其左、右焦点分别为，离心率为e，过左焦点的直线与C交于A，B两点，若点A在x轴上方，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．（O为坐标原点） C．若点A在第一象限，则 D．若E为C的下顶点，则 【答案】ACD 【分析】根据条件，可得，根据勾股定理、椭圆的定义及面积公式，可得面积的表达式，即可得A点纵坐标，根据，结合的关系，整理计算，可判断A的正误；根据，分析可判断B的正误；根据余弦定理，可得、的表达式，即可得的表达式，结合的范围，分析求解，可判断C的正误；由条件，可得的表达式，进而可得的表达式及范围，整理化简，即可判断D的正误. 【详解】选项A：由，得，则， 由椭圆的定义得，则， 所以，则， 所以， 又，所以，则， 又，所以，则，所以，则， 所以，则，即，解得，故A正确； 选项B：，故B错误； 选项C：若点A在第一象限，则， 设，设， 由余弦定理得， 则，整理得， 所以，同理可得， 则， 由点A在第一象限知，则， 设，则， 所以，故C正确： 选项D：由A项知， 所以， ， 则， 所以，故D正确． 22．（2026·山西晋中·模拟预测）（多选）已知，是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，是椭圆上的动点，轴，垂足为，且点为的中点，则（   ） A． B．椭圆的离心率为 C．的最小值为 D．面积的最大值为 【答案】ABD 【分析】由椭圆过求出椭圆的方程，从而得到的值，根据椭圆的定义判断A；求出离心率判断B；求得点的轨迹方程，由定点到圆上的点的距离求出的最小值，判断C；当时，的面积最大，由此求出最大值，判断D. 【详解】点在椭圆上，，解得. 椭圆的标准方程为． 设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，则. ，即，，，故A，B正确． 对于C，设点，则． 将点的坐标代入椭圆方程，得，即. 点的轨迹方程为， 的最小值为点到圆心的距离减去半径， ，故C错误． 对于D，由C可知，，，则当时，的面积最大，为，故D正确． 23．（2026·河北沧州·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交于，两点，的内切圆分别与，相切于点，，若，，则的离心率为__________. 【答案】 【分析】利用椭圆定义并结合题意求各边长，再根据余弦定理求解即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形，设内切圆与相切于点， 由椭圆定义可知，， 又，，，，， 得，，， 所以，，，， 由余弦定理得， 即，化简得. 24．（2026·山东济南·三模）已知，分别为椭圆的左、右焦点，C上两点P，Q满足，且，则C的离心率为________． 【答案】 【分析】延长交椭圆于点，则与关于原点对称，进而推得，由椭圆定义及勾股定理求得的长度，进一步求出点的坐标，代入椭圆方程化简可得离心率. 【详解】延长交椭圆于点，连接，由，可知， 由椭圆的对称性可知，，， 因为，所以，所以， 设，则，所以， 则，即，解得， 所以，所以点是椭圆的上顶点，过点作轴，垂足为， 则，所以，即， 由得，所以的离心率 25．（2026·上海浦东新·三模）如图，、是椭圆与双曲线的公共焦点，点、是椭圆与双曲线的两个交点，其中在第一象限，在第三象限．若，则与的离心率之积的最小值为___________． 【答案】/ 【分析】连接，由椭圆的对称性，得到为平行四边形，且，设，在中，利用余弦定理，分别求得和，列出关系式，化简得到，结合基本不等式和离心率的定义，即可求解. 【详解】设椭圆的方程为，双曲线的方程为， 因为椭圆与双曲线的公共焦点，所以， 如图所示，连接，根据椭圆的对称性，可得四边形为平行四边形， 因为，可得，设， 在中，由余弦定理得， 由椭圆的定义，可得， 可得， 所以，所以， 又由双曲线的定义，可得， 可得， 所以，所以， 所以，可得，即， 可得，所以， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即，所以， 所以与的离心率之积的最小值为. 26．（2026·广西崇左·二模）已知圆经过椭圆的焦点，为椭圆上的动点，过点作圆的切线，切点为，，若存在点，使得四边形为矩形，则椭圆的离心率的取值范围是______. 【答案】 【分析】若四边形为矩形，则四边形为正方形，可得，根据椭圆性质可得，运算求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径为， 由题意可知：，，且， 若存在点，使得四边形为矩形，此时， 且，则四边形为正方形，可得， 则，可得，且，即， 可得，可得， 所以椭圆的离心率的取值范围是. 27．（2026·山东德州·模拟预测）已知分别为椭圆的左､右焦点，位于第三象限的点在上，.将沿其短轴翻折，使得的左半部分所在平面与右半部分所在平面互相垂直，则翻折后与之间的距离为__________. 【答案】 【分析】通过椭圆的基本性质得到焦点的坐标，采用数形结合的方法，通过线面垂直证明线线垂直，从而求得线段的长度. 【详解】 ，是椭圆的左、右焦点，即的坐标分别为， 因为，且为的中点， 所以， 设点为椭圆的短轴的一个端点，翻折后（如图所示）， 因为平面平面，且平面平面，， 所以平面，则， 所以. 28．（2026·福建三明·二模）设椭圆长轴的两个顶点分别为A，B，点C为椭圆E上不同于A，B的一点，若的三个内角A，B，C满足，则椭圆E的离心率为________. 【答案】/ 【分析】由三角恒等变换得到，并转化为斜率关系，设出点的坐标，由斜率得到方程，求出，得到离心率 【详解】，故， 即， 即， 因为，所以， 即，， 故，即，， 不妨设，则， ，故， 又，故，将其代入得 ，故椭圆E的离心率为. 题型3：双曲线的相关问题 29．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线在第一象限内的一点，为轴上的点，垂直于轴，，且为平面直角坐标系内一点，满足，，则双曲线的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】先利用和垂直轴得出点的坐标，再由得出点的坐标，最后利用两垂直向量的数量积为列出方程即可求解. 【详解】由题知，，， ，，将其代入双曲线的方程，得， 设，则，， 设，，， 解得，，即， ，， 即，得，即， 即，整理可得， ，整理可得，解得或， ，，即. 30．（2026·河北保定·三模）已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，点为右支上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用双曲线的定义及三角形的性质，即可求解. 【详解】由双曲线，得，，即， 则， 当且仅当三点共线时，即时取等号，所以的最大值为. 31．（2026·浙江宁波·三模）已知双曲线的左右焦点分别为，直线与双曲线的右支交于点且，的中点记为，且，则双曲线的离心率为（        ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】由题设结合双曲线的定义可得，，再根据结合勾股定理及等面积法可得，，进而求得，进而求解离心率即可. 【详解】由于的中点记为，的中点记为， 则，即， 由于，则，即， 则，即①， 而，则，即②， 由①②，解得（因，另外一解舍去）， 则双曲线的离心率为. 32．（2026·陕西渭南·模拟预测）已知双曲线分别为左､右焦点，过且倾斜角为的直线与在第一象限的交点为的平分线与线段交于点.若，则该双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过角平分线性质定理、双曲线的定义、余弦定理求解. 【详解】因为直线的，由角平分线性质定理可知， 所以，由双曲线的定义可知，所以， 在中由余弦定理可得， 即，整理得， 两边同除以可得，解得或（舍去）． 33．（2026·河北·三模）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点P在C的右支上，且，若的中点在C的第一、三象限内的渐近线上，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设的中点为M，设，结合双曲线定义与正弦定理计算可得，再利用余弦定理可列出与、、有关齐次等式，即可得其渐近线方程. 【详解】设的中点为M，又O是的中点，则，则， 设，则， 在中，由正弦定理得， 则，得， 在中，由余弦定理得， 则，即， 结合，整理得， 所以C的渐近线方程为. 34．（2026·河南安阳·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，点在的左支上，且，线段的中垂线与在第一象限内交于点为坐标原点，若的面积是的面积的4倍，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线定义可得 三点共线，结合面积关系判定为等边三角形，再利用余弦定理求解离心率. 【详解】如图，，根据双曲线的定义，得，因为 ，所以，故 三点共线. 因为，所以，所以， 又，所以是等边三角形，所以. 在中，由余弦定理得， 整理得，故离心率 . 35．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知双曲线E：的左、右焦点分别为、，过的直线交E的右支于P、Q两点，满足，若、的重心分别为、，且，则E的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 如图， 、分别为、的重心，所以，， 所以，所以， 又，所以，， 由双曲线的几何性质，， 可得，， 在中，， 中，， 所以，化简得，即， 所以. 36．（2026·陕西渭南·三模）（多选）设、是双曲线：（，）的左、右焦点，是上第一象限内的一点，与的一条渐近线垂直，垂足为，，为坐标原点且，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的离心率为 C．的面积为 D．点的横坐标为 【答案】ACD 【分析】AB选项，作出辅助线，由题目条件和双曲线定义，余弦定理得到，，，得到渐近线方程和离心率；C选项，求出，得到三角形面积；D选项，联立直线和双曲线方程，得到点的横坐标. 【详解】A选项，设， 双曲线：的渐近线方程为， 显然与垂直，故直线的方程为， ，故原点到的距离为2，即，故， 过点作⊥，垂足为，则， 又为的中点，故， 因为，所以，， 由勾股定理得， 由双曲线定义得，则， 其中，又，所以， 由余弦定理得， 故，，双曲线的渐近线方程为，A正确； B选项，双曲线的离心率为，B错误； C选项，联立直线：与直线：得， 解得，故， 所以，C正确； D选项，联立与双曲线：得， 即，解得或（舍去）， 点的横坐标为，D正确. 37．（2026·山东泰安·模拟预测）（多选）双曲线的左，右焦点分别为，，渐近线为，，过作圆的切线，为切点，直线交双曲线右支于点、为线段的中点，则下列选项正确的是（） A．直线的倾斜角为或 B．以为直径的圆与圆相交 C． D．动点到的距离为，到的距离为，，则动点的轨迹为两条直线，且这两条直线的斜率之积为3 【答案】ACD 【分析】根据双曲线方程确定基本参数，再逐一分析每个选项. 【详解】已知双曲线方程为，则，，，故， 焦点，，渐近线方程：. 选项A，过作圆的切线，设切线斜率为，切线方程为. 圆心到切线的距离等于半径：，解得，故直线的倾斜角为或，A正确； 选项B，是的中点，是的中点， 故是的中位线，. 根据双曲线定义：，即， 故. 以为直径的圆的圆心为（中点），半径，圆心距. 圆心距与半径的关系：，故两圆位置关系为外切，而非相交，B错误； 选项C，在中，，，故. 又， 因此：，C正确； 选项D设动点，渐近线，，则：. 由，得，去掉绝对值符号可得两条直线： 和， 整理得斜率分别为：， 斜率之积：，D正确.    38．（2026·陕西西安·三模）（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，.点P是双曲线C上位于第一象限的动点，当轴时，为等腰直角三角形，直线（c为双曲线C的半焦距），则下列说法正确的是（    ） A．双曲线C的离心率为2 B．仅存在两个k的值，使得直线l与双曲线C仅有一个交点 C．若直线l与双曲线C相交于点M，N，则直线，，，的斜率之积为定值 D．设直线l与y轴的交点为T，则的面积小于 【答案】ACD 【分析】选项A.利用求出坐标，再结合等腰三角形以及双曲线的离心率求解即可.选项B.直线与双曲线仅有一个公共点，包含与渐近线平行和相切两种情况，分析求解即可.选项C.设点，利用双曲线方程化简得到定值，同理.选项D.先求出T，结合离心率得渐近线方程，当与右顶点重合时，面积取得最大值. 【详解】A选项，当轴时，点的横坐标为，代入得． 由于点位于第一象限，故点的坐标为， 因为为等腰直角三角形，所以，即， 又，则，解得（负根舍去），故A正确； B选项，直线过定点，若直线与双曲线仅有一个公共点， 则与渐近线平行或与双曲线相切，故符合条件的的值有4个，故B错误； C选项，设点的坐标为，则， 由于在上，故有， 于是，同理， 故直线，，，的斜率之积为9，C正确； D选项，令得，故，所以， 因为，所以双曲线的渐近线方程为， 故直线与渐近线平行，如果点与右顶点重合， 则的面积， 因为点P位于第一象限，所以的面积小于，D正确. 39．（2026·安徽合肥·模拟预测）（多选）已知在平面直角坐标系xOy中，将点绕原点O逆时针旋转角后的坐标为．则下面说法正确的是（   ） A．点绕原点O顺时针旋转角后的坐标为 B．双曲线绕原点逆时针旋转和曲线重合 C．曲线是离心率为的椭圆 D．曲线是离心率为的双曲线 【答案】BCD 【分析】根据给定信息，利用诱导公式求解判断A；求出绕原点逆时针旋转后所得曲线方程判断BC；求出旋转后所得标准形式的方程并求出离心率判断D. 【详解】对于A，点绕原点O顺时针旋转角后的坐标为， 即，A错误 对于B，设双曲线绕原点逆时针旋转后所得曲线上任意点， 由选项A得相应的点坐标为，即点 在曲线上，则，整理得， 因此双曲线绕原点逆时针旋转和曲线重合，B正确； 对于C，由选项B知，把曲线绕原点逆时针旋转后所得曲线 ，整理得， 因此曲线为椭圆，其离心率为，C正确； 对于D，把曲线，即绕原点O逆时针旋转锐角后的曲线方程为 ，整理得 ， 令，而为锐角，则， ，， 则所得曲线为，即， 因此曲线为双曲线，其离心率为，D正确. 40．（2026·陕西咸阳·模拟预测）（多选）已知双曲线的右焦点为F，左、右顶点分别为，，双曲线C上的点B满足且BF与x轴垂直．直线的斜率是直线的斜率的3倍，点，点Q在C的左支上，则（   ） A．双曲线C的方程为 B．双曲线C的渐近线方程为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】根据给定条件，结合斜率坐标公式列式求出双曲线方程，再借助双曲线定义逐项求解判断. 【详解】令双曲线的半焦距为，则， 由点B在双曲线C上，且轴，，不妨设，则，， 则，解得，于是，双曲线的方程为， 而点，则，解得，双曲线C的方程为， A正确； 双曲线C的渐近线方程为，B正确； ，设双曲线的左焦点为，由双曲线的定义得， 即，因此， 当且仅当是线段与双曲线的左支交点时取等号，C正确； 设点，，则， ，当且仅当时取等号，D错误. 41．（2026·重庆渝中·二模）（多选）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别是，，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，，两点均在轴上方，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则双曲线的渐近线方程为 C．若是钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是 D．若是钝角三角形，直线，的斜率分别是，，则的最小值是 【答案】BCD 【分析】根据双曲线的定义结合等腰直角三角形的性质即可判断A；结合选项A及余弦定理得到，进而得到，即可求出渐近线方程，可判断B；根据三角形大角对大边及通径可得到，进而求出，即可判断C；设出直线，的倾斜角，， 得到，结合两角差正切公式得到，进而得到，结合基本不等式即可判断D. 【详解】对于A：由双曲线的定义可知，，. 令，则，又， 所以是等腰直角三角形， 又，所以， 则，，故A错误； 对于B：在中，， 由余弦定理得，， 整理得，所以，则，故渐近线方程为，故B正确； 对于C：若是钝角三角形，必有， 则在中，，又，所以，即， 解得，又， 所以，所以， 所以双曲线离心率的取值范围是，故C正确； 对于D：令直线，的倾斜角分别是，，，，，， 则，即，， 所以， 又，当且仅当时等号成立， 所以，所以，当，时取等号，故D正确． 42．（2026·江西南昌·三模）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，过点的直线与在第一、四象限的交点分别为，，若，则直线的斜率为_____________． 【答案】 【分析】由双曲线定义及勾股定理，可得，从而求得，求得直线的斜率. 【详解】由知，，则. 由双曲线的定义知，. 所以，所以. 所以. 因为直线的倾斜角与互补，所以其斜率为. 43．（2026·江西·模拟预测）设双曲线的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与的左、右两支分别交于，两点，为的中点且，则的离心率为__________． 【答案】 【分析】根据双曲线的几何性质，结合已知条件求出直线方程及斜率，进而得出点坐标，设坐标，结合双曲线方程和直线方程得出的关系，进而求出离心率． 【详解】 已知直线的斜率，，则直线的斜率为， 设，则 在直线上，即①，②， 联立①②得：，即， 设，代入双曲线方程并相减得： ，整理得， 即，化简得， ，即， ，解得， ． 44．（2026·四川眉山·模拟预测）已知点是双曲线右支上的一点，分别是的左､右焦点，且，点在的平分线上，为原点， ，，其中，则的离心率为__________. 【答案】4 【分析】延长交于点，借助中位线定义及其性质可得，结合是的平分线可得，再根据双曲线的定义以及离心率公式计算求解即可得. 【详解】延长交于点， 因为，是的中点，则是三角形的中位线， 故是的中点，且， 则，即是中线， 又因为是的平分线， 则是等腰三角形，即， 根据双曲线定义，有， 则， 因为 ，所以， 又，因此，离心率. 45．（2026·湖北武汉·三模）已知双曲线，离心率为2，左、右焦点分别为，，若点为双曲线上一点，满足，过点作的垂线，垂足为，则________________. 【答案】 【详解】如图： 由，所以. 因为点为双曲线上一点，满足，所以. 所以. 由. 所以， . 所以. 46．（2026·河北保定·模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点P 是 C 上一点且位于第一象限，若的平分线所在直线的斜率与 的平分线所在直线的斜率分别为，且，则C的离心率为________. 【答案】 【分析】设的平分线与的平分线所在直线交于点，的平分线与轴交于点，得到，根据题意，求得，结合，联立方程组求得，求得，得到，结合双曲线的定义和离心率的定义，即可求解. 【详解】设的平分线所在直线与的平分线所在直线交于点， 的平分线所在直线与轴交于点，， 则， 因为， 且， 所以， 又因为且，所以， 联立方程组，解得， 所以， 因为，所以，所以， 在直角中，因为，所以， 又因为，所以， 所以双曲线的离心率. 题型4：抛物线的相关问题 47．（2026·江西·模拟预测）设函数，则（     ） A．的最小值为1 B．的最小值为 C．有一个实根 D．有两个实根 【答案】B 【分析】将问题转化为到和直线的距离的和的最小值，数形结合可求解. 【详解】因为， 所以表示点两点间的距离， 表示点到直线的距离， 点在抛物线上， 过点作，垂足为，则函数表示， 点到直线的距离为， 则当三点共线且在线段上时，有最小值，最小值为， 故A错误，B正确； 无解，故C错误；有一个实根，故D错误.    48．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知抛物线的准线与x轴交于点P，过焦点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若，则（   ） A．12 B． C．6 D．8 【答案】A 【分析】设直线方程为，与抛物线方程联立，用韦达定理，计算出，再计算. 【详解】设直线方程为，， 那么 ，， 由于，， 则， 即， 化简得，即， 把，代入化简得， 则，又， 所以，解得 ， 所以 . 49．（2026·贵州毕节·三模）已知点P是抛物线上一动点，过点P作圆的切线，切点分别为M，N，则的最小值为（    ） A．. B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆的方程求出圆心的坐标和半径，由切线性质可得，由此可得，，设，根据两点距离公式结合二次函数性质求的最小值，由此可得结论． 【详解】圆的圆心的坐标为，半径为， 因为，为圆的切线，切点分别为， 所以，，，， 所以， 所以，， 设，则， 当时，，此时最大， 又，函数在上单调递增， 所以当时，即时，最大， 此时最大，最小， 则． 50．（2026·贵州安顺·模拟预测）在平面直角坐标系中，定点，为动点，线段的中点到轴的距离等于，直线交轴于点，的平分线交轴于点，则实数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据几何条件求出动点的轨迹，再借助三角形内角平分线定理建立关于参数的目标函数，最后利用基本不等式求出其最大值. 【详解】设的坐标为，则的中点坐标为， 的中点到轴的距离等于，即， 两边同时平方整理得，故动点的轨迹是焦点为，准线为的抛物线， 所以为准线与轴的交点，其坐标为，且， ， 在中，必在线段上，即， 即，解得，， 由角平分线定理得，即， 令，则有，即， 随着的减小，随之增大，也会增大，因此，为了求的最大值，即求的最小值， ，同时平方得， 考虑的情况，若则，显然不是最大值， 同时分子分母除以得， 当且仅当时等号成立，即的最小值为，进而的最小值为， 则， 则. 51．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知抛物线：的焦点为，过且不与坐标轴垂直的直线与交于，两点，为线段的中点，过作的准线的垂线，垂足为，若为等腰三角形，则直线的斜率的绝对值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】设直线方程为，联立抛物线方程，利用韦达定理求出中点坐标，即可得点坐标，利用斜率乘积可知，即可求出直线倾斜角，直线斜率得解. 【详解】因为抛物线：，所以焦点，准线方程为， 由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正，如图， 设，直线的方程为， 由，可得， 则， 所以， 即，故， 所以，又，所以， 所以，又为等腰三角形， 所以，所以， 所以，结合抛物线的对称性可知直线的斜率的绝对值为1. 52．（2026·安徽阜阳·二模）已知抛物线和所围成的封闭曲线如图所示，点，若在此封闭曲线上至少存在两对不同的点，满足每一对点关于点A对称，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】联立两抛物线方程，求出两抛物线交点横坐标，分析已知条件得出至少还存在一对点关于对称，进而构造方程，结合两抛物线交点横坐标，得出的取值范围． 【详解】由，解得， ，故两抛物线交点的横坐标为， 已知此封闭曲线上至少存在两对不同的点，满足每一对点关于点A对称， 故必定在两支曲线上还存在不同点关于点对称， 不妨设抛物线上的点， 则点P关于点A的对称点在抛物线上， 关于t的方程在上有解， 即在上有解， ， ，即， ． 53．（2026·辽宁·模拟预测）如图，画在纸面上的抛物线过焦点的弦长为9，则沿轴将纸面折成平面角为的二面角后，空间中线段的长度为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立直线与抛物线方程得到韦达定理，结合焦半径公式可得，进而根据线面垂直，以及二面角的定义得，根据锐角三角函数计算长度，可得，利用两点距离公式即可求解. 【详解】因为，设直线为，， 联立与可得， 则，则， 故，解得， 故，解得， 故， 如图，以O为坐标原点，所在直线为x轴，在平面内作的垂线为y轴，过点O作平面的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，    过作平面于，过作于，连接， 由于轴，且轴，，平面，故轴平面， 平面，故轴，则 由于在直角坐标系中， 故， 因此在直角三角形中，， 因此在空间直角坐标系中，， 故， 故选：B 54．（2026·陕西铜川·一模）已知F为抛物线的焦点，C的准线和轴交于点P，点M在抛物线C上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用，结合圆与抛物线的交点得出M点的横坐标，再由抛物线的定义得，又因为，求得即得. 【详解】因为C的准线和轴交于点，且． 根据题意可得图形， 由已知，可知满足， 又因为M在抛物线C上，所以， 所以，所以，因此，M点的横坐标是， 由抛物线的定义知， 且， 所以，所以． 故选：B. 55．（2026·山东济宁·三模）（多选）已知抛物线的焦点为，圆，直线与圆相切于点，且与抛物线相交于，两点，为坐标原点，则（ ） A． B．的最小值为 C．存在直线使得圆内切于 D．存在直线使得 【答案】ABD 【分析】A选项，根据焦点坐标得到；B选项，根据焦半径公式转化，得到重合时，取得最小值，取最小值，得到B正确；C选项，假设存在，由对称性分析得到故关于轴对称，并推出矛盾，得到直线圆不内切；D选项，设出直线，与抛物线联立，得到两根之和，两根之积，并根据得到方程，求出直线方程 【详解】A选项，由题意得，故，解得，A正确； B选项，过点作⊥准线于点，则， 连接，则⊥，， 故，其中， 故，显然当最小时，取得最小值， 当重合时，取得最小值，最小值为2，此时设直线的方程为， 故到的距离为1，即，解得， 故直线的方程为，与联立得， 显然有两个根，满足要求， 此时最小值为，B正确； C选项，假设存在直线使得圆内切于， 由对称性可知，与圆的切点和与圆的切点关于轴对称， 故分别位于轴的两侧，且关于轴对称， 设，则，不妨设，， 直线为，即，到的距离为1， 故，故，，所以，解得， 则，直线方程为， 此时到直线的距离为22，不等于1，故不存在直线使得圆内切于，C错误； D选项，显然直线斜率为0时，不满足要求，设直线的方程为， 到直线的距离为1，故，， 与联立得，， 则，，， 故， 假设存在直线，使得，则， 即，解得或0， 当时，，故，此时直线过原点， 或重合，不合要求，舍去； 当时，，故，直线的方程为， 满足要求，综上，存在直线使得，D正确. 56．（2026·陕西榆林·模拟预测）（多选）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，为坐标原点，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则周长的最小值为11 C．若三点共线，且，则 D．若直线过，且，则 【答案】BCD 【分析】A选项，根据焦点坐标得到抛物线方程，求出，得到答案；B选项，根据焦半径进行转化，得到的最小值，进而得到周长的最小值；C选项，设出直线方程，联立抛物线方程，根据三角形面积公式得到直线斜率，并得到；D选项，设出直线方程，联立抛物线方程，结合韦达定理得到A，B的坐标，并得到各边长，由余弦定理，同角三角函数关系和二倍角公式得到答案. 【详解】抛物线的焦点为， 由题意得，解得. 对于A：如图，设点在第一象限，由，得. 在中，因为，则， 所以，故A错误； 对于B：抛物线的焦点为，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为. 的周长为， 当三点共线时，的周长取最小值， 最小值为，故B正确； 对于C：设直线的方程为，显然直线与抛物线必相交， 联立方程，消去得， 则. 则. 可得，解得. 所以 ，故C正确； 对于D：设过点的直线的方程为， 联立方程，消去得， 则，解得，可得. 将，代入得，即，解得或. 当时，，此时与重合，舍去； 当时，，则， 可得， 因为，则. 又因为，则， 所以. 可得. 所以，故D正确. 57．（2026·湖南·一模）（多选）在平面直角坐标系中，已知抛物线C：的焦点为F，准线为.过F的直线与C交于A，B两点，连接并延长与准线相交于点P，与x轴交于Q点，准线与y轴交于点G，则（    ） A． B．为锐角 C． D． 【答案】ACD 【分析】设出直线的方程与抛物线C联立求出，由条件求的坐标，结合抛物线的定义判断A；对于选项B，由的值，可以得到的值，计算的值，即可判断B；对于选项C，易得为的中位线，从而，又，从而，判断C；对于选项D，过点B作准线的垂线，结合抛物线的定义可得，从而判断D. 【详解】设直线的方程为，联立抛物线C：， 消去y，得，于是， 由，解得，所以. 对于选项A，根据抛物线的定义：抛物线上的点到焦点距离等于到准线的距离， 从而有，选项A正确； 对于选项B，因为，所以， 从而， 则必定为钝角，选项B错误； 对于选项C，由，，所以为的中位线， 从而，又，从而，选项C正确； 对于选项D，过点B作准线的垂线，垂足为H，则， 所以，从而，选项D正确. 58．（2026·河南南阳·一模）（多选）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，分别过点A，B作l的垂线，垂足分别为M，N，若△AMF为等边三角形，则（　　） A．直线AB的斜率为 B． C．△AMF的周长为12 D．B，O，M三点共线 【答案】BCD 【分析】对A，根据抛物线定义得，结合为等边三角形推出直线倾斜角，得斜率判断；对B，先求出点的坐标，得到直线的方程，联立抛物线方程求出点的横坐标，结合抛物线定义得等于点到准线的距离，计算得判断；对C，由抛物线定义得等边的边长等于，计算得，计算周长判断；对D，求出点、的坐标，分别计算直线和的斜率，得斜率相等且共过原点，据此判断. 【详解】对于A：已知为等边三角形，结合轴，，可得 ， 因此直线的倾斜角为或，斜率。选项A仅给出斜率为，不全面，A错误； 对于B：设，由为等边三角形，得，， 因此，结合 ，代入等式， 解得（舍去），直线过，方程为， 联立整理得，由韦达定理得， 已知，故，因此，B正确； 对于C：由推导得 的边长为，因此周长为 ，C正确； 对于D：分两种情况验证共线： 若，则，，所以，，，三点共线； 若，则，，同理可得，三点共线. 因此D正确.    59．（2026·河北张家口·三模）（多选）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F的直线与C交于A，B两点（A在第一象限），与l交于点M，过点A，B分别作l的垂线，垂足为，，则下列说法正确的是（    ） A．若（O为原点），则 B．以线段MF为直径的圆恒过l与x轴的交点 C．若，则直线AB的斜率为 D．原点O到直线的距离与到直线AB的距离之比为定值 【答案】BC 【分析】对于选项A，由题得，则，由抛物线的定义得，因为，求出点A的坐标，再表示出即可判断； 对于选项B, 设准线l与x轴的交点为D，则，所以点D在以线段MF为直径的圆上, 故B正确；对于选项C，D，假设直线AB的方程为，通过联立方程，利用韦达定理求解. 【详解】对于选项A，由题得，则， 由抛物线的定义得， 因为，所以，则， 所以，所以，故A错误； 对于选项B，设准线l与x轴的交点为D，则， 所以点D在以线段MF为直径的圆上，故B正确； 对于选项C，由题意知直线AB的斜率存在且不为0， 设直线， 由，可得，且， 设，，则，则， 联立，得， 则，， 所以，解得，则， 所以，解得，故C正确； 对于选项D，原点O到直线的距离为， 到直线的距离为， 则比值为，不是定值，故D错误. 60．（2026·河南·三模）（多选）已知抛物线，过抛物线C的焦点F的直线l与C交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆与y轴交于D，E两点，则（   ） A． B．以线段AB为直径的圆与直线相切 C． D．的取值范围是 【答案】ABD 【分析】利用焦点弦公式，易知直线垂直于轴时，弦最短即可判断选项；分别求出半径与圆心到直线的距离即可判断选项；联立方程，结合韦达定理，表示出化简判断选项；利用圆的弦长公式，将转化为关于的表达式，构造函数，利用导数分析单调性，结合的条件，即可求出的取值范围. 【详解】解：由题意知，焦点为，准线方程为，焦点到准线的距离为， 设过焦点F的直线l的方程为，A，B两点坐标分别为，. 选项，由抛物线焦点弦的性质可得，焦点弦长， 当直线垂直于轴时，弦长最短，此时，所以， 当直线斜率存在时，，因此，正确； 选项，设中点坐标为，则圆的半径， 又，所以中点到准线的距离， 则圆心到准线的距离等于半径，所以圆与直线相切，正确； 选项，由抛物线的定义可得，， 联立，代入化简得，，则，， 又，， 所以， 错误； 选项，由圆的弦长，表示圆心到轴的距离，则， 因为，， 所以，则， 令，则，设， 则， 又因为，所以，所以在上单调递减， 因此当时，取最大值为，即的最大值为， 所以的最大值为， 又当时，，所以，即， 因此，的取值范围是，正确. 61．（2026·安徽安庆·三模）已知抛物线的顶点为，焦点为，过点的直线交抛物线于两点，若，则______． 【答案】/ 【分析】通过设点、设直线联立方程求解坐标，再利用向量夹角公式求三角函数值． 【详解】 ，设，， 由抛物线的焦半径公式得，， 因为，所以，即， 由题意知，直线的斜率不为，设直线的方程为， 由，得， ，根据韦达定理有， 又因为，所以， 由，得， 因为抛物线关于轴对称，所以不妨设点在第一象限， 则，所以，， 所以， 所以． 62．（2026·河北邯郸·二模）用一个平面去截圆锥，则截面交线为圆锥曲线．2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果．当平面倾斜到“与且仅与”圆锥的一条母线平行时，可以得到抛物线．已知圆锥的轴截面为正三角形（），其底面圆上存在两点，满足，点P，Q分别在，上，且，则过点P，Q的平面截圆锥得到的抛物线的焦点和准线之间的距离为________．    【答案】 【分析】根据给定信息，作出相关图形并推理计算，再以抛物线方程为标准形式建立平面直角坐标系，确定抛物线所过的一个点的坐标即可计算得解. 【详解】如图1，设截面平行于母线，连接并延长交圆于，交抛物线于点， 则点为抛物线的顶点，设截面与交于点，过点分别作平行于圆锥底面的截面得圆，圆， 作圆锥的轴截面（如图2），连接交于点，圆与抛物线交于点，    圆与交于点，由，得，由平面平面， 平面平面，平面平面，得， 同理，而，于是，由对称性可得是中点， 则，， ，以点为原点，向量的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系， 则且，令抛物线方程为，由点在抛物线上，得， 所以抛物线的焦点和准线之间的距离为. 63．（2026·山西运城·模拟预测）如图，抛物线的方程为，焦点是，圆心在轴上的圆与抛物线在第四象限有且只有一个公共点，且它们在点处的切线是同一条直线.若点的横坐标为，，则实数的值为__________. 【答案】18 【分析】作出公共切线，并过作射线轴，则由抛物线的光学性质可得，再利用抛物线定义计算可得点坐标，最后利用直线的斜率计算即可得. 【详解】如图，作出抛物线和圆在点处的公共切线，同时过作射线轴， 则有，由抛物线的光学性质，可得， ， 且， 又，代入得，解得. 题型5：圆锥曲线的新定义 64．（2026·北京石景山·一模）在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义的“对应点”为，当是原点时，定义的“对应点”为它自身：将曲线上所有点的“对应点”构成的曲线定义为曲线的“对应曲线”.现有下列命题： ①若点的“对应点”是点，则点的“对应点”是点； ②单位圆的“对应曲线”是它自身； ③直线的“对应曲线”一定是直线. 其中正确命题的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据对应点的定义对三个命题逐一判断. 【详解】对于①：设不是原点，则，记， 则，其中，计算的对应点： . ，即，不是，所以①错误； 对于②：单位圆上的点满足，因此对应点为. 对，有，说明仍在单位圆上； 反之，单位圆上任意点，则点在单位圆上. 因此单位圆的对应曲线就是单位圆本身，所以②正确； 对于③：取直线（平行于轴的直线），设其上点，对应点为. 令，消去：. 整理得，即，这是圆，不是直线，所以③错误. 所以正确命题的个数只有②一个. 65．（2026·浙江温州·二模）（多选）若曲线满足条件：存在正数a和点，对于任意点，总存在点，使得，则称该曲线是“封闭曲线”，则下列曲线是“封闭曲线”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】结合题设定义，先找到的取值范围，结合进行验证是否在这个范围内，当曲线图象无界时，显然是不符合题意的. 【详解】对于A，由，即，为椭圆， 则，取，满足， 而，， 令，由，对任意的，， 此时，因此对于任意点，总存在点， 故是“封闭曲线”； 对于B，由，显然，则， 由于函数在和上均为减函数，如图： 因为该图象是无界的，因此当时，对给定的而言， 是一个具体的正数，则，这与矛盾， 因此，不是“封闭曲线”； 对于C，由， 显然点均满足方程， 则曲线关于，原点对称，且， 因此该曲线上的点均在圆上（或内部）， 所以该曲线的图象是有界的，取， 设，，取， 由，对任意点，， 此时， 因此对于任意点，总存在点， 故是“封闭曲线”； 对于D，由，而， 则时，， 所以曲线的图象无界， 当时，对给定的而言， 是一个具体的正数，则，这与矛盾， 因此，不是“封闭曲线”. 66．（2026·贵州毕节·一模）（多选）设计一条美丽的丝带，其造型可以看作图中的曲线的一部分.已知过坐标原点，且上的点满足：横坐标小于4，到点的距离与到定直线的距离之积为16，则下列选项中正确的有（    ）    A． B．点在上 C．在第三象限的点的纵坐标的最小值为 D．当点在上时， 【答案】AD 【分析】对于A，因为原点也在曲线上，故可根据原点到点与到定直线的距离之积为列出方程，即可得解；对于B，验证点到点与到定直线的距离之积是否为即可；对于C，先求出曲线的轨迹方程，再运用特殊值法即可判断；对于D，将曲线方程化简后结合不等式的性质即可判断. 【详解】对于A：由题可知，坐标原点在曲线上，因此原点到点的距离与到定直线的距离之积为16， 即，又因为，故解得，故A正确； 对于B：设点为点，则，点到直线的距离为，因为， 因此点不在曲线上，故B错误； 对于C：设曲线上一点为，则有， 整理得，取，得， 即或，故曲线在第三象限内的点的纵坐标的最小值小于，故C错误； 对于D：当点在上时，由C的分析可知，又因为， 故，当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：AD. 67．（2026·湖北鄂州·模拟预测）类比圆的标准方程，我们很容易知道：在空间直角坐标系中，以坐标原点为球心，为半径的球面方程为：．现有一个底面半径为2，高为3的圆锥，以底面圆圆心为坐标原点，顶点在轴上，则圆锥侧面的方程为___________，现用一个与轴平行的平面截这个圆锥，截面与圆锥表面交线为双曲线的一部分，则该双曲线的离心率为___________． 【答案】 , / 【分析】先确定圆锥母线的平面方程，旋转得到圆锥侧面方程；再将与轴平行的平面代入圆锥方程，整理成双曲线标准形式，求出，即得其离心率. 【详解】已知圆锥底面半径为2，高为3，底面圆圆心为坐标原点，顶点在轴上，则顶点坐标为， 在平面上，圆锥的母线是连接和的直线，即， 绕轴旋转时，替换为，得到旋转面（圆锥侧面方程），， 即，整理得，. 用与轴平行的平面截圆锥，不妨取平面（为常数，且），代入圆锥方程， 可得，整理为双曲线标准形式， 而对于双曲线，这里，则， 故该双曲线的半焦距为， 于是，其离心率为. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $