精品解析：重庆市第八中学校2025-2026学年高一下学期数学学科训练4

重庆八中高2028级高一（下）数学学科训练4 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则复数z的虚部为（ ） A. i B. C. 1 D. 2. 已知单位向量满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 在复平面内，复数的虚部为3，复数满足条件 ，则的最小值为（ ） A. 0 B. 4 C. 5 D. 6 4. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点，，为坐标原点，定义余弦相似度为（其中为向量，的夹角），余弦距离为．已知，，若，的余弦距离为，则（ ） A. B. C. D. 6. 内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且，则为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，点是四边形内（含边界）的一点，若，则的最大值与最小值之差为（ ） A. 12 B. 9 C. D. 8. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且的外接圆半径为，若的面积，则的取值范围为（    ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，则下列结论正确的是（ ） A. 若， B. C. 若，则 D. 若，则 10. 已知为所在平面内的一点，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则点的轨迹经过的内心. D. 若，则为的垂心 11. 在锐角中，角的对边分别为，且．则（ ） A. 的面积为 B. C. 若，则 D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数，则复数________． 13. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花．图2中正六边形的边长为，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，为圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的取值范围为______． 14. 已知平面向量、、满足：与的夹角为锐角，，，，且的最小值为，向量的最大值是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 15. 设是实数，复数，（是虚数单位）． （1）若在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围； （2）求的最小值． 16. 在中，角的对边分别为，若． （1）求角的大小； （2）若为上一点，且为角的平分线，，求的最大值． 17. 文笔塔，又称慈云塔，位于保山市隆阳区太保山麓，古塔建设于唐代南诏时期．2007年4月在原址拆除重建后的文笔塔新塔与广大市民见面．如图，某同学在测量塔高AB时，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点C和D． 测得，在点 C测得塔顶A仰角为，已知，，且CD＝56米． （1）求； （2）求塔高AB（结果保留整数）． 18. “费马点”是三角形内部与其三个顶点的距离之和最小的点．对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，使的点即为费马点．已知中，角的对边分别为，点是的“费马点”． （1）求角； （2）若，求的周长； （3）若，求实数的值． 19. 在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c． （1）已知，求； （2）若是锐角三角形，为（1）中所求，H为的垂心，且CH=3，求的取值范围； （3）若，令，试求t的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆八中高2028级高一（下）数学学科训练4 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则复数z的虚部为（ ） A. i B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【详解】由 ，故虚部为1. 2. 已知单位向量满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意，，， 则在上的投影向量为. 3. 在复平面内，复数的虚部为3，复数满足条件 ，则的最小值为（ ） A. 0 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的几何意义推得复数对应的点表示的轨迹，数形结合即可求得. 【详解】由复数的虚部为3，可知在复平面内，复数对应的点在直线上， 又复数满足条件，可得复数表示的点在以为圆心，半径为1的圆上. 而则表示直线上的点到圆的点的距离. 如图所示，则当点共线(在之间)且与直线垂直时距离最小， 最小值为. 故选：B. 4. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量平行的坐标表示即可求解. 【详解】当时，向量，，则，即,故充分性成立； 当时，满足,即，解得：或,所以必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件 5. 人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点，，为坐标原点，定义余弦相似度为（其中为向量，的夹角），余弦距离为．已知，，若，的余弦距离为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知余弦距离为，，的余弦距离为， ，解得， 已知，，则， ， ． 6. 内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，且，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】在中，把，代入中化简， ， ， 结合基本不等式， ， 即，当且仅当时，取等号， 又，所以，为钝角，. ，,， 由二倍角公式，得，即. 7. 已知，，，点是四边形内（含边界）的一点，若，则的最大值与最小值之差为（ ） A. 12 B. 9 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用共线定理，得到满足的约束条件，再利用非线性规划，结合的几何意义求最值. 【详解】因为， 当点在运动时，由向量共线定理得，所以， 当点在上运动时，由向量共线定理得， ，即，所以， 当点在上运动时，，， 当点在上运动时，，， 综上可知，满足的约束条件是，如图， 表示可行域内的点和点的距离的平方，由图可知当点或时，此时距离的平方最大，即，当点到直线的距离的平方是最小值，即， 所以最大值与最小值的差是. 故选：C 8. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且的外接圆半径为，若的面积，则的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理及三角形面积公式得，即可求解范围． 【详解】由正弦定理得，所以， 又三角形面积公式，可知，所以， 又，所以， 由正弦定理得 ， 在锐角中，有，因为正切函数在上单调递增， 所以， 从而. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，则下列结论正确的是（ ） A. 若， B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】A选项，根据复数除法运算法则即可求得；B选项，设，，根据共轭复数及复数的运算法则求解；C，D选项通过举反例可判断. 【详解】对于，因为当时，，选项A正确； 对于B，设，， ， 则 ， ，所以，选项B正确； 对于C，当，，则，但， ，，选项C错误． 对于D，，时，，但，选项D错误． 故选：AB. 10. 已知为所在平面内的一点，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则点的轨迹经过的内心. D. 若，则为的垂心 【答案】ABD 【解析】 【分析】A作出辅助线，得到各个三角形面积之间的关系，求出面积比值；B推出的角平分线与垂直，为等腰三角形；C设的中点为，得到三点共线；D得到⊥，⊥，⊥. 【详解】A，过点作，分别交于点， 则四边形为平行四边形，，， 因为，故，即， 不妨设，故， 因为，为的中点，所以到的距离为到的距离的， 所以，则， 则，A正确； B，，该向量为方向上的单位向量之和，位于的平分线上， 又，即的角平分线与垂直，则为等腰三角形，B正确； C，过点作⊥，垂足为，设的中点为， 则， 则，则三点共线， 点的轨迹经过的重心，C错误； D，，则 ，则⊥， 同理可得⊥，⊥，则为的垂心，D正确. 11. 在锐角中，角的对边分别为，且．则（ ） A. 的面积为 B. C. 若，则 D. 的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据三角形面积公式判断A，利用正弦定理及三角恒等变换化简可判断B，根据余弦定理及条件化简，再由二倍角的正余弦、正切公式化简求值可判断C，根据条件判断A点的轨迹，得出范围，再由对勾函数性质求范围即可判断D. 【详解】对于A，由，所以，故A正确； 对于B，由，可得，所以，故B错误； 对于C，，又，， 所以，即， 所以，即，所以， 即，所以， 由为锐角知，故解得，故C正确； 对于D，因为，所以，作于，过作，且，如图， 所以A点的轨迹为线段（不包含端点及中点，否则三角形为直角三角形，不符合题意），由图形可知，且， 令，且，则在上单调递减，在上单调递增， 又当时，，当或时，，所以， 即的取值范围为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数，则复数________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数除法的运算法则计算. 【详解】根据题意， . 13. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花．图2中正六边形的边长为，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，为圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】由图可推得，结合点的位置分析，求出的范围即得. 【详解】由题可知，， 故 ； 由图可知，当点位于正六边形的某个顶点时，取最大值， 当点为正六边形各边的中点时，取得最小值，即， 所以，，从而. 14. 已知平面向量、、满足：与的夹角为锐角，，，，且的最小值为，向量的最大值是________． 【答案】 【解析】 【分析】依据的最小值可以求得的值以及，展开所求关系式依据向量夹角的范围可求得最大值. 【详解】由题意得，，则 ， 由最小值为，且由二次函数分析可知， 当时，取得最小值， 所以 ，解得， 又与的夹角为锐角，则，此时， 所以，设， 由 , 又，故． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 15. 设是实数，复数，（是虚数单位）． （1）若在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围； （2）求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数的几何意义，列出不等式组，求解即可得出答案； （2）由共轭复数的定义及根据复数的模的公式化简，结合二次函数的性质，即可得出答案． 【小问1详解】 ， 则，解得． 【小问2详解】 ，则，， ， 当时，的最小值为． 16. 在中，角的对边分别为，若． （1）求角的大小； （2）若为上一点，且为角的平分线，，求的最大值． 【答案】（1）； （2）3. 【解析】 【分析】（1）先由正弦定理角化边，再由余弦定理即可求解； （2）先由求出，再将代入，并设得到，再结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题和正弦定理得，整理得， 所以由余弦定理得， 又，所以. 【小问2详解】 因为，所以由题， 所以由得， 即， 又，设，则， 所以， 又，当且仅当即时等号成立， 所以，即的最大值为3. 17. 文笔塔，又称慈云塔，位于保山市隆阳区太保山麓，古塔建设于唐代南诏时期．2007年4月在原址拆除重建后的文笔塔新塔与广大市民见面．如图，某同学在测量塔高AB时，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点C和D． 测得，在点 C测得塔顶A仰角为，已知，，且CD＝56米． （1）求； （2）求塔高AB（结果保留整数）． 【答案】（1） （2）47 【解析】 【分析】（1）利用平方关系求出，再根据利用两角和的正弦公式即可得解； （2）在中，利用正弦定理求出，再解即可得解. 【小问1详解】 解：在中，因为，所以， 则，所以，所以， 又，所以， 则； 【小问2详解】 解：在中，因为， 所以米， 则中，米， 所以塔高AB为47米. 18. “费马点”是三角形内部与其三个顶点的距离之和最小的点．对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，使的点即为费马点．已知中，角的对边分别为，点是的“费马点”． （1）求角； （2）若，求的周长； （3）若，求实数的值． 【答案】（1） （2） （3）6 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将题目中的条件.转换成仅含有角关系，再利用辅助角公式求解即可； （2），由向量的数量积可得，由三角形的面积可得，结合余弦定理可求，可求周长； （3）不妨设，则.由余弦定理解方程组即可得解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得 即：， 所以 所以，即，所以，得； 【小问2详解】 ， 因为， 所以， 由得： ，即， 由余弦定理得，即， 则，解得． 所以的周长为； 【小问3详解】 不妨设，则.由余弦定理得: ，① ，② ，③ 因为，所以，即，则， 由②③，，则 即 因为，所以，解得或(舍) 所以，得. 【点睛】关键点点睛：本题关键是理解并应用费马点的定义，第三问关键是设，从而推导出、，结合关系求得. 19. 在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c． （1）已知，求； （2）若是锐角三角形，为（1）中所求，H为的垂心，且CH=3，求的取值范围； （3）若，令，试求t的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过同角三角函数关系与正弦定理将已知等式转化为边的关系，再用余弦定理求出角C； （2）设，利用三角形垂心的性质与直角三角形的边角关系表示出，再通过三角恒等变换化简目标表达式，结合的范围求取值范围； （3）利用正弦定理、三角恒等变换化简的表达式，再通过余弦定理将其转化为边的关系，最后利用二次函数性质求最大值. 【小问1详解】 因为，， 所以，由正弦定理，得， 即，由余弦定理，得，因为，所以； 【小问2详解】 延长交于，延长交于，设，，所以， 在中，，在中，，，所以， 在中，，同理可得在中，， 所以 ，因为，所以， 所以，所以，即的取值范围为； 【小问3详解】 由余弦定理，可得，所以， 由，可得， 所以 ， 故， 所以，当且仅当时等号成立，即，时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $