江苏南京市第一中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试题

2025-2026学年度第二学期期中考试参考答案 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的． 1．A 2．B 3．A 4．B 5．C 6．C 7．B 8．D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．ABD 10．BD 11．ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．【解析】（1）时，． 2分 由，解得， 所以． 4分 故． 6分 （2）因为“”是“”的充分条件，所以， 8分 从而 11分 解得， 所以的取值范围为． 13分 16．【解析】（1）零假设为：该地居民喜欢喝茶与年龄没有关系． 4分 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立， 即没有90%的把握认为该地居民喜欢喝茶与年龄有关． 6分 （2）X的取值可能为0，1，2． 则， ， 12分 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 13分 所以X的期望 15分 17．【解析】（1）． 2分 令，得，得，因此单调递增区间为． 6分 （2），记．由题意知，则， 8分 从而． 9分 当时，，，则， 12分 因此，在区间上单调递减，． 当时，． 15分 18．【解析】已知，， 由勾股定理得， 又是中点，且由题意得为等腰直角三角形，故， 2分 且， 在正中，是中点，故，且， 在中，有，故， 又，且，平面，故平面， 又平面，因此． 5分 （2）（i）由（1）可知，、、三者之间两两互相垂直， 所以以为原点，建立空间直角坐标系，如下图所示， 由题意及（1）可得，，，，， 所以，，， 由，得，又，， 设平面的法向量为，则可得， 解得（）， 8分 因为平面，所以， 即，联立（*）可解得． 11分 （ii）由前述可知，所以对于平面的法向量为， 有，令，则， 13分 设平面的法向量为，又，， 则，可得，令，则， 所以两平面夹角的余弦值． 17分 19．【解析】（1）微生物经历奇数次移动必然到达区域，之后有的概率到达区域，有的概率到达区域，微生物在区域或者区域时，下一步必然到达区域．，， 3分 （2）解法1：微生物第1次到达区域所经历的步数必然为：，若微生物经历次移动第1次到达区域，则前面步必然在区域与区域之间移动，且最后2步是由区域到区域，接着到达区域，于是，则 不妨设， 化简可得，， 由题意可知，，所以； 8分 解法2：由微生物在2次移动后，有的概率经过区域到达区域， 有的概率经过区域回到区域， 于是， 解得，； 8分 （3）解法1：初始位置时微生物第次到达区域累计移动次数为，设初始位置时微生物第次到达区域累计移动次数为，初始位置为时粒子第次到达区域累计移动次数为（初始位置不记为到达）， 当时，于是：， 12分 即， 化简有， 又由，有 15分 即， 又由，于是．． 17分 解法2：不妨设微生物从区域出发，第一次到达区域，需要的次数为随机变量，当时，， 微生物由区域出发第1次到达区域所经历的步数必然为：，若微生物经历次移动第1次到达区域，则前面步必然在区域与区域之间移动，且最后2步是由区域到区域，接着到达区域，于是 ，则， 12分 由 （2）知 于是 又由，于是． 17分 解法3：当时，易知微生物第次到达区域所经历的步数可能为：， 当微生物通过步第次到达区域时，前面的步中，在奇数步中，必然到达区域，偶数步中，有次到达区域，对应的概率为， 且最后步移动以的概率回到． 于是，则 12分 不妨记 于是 则， 又由，于是， ． ． 17分 说明：视每次移动为次实验，易知次实验中，必然有次到达，有次到达或者．即每次实验有的概率到达，有的概率不到达．于是为使到达事件次，平均需要进行实验次，于是需要移动次． 答案第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京一中2025-2026学年第二学期期中考试 高二数学 2026.5 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的． 1．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 2．若，则下列不等式恒成立的是（ ） A． B． C． D． 3．下列函数中在区间上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 4．若随机变量服从正态分布，且，则（ ） A．0.24 B．0.36 C．0.5 D．0.86 5．已知，，则“”是“与相互独立”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．若，则的值为（ ） A．0 B．16 C．32 D．64 7．甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某项竞赛，决出了第一名到第五名的5个名次．甲、乙两人去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从组织者的回答分析，这五名同学的名次排列的种数为（ ） A．24 B．54 C．72 D．120 8．已知函数为上的奇函数，，且，则（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知一组数据，，…，是公差不为零的等差数列，若去掉首末两项，则（ ） A．平均数不变 B．中位数不变 C．方差不变 D．极差变小 10．在正方体中，点，分别为棱，的中点，过，，三点作该正方体的截面，已知此截面是一个多边形，则（ ） A．为梯形 B．为五边形 C．平面 D．平面 11．数字1，2，3，4，5，6按如图形式随机排列，设第一行的数为，第二、三行中的最大数分别为，，第二、三行中的最小数分别为，，则（ ） A．排列总数为720个 B．的概率为 C．的概率为 D．满足的排列有120个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若直线是曲线的一条切线，则_________． 13．如图，一个质点在随机外力的作用下，从0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动3次，设质点最终所在位置的坐标为，则_________． 14．随机将1，2，…，8这8个连续正整数分成，两组，每组4个数，记表示组中最大的数与最小的数之和，表示组中最大的数与最小的数之和．则_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知集合， （1）若，求； （2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围． 16．（本小题满分15分） 中国是茶的故乡，茶文化源远流长，博大精深．某兴趣小组为了了解当地居民对喝茶的态度，随机调查了100人，并将结果整理如下表： 不喜欢喝茶 喜欢喝茶 合计 35岁以上（含35岁） 30 30 60 35岁以下 25 15 40 合计 55 45 100 （1）是否有90%的把握认为该地居民喜欢喝茶与年龄有关？ （2）以样本估计总体，用频率代替概率．该兴趣小组在当地喜欢喝茶的人群中，随机选出2人，参加茶文化艺术节．抽取的2人中，35岁以下的人数记为，求的分布列与期望． 参考公式与数据：，其中． 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 17．（本小题满分15分） 已知函数，为的导函数 （1）求的单调增区间； （2）记，．当时，证明：． 18．（本小题满分17分） 如图，在三棱锥中，为正三角形，是棱的中点，，， （1）证明：； （2）点满足，且平面 （i）求的值； （ii）求平面与平面所成角的余弦值． 19．（本小题满分17分） 一个微生物在如图所示方格的培养皿中随机移动，每次均以相等概率移动到相邻的方格．方格是初始位置，是营养丰富的角落，每次到达方格时，微生物进行一次繁殖．记该微生物第次繁殖时所经过的总移动步数为 （1）求，，； （2）求； （3）求． 参考公式： 1．若，对于，则； 2．若，是离散型随机变量，则． 答案第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $